SUITES ET SÉRIES 7 2. Suites et séries 2.. Suites Défiitio Exemples Liste u = 5, u 2 = 8, u 3 = 4, u 4 =, Formule u = 2 ; 4 ; 9 ; 6 ; Récurrece { u = 2 u = 2u Ue suite réelle est ue liste ordoée (ou liste umérotée) de ombres réels, appelés termes. La suite {u ; u 2 ; u 3 ; } est aussi otée (u ). Ue suite peut être détermiée : par la liste de tous ses termes (s'il 'y a pas de règle de formatio) par ue formule qui doe u par rapport à (doer f() = u ) par récurrece : le deuxième terme de la suite est doé e foctio du premier, le troisième e foctio du deuxième, et aisi de suite. O peut aussi représeter ue suite par u dessi : 2 ; 5 ; ; 23 ;... 0.8 0.6 Représetatio de la suite u = 0.4 0.2 5 6 7 8 9 0 Défiitios Rappel des otatios : il existe, : pour tout Exercice 2. Covergece Ue suite est croissate si u u +, N *. Ue suite est décroissate si u u +, N *. Ue suite est strictemet croissate si u < u +, N *. Ue suite est strictemet décroissate si u > u +, N *. Ue suite est mootoe si elle est soit croissate, soit décroissate. Ue suite est alterée si ses termes sot alterativemet positifs et égatifs. Ue suite est majorée si u réel α tel que etier N *, u α. Ue suite est miorée si u réel α tel que etier N *, u α. Ue suite est borée si elle est majorée et miorée. Pour détermier si ue suite est croissate ou décroissate, il faut étudier le sige de la différece (u + u ), ou comparer u u avec. Les suites ci-dessous sot-elles croissates, décroissates? a. ; ; ; ; b. u = 3 5 2 c. u = 2 O dit qu'ue suite (u ) est covergete si elle admet ue limite réelle e +, autremet dit si lim u =L R. Si elle existe, la limite d'ue suite est uique. Si ue suite 'est pas covergete, elle est divergete. Didier Müller - LCP - 206 Suites et séries
8 CHAPITRE 2 Théorème 2. a. Toute suite mootoe et borée coverge. b. Toute suite covergete est borée. c. Soit (u ) ue suite covergete vers a et (v ) ue suite covergete vers b. Alors (u + v ) coverge vers (a + b) (u v ) coverge vers (a b) u v coverge vers a b (λ u ) coverge vers (λ a) Exercice 2.2 Motrez que : 2 a. lim 3 =2 b. lim =0 2 Exercice 2.3 Exercice 2.4 Exercice 2.5 Les suites suivates sot-elles covergetes? Si oui, vers quelle valeur? a. 23 d. l b. 2 2 e. l c. ( ) f.! Étudiez la covergece des suites dot o doe le terme gééral : a. d. 2 2 b. e. 4 2 2 4 c. a, 0 < a < f. 2 6 2 a, a > Soit (u ) ue suite telle que la suite ( u ) coverge. Peut-o e déduire que (u ) coverge? Exercice 2.6 O défiit la suite de terme gééral v de la faço suivate : { v = v = 2 v a. Motrez que 0 < v < 4 pour tout strictemet positif. b. O pose 4 v = w. Démotrez que w + < 4 w. c. Déduisez-e que la suite coverge et calculez la limite de w. d. Doez la limite de v, lorsque ted vers l'ifii. Exercice 2.7 Expliquez pourquoi ce dessi doe visuellemet la répose de l'ex. 2.6. Suites et séries Didier Müller - LCP - 206
SUITES ET SÉRIES 9 Exercice 2.8 Héro d'alexadrie, savat grec du er siècle après J.-C., a iveté u algorithme qui permet de s'approcher très vite de la racie carrée d'u ombre réel m positif, e itérat la formule récursive : {u = m,m u = 2 u m u Utilisez et justifiez cet algorithme. Exercice 2.9 De ombreux algorithmes itératifs sot fodés sur des suites du type { u = a valeur iitiale u = f u,pour La foctio b. (appelée logistique) modélise quelques situatios d'équilibre. O la retrouve e particulier das les systèmes proies-prédateurs. Suite de Syracuse Syracuse est ici le om d'ue ville uiversitaire américaie (New York). Vous pourrez étudier cette suite sur le web. Exercice 2.0 où f est ue foctio réelle d'ue variable réelle. Observez sur u ordiateur que : a. si f(x) = cos(x), la suite covergera vers la solutio de l'équatio cos(x) = x b. si f(x) = 4x( x) et u ]0;], la suite aura u comportemet chaotique. La suite de Syracuse est défiie par : * = a N {x {x x = si x 2 est pair 3 x si x est impair La cojecture de Syracuse dit que cette suite se termie toujours par le cycle 4, 2,. Il 'existe pour l'istat aucue démostratio. O cosidère deux suites (u ) et (v ) défiies simultaémet > 0 par u =! 2!!, v =u! Motrez que : a. N *, u < v b. (u ) est croissate c. (v ) est décroissate d. lim u v =0 e. La limite commue de ces deux suites est le ombre e. Motrez par l'absurde que e est irratioel (procédez par ecadremet). Nombres pseudoaléatoires U ordiateur e sait pas géérer du hasard. Il costruit e fait ue suite de ombres etiers qui a l'apparece du hasard, mais qui est tout à fait détermiiste. Par exemple, la suite suivate est courammet utilisée : u + = (u 6807) mod (2 3 ) Ces ombres sot esuite divisés par 2 3, pour obteir des ombres das l'itervalle [0 ; [. Didier Müller - LCP - 206 Suites et séries
0 CHAPITRE 2 2.2. Séries Défiitio Exercice 2. Exercice 2.2 Soit (u k ) ue suite ifiie et s = u + u 2 + + u = u k. O appelle série de terme gééral u k la suite (s ). s est la -ième somme partielle de la série. Écrivez la quatrième somme partielle des séries suivates : 2 a. = 2 3 2 b. = 2 k = c. Doez ue expressio du terme gééral des séries suivates : a. 3 5 7 b. 2 2 3 4 4 8 k =0 k 2k k! 2.3. Covergece des séries c. 2 4 6 7 0 0 4 d. 4 0 9 7 6 26 25 37 36 50 e. 2 3 2 4 3 5 2 4 6 3 5 7 2 4 6 8 Si la suite (s ) coverge, o dit que la série de terme gééral u k coverge et, das ce cas, la limite de la suite (s ) s'appelle somme de la série et o la ote : u k. Ue série qui e coverge pas diverge. Calculer la somme exacte d'ue série est, e gééral, ue tâche difficile. Voilà pourquoi ous allos ous itéresser à des tests qui permettet de savoir si ue série est covergete ou divergete, sas e calculer explicitemet la somme. k = Théorème 2.2 Si lim u k 0, alors la série k k = Par cotraposée, si la série k = u k diverge. u k est covergete, alors lim u k =0. k La réciproque 'est e gééral pas vraie. Si lim u k =0, o e peut pas coclure que u k coverge. k = Motros que la série harmoique k = k diverge. k O cherche ue série qui est iférieure à la série harmoique et qui diverge. Cela implique que la série harmoique diverge aussi. k = k = 2 3 4 5 6 7 8 9 0... > 2 4 4 8 8 8 8 6 6... = 2 4 4 8 8 8 8... 6 32... 32... 2 termes 4 termes 8 termes 6 termes = 2 2 2 2 2 Suites et séries Didier Müller - LCP - 206
SUITES ET SÉRIES s 2 m est la somme partielle des 2 m premiers termes de la série harmoique. Exercice 2.3 Exercice 2.4 Série alterée Exemple Théorème 2.3 Doc, s 2 mm 2. Ceci motre que s 2 m lorsque m. Il s'esuit que (s ) diverge. Pourtat k 0. Motrez que la série = Démotrez que la série 2 = 5 2 4 diverge. est covergete et calculez sa somme. Q.E.D Ue série alterée est ue série dot les termes sot alterativemet positifs et égatifs. k = k k = 2 3 4 5 6 7 8 9 0... Soit la somme d'ue suite alterée s= k b k, avec b k > 0 Si la série alterée satisfait a. 0 < b k+ < b k, k N * b. lim b k =0 k alors la série est covergete. k = La première somme partielle s = b est positive. La deuxième s 2 = b b 2 est ecore positive, car b 2 < b. La somme suivate s 2 = b b 2 +b 3 se trouve à droite de s 2, mais à gauche de s. Les sommes partielles oscillet vers l'avat et vers l'arrière, et, puisque la distace etre elles ted vers zéro, elles fiisset par coverger. Exercice 2.5 Exercice 2.6 Exercice 2.7 La série harmoique alterée k k coverge-t-elle? La série k 3 k k = 4 k k = coverge-t-elle? La série k k 2 k = k 3 coverge-t-elle? Covergece absolue Théorème 2.4 Ue série u k est dite absolumet covergete lorsque la série des valeurs absolues k = k = u k est covergete. Si ue série u k est absolumet covergete, alors elle est covergete. k = La réciproque 'est pas vraie. E effet, la série harmoique alterée coverge, mais pas la série harmoique. Didier Müller - LCP - 206 Suites et séries
2 CHAPITRE 2 Démostratio Ue des propriétés de la valeur absolue est a + b a + b. O peut la gééraliser pour obteir : u k= k k = u k. Comme la série est absolumet covergete, u k = s R, la suite u k est réelle k = et comprise etre s et s. Elle est doc covergete. k = Test de comparaiso L'emploi du test de comparaiso est subordoé à la coaissace d'u certai ombre de séries v k qui servet de repère. k = Supposos que u k et v k soiet des séries à termes positifs. k = k = a. Si v k est covergete et u k v k, k, alors u k coverge. k = k = b. Si v k est divergete et u k v k, k, alors u k diverge. k = k = Exercice 2.8 O sait que 2 a 3 a coverge si a > et diverge si a. cos k La série coverge-t-elle? k = k 2 Quelques séries coues 2 4 2 k =2 2 2 3 k k = 3 3 5 2k 2 k = 2 3 5 7 9 4 k 4 k = 2 8 4 9 k 2 =2 6 3 2 4 k k = 3 4 6 8 k 4=2 90 9 5 2 k 2 =2 8! 2! k! =e Séries alterées 2 3 4 5 =l 2 3 5 7 9 = 4 Exemple Soit v k = 2 k, v k = 2 4 2 =2 et u k= k k!. k = k fois k k k 2 2 2 2 2 2 et doc Il s'esuit que k = Exemple 2 Soit v k = k, k = kk et doc Il s'esuit que k = k!, k N* k 2 u k = 2 6... coverge et vaut mois que 2. 24 v k = 2 3 4... qui diverge et u k= k. k k pour tout k N*. u k = 2 3... diverge. 4 Suites et séries Didier Müller - LCP - 206
SUITES ET SÉRIES 3 Exercice 2.9 Dites si les séries suivates coverget ou o : a. c. e. g. 2 3 3 5 2 b. 2 2 2 4 2 d. 22 2 2 3 f. 2 2 3 4 3 4 2 2 2 2 5 2 3 2 Exercice 2.20 La série l k k = k est-elle covergete? Test du quotiet Théorème 2.6 Démostratio Le test du quotiet (ou test de D'Alembert) est efficace pour détermier si ue série doée est absolumet covergete. Soit c=lim k u k u k. a. Si c <, la série u k est absolumet covergete. k = b. Si c >, la série u k diverge. k = c. Si c =, le test e doe aucue iformatio. La démostratio du test du quotiet repose sur la comparaiso de la série doée avec ue progressio (ou série) géométrique. Il 'est pas étoat qu'itervieet des séries géométriques parce qu'elles sot caractérisées par le fait que le rapport q des termes cosécutifs est costat et elles sot covergetes lorsque q <. Ici, le rapport des termes cosécutifs 'est pas costat mais il ted vers c, et doc, pour k grad, ce rapport est presque costat et la série coverge lorsque c <. Exemple Soit la série harmoique : k = k. Il y a doc doute. c=lim k = lim k k k k k = Exemple 2 Soit la série k = k!. La série est doc covergete. c=lim k k! =lim k! k k! k! =lim k k =0 Exercice 2.2 Utilisez le test du quotiet pour détermier si les séries suivates coverget. a. c.! 0 2!! 00 0 b. 3 2 4 2 2 2 2 2 3 2 2 32 2 3 3 2 d. 3 2 3 5 2 3 3 5 7! 3 5 7 2 e. 2 2 3 2 2 Didier Müller - LCP - 206 Suites et séries
4 CHAPITRE 2 Test de la racie Exercice 2.22 Test de l'itégrale Exemple k Soit c=lim u k. k a. Si c <, la série u k coverge. k = b. Si c >, la série u k diverge. k = c. Si c =, le test e doe aucue iformatio. Utilisez le test de la racie pour dire si les séries suivates coverget. a. 2 4 2 b. c. 2 2 4 7 0 6 3 2 3 80 20 3 80 80 2 Soit f ue foctio cotiue, positive et jamais croissate das l'itervalle [p ; ] et soit u k = f(k). La série u k coverge ou diverge, selo que f xdx existe ou o. k =p p De plus : p f xdx k =p Soit la série harmoique k = k. u k u p f x dx p La foctio est doc f x= x et p =. f x dx=lim t t x dx=lim t 0 l t l =. La série est doc divergete. Exemple 2 Soit la série k = k. 2 La foctio est doc f x= x 2 et p =. f x dx=lim t t x dx=lim 2 t t =. La série est doc covergete et comprise etre et 2. Exercice 2.23 Démotrez le critère de comparaiso avec ue itégrale. Idicatio : Approchez l'aire sous la courbe par des rectagles de largeur. Exercice 2.24 Utilisez le test de l'itégrale pour détermier si ces séries coverget. a. 3 5 7 9... b. 4 6 36 64 c. si 4 si 2 9 si 3 6 si 4 d. 2 a 3 a a Suites et séries Didier Müller - LCP - 206
SUITES ET SÉRIES 5 2.4. Séries etières Ue série etière est ue série de la forme a k x k k =0 des costates, appelées les coefficiets de la série. où x est ue variable et les a k sot Remarquez que f ressemble à u polyôme. La seule différece est que f a u ombre ifii de termes. Théorème 2.7 Chaque fois qu'ue valeur est attribuée à x, la série etière est ue série de costates qui peut être testée quat à sa covergece ou à sa divergece. La somme de la série est ue foctio f x= a k x k dot le domaie de défiitio est l'esemble des valeurs de x pour lesquelles la série coverge. Il existe u ombre positif r, appelé rayo de covergece de la série, tel que : la série etière coverge absolumet si x < r, la série etière diverge si x > r. k=0 Das la plupart des cas, le rayo de covergece peut être détermié par le test du quotiet, mais ce test échoue toujours quad x est l'ue des extrémités de l'itervalle de covergece. Il faut doc u autre test pour savoir ce qui se passe aux extrémités. Exemple Test du quotiet (p. 3) Détermios le rayo et l'itervalle de covergece de 3 k x k k =0 k. Soit u k = 3k x k k Alors u k u k = 3k x k k k2 k 3 k x =3 k k2 x 3 x si k. La série est doc covergete si 3 x < et divergete pour 3 x >. Rayo de covergece Elle coverge doc pour x 3 et diverge pour x 3 covergece est r = 3.. Cela sigifie que le rayo de Maiteat que l'o sait la série coverge das l'itervalle ] 3 ; 3 [, o regarde ce qui se passe aux extrémités de l'itervalle. Si x = 3, k =0 Si x = 3, k =0 k k 3 3 k k 3 k 3 k alterées (théorème 2.3). = k=0, qui est divergete. k = k, qui est covergete d'après le test des séries k =0 k Fialemet, la série proposée coverge pour 3 < x 3. Didier Müller - LCP - 206 Suites et séries
6 CHAPITRE 2 Exercice 2.25 Trouvez l'itervalle de covergece des séries etières suivates. a. x + 2x + 3x + 4 x +... b. x x x x + +... c. x x x x + + + +... 2 2 3 3 4 4 5 d. x x x x + +... 5 2 5 3 5 4 5 e. 2 4 x x + + +... 2 3 2 3 4 3 4 5 f. x x x + + +... (l 2) (l 3) (l 4) 2.5. Ce qu'il faut absolumet savoir Coaître les défiitios d'ue suite Coaître la défiitio d'ue série Coaître les critères de covergece d'ue série et savoir les utiliser Calculer le rayo de covergece d'ue série etière ok ok ok ok Suites et séries Didier Müller - LCP - 206