Iterprétato des varables d écart IFT575 Modèles de recherche opératoelle (RO). Programmato léare b. Méthode du smplexe c. Dualté d. Aalyse de sesblté Das la soluto optmale du problème Wydor Glass, o a x =, x 4 = x 5 = Cela dque que les deux derères ressources (temps aux uses et ) sot pleemet utlsées Ue parte de la premère ressource (temps à l use ) est pas utlsée: heures Vor l exemple das le OR Tutor. Programmato léare Crtère d optmalté Exprmos l objectf e focto des varables horsbase das la soluto optmale Rappelos que das cette soluto, o a : x x + x x 4 4 + x 5 = = 6 Crtère d optmalté (sute) Après substtuto das l objectf, o obtet : Z = x + 5 x = ( + (/) x 4 (/) x 5 ) + 5 (6 (/)x 4 ) = 6 - (/) x 4 x 5 Toute soluto réalsable (x, x, x, x 4, x 5 ) satsfat Z = 6 + x + x + x - (/) x 4 - x 5 6 La valeur optmale est doc 6. Programmato léare. Programmato léare 4
Crtère d optmalté (sute) Le crtère d optmalté s éoce as comme sut : État doé que l objectf s exprme uquemet e focto des varables hors-base de la soluto de base réalsable courate S les coeffcets de ces varables das l objectf sot tous égatfs ou uls, alors la soluto de base réalsable courate est optmale Les coeffcets des varables hors-base das l objectf sot appelés coûts réduts (ou coûts relatfs) Varable d etrée S au mos u coût rédut est postf pour la soluto de base réalsable courate : O a pas ecore attet ue soluto optmale Il faut doc effectuer au mos u pvot Quelle varable dot-o fare etrer das la base? O propose de chosr celle dot le coût rédut est le plus grad parm toutes les varables hors-base Cette varable fourt la plus grade augmetato margale (par uté) de la valeur de l objectf Atteto : ce est peut-être pas la plus grade augmetato globale!. Programmato léare 5. Programmato léare 6 Varable de sorte Lorsqu o effectue u pvot, l faut chosr la varable qu va sortr de la base e tetat de garder toutes les varables o égatves Supposos que x j est la varable d etrée Chaque varable de base x s exprme alors e focto de la varable d etrée (pusque les autres varables hors-base sot ulles) : x= b ajxj Das cette expresso, les coeffcets obteus sute à pluseurs pvots O a écessaremet b (pourquo?) b aj, sot. Programmato léare 7 Varable de sorte (sute) Pour que toutes les varables demeuret o égatves sute au pvot, o dot avor : S xj aj x = b ajxj ajxj b, l égalté e lmte pas l augmetato de S cette codto est satsfate pour tous les, o peut doc augmeter défmet xj : l objectf est o boré S j, l égalté lmte l augmetato de a > Varable de sorte : celle qu attet. Programmato léare 8 xj b m a aj j >
Méthode du smplexe: résumé. Obter ue soluto de base réalsable tale. Vérfer le crtère d optmalté: s les coûts réduts de toutes les varables hors-base sot égatfs ou uls, arrêter. Chosr la varable d etrée x j, sot celle qu a le coût rédut le plus élevé b 4. Détermer la varable de sorte: m aj> aj 5. Effectuer u pvot et détermer ue ouvelle soluto de base réalsable; retourer à l étape Vor l exemple das le OR Tutor. Programmato léare 9 Forme augmetée Tout modèle de PL peut se rameer à la forme suvate: ajxj + x xj x + max = b cjxj =,,..., m j =,,..., =,,..., m Hypothèse: b, =,,,m But: obter ue soluto de base tale +. Programmato léare Trasformato du m au max Trasformato du e = Supposos qu o dot mmser l objectf au leu de le maxmser O utlse alors la proprété suvate: m cjxj = max cjxj O résout le problème de maxmsato e chageat les sges des coeffcets das l objectf La valeur optmale du problème de mmsato est l opposé de celle du problème de maxmsato S j j, l y a deux cas : ax b b, o ajoute ue varable d écart x + ax j j+ x + = b<, o multple l égalté par - et o se ramèe au cas de la page suvate b. Programmato léare. Programmato léare
Trasformato du e = S j j, l y a deux cas : ax b b, o multple l égalté par - pour se rameer au cas de la page précédete b >, o soustrat ue varable de surplus ajxj x = b O se ramèe alors au cas de la page suvate x Ajout de varables artfcelles S,.., a j x j = b et qu aucue varable est solée (ue varable est solée s elle est à coeffcet das cette équato et à coeffcet das les autres): O ajoute ue varable artfcelle x + O lu assoce u proft très égatf : - M max,.., c j x j - M x +,.., a j x j + x + = b S le problème est réalsable, o dot avor x + =. Programmato léare. Programmato léare 4 Ajout de varables artfcelles (sute) Méthode du grad M Optmser e utlsat ue focto objectve formée de la focto de coût tale et de la somme, très fortemet péalsée, des varables artfcelles Méthode à deux phases Phase : trouver ue soluto réalsable e mmsat la somme des varables artfcelles Phase : optmser e reveat à la focto de coût tal à partr de la soluto tale trouvée das la phase Varables artfcelles: exemple m Z =.4 x +.5 x. x +. x.7.5 x +.5 x = 6.6 x +.4 x 6 x, x. Programmato léare 5. Programmato léare 6 4
Trasformatos Système tal. x +. x.7.5 x +.5 x = 6.6 x +.4 x 6 Système d équatos. x +. x + x s =.7.5 x +.5 x = 6.6 x +.4 x - x s = 6 x s, x s Ajout de varables artfcelles Système d équatos. x +. x + x s =.7.5 x +.5 x = 6.6 x +.4 x - x s = 6 x s, x s Ajout de varables artfcelles. x +. x + x s =.7.5 x +.5 x + x a = 6.6 x +.4 x - x s + x a = 6 x s, x s, x a, x a. Programmato léare 7. Programmato léare 8 Démarrer la méthode du smplexe Ajout de varables artfcelles. x +. x + x s =.7.5 x +.5 x + x a = 6.6 x +.4 x - x s + x a = 6 x s, x s, x a, x a Méthode à deux phases Phase : m x a + x a jusqu à obter ue valeur optmale ulle (s le PL a ue soluto réalsable) Phase : m.4 x +.5 x Varables à valeurs quelcoques S ue varable x j peut predre des valeurs égatves, o trodut deux varables x j+ et x j- O pose alors x j = x j+ - x j - Autre possblté : s x j L j (L j est ue costate égatve) O pose alors x j+ = x j - L j Méthode du grad M m.4 x +.5 x + M x a + M x a. Programmato léare 9. Programmato léare 5
Pour expérmeter Pour des petts modèles (mos de 6 varables et 6 cotrates foctoelles) : essayer le IOR Tutoral Pour des modèles plus gros, modélser et résoudre avec Excel Solver Revor le cas Wydor Glass Pour des modèles ecore plus gros, essayer Ldo/Lgo et CPLEX/MPL (CD) Dualté : exemple Wydor Glass Supposos qu ue compage parteare de Wydor Glass, appelée Dual Glass, amerat louer du temps aux uses af de fabrquer des lots de produts Quel prx (e $/h) pour chaque use devrat-elle demader de telle sorte que le résultat sot équtable, sot aucu proft perte pour aucu des deux parteares?. Programmato léare. Programmato léare Modèle dual Varables de décso : y = prx ($/h) pour louer du temps à l use Dual Glass cherche à mmser le prx total qu elle devra payer pour le temps loué aux tros uses Le prx total pour chaque use peut être exprmé comme le temps de producto maxmum (h) * prx pour louer du temps ($/h) Objectf : m W = 4 y + y + 8 y Modèle dual (sute) Les cotrates assuret que le prx total assocé à la fabrcato d u lot de chaque produt e dot pas être féreure au proft ($/lot) qu e retre Wydor Glass Le prx total assocé à u produt peut être exprmé comme le temps cosacré à la producto de chaque lot (h/lot) * le prx pour louer du temps ($/h) Cotrate assocée au produt : y + y Cotrate assocée au produt : y + y 5. Programmato léare. Programmato léare 4 6
Modèle dual (sute) Voc le modèle pour Dual Glass, appelé modèle dual : M W = 4y+ y + 8y y + y y + y 5 y, y, y Rappel : modèle pour Wydor Glass, dt modèle prmal Max Z = x+ 5x x 4 x x+ x 8 x, x. Programmato léare 5 Couple prmal-dual O remarque les relatos suvates etre les deux modèles Prmal Varable Cotrate Max Proft utare Terme de drote Lge Coloe Cotrate Dual Cotrate Varable M Terme de drote Coût utare Coloe Lge Cotrate. Programmato léare 6 Coûts réduts Rappelos que pour la soluto de base optmale du problème Wydor Glass, l objectf s écrt : Z= 6 (/) x 4 x 5 x 4 et x 5 sot les varables hors base et les coeffcets -/ et - sot leurs coûts réduts S o augmete la valeur de x 4 de uté, le proft dmue de / Mas x 4 est la varable d écart assocée à la cotrate de ressource pour l use : augmeter x 4 de veut dre dmuer le terme de drote correspodat de Multplcateurs optmaux S Wydor Glass loue à Dual Glass ue heure de temps de producto à l use : La capacté à l use dmue de h (dmuto de uté du terme de drote) La valeur de l objectf dmue de / Pour retrouver u proft total égal, l faudra doc demader u prx de / (5$) pour chaque heure de temps louée à l use De maère géérale, la soluto optmale du dual est doée par: coûts réduts des varables d écart (auss appelés multplcateurs optmaux) Das otre exemple : y =, y = /, y =. Programmato léare 7. Programmato léare 8 7
Écarts complémetares Le prx de la varable y est fxé à Wydor Glass exge re pour ue heure louée à l use Be sûr, pusqu l lu reste du temps de producto o utlsé (la varable d écart x est > ) U prx > ferat augmeter le proft, et la soluto e serat plus équtable Les prx des autres varables est > Pusque le temps de producto est utlsé à ple, louer ue heure à Dual Glass revet à perdre ue heure de producto, doc à rédure le proft total Pour retrouver le même proft, l faut exger u prx égal au multplcateur optmal (= - coût rédut) Écarts complémetares : x +. y =. Programmato léare 9 Aalyse de sesblté E gééral, le coût rédut d ue varable hors-base dque le chagemet das l objectf apporté par ue augmetato de uté de la valeur de cette varable Pour les varables d écart, ce prcpe peut se formuler as : le coût rédut d ue varable d écart hors-base dque le chagemet das l objectf apporté par ue dmuto de uté du terme de drote assocé Cec est u exemple d aalyse de sesblté : u paramètre (c, u terme de drote) est modfé et o mesure la sesblté de la soluto optmale à ce chagemet. Programmato léare Aalyse de sesblté (sute) O peut mesurer la sesblté de la soluto optmale à u chagemet d u terme de drote ou d u coeffcet das l objectf E résolvat à ouveau le modèle modfé E utlsat le rapport de sesblté d Excel Solver Ce rapport (pour Wydor Glass) ous appred que: Les multplcateurs optmaux (Shadow Prces) sot, 5 et La capacté à l use peut predre mporte quelle valeur etre h et 4h sas chager la soluto optmale du dual Le proft utare pour le produt peut predre mporte quelle valeur etre et 75$ sas chager la soluto optmale du prmal Vor la procédure graphque das le IOR Tutoral Dualté et aalyse de sesblté Tout modèle de PL possède u dual S u modèle de PL possède ue soluto optmale, l e est de même pour so dual, et les valeurs optmales des deux modèles sot égales Soluto optmale du dual = multplcateurs optmaux O peut les lre drectemet das le tableau optmal du smplexe : ce sot les coeffcets das la lge correspodat à l objectf Coût rédut (-coeffcet das la lge de l objectf): mesure la varato de l objectf etraîé par ue augmetato de uté de la valeur de la varable hors-base assocée Pour e savor plus, suvre IFT55. Programmato léare. Programmato léare 8