H HACHETTE Supérieur

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Créditsphotogrphiques Toutes lesphotogrphies de cet ouvrge provieet de l photothèque HACHETTE LIVRE. Compositio, mise e pge et schéms :Publilog Mquette itérieure :SG CrétioetPscl Plottier Mquette de couverture :AliVmbcs c HACHETTE LIVRE 4, 43 qui de Greelle 7595 Pris Cede5 www.hchette-eductio.com I.S.B.N. 978---893- Tous droits de trductio, de reproductio etd dpttio réservés pour tous pys. Le Code de l propriété itellectuelle utorist, u termes des rticles L.-4 et L.-5, d ue prt, que les «copies ou reproductios strictemet réservées à l usge privé du copiste et o destiées à ue utilistio collective», et, d utre prt, que «les lyses et les courtes cittios»ds u but d eemple et d illustrtio, «toute représettio ou reproductio itégrle ou prtielle,fite ss le cosetemet de l uteur oudeses yts droitouyts cuse, est illicite». Cette représettio ou reproductio, pr quelque procédé que ce soit, ss utoristio de l éditeur ou du Cetre frçis de l eploittio du droit de copie (, rue des Grds-Augustis, 756 Pris), costituerit doc ue cotrefço sctioée pr lesrticles 45 et suivts du Code pél.

Avt-propos L objectif premier de cet ouvrge est lréussite u cocours et uemes. Pour cel, ous vos teté de redre itelligible et ttryte ue petite prtie des mthémtiques :celle du progrmme. Ds cette optique, ous souhitos que ce livre soit u outil de trvil efficce et dpté u besois des eseigts et des étuditsdetout iveu. Le coursest grémetédeombreu Eemples et Applictios. Les Eercices idet l étudit àtester scompréhesioducours,lui permettet d pprofodirscoissce des otios eposées... et de préprer lesoru des cocours. Les Eercices résolus et TD sot plus és vers lesécrits des cocours. L lgorithmique et le clcul formel fot prtie du progrmme des cocours. De ombreu eercices preet e comptecette eigece isi que des TD d Algorithmique etièremet rédigés. Lesuteurs c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3

Sommire SÉRIES NUMÉRIQUES 5 ESPACES VECTORIELSNORMÉS 35 CONTINUITÉ 63 SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS 9 DÉRIVATION, INTÉGRATION DES FONCTIONS VECTORIELLES 6 LIEN ENTRE DÉRIVATION ET INTÉGRATION 59 FONCTIONS INTÉGRABLES 9 SÉRIES ENTIÈRES 3 SÉRIES DEFOURIER 54 CALCUL DIFFÉRENTIEL 78 TD :INDICATIONS ET RÉPONSES 3 EXERCICES :INDICATIONS ET RÉPONSES 3 INDEX 379

Séries umériques Archimède (eviro 87- v.j.-c.) étudie l ire délimitée pr u rcdeprbole et l cordequi le sous-ted. Il itroduit lorslsérie : + 4, + 4 + 6, + 4 + 6 et détermie s limite 4 3. Le XVI e siècle pporte u double progrès :u effort de symbolisme mthémtique red lesclculs plus isésetlotio de foctio se dégge de so origiegéométrique. Vers 66,soucieu d eprimer des foctios (isi l( + ) et ( + ) ) comme somme de séries, les mthémticies s itéresset àl étude systémtique desséries. Toutefois, l défiitio rigoureuse de l covergece et certis outils ci-dessous eposés pprîtrot qu u début du XIX e siècle, vec Abel,Cuchy et Guss. Les trvu de Dedekid, Weierstrss et Ctor,àl fi du XIX e siècle, permettrot de compléter lthéorie. Ce chpitrevous présete, ds le lgge mthémtique d ujourd hui, cette défiitio et les techiques qui e découlet. De plus, ous verros que ces outils peuvet évetuellemet êtremis e œuvre pour détermier l tured ue suite doée,lquelle est lorstrsformée e ue série. O B J E C T I F S Notio de série covergete. Somme et reste d ue sériecovergete. Compriso de séries à termes positifs pour e détermierlture. Séries de Riem. Compriso àue itégrle. Règle de d Alembert. Écriture décimled uréel positif (PSI). Critère de Cuchy des séries (PSI). Critère spécil des séries lterées. Séries bsolumet covergetes. Produit decuchy de séries bsolumet covergetes. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5

Alyse PC-PSI Ds cechpitre, l ppelltio «série» désiger uiquemet des séries à termes réelsoucomplees. K est R ou C. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Géérlités.. Défiitio d ue série Soit u = (u ) ue suite d élémets de K. O pose, pour tout de N : S = u k. L suite isi défiie S = (S ) est ue suite d élémetsde K, ppelée série ssociée àlsuite u. O l ote u ou u, s il yu risque de cofusiosur l idice. L élémet de K : S = est ppelé l somme prtielle d idice de 6 l série u k. u k Eemple : L série determe géérl ppelée série hrmoique., c est-à-dire l série k k, est.. Covergece et divergece d ue série L série de terme géérl u k est dite covergete si l suite (S ), où S = u k, covergeds K. Sio, elle est dite divergete. k= Nottio Lorsque l série u k coverge,llimite de l suite (S ) des sommes prtielles est ppelée somme delsérie et otée ou u. = Théorème Si l série u coverge, soterme géérl ted vers. Démostrtio Le terme géérl de l série est : u = S S. Uesérie dot le terme géérl e ted ps vers diverge.elle est dite série grossièremet divergete. Eemple :Ue série géométrique estue série ssociée àue suite géométrique. Lsérie covergesi, et seulemet si, <. Plus géérlemet,pour <, p fiéds N et c fiéds C, lsériegéométrique u Il rriver que l suite u e soit défiie qu à prtir d u certi rg, le plus souvet k = ou k =. L série eser lors défiiequ à prtir de ce rg. E prtique, coisst (u ), l suite (S ) des sommes prtielles de l série u k est défiiepr l formule: S = u k. Réciproquemet,silsuite (S ) est coue, le terme géérl u de l série est détermié pr S = u et : N u = S S. L suite u est lorsprfitemet détermiéeetuique. Rpport Mies-Pots, 3 «De trop ombreu étudits cofodet l otio de série et l somme d ue telle série qud elle coverge. Plus géérlemet, o déploreumlgmeetre les ottios : u, + u, et u k.» = u Il fut bie distiguer l série uk de l somme, u, de l série qui est défiie que lorsque l série coverge. k= Deu séries qui diffèret pr u ombre fii de termes sot de même ture, c est-à-dire sot simultémet covergetes ou divergetes.

. Séries umériques de terme géérl c k kp covergeetpour somme : k=p c k = cp. Lorsque et c est o ul, l série est grossièremet divergete. L somme d ue série géométrique covergeteest doc obteue pr l formule : premier terme riso Théorème L suite (u ) coverge si, et seulemet si, lsérie (u + u ) coverge. Démostrtio Soit u = (u ) ue suite umérique. L somme prtielle S de l série (u + u ) est : S = (u k+ u k) = u + u. k= L série coverge si,et seulemet si, l suite u coverge. Rpport Cetrle, «Ilest très court de mipuler des séries oudes itégrles lors que ce e sot ecore que des symboles.» Cuchy,e8,écrivit : «J i été forcé d dmettre diverses propositios qui prîtrot peutêtre u peu dures ; pr eemple, qu ue série divergete ps de somme». Eemple : Nture de l série L suite (S ) des sommesprtielles de l série que celle, (T ), de l série ( +). De plus : O e déduit: ( +) ( ). T S T. Les suites (S ) et (T ) sot doc de même ture. L covergece de l suite etrîe celle de l série + celle de l série. Efi: T N = N,doc celle de l série ( +), puis (+) = L série ( +) N (+) = N+. covergedoc vers..3. Reste d ue série covergete Lorsque l série u k Pour s etrîer :e. à4. estcroisste, isi Avec Mple coverge, o peut lors, pour fiéds N, défiir R = S S, où S est lsomme de l série u k. R est ppelé rested ordre de l série u k. Rpport E4A, «Quelques erreurs trop souvet recotrées :sileterme géérique del série tedvers,lors celleci coverge ; u() est équivlet à,doc l série coverge.» ËÙÑ ½» Ò Ò ½µµ Ò½ºº½¼¼¼µ ÙÑ ½» Ò Ò ½µµ Ò½ºº½¼¼¼µ ËÙÑ ½» Ò Ò ½µµ Ò½ººÒÒØݵ ÙÑ ½» Ò Ò ½µµ Ò½ººÒÒØݵ = ( +) = = ( +) = c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 7

Alyse PC-PSI Théorème 3 Soit uk ue série covergete et (R ) lsuite des restes de cette série. Alors : l suite (R ) ted vers ; pour tout, o R = u k ; pour tout, + u k = S + R. E clcul umérique, mjorer R = S S, c estmjorer l erreur commise e pproimt S pr S..4. Liérité Théorème 4 L esemble des séries covergetes àcoefficiets ds K est u K- espce vectoriel et l pplictio qui, àue série covergete, ssocie s somme,est liéire. Si les séries u et v coverget, lors l série (u + v ) coverge. Si l série u coverge etlsérie v diverge, lors l série (u + v ) diverge. Si les séries u et v diverget,oepeut rie dire, priori, de l série (u + v ). Les séries + et diverget, mis l série + coverge et l série + diverge. Applictio c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit ) Motrer l divergece de l série hrmoique pr l comprisoàue itégrle. ) E utilist l comprisoàue itégrle,doeruéquivletde S = k. k= 3) Doer u développemet symptotique àdeu termes de S. 4) E utilist ce résultt, motrerque l série coverge et clculer s somme. ( +) ) Motros l divergece de l série. Étude delsérie hrmoique y k y = t + Doc.. t 8

. Séries umériques L foctio f : t est positive, cotiue et t décroisstesur R +. + d t O e déduit: t d t t. Sommoscette iéglité de k = à : + d t t k= k + dt t. E clcultles itégrles,oobtiet : l( +)S +l(). Doc, S tedvers + qud tedvers +, l série hrmoique diverge. S ) O obtiet même, plus précisémet, que l() dmet pour limite, c est-à-dire que : Avec Mple : S l(). ËÙÑ ½»Ò Ò½ºº½¼¼¼¼µ ÚÐ ÙÑ ½»Ò Ò½ºº½¼¼¼¼µµµ ÐÒ ½¼¼¼¼ºµ = = 9.7876636 9.3437 4) Remrquos tout d bord que : ( +) = + + et clculos l somme prtielle S N De plus : N = Doc : S N = + N = de l série. + +l(n)+g+o(). = N+ = N = = (l(n +)+g+o()) + S N = l + ++o(). N +(l(n)+g+o()). Filemet, ous pouvos coclure que l série covergeetque s somme est : ( +) ( +) = l+. 3) O pose, pour tout : = k l() et b = l( +) k et o étblit que les suites ( ) et (b ) sot djcetes.eeffet : l suite ( ) est décroisste; l suite (b ) est croisste; b =l( +) l() = l vers. + ted O ote g leurlimite commue. g,57. Le ombre g est ppelée l costte d Euler. Àce jour,oigoresi l costted Eulerestrtioelle ou o. = l + g + o() k k= Nicolus Merctor (6-687), mthémticie llemd. Il défii le logrithme épérie comme primitive de l foctio. C est lui qui, lepremier, compré l série hrmoique et le logrithme. Ses trvu coceret l trigoométrie sphérique, l stroomie, l cosmogrphie. Àlfidesvie, ilprticip à l costructio des jeu d eu deversilles. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 9

Alyse PC-PSI Séries à termes positifs.. Premiers critères Théorème 5 L suite (S ) des sommes prtielles de l série àtermes positifs u est croisste. Corollire5. Ue série u de réels positifs coverge si, et seulemet si, l suite (S ) des sommesprtielles de cette série est mjorée et,dscecs : L étude suivte s pplique églemet à des séries à termes égtifs, e dptt les éocés. Plusgéérlemet, elle s ppliqueà toutesérie réelle dotles termes sot de sige costt à prtir d u certirg. u = lim S = sup S. + N Théorème 6 Soit (u ) et (v ) deusuites réelles telles que,àprtir d u certi rg, oit : u v Si : v coverge, lors u coverge; u diverge, lors v diverge. Rpport Cetrle, «Ce estps prce que lessommes prtielles d ue série sot borées que celle-ci est covergete; ds le cs evisgé, cet rgumet suffisit prce que l série est àtermes positifs, mis ecore fllit-il le direetjustifier l covergece de l série vt d écrirel iéglité.» Eemple : Étude de l série si p 4 + Remrquos que : u = si p 4 + p =si p 4 ++. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Pour, positif. Rppelos l iéglité sius sur, p. Nous e tiros : p 4 ++ est compris etre et p, doc u est si, due àlcocvité de l foctio p u p p 4 ++ + +. Or l série + diverge. Doc l série u diverge. Pour s etrîer :e. 5à7.,6,4,,8,6,4, y,,4,6,8,,4 Doc.. Iéglité de cocvité de l foctiosius.

. Séries umériques.. Règle de compriso Théorème 7:(Règle de compriso) Soit (u ) et ( ) des suites de ombres réels positifs tels que u = O( ), lors l covergece de l série implique celle de l série u. Démostrtio L hypothèse u = O( ) setrduit pr : Le théorème 6permet de coclure. M R + N u M. Corollire7. Soit (u ) et (v ) des suites de ombres réels positifstelles que u v. Alors les séries u et v sot de même ture, c est-à-dire qu ellessot simultémet covergetes ou divergetes. Prcotrposée Soit (u ) et ( ) deu suites de ombres réels positifstels que u = O( ), l divergece de l série u implique celle de l série. Rpport Cetrle, 997 «Lrègle des équivlets e s pplique qu u séries àtermes réels de sige costt. Lejury trop souvet etedu u ( ), doc u coverge.» Pour s etrîer :e. 8et9. Eemple : L série + + 3 3 + +b+c Soit u = + + 3 3 + +b+c. Modifios l epressio de u fi depouvoirpréciserlture de l série. + + 3 u = + + b + c 3 = + 3 8 b 3 + +O 9. Pour que l sériecoverge, il est écessireque : Réciproquemet, si = 3 u coverge. = 3.3. Les séries de Riem et b = 5 8. et b = 5 8, lors u = O O ppelle série de Riem toute série de terme géérl réel fié. Théorème 8 L sériederiem covergesi, et seulemet si, >. et l série, où est u! L hypothèse«u est desige costt» est idispesble. Cosidérez l série + ( ) pour vous e covicre. Nous démotreros simplemet vec les séries de Fourier que : = p 6, et que : 4 = p4 9. Pour p etier turel o ul, o sit prouver que : p = pp q, où q est rtioel, mis o igore ctuellemet ce qu il e est de pour p. p+ Apéry démotré, ds les ées 97, que l somme 3 est uirrtioel. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

Alyse PC-PSI Démostrtio Pour, l série est grossièremet divergete. Pour b >, l série de terme géérl u k = k b Or u k = (k +) b + b k Aisi, pour b >, l série k b+ l série deriem Pour ds ],], b k b+. lorsque >. k = O (k +) b coverge. coverge, ce qui ous doe l covergece de. L divergece de l série hrmoique etrîe celle de l série de Riem. Berhrd Riem (86-866), c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Eemple Étudios l ture de l série, où est uréel fié. +Arct () Si, l série est grossièremet divergete. Si >, lors : L série +Arct () +Arct (). covergesi, et seulemet si, >..4. Compriso àue itégrle (PSI) Pour s etrîer :e.. Théorème 9 Soit f ue pplictio de [, + [ ds R +, cotiue pr morceu, positive et décroisste. L sériedeterme géérl u = Démostrtio Puisque f est décroisste, positive, o: doc : k N u k = k k f(k) k k f (t)dt f() est covergete. f(t)dt f(k ), f (t)dt f(k) f(k ) f (k). L série estàtermes positifs, étudios l somme prtielle S. S = u k f (k ) f (k) = f () f () f (). Les sommes prtiellesdelsérie sot mjorées doc l série coverge. mthémticie llemd, élève de Guss, reouvel profodémet les mthémtiques de sotemps. Peustisfit de l présettiotrop ituitive de l itégrle, il e doe ue costructiorigoureuse, prllèlemetàcuchy. D utres théories del itégrtio (Lebesgue...) verrot le jour plus trd. So trvil e Alyse (85) le coduit àcosidérer des foctios de l vrible complee, souvet défiies comme sommes d ue série. Les otios qu il itroduit egéométrie différetielle (854) permettrot àeistei de développer l théorie de l reltivité géérle. y fk () k k k + y = f() t Doc. 3. Compriso vec ue itégrle. Rpport Mies-Pots, 3 «Les ecdremetsdemdés pour S s ppuiet sur l techique de compriso série-itégrle, ils poset des difficultés àu ombre importt de cdidts.» t

. Séries umériques Théorème Soit f ue pplictio de R + ds lui-même, cotiue pr morceu, positive et décroisste. L série f () covergesi, et seulemet si,l suite f (t)dt dmetue limite fiie lorsque tedvers +. Rpport Mies-Pots, 3 «Lejuryétépeié de voirque certis cdidts eprvieet ps àobteir uéquivlet simple de k+.» k= Autres écritures possibles de u : u = [ f (t) f ()] d t ; Lorsque f est declsse C, u = (t +) f (t)dt. Pour s etrîer :e.. Applictio Lesséries de Riem, ecoreettoujours... ) Utiliser l compriso vec ue itégrle pour doer ue coditio écessire et suffiste de covergece des séries de Riem ( > ). ) Lorsque l série deriem coverge, doer u équivletdureste. ) L foctio f : t t est défiie, positive, cotiue et décroisstesur [, + [. Doc l série k covergesi, et seulemet si, l suite f (t)dt dmetue limite lorsque tedvers +. Si = : dt f(t)dt = t = + ( + ) qui dmetue limite réelle lorsque tedvers + si, et seulemetsi, +<. Si = : dt f(t)dt = =l t qui ted vers + lorsque tedvers +. E défiitive, l série de Riem covergesi, et seulemet si, >. ) Supposos >. O, pour tout > : + [( +) + + ] = = + d t t k d t t + [ + ( ) + ] Or,lsérie [( +) + + ] covergecr l suite (( +) + ) ted vers. Doc : + [(k +) + k + ] R + = Soit : + O e déduit k + [k + (k ) + ]. + ( +) + R +. R +. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3

Alyse PC-PSI.5. Règle ded Alembert Théorème :Règle de d Alembert Soit u ue série àtermes réels strictemet positifs telle que l suite u+ coverge. u Si Si u + lim + lim + u u + u <, lors l série est covergete. >, lors l série est divergete. Démostrtio Soit u ue série àtermes réels strictemet positifs. u + Supposos que lim = L <. + u Fios > tel que L + < : N N N Doc, pour tout > N, u + < (L + )u. Ue récurrece simple ous doe lors : >N u+ u ]L, L + [. u <(L+ ) N (u N). Pr coséquet, àprtir du rg N, les termes de l sériesot mjorés pr ceu d ue série géométrique de riso (L + ), positive et strictemet iférieure à. Ceci ssure l covergece de l série. u + Supposos que lim = L >. + u Fios > tel que L >. De même : Je Le Rod d Alembert (77-783), mthémticie frçis, fut u pioier de l étude des équtios différetielles etdeleur utilistio e physique. Il tete de fourir, e 746, l première preuve du théorème fodmetl de l Algèbre. Mis celle-ci est ps ecte. Guss, e 799,doe uedémostrtiorigoureuse. Corédcteur de l Ecyclopédie, d Alembert y défiit l dérivée d ue foctio comme l limite du tu d ccroissemet (volume 4, rticle «Différetiel»). Puis : N N N u+ u ]L, L + [. > N (L ) N (u N ) < u. Le terme géérl de l série ted vers +, doc l série diverge. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Eemple u + L série! est telle que lim = e. Doc, elle covergeetso + u terme géérl ted vers. Nous retrouvos,! = o( ). Remrques Si lim + u + u =, l règle ded Alembert e s pplique ps. Oepeut rie dire, priori, cocert le comportemet de l série. Il suffit decosidérer lesséries de Riem pour s e covicre. u + Si + u + ou si, lors u e tedps vers, cr l suite u u (u ) croîtetlsérie est doc divergete. Pour s etrîer :e. 3. 4

. Séries umériques 3 Eemples d études de séries 3.. Utilistio de l iéglité de Tylor-Lgrge Rppel Vous vez étudié, e Premièreée, l iéglité de Tylor-Lgrge.Si f est ue pplictiodeclsse C +, d uitervlle I de R ds R, lors : Pour tout (, ) de I, eott J = [mi(, ), m(, )] : ( ) p f () f () f (p) () p! ( ) + sup f (+) (t). ( +)! t J Eemples p= L foctioepoetielle est declsse C Doc, pour tout réel et tout ds N, o: p e p! + ( +)! e. Fios u réel : lim + p= e p =. p! p= sur R et (ep) () = ep. Rpport X, 997 Les vetures dee.etc., l Emiteur et le Cdidt. «Lesoleil se lève timidemet surle lc. C., ue gréble cdidtequi tombesur le clculect de plusieurs sommes deséries, e s ffole ps. Elle remrque les télescopges, écrit vec soi les premiers termes, fie clmemet les idices de ses sommes prtielles. E. pese àtous les cdidts qui ot piqué pour écrire ue double somme, réidicer ue somme de k à k ou pour svoir silsomme s rrêtit à, ou +, lors qu ue petite vérifictioe = ou permet egéérl de fier ss erreurs ces détils. C.semblé perdre dutemps, mis elle e gge...» D où: et R e =! Les foctios cosius et sius sot de clsse C sur R. De même : si ( ) p p+ (p +)! + ( +)! Nous e déduisos : R si = p= cos ( ) p p (p)! p= ( ) p p+ (p +)! + ( +)!. et cos = ( ) p p (p)! Rpport Cetrle, 997 «Il est regrettble de perdre de précieuses miutes vt de recoîtrelsomme.» ( ) k k! c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5

Alyse PC-PSI 3.. Les séries de Bertrd (l ) b 3.. Étude de l ture delsérie lorsque = L foctio f : t t(l t) b et : est positive,cotiue et dérivblesur ], + [ f (t) = l t + b t (l t) b+. Doc, pour t > e b, lfoctio f est décroisste. L ture d ue série étt idépedte delvleur des premiers termes, l série (l ) b covergesi, et seulemet si, lsuite f (t)dt dmetue limite (progrmme PSI). Si b =, o, e post u = l t : f (t)dt = l() l d u u b = (l ) b+ (l) b+ b + qui dmetue limite réelle e + si, et seulemetsi, b +<. Si b = : f(t)dt= l() tl t d t = d u = l(l()) l(l). l u Joseph Bertrd (8-9),mthémticie frçis, suivit, à s, les cours de préprtio à l École Polytechique. Ses trvu portet sur lgéométrie différetielle et les probbilités. Ilcojectur,e845,l eistece,pour tout etier > 3, d u ombre premier compris etre et. Ce résulttfut démotré, e85, pr Tchebychev et mélioré, e 93,pr Breusch.Pour tout etier 48, il eiste u ombre premier compris etre et 9 8. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Doc, l sériedebertrd (l ) b coverge si, etseulemet si, b >. 3.. Étude de l série lorsque = O v comprer l série de Bertrd (l ) b Si > : Alors : + (l ) b = o. (+)/ àue série deriem. L covergece de l série de Riem permet lors de coclure (+)/ àlcovergece de l série de Bertrd (l ) b. L étude des séries de Bertrd ous permet de mettre eœuvre des techiques «clssiques» d étude de séries à termes positifs. Toutefois, les coditios de covergece de ces séries e sot ps u progrmme. Il est pr cotre idispesble de svoir,soit ds le cs géérl,soit vec des vleurs prticulières de et b, détermier si ue telle sériecoverge. Rpport TPE, 997 «Rppelos que si u résultt hors progrmme (théorème de Césro, Règle de Bertrd, costted Euler) est utilisé, l emiteur peut e demder l démostrtio.» 6

. Séries umériques Si < : Alors : + = o (+)/ (l ) b. Rpport ENS Cch, «Cofusio etre les o() et les O() pour l covergece de séries.» Puisque l série (+)/ diverge, il e est demême de (l ) b. 3.3. Développemet déciml d u ombre réel positif (PSI) 3.3. Bref rppel sur les etiers Chcu sit, depuis l école primire, que l écriture (e bse ) = 7 5 sigifie que : = 5+ + +7 +. Si r, r,...,r k sot leschiffres de l écriture e bse de : k r j {,...,9} et = r j j L méthode suivtepermet de clculer leschiffres (r j ) jk : r i est le restedeldivisio euclidiee prdelprtieetièrede 3.3. L pproche epérimetle j= Lorsque o écrit p = 3,4 59 6..., oest certi que : i. 3+ + 4 + + 5 = 3,4 5 p 3+ + 4 + + 6 = 3,4 6. Ueversiomodere, e glis, pour reteir lespremières décimles de p : «How I wt drik, lcoholic of course, fter the hevy lectures ivolvig qutum mechics.all of thygeometry,herrplck, is firly hrd...» L propositio suivte v ous ideràcompredre cette ottio. Théorème Soit ( k ) k N ue suite d etiers comprisetre et 9. Alors : l série umérique k k est covergete; s somme s est iférieure ou égleà; pour tout de N, o: k= k k s k= k k +. Les ombres sot étudiés pr Euclide (eviro 64-546 v. J.-C.) ds les livres 7, 8 et 9 des Élémets. Ilyformule deombreuses propositios rithmétiques. Ldivisibilité est étudiée ds le livre 7, etlelivre 9 ous fourit ldémostrtio (ecore eseigée de os jours) de l eistece d ue ifiité de ombres premiers. Ce système de umértio, dit de positio, ous viet de l Ide, e psst pr les svts rbes pour rriver e Occidet u Moye-Âge. Voir le site : «Ahistory of Pi» àl dresse : www.groups.dcs.st-d.c.uk/ history/. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 7

Alyse PC-PSI Démostrtio L série k est ue série àtermes réels positifs et, pour tout k : k k 9 k. k Mjorée pr lsérie géométrique covergete 9, elle coverge. k De plus : s 9 k = 9 =. Efi, puisque l série k est àtermes positifs, s somme s vérifiepour tout k de N : k s k k + k k. k k= k= k=+ E utilist k 9 etlcovergece de l série 9 k, oobtiet : k=+ k k k=+ 9 k = 9 + =. Commet pprut l ottio p? Oughtred, e 647, utilis le symbole d/p pour oterlequotiet du dimètre d u cercle à s circoférece. Dvid Gregory, e 697, ot p/r le rpport de l circoférece d u cercle u ryo. Willim Joes, e 76, écrivit le premier lesymbole p vec s sigifictio ctuelle. Euler dopt ce symbole e 737. Il devit lors rpidemet ue ottio stdrd. p est l première lettre dumot grec sigifit «périmètre». 3.3.3 Deu suites distictes peuvet-elles représeter le même ombre? Soit ( ) et (b ) deusuites distictes de {,,...,9} N. L esemble {k N k = b k } est ue prtie o vide de N doc u plus petit élémet que ous otos N. Pour simplifierlrédctio, supposos N < b N. Alors qutre cs sot possibles : ) b N > + N. Ds ce cs : k= N k k = k k + + N N + k= k=n+ k k ; or: + k=n+ + k k k=n+ et dmet 9 k = N. Aisi, pr eemple :,3 459 999 9... =,3 46... Ici: N =5.,345bc... <,347def..., cr :,345bc...,346... <,347def... c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 8 Doc : D où: k= N k k k= k k + N N + N N < k= k= k k < b k k. k= ) b N = + N et il eiste m > tel que b N+m > Vous motrerez de même que : k= k k < b k k. k= b k k + b N N 3) b N = + N et ( k > b N+k = ) et ( m > N+m < 9). L coclusioest idetique. 4) b N = + N et ( k > b N+k = et N+k = 9). k= b k k.,345bc... <,346..., cr :,345bc...,346... <,346...,3458... <, 346..., cr :,3458... <,3459... =,346..

. Séries umériques Dscecs, l églité + k=n+ 9 k = permet de coclureque : N k= k k = b k k. k= O retrouve :,34599... =,346... E coclusio, les deu suites distictes ( ) et (b ) représetet le même ombre si, etseulemet si : ce ombre est udéciml : = b, b...b ; k b k = k l suite ( ) est défiiepr : b = + k> k = 9 L représettio =,... 999... est ppelée représettio décimle illimitée ou impropre de. Tout ombre déciml dmet doc deu représettios décimles,dot l ue est impropre. 3.3.4 U ombre réel o décimldmet ue représettio décimle Soit u réel,o déciml,de], ] et i le reste de l divisioeuclidiee de E( i ) pr. O motre pr récurrece que, pour tout i de N : i i = k i k + i + r i, r i [,[. k= Tout réel dmet doc ue représettiodécimle = i k k où : est le restedeldivisio euclidiee de E( i ) pr. Avec l TI : i = Mod(Floor(ˆ i ), ) 4 Séries de ombres réels ou complees 4.. Covergece des séries complees Théorème 3 Ue série u Pour s etrîer :e. 4. de complees coverge si, et seulemet si, les séries réelles Re (u ) et Im (u ) coverget. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 9

Alyse PC-PSI Démostrtio Soit u ue série de complees et S l suite des sommes prtielles ssociées. Pour tout de N, o S = u k= Re (u k)+i Im (u k). k= k= L covergece de l suite complee (S ) équivut àlcovergece des deu suites réelles : Re (u k) et Im (u k), k= doc àlcovergece des séries réelles Re (u ) et Im (u). Eemple: Nture de l série si() Itroduisos l série cos() et cosidéros l sériecomplee: k= k= cos() +i si() = e i. Il s git d ue série géométrique de riso ei. Or e i <, doc les trois séries coverget. Vous clculerez leurs sommes. 4.. Critère decuchy (PSI) Nous dmettos provisoiremet qu ue suite de Cuchy de réels Ue suite ( p ) deréels ou de complees est ppelée suite decuchy lorsqu elle vérifie l coditio: oudecompleescoverge. Ce résulttser bordé ds le chpitre, ds u cdre plus > N N (p,k) N (p N p+k p ). géérl. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Théorème 4 :CritèredeCuchypour lesséries L sériedeterme géérl (u k ) covergesi, et seulemet si : > N N (, p) N + p N u k Démostrtio k=+ Soit u ue série àtermes réels oucomplees. L série coverge si, et seulemet si, l suite (S ) des sommes prtielles coverge, doc si, etseulemet si, c est ue suite de Cuchy, c est-à-dire : > N N (,p) N N S +p S. L formule demdée e découle. 4.3. Séries lterées Pour s etrîer :e. 5. Ue série réelle, de terme géérl u,est dite lterée lorsque l suite ( ) u est desige costt. Rpport Mies-Pots, «Questios de coursuquellesles étudits ot ps su répodre :...critère de Cuchy pour l covergece desséries umériques...» Rpport X-ESPCI, «Lecritère de Cuchy estrremet utilisé oucité spotémet pour étudier lcovergece d ue suite ou d ue série.» Rpport X-ESPCI, «Utilistio busive du critère des séries lterées isi ( ) k k même lorsque <.»

. Séries umériques Théorème 5 :Critèrespécil des séries lterées Soit u ue série lterée telle que l suite ( u ) tede vers e décroisst. Alors l série u coverge. De plus,ssomme est comprise etre deu sommes prtielles cosécutives. Pour tout, R = u k est dusige de u + et R u +. Démostrtio + Soit u ue série lterée telle que l suite ( u ) tede vers edécroisst. Supposos, pour l démostrtio, que les termes u u + égtifs (doc. 4). +u soiet positifs et les termes Résultt effectif de mjortio du reste d ue série covergete, cette iéglité est très importte pour lesclculsumériques. Rpport Mies-Pots, 3 «Beucoup de cdidts peset que l somme d ue série lterée covergete est toujours du sige du premier terme ou que l vleur bsolue de so -ième reste prtiel est toujours mjorée pr l vleur bsolue du premier terme égligé, cel ss s être ssuré que le critère spécil étit vérifié.» +u 3 u + u =S S 3 S u =S +u Doc. 4. Critère spécil des séries lterées. Cosidéros lesdeu suites (S ) et (S +). L suite (S ) est décroisste, cr : S + S = u + + u + = u + u +. L suite (S +) est croisste, cr : Rpport Mies-Pots, «Lecritère spécilsurlessérieslterées est souvet cité mis l hypothèse deldécroissce àprtir d u certi rg du module du terme géérl delsérie est oubliée ou est ps vérifiée!l ecdremet qui e résulte est ps doé.» S + S = u + + u = u u +. S + S = u +, doc l différece ted vers. Lessuites (S ) et (S +) sot djcetes. Pr coséquet, lsuite (S ) des sommes prtielles coverge etslimite S est telle que : N S + S S. Les deu premiers poits sot démotrés. L iéglité obteue se trduit imméditemet sur les restes pr : Doc : N S R + u k = S S R. N R R + R est doc du sige de u + et R u +. O S + +u + R + S +u + R S S + Doc. 5. Critère spécil des séries lterées. Le théorème s pplique àue série u qui e vérifierit le critère qu à prtir d u certi rg N. Les iéglités cocert s somme et so reste e sot lors vérifiées qu à prtir du rg N. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

Alyse PC-PSI Eemple L série ( ) coverge, cr elle est lterée et l suite l() vers edécroisst. l() ted Pour s etrîer :e. 6. Applictio 3 SériedeRiem lterée ) Doer l ture de l série u, vec u = ( ) et est uréel. ( +) ) Lorsque =, clculer l somme de l série. ( ) + p 3) Doer l turedes séries, ( +) ( ) +. ) Cette série est lterée. Pour, le terme géérl e ted ps vers. L série estgrossièremet divergete. Pour >, l suite ( u ) ted vers edécroisst. Le critère spécil des séries lterées permet d ffirmer l covergece de l série. ) Clcul de l somme O : k= ( ) k k + = = k= ( ) +. ( t) k dt +t dt+ ( ) t + dt. +t Or : Doc : Avec Mple ( ) t + dt +t t + d t +. ( ) + = dt =l(). +t ËÙÑ ¹½µ Ò» Ò ½µ Ò¼ºº½¼¼µ ÚÐ ÙÑ ¹½µ Ò» Ò ½µ Ò¼ºº½¼¼µµµ ÚÐ ÐÒ ¾µµ = ( ) + =.69873694.6934786 3) L série ( ) + p pprît comme l ( +) somme d ue série covergete etd ue série divergete, elle diverge. ( ) + L série pprît comme l somme de deu séries covergetes,elle coverge. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 4.4. Séries de ombres réels ou complees bsolumet covergetes 4.4. Défiitio Ue série u est dite bsolumet covergete lorsque l série u coverge. Théorème 6 Toute série bsolumet covergete est covergete. De plus,olors : u u. Rpport Cetrle, 997 «Démotrer que l suite (S ) des sommes prtielles d ue série u estborée e suffitps pour pouvoirffirmerquel sérieest bsolumet covergete.»

. Séries umériques Démostrtio Soit u ue série àtermes réels telle que l série u coverge. Remrquos que : u u u. Nous e déduisos : u + u u, puis lcovergece de l série u. Ue série covergete, mis o bsolumet covergete, est dite semicovergete. Aisi,lsérie ( ) est semi-covergete. Eemples :Trois séries Pour s etrîer :e. 7 et 8. L série ( ). Elle vérifie le critère spécil des séries lterées,doc coverge. L série Les séries ( ) +( ). ( ) = ( ) + ( ) +( ) ( ), coverget. L série ( ) +( ) L série ( ) +( ). = ( ) + O. 3/ 3/ 3/, ( ) ( ) + +( ) 3/ covergeett que somme de séries covergetes. ( ) +( ) = ( ) + ( ) = ( ) + O. 3/ L covergece de l série ( ), etldivergece de l série permettet de coclureàl divergece de l série ( ). +( ) 4.4. Eemples clssiques 4.4.. L série géométrique L série z est bsolumet covergete si, et seulemet si, z < s somme est lors z. E outre, si z, l série diverge grossièremet. Cette série est jmis semi-covergete. Pour démotrer l covergece bsoluedelsérie u, ous disposos de tous les outils étudiés plus tôt cocert l covergece des séries àtermes positifset, e prticulier,lrègle de d Alembert, le théorème de compriso de séries àtermes positifs etlcompriso vec ue itégrle. Rpport Mies-Pots, «Pour des séries dot le terme géérl ps u sige costt, il y ps que l covergece bsolue oulecritère spécil des séries lterées :pr eemple il est possible d utiliser u développemet symptotique du terme géérl.» 3 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

Alyse PC-PSI 4.4.. L foctio epoetielle complee R si = R e = ( ) p p+ (p +)!! et cos = ( ) p p (p)! L série z est lsérie réelle covergete de somme e z. Pour tout! complee z, lsérie complee z est bsolumet covergete. O peut! lors défiir l foctio epoetielle : C C ep : z ep(z) = e z = z! E prticulier, pour u réel quelcoque, clculos e i : e i = (i )! = ( ) p p ( p)! +i ( ) p p+ = cos +isi ( p +)! Ceci justifie l défiitio itroduite e Première ée : R e i = cos +isi c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 4 4.4..3 Séries de Riem lterées Il s git des séries de l forme ( ) u, vec u = ( R). L série u est bsolumet covergete si, et seulemet si, > et, ds ce cs, eséprt lestermes de rg pir et les termes de rg impir : ( ) = (p) = ( ) Elle estgrossièremet divergete si, et semi-covergetesi<, ce que ous vos déjà étbli e utilist le critère spécil des séries lterées (doc. 6). 4.4.3 Produit de deu séries bsolumet covergetes O ppelle produit de Cuchy de deu séries u et v l série de terme géérl w = u p v q. (doc. 7.) p+q= p divergece grossière ] < Semicovergece [ > bsolue covergece Doc. 6. Séries deriem lterées : ( ). q p+= q 3 p Doc. 7. w = u p v q. p+q=

. Séries umériques Théorème 7 Soit u et v deu séries umériques bsolumet covergetes de sommes U et V. Alors,lsérie w défiiepr w = u p v q est bsolumet covergeteetdesomme UV. p+q= Rpport Mies-Pots, «Très muvise coissce du produitdecuchy de deu séries.» Démostrtio Étpe :U prélimiire sur les idices k w k = u i v k i = u i v j k= k= i= Étpe :Le cs des séries àtermes positifs i+ j Si ( ) et (b ) sot deu suites deréelspositifs, et A et B deu prties fiies de N telles que A B, ilest clir que : i b j i b j.oedéduit l double iéglité : i b j i+ j Si l o ote lors g k = d écrire, epost S = (i, j) [, ] i b j = (i, j) B i = i j = (i, j) A b j i + j i b j () k i b k i, l iéglité () et l première étpe permettet i= u k, pour toute suite u : k= S (g) S () S (b) S (g). O e déduit isémet que, si et b sot deu séries covergetes à termes positifs, lors l série produit de Cuchy de ces deu séries, otée g, est covergete et, de plus, pour les sommes : b = g. Étpe 3:Covergece bsolue de l série produit sot supposées bsolumet cover- Les deu séries complees u et getes. où l o oté g v. N w v u i v i =g () i= le terme géérl de l série produit decuchy de u et de D près l deuième étpe, l série g que l série w coverge. Doc l série w Étpe 4:Vleur de l somme de l série produit Il reste à prouver que : c est-à-dire que u v = lim S(u)S(v) S(w) =. + est covergete etl iéglité () prouve est bsolumet covergete. w L hypothèse decovergece bsolueest fodmetle. E effet, cosidéros les séries de termes gééru u et v vec : u = v = ( ) + Ces séries sot semicovergetes. L série produit de Cuchy est lsérie w, vec : w = u p v q p+q= = p+q= =( ) ( ) p ( ) q p + q + p+q= (p +)(q +) E utilist : b ( +b ), o e déduit: w p+q= = p+q= p+q+ + =+ +. L série w est grossièremet divergete. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5

Alyse PC-PSI O peut écrire : S (u)s (v) S (w) = u i i= j= v j k u iv k i k= i= = u i v j u i v j = (i,j) [, ] i + j (i, j ) [, ] <i + j u i v j. (i, j ) [, ] <i + j Refist le trviliverse sur les idices, o peut écrire : S (u) S (v) S (w) u i v j u i v j (i, j) [, ] i+j u i v j et, eott u =, v = b et u i v i =g, ceci deviet : i= S (u) S (v) S (w) S () S (b) S (g). L deuième étpe permet de coclure. Eemple:L foctioepoetielle complee Pour s etrîer :e. 9. Nous vos prologé à C l foctioepoetielle réelle.motros que : (z, z ) C e z+z = e z e z O sit que e z z z = et e z = et que ces séries sot bsolumet!! covergetes.doc, leur produitdecuchy coverge.clculos-le. E coservtles ottios du théorème : w = p+q= z p z q p! q! =! p+q=! p! q! z p z q =! p= z p z p = (z + z ). p! c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit D où le résultt. Applictio 4 Trsformtio de ) Motrer que, si z est ucomplee demodule < et p u etier turel, l série + p z est bsolumet covergete, de p somme ( z) p+. e somme de séries ( z) p+ ) Motrerque,si esturéel >fié, pour tout complee z de module <, o : ( z) (p+) = + p p z (p++). 6

. Séries umériques ) Soit z tel que z < et p u etier turel. Motros que l série + p z estbsolumet covergetedesomme p ( z) p+. Procédos pr récurrece sur p. Pour p = et z < : z = z. Supposos que, pour u certi p, et pour tout z de modulestrictemet iférieur à, oit l série + p z bsolumet covergete p de somme ( z) p+. Les deu séries z + p et z sot p bsolumet covergetes, desommes respectives et. Nous pouvos ppliquer le z ( z) p+ théorème et e déduire que l série produitdecuchy de z et + p z covergebsolumet vers p ( z) p+. Clculos-l, e ppelt w soterme géérl : w = i+ j= j + p z i z j = z p i+ j= j + p p = 5 3 4 5 6 7 8 9 3 6 36 p = 4 4 5 5 5 6 35 35 7 8 56 7 56 8 84 6 6 84 Doc. 8. Le trigledepscl. Vous vérifierez, pr récurrece sur que, pour tous etiersturels et p : + p + j+p =. p+ p j= et e déduirez : + p + w = z. p+ L récurrece est chevée. ) Plusgéérlemet,si C, pour z < : ( z) (p+) = + p z p (p++) E effet, soit z tel que z <, lors o : z <, et o peut ppliquer le résultt précédet. 8 36 9 4.5. Étude de suites à l ide des séries. L formule de Stirlig 4.5. Commet motrer que l suite ( ) coverge? O pose u =. L suite ( ) covergesi, et seulemet si, lsérie u coverge. Jmes Stirlig (69-77), mthémticie britique, publie, e 73, Methodus differetilis. Ily trite des séries, des sommtios e utilist des méthodes différetielles. 4.5. Commet motrer que l suite réelle ( ) coverge vers =? E post = sg(), u-delà d u certi rg, o doit voir strictemet positif.ilsuffit de motrer que l suite (l( )) coverge. Pour cel, étudios l série determe géérl : u = l( ) l( ) = l L suite réelle ( ) dmet ue limite o ulle si, etseulemet si, lsérie l coverge. Pour s etrîer :e.. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 7

Alyse PC-PSI Applictio 5 L formule de Stirlig c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit O pose: et : u =! +/ e w = l(u + ) l(u ). ) Étudier l série w. ) E déduire que l suite (u ) coverge vers u réel >. 3) Détermier e utilistl formule de Wllis : p +/ (!) +()! 4) Étblir l formule de Stirlig:! p +/ e. E déduire que l(!) l(). ) Clculos w. u+ w = l u = + + = + + = O. Doc l série w l + +O coverge. 3 ) L covergece de l série etrîe l eistece d ue limite L pour l suite l(u ). Doc l suite (u ) dmet ussi ue limite (pr cotiuité de l epoetielle)etcette limite est e L = >. Théorème 8 Formule de Stirlig:! p +/ e. 3) lim + u = se trduitpr :! +/ e Substituos, ds l formule de Wllis, les équivletsobteus pour! et ()!. O obtiet : et : p! p +/ e 4) Puisque! ted vers +, opeut écrire : l(!) l( p +/ e ) Or : l p +/ e = l p + + l() l(). Joh Wllis (66-73), mthémticie britique. Ds so Arithmetic ifiitorum (656), ilclcule les itégrles p cos t d t, p si t d t etedéduit u développemet de p e produit ifii : p = 4 4 6 6 3 3 5 5 7 8

. Séries umériques Pour motrer qu ue série àtermes positifs u coverge,opeut: motrer que l suite (S ) des sommesprtielles est mjorée ; chercher ue suite (v ) telle que :( u v et v coverge); chercher ue suite (v ) àtermespositifstelle que :(u =O(v ) et v coverge); chercher ue suite (v ) telle que :(u v et v coverge); clculer u développemet limité de u ; comprer u àue itégrledefoctiopositive décroisste; utiliser l règleded Alembert. Pour motrer qu ue série àtermes positifs u diverge,opeut: motrer que l suite (S ) des sommes prtielles estps mjorée ; chercher uesuite (v ) telle que :(v u et v diverge); chercher uesuite (v ) àtermespositifstelle que :(v =O(u ) et v diverge) ; chercher uesuite (v ) telle que :(u v et v diverge) ; comprer u àue itégrledefoctiopositive décroisste; utiliser l règleded Alembert. Pour motrer qu ue série àtermes complees u coverge,opeut: si l série est lterée, regrder si elle stisfit lecritèrespécil desséries lterées ; regrder si l série est bsolumet covergete(voir méthodes ci-dessusppliquées à u ); clculer l somme prtielle S et étudierlsuite (S ); regrder si l série vérifie le critère de Cuchy des séries. Pour mjorerlvleur bsolue du reste R = + k=+ u k d uesérie covergete : si l série est àtermespositifsdelforme u = f () vec f décroisste, lors : N+ lim N + + f R N lim N + si l série est lterée et vérifie le critère spécil, lors R u + ; si u peut être mjorée prue suite géométrique (cr ), vec r ], [, lors : R f cr + ( r). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 9

Alyse PC-PSI Eercice résolu Procédé d ccélértio de covergece ÉNONCÉ Le butdecet eercice est leclcul d ue vleur pprochée de S = Nous oteros S = k, et R = + k.. ) Mjortio du resteetpremièrepproimtio de S ) Motrerque, pour tout, + R = + k () b) E déduire ue vleur pprochée de S à 3 près. ) L ccélértio de l covergece, le pricipe Des iéglités (),ous déduisos : R, doc : R = o, soit (S S ) = o. Aisi, lors que S fouritue vleur pprochée de S vec ue erreur de l ordre de, lqutité corrigée S + ous doeue vleur pprochée de S vec ue erreur égligebledevt. E joutt u terme correctif à S, ous vos «ccéléré»lcovergece. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit L epérimettio Nous dmettros, ds cet eercice, que l vleur ecte de S est vitessesdecovergece lors du clcul de S pr S et pr S +. ) Clculer S, S + p, 6 L mjortio de l erreur b) Prouver que : R = k=+ pour =, k (k ) et. Que costtez-vous? p. Ce résultt ser utilisé pour comprer les 6 E déduireque S + est ue pproimtiopr ecès de S (que dire de S?). c) Motrer que l erreur commise e pproimt S pr S + est mjorée pr l. E déduire que, pour, S S +. d) Détermieruéquivlet de R () 3

. Séries umériques CONSEILS Les formules suivtes serot utiles. k+ k d t k t k d t k t. = k k k=+ Sur lti, k, k,, S() et presser l touche «Dimt» vt «Eter»pour lcer le clcul umérique. Peser que : k k (k ) d t k t (t ). SOLUTION ) ) Pour tout etier k : k k+ k + = d t k t k k k d t t = k k O e déduit: + R. b) D près ), S S. Le clcul de S =,6439... pred secodes eviro surlti. Ce clcul doe ue vleur pprochée de S à 3 près. ) ) Les deu écrs ci-cotre cofirmet que, pour =, et, S pproche S vec ue précisio de. De plus, S S + 5 3, S S + 5 5, S S + 5 7. b) R = k + k = k k (k ). + k=+ k=+ Doc : S S + <. Ceci prouveque S + estue pproimtio precès de S. De plus,lsuite (S ) est croisste, doc S est ue pproimtiopr défutde S. c) R = k. Pour tout etier k : (k ) + k k (k ) d t k t (t ) l + k t t k Aisi: R = k (k ) l. + Pour coclure:, l( )++. L iéglité S S + e découle. k+ d t d) L iéglité k t (t ) k, est imméditeetetrîe : (k ) l + R l + + +. Cet ecdremet permet de démotrer que : R. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3

Eercices Étudier l covergece et clculer l somme des séries de terme géérl suivt : ) u = Arct ) u = 4 + +. Motrer que (5 + 4 + )(5 4 ) = 4. E les comprt à des séries de Riem, idiquer l ture des séries : ) l ; ) l ; 3) (l ) 3. Doer l ture de l série de terme géérl : ) u = k. ) v = k 4 + Doer l ture et, e cs de covergece, clculer l somme des séries de termegéérl : ) + + ; ) u = l cos, p Nture et somme de l série de terme géérl : p/ u = ( ) cos d.. ) 3) Nture des séries de termegéérl : ( +) ( R); ) (b > ) ; 4) ( + b k ) Nture de l série : 3 + ++. Doer s somme à 4 près. ( R); ( +) + r (r > ). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Soit (u ) ue suite àtermes positifs telle que : Motrer que l série u lim u = +. coverge. O cosidère deu séries u et v àtermes strictemetpositifs et o suppose que v pour tout, o u+ u v+ v. Motrer lcovergece de u. coverge etque, Motrerque l série ( / ) covergeelcomprt àue série géométrique. ) si Nture de l série ( ) u, vec u = +( ). l Nture des séries de terme géérl : ; ) Arccos /. 3 (PSI) ) Écrire,sous forme rtioelle, leréel : =,3 456 456 456... que ous oteros,3 456. ) Doer le développemet déciml de 4 et vérifier qu ilest 7 périodique. 3) Motrer qu u ombre réel o déciml estu rtioel si,et seulemet si,s représettio décimle est périodique à prtir d u certi rg. (PSI) ) Motrerque, si (u ) est ue suite décroisste telle que l série u coverge, lors u = o. ) L réciproque est-elle ecte? Pour chcue des séries suivtes :justifier l covergece ;préciser tel que S S ; edéduire u ecdremet de S de logueur. ) u = ( ) + ; ( ) ) u = 3 + ; Soit ue série àtermes complees bsolumet covergete. Motrer que l série est bsolumet covergete. 3

. Séries umériques Étudier les sériesdeterme géérl : 3 3 ) u = + +. + + ) u = (discuter suivt z). +z Motrer lcovergece et doer l somme de l série de terme géérl w = p ( p)!. Soit u = k= + ( )k. k Étudier l suite u, puis lsérie u. Soit (u ) ue suite de réels >. u O pose v = ( + u )( + u )...( + u. ) Motrerque : ) l série v coverge etclculer s somme ; ) v = si, et seulemet si, lsérie u diverge. * Soit ue suite (), àtermes >, telle que l série diverge. O ote (S ) lsuite des sommes prtielles. ) Motrer que l série S ) Motrer que l série S diverge. coverge. ** e i O cosidère l série, étt u réel fié de ],p[. ) Motrer que cette série coverge. ) Clculer s somme. 3) E déduire l covergece et l somme des séries : cos si et. * Soit (u) ue suite strictemet croisste deréels >, divergete, telle que l suite (u + u ) soit borée. u k u k Motrer que l(u ). u k Préciser l ture de l série de terme géérl : ( ) u =, efoctio de et b. +( ) b * ) Soit u ue série àtermes positifs, covergete et R = u k. + Motrer que les séries u et R sot de même ture. ) Lorsque ces séries coverget, doer ue reltio etre les sommes. série : * ) Motrer l covergece et clculer l somme de l ( ) k (k +) ) E déduire l turedelsérie de termegéérl : ( ) k u = l t (k +) ** Motrerque l série ( ) O ote S s somme. +( ) + coverge. Détermier N pour que S S N+. E déduire ue vleur pprochée de l somme à près. ) Motrerque, pour tout ds N, l équtio t = ue uique rcie ds l itervlle : p + p, p + p. ) Doer u développemet symptotique de à trois termes. Comprer vec le développemet fouri pr Mple. 3) O pose u = p + p. Étudier l ture des séries u, ( ) u ( > ) et cos m ( ) (m N ). ** Soit (u) ue suite positive. Opose : u + u+ + +u v = et o ote S (u) et S (v) les sommes prtielles des séries u et v. ) Motrer que, pour tout, ileiste réels de [, ] tels que : S (v) = k, u k. k= E déduire que, si l série u coverge, lors lsérie v coverge. ) Prouver que : k [[, ]] k,. E déduire que lesséries u et v sot de même ture. 33 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

Alyse PC-PSI (D près Nvle, 99.) ) Soit ( ) ue suite de réels > telle que l série divergeet (b ) ue suite de complees.oote S (b), S () lessommes prtielles des séries b et. ) O suppose que b = o( ). Motrer que : S (b) = o(s ()). b) Les b sot des réels > etles suites ( ) et (b ) sot supposées équivletes. Motrer que lessuites (S (b)) et (S ()) sot équivletes. c) E déduire u équivlet de k. u + ) ) Motrer que, si (u ) est le terme géérl d ue série positive et que, pour, = l + v, où v est le u termegéérl d ue série bsolumet covergete, lors : u+ l = l + w, est le terme géérl d ue série bsolumet cover- où w gete. u b) E déduire qu il eiste A > tel que u A l. c) Étudier l série de terme géérl : u = 3 ( ) 4 ( +). ** Soit u ue série covergete àtermes positifs, de somme S. Étudier : ) l série v, vec v = u k. E cs de covergece, doer l somme ; ) l série w, vec w = ( +) 3) l série, vec = u k. (O pourr clculer (k +) k k k ku k ; et cosidérer ( +).) c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 34

Espces vectoriels ormés L démrcheque ous vous proposos est illustrée pr cet etrit de l itroductio de l thèse de Stef Bch (9)qui fode l théorie des espces vectorielsormés : «L ouvrge préset pour butd étblir quelques théorèmes vlbles pour différets chmps foctioels,que je spécifieds l suite. Toutefois, fi de e ps êtreobligédeles démotrer isolémet pour chque chmp prticulier, ce qui serit bie péible, j i choisi uevoie différete que voici :jecosidère d ue fço géérle les esembles d élémets dot je postule certies propriétés, j e déduis des théorèmes et je démotre esuite de chque chmp foctioelprticulier queles postults doptés sot vrispour lui.» Vous vez défii, e Première ée,lstructure d espce vectoriel qui eglobe ussi bie R que des espces de suites et de foctios. Vous vez églemet étudié lessuites et les foctios à vleursréellesoucomplees. Ds le butd étedreles otios de covergece et de limite àdes suitesetdes foctios àvleurs vectorielles, ous llos, ds ce chpitreetles suivts, itroduiredifféretes otios. O B J E C T I F S Étude des propriétés fodmetles des espcesvectoriels ormés. Notiodesuite covergete. Compriso des ormes sur u espce vectoriel. Étude du cs prticulierd u espce vectoriel ormédedimesiofiie. Suites de Cuchy (PSI). Quelques otios topologiques. Compriso dessuites. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 35

Alyse PC-PSI Dstout le chpitre, K désige R ou C et E, F sot des espces vectorielssur K. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 36 Norme et distce.. Défiitio d ue orme Ue pplictio N du K -espce vectoriel E ds R vérifit les qutre propriétés suivtesest ppelée orme sur E. ) E N() ) E N() = = E 3) (l, ) K E N(l) = l N() 4) (, y) E E N( + y) N()+N(y) U espce vectoriel E mui d ue orme N est ppelé espce vectoriel ormé et oté (E,N). Ue orme suruespce vectoriel E ser prfoisussi otée. L espce vectoriel ormé est lors oté (E,). Si F est usous-espce vectoriel de E, lrestrictio delorme N à F muit F d ue structure d espce vectoriel ormé. U vecteur de orme est dit uitire. Pour tout vecteur o ul de (E, ),le vecteur.. Quelques eemples de ormes.. E = C([,b],K) Pour tout f de E, odéfiit f = est ue orme sur E. b est uitire. Pour s etrîer :e. et. f (t) d t. L pplictio E effet, f est ue foctio cotiue et positive, l implictio ( f = f = ) e découle... E = K Pour tout = (,..., ) de E, opose: N ()= i et N () = m { i,i}. Les deu pplictios N et N sot des ormes sur K. Nous vous lissos le soi de le cotrôler. De plus,si K=R, vous vez vu e Premièreée que l pplictio: E E R (,y) y = i y i est uproduitsclire sur E. Rpport X-ESPCI, «Qut à l emploi de l iéglité trigulire, ils ccompge souvet de rccourcis icorrects, voired erreurs.» Ue orme N sur E vérifie doc l propriété: (,y) E E N() N(y) N( y) Cette iéglité et l iéglité 4) cidessus géérliset l propriété bie coue : «Ds u trigle, l logueur de chque côté est iférieure à l somme des deu utres côtésetsupérieure àleur différece (doc. et).» L propriété 4) estppelée iéglitétrigulire. y Doc.. Doc.. y z y