RESOLUTION D EQUATIONS DIFFERENTIELLES APPLICATION EN SCIENCES PHYSIQUES Sommaire I- Equaions différenielles du premier ordre I-1- Résoluion des équaions du ype : a f () + f() = g() I-- Exemple de résoluion : circui élecrique II- Equaions différenielles du second ordre II-1- Résoluion des équaions du ype : a f () + b f () + c f() = g() II-- Exemple de résoluion : oscillaion mécanique I- Equaions différenielles du premier ordre On s inéresse aux équaions du ype : a f () + f() = g() f() une foncion d une variable réelle df f '() = = f& la dérivée de la foncion f par rappor à la variable g() une foncion d une variable réelle a une consane réelle (a 0) I-1- Résoluion a e g() éan données, le problème es de rouver la ou les foncions f() qui vérifien l équaion différenielle. La résoluion se fai en deux paries : a) Recherche de la soluion de l équaion associée : a f () + f() = 0 (c es l équaion sans second membre) En mahémaique, on monre que la soluion de l équaion a f () + f() = 0 es : a f() = k e avec k une consane qui dépend des condiions iniiales. b) Recherche d une soluion pariculière de l équaion générale : a f () + f() = g() (c es l équaion avec second membre) La soluion générale es la somme de la soluion de l équaion associée e de la soluion pariculière. IUT de Nancy-Brabois hp://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 1/6
I-- Exemple de résoluion : circui élecrique u() es la ension élecrique aux bornes d un condensaeur C alimené à ravers une résisance R sous une ension consane E : R E C u() du() Les lois de l Elecricié indiquen que : RC + u() = E Cherchons mainenan la loi d évoluion de la ension élecrique u() : du() - Recherche de la soluion de l équaion associée : RC + u() = 0 u() = k e RC avec k une consane qui dépend des condiions iniiales. du() - Recherche de la soluion pariculière de l équaion générale : RC + u() = E u() pariculière = E RC - Soluion générale : u() = u() + u() pariculière = k e + E En prenan comme condiion iniiale u( = 0) = 0 V (condensaeur déchargé) alors : k = - E Finalemen : RC u() = E 1- e u() x E 1 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 1 3 4 5 6 7 8 x RC IUT de Nancy-Brabois hp://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page /6
Remarques τ = RC es la consane de emps du circui élecrique. Après 3τ, le condensaeur es chargé à 95 %. La soluion pariculière correspond au régime permanen : u( ) = E (le condensaeur es chargé à 100 %). La soluion de l équaion correspond au régime ransioire : u() = -E e RC On vérifie que le régime ransioire disparaî : u( ) 0 V IUT de Nancy-Brabois hp://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 3/6
II- Equaions différenielles du second ordre On s inéresse aux équaions du ype : a f () + b f () + c f() = g() f() une foncion d une variable réelle df f '() = = f& la dérivée de la foncion f par rappor à la variable d f f '' () = = && f la dérivée deuxième de la foncion f par rappor à la variable g() une foncion d une variable réelle a, b e c des consanes réelles (a 0) II-1- Résoluion Comme précédemmen, la soluion générale es la somme de la soluion de l équaion sans second membre e de la soluion pariculière. a) Recherche de la soluion de l équaion associée : a f () + b f () + c f() = 0 On défini l équaion caracérisique : a r + b r + c = 0 don il fau chercher les racines. Trois possibiliés se présenen suivan la valeur du discriminan : = b - 4ac > 0 : deux racines réelles disinces r 1 e r. La soluion es alors : f() r r 1 b + = a b = a = A e r r 1 + B e = 0 : une racine double réelle r. La soluion es alors : f() = ( A + B) e r = b a < 0 : deux racines complexes conjuguées : r = α ± βj α f() = e A cos( β ) + B sin( β ) La soluion es alors : [ ] b α = a β = a r IUT de Nancy-Brabois hp://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 4/6
A e B son deux consanes réelles qui dépenden des condiions iniiales. b) Recherche d une soluion pariculière de l équaion : a f () + b f () + c f() = g() II-- Exemple de résoluion : oscillaion mécanique Considérons une masse m suspendue à un ressor de consane de raideur k. x désigne la posiion de la masse par rappor à sa posiion d équilibre. Le froemen es supposé proporionnel à la viesse v = x (). λ es le coefficien de froemen (λ > 0) m 0 (posiion d équilibre) x Les lois de la Mécanique du mouvemen nous indiquen que : m x () + λ x () + k x() = 0 - Résoluion de l équaion différenielle : Equaion caracérisique : m r + λ r + k = 0 Discriminan : = λ - 4mk Si le coefficien de froemen λ es suffisammen faible, nous sommes dans le cas < 0 e nous avons deux racines complexes conjuguées : λ r = - ± j m m Soluion générale : x() = e λ m A cos m + B sin m - Condiions iniiales : A l insan = 0, on pousse la masse vers le bas à la viesse v (la masse éan iniialemen dans sa posiion d équilibre) : x( = 0) = 0 e x ( = 0) = v IUT de Nancy-Brabois hp://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 5/6
d où : A = 0 e B = mv En définiive : x() = mv e λ m sin m Il s agi d un mouvemen oscillaoire amori (la masse rerouve sa posiion d équilibre après une série d oscillaions) : x() (C) Fabrice Sincère IUT de Nancy-Brabois hp://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 6/6