Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d Anlyse IV Suites et Séries de fonctions 1
Prémbule Le but de ce cours est de générliser l notion de somme finie de termes en étudint comment cette dernière se comporte lorsque l on considère une succession infinie de termes. L clé ser de considérer ces sommes infinies, ussi ppelées séries, comme l limite de suites. Autrement dit, qund on se souvient du cours sur les suites, il ser plus fcile d ssimiler le cours sur les séries C est pour cel que les deux premiers chpitres concernnt des rppels ne doit ps être négligé. Un des points clés de ce cours ser l étude des séries de Fourier dont les pplictions sont ssez nombreuses dns d utres domines des mthémtiques (notmment les équtions différentielles et les équtions ux dérivées prtielles). Pour rriver u chpitre concernnt les séries de Fourier, il fudr cependnt fire un petit chemin qui nous y mèner de fçon moins brupte. Comme nous l vons écrit plus hut, nous rppellerons l structure de R, puis l notion de suites dns R ou C. Nous considèrerons ensuite les séries dns leur générlité, puis les suites et séries de fonction, pour ensuite psser ux séries entières, ux fonctions développbles en séries entière et enfin les séries de Fourier. Nous pourrons lors résoudre quelques équtions différentielles à l ide de cette théorie. L objectif de l deuxième prtie du cours ser de résoudre des équtions différentielles à l ide des trnsformées de Lplce. Cet outil mthémtique ne pourr s ppliquer rigoureusement sns un petit trvil préliminire sur les intégrles dépendnt d un prmètre. Une fois ces concepts ssimilés, vous serez en possession d outils solides pour résoudre plusieurs types d équtions différentielles et équtions ux dérivées prtielles mis églement des problèmes un peu plus théoriques. 2
Tble des mtières 1 Structure de R, suites dns R ou C : 5 1.1 L crise des nombres chez les grecs......................... 5 1.2 Suites et voisinges :................................. 6 1.3 Limites de suites................................... 7 1.4 Borne sup ou inf, mx ou min............................ 9 1.5 Suites djcentes................................... 10 2 Rppels suites complexes, limsup de suites réelles 11 2.1 Suites complexes................................... 11 2.2 Limite sup et inf.................................... 14 3 Séries dns R ou C : 17 3.1 Premiers critères de convergence........................... 18 3.2 Séries réelles à termes positifs............................ 19 3.3 Comprison d une série et d une intégrle impropre................ 22 3.4 Séries à termes quelconques............................. 23 3.5 Sommtion pr pquets, produit........................... 24 4 Suites de fonctions 27 4.1 Propriétés des limites uniformes........................... 30 5 Série de fonctions 33 5.1 DEFINITION..................................... 33 6 Séries entières 37 6.1 Opértions sur les séries entières........................... 39 6.2 Propriétés fonctionnelles d une série entière..................... 40 7 Fonctions développbles en séries entières 43 7.1 L exemple de l exponentielle complexe....................... 43 7.2 Développement en série entière............................ 44 7.3 Développement des fonctions usuelles........................ 46 8 Séries de Fourier 49 8.1 Interpréttion géométrique des séries de Fourier................... 54 3
TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES 9 INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE 57 9.1 Intervlle d intégrtion J compct.......................... 58 9.1.1 Bornes d intégrtion constntes....................... 58 9.1.2 Bornes d intégrtion vribles........................ 60 9.2 Intervlle d intégrtion J non borné......................... 61 9.2.1 Rppel.................................... 61 9.2.2 Convergence................................. 62 10 Fonctions Eulériennes 65 11 Trnsformées de Lplce 67 11.1 Rppel......................................... 67 11.2 Définition....................................... 68 11.3 Quelques fonctions élémentires........................... 68 11.4 Existence de L.................................... 69 11.5 Trnsformée inverse et trnsformée de dérivées................... 70 11.5.1 Trnsformée inverse............................. 70 11.5.2 Trnsformer une dérivée........................... 71 11.6 Résolution d équtions différentielles........................ 72 11.7 Thorme de trnsltion................................. 73 11.7.1 Trnsltion sur l xe des s.......................... 73 11.7.2 Trnsltion sur l xe des t.......................... 73 11.8 Proprits dditionnelles................................ 73 11.8.1 Multiplier une fonction pr t n........................ 73 11.8.2 Convolution.................................. 73 11.8.3 Trnsforme d une intgrle.......................... 73 11.8.4 Eqution intgrle de Volterr......................... 73 11.8.5 Trnsforme de fonction priodique...................... 74 11.8.6 Fonction δ-dirc............................... 74 4
Chpitre 1 Structure de R, suites dns R ou C : () Julius Wilhelm (b) Augustin Richrd Dedekind Louis (1789- (1831-1916), 1857), un mthémticien mthémticien llemnd, il est le frnçis, premier à proposer proposé l une construction première définition rigoureuse des rigoureuse nombres réels à d une limite prtir des nombres d une suite insi rtionnels. que plusieurs contributions fondmentles dns l étude de l convergence séries. des (c) Joseph Louis, comte de Lgrnge (1736-1813) un mthémticien itlien, à l origine semble-t-il de l nottion indicielle des suites. FIGURE 1.1 Quelques mthémticiens célèbres liés ux réels et ux suites. L ensemble des nombres réels, noté R se construit rigoureusement à prtir de N (entiers nturels) en définissnt Z (entiers reltifs) puis Q (nombres rtionnels : de l forme p/q vec p Z et q Z ). Dns ce cours, on v simplement rppeler l différence entre R et Q. 1.1 L crise des nombres chez les grecs Pythgore considère un tringle isocèle rectngle de côté 1. Il remrque que le crré de l hypothénuse vut 2. Or il remrque qu il n existe ps de nombre dns Q dont le crré soit 2. Donc, si 5
1.2 Suites et voisinges : Structure de R, suites dns R ou C : les seuls nombres qu on connisse sont les rtionnels, il y des longueurs simples qui ne sont ps des nombres! L ensemble des réels, R est défini à prtir de Q en rjoutnt des nombres pour éviter ce genre de problème. Une des fçons de rjouter des nombres est d utiliser l notion de suite : 1.2 Suites et voisinges : Commençons cette section pr l définition des suites réelles. Définition 1 (SUITES) On ppelle suite réelle toute ppliction (x n ) n N. { N R n x n. On note une telle ppliction Remrque On ppeller ussi suite les pplictions dont l ensemble de déprt est N privé de ses premiers éléments jusqu à un certin rng. L notion l plus importnte concernnt les suites est celle de convergence. Pour définir l convergence, on définit l notion de voisinge. L étude des voisinges est une brnche des mthémtiques ppelée l topologie (voir cours d Anlyse III pour les bses, et le cours de Topologie élémentire (Semestre 5) pour plus de détils). On peut définir des voisinges pour des objets utres que des nombres (des vecteurs, des fonctions,...). Chque fois qu on peut définir des voisinges, on peut lors étudier des convergences, des continuités, des notions proches de l dérivbilité, et fire de l optimistion. Définition 2 (VOISINAGE) Soit x R. On dit que V R est un voisinge de x si et seulement s il existe ε > 0 tel que [x ε, x + ε] V. Remrque On peut ussi dire, c est équivlent, que V R est un voisinge de x si et seulement s il existe ε > 0 tel que ]x ε, x + ε[ V. Définition 3 (VOISINAGE DE L INFINI) On dit que V R est un voisinge de + (resp. de ) si et seulement s il existe A R tel que [A, + [ V (resp. ], A] V ). 6
Structure de R, suites dns R ou C : 1.3 Limites de suites L notion de voisinge étnt en plce, nous nous intéressons lors u comportement des suites qund n tend vers l infini. Pour cel nous llons introduire les limites de suites. 1.3 Limites de suites Définition 4 (LIMITE) Soit (x n ) n N une suite réelle. Soit l fini ou infini. On dit que l est l limite de (x n ) n N, et on note l = lim x n si et seulement si pour tout V voisinge de l, il existe N V N tel n + que pour tout n N V, x n V. Si une suite dmet une limite finie on dit qu elle CONVERGE. Si elle dmet une limite infinie ou si elle n dmet ps de limite, on dit qu elle DIVERGE. Si l est +, l = lim n + x n signifie : pour tout A R, il existe N A N tel que n N A x n A. Si l R, l = lim n + x n signifie : pour tout ε > 0, il existe N ε N tel que n N ε x n [l ε, l + ε] (c est à dire x n l ε). Propriété 1 (COMPARAISON DES LIMITES) Soient (x n ) n N et (y n ) n N deux suites de réels tels que pour tout n N, x n y n. Supposons que lim x n = l 1 et lim y n = l 2. Alors l 1 l 2. n + n + Remrque Même si on suppose que pour tout n N, x n < y n, on ne peut ps en déduire que l 1 < l 2 (on juste l 1 l 2 ). Exemple : pour tout n N, x n = 0 et y n = 1/n. Propriété 2 (THEOREME DES GENDARMES) Soient (x n ) n N, (y n ) n N et (z n ) n N trois suites de réels telles que pour tout n N, x n y n z n. On suppose que lim x n = lim z n = l (l fini ou infini). Alors n + n + lim y n = l. n + 7
1.3 Limites de suites Structure de R, suites dns R ou C : Il existe une notion proche de celle de suite convergente, mis ne nécessitnt ps de préciser l vleur de l. Définition 5 (SUITE DE CAUCHY) Soit (x n ) n N une suite réelle. On dit que (x n ) n N est une suite de Cuchy si et seulement si on pour tout ε > 0, il existe N ε N tel que (n N et m N ε ) x n x m ε. QUESTION IMPORTANTE : est-ce qu être une suite de cuchy est l même chose qu être une suite convergente? Propriété 3 Si une suite est convergente, lors elle est de Cuchy. Preuve Démontré en cours. Remrque ATTENTION : l réciproque n est ps vrie en générl. Pr contre, le fit de trviller sur un espce où l réciproque est vrie serit bien prtique. En effet nous pourrions montrer l convergence d une suite sns voir à clculer l limite de cette suite. Les espces dont l réciproque de l propriété ci-dessus. Définition 6 (ENSEMBLE COMPLET) Si dns un ensemble toute suite de Cuchy est convergente, on dit que cet ensemble est complet Exemple Q n est ps complet. En effet, considérons l suite définie pr x 0 = 2 et pour tout n N, x n+1 = (1/2)(x n + 2/x n ). Tous les x n sont bien dns Q et on montrer (en TD) que cette suite est de Cuchy. Or, si s limite est l, lors l = (1/2)(l + 2/l), c est à dire l 2 = 2 donc l n existe ps dns Q! On peut mintennt dire ce qu est R : R est le complété de Q : c est Q uquel on rjoute toutes les limites des suites de Cuchy. (Cette phrse ne constitue bien sûr ps une construction rigoureuse de R). Mis ce n est ps l seule fçon de construire R. Il en existe deux utres équivlentes. L une d elle permet de définir R à prtir de Q pr l notion de borne sup qui est l objet de l section suivnte. 8
Structure de R, suites dns R ou C : 1.4 Borne sup ou inf, mx ou min 1.4 Borne sup ou inf, mx ou min Définition 7 (BORNE SUP, BORNE INF) Soit E R. On dit que M R est l borne supérieure de E (M = sup(e)) si et seulement si 1. M est un mjornt de E (pour tout x E, x M), 2. si M est un mjornt de E, lors M M. De même m R est l borne inférieure de E (m = inf(e)) si et seulement si 1. m est un minornt de E (pour tout x E, x m), 2. si m est un minornt de E, lors m m. Propriété 4 (MAJORANT ET SUITES) M = sup(e) M est un mjornt de E, si et seulement si il existe (x n ) n N suite d éléments de E telle que lim x n = M. n + L propriété correspondnte pour l borne inf est vrie. Définition 8 (MAXIMUM, MINIMUM) Soit E R. On dit que M est le mximum de E (M = mx(e)) si M = sup(e) et M E. On dit que m est le minimum de E (m = min(e)) si m = inf(e) et m E. On peut mintennt décrire l deuxième fçon de construire R : R correspond à Q uquel on rjoute toutes les bornes sup de sous-ensembles de Q. On lors les deux propriétés suivntes : Propriété 5 (PROPRIETE DE LA BORNE SUP) Toute prtie de R non vide et mjorée dmet une borne sup. 9
1.5 Suites djcentes Structure de R, suites dns R ou C : Propriété 6 (REEL ET BORNE SUP) Tout réel est l borne sup d un ensemble d éléments de Q. Remrque Q n ps l propriété de l borne sup : {x Q tel que x 2 < 2} dmet 2 comme borne sup dns R et n dmet ps de borne sup dns Q. Enfin, l troisième fçon de construire R utilise les suites croissntes et mjorées : R ser lors Q uquel on rjoute toutes les limites de suites croissntes et mjorées de Q. On lors : Propriété 7 (SUITE CROISSANTE MAJOREE) Toute suite réelle (x n ) n N croissnte et mjorée (resp. décroissnte et minorée) converge et on lim x n = sup x n (resp. lim x n = inf x n). n + n + n N n N Remrque Cette propriété n est ps vrie dns Q. 1.5 Suites djcentes Définition 9 (SUITES ADJACENTES) Soient (x n ) n N et (y n ) n N deux suites de réels. On dit qu elles sont djcentes si et seulement si 1. l une des suites est croissnte, 2. l utre suite est décroissnte, 3. lim n + (x n y n ) = 0. Propriété 8 (LIMITES ET SUITES ADJACENTES) Si (x n ) n N et (y n ) n N sont deux suites réelles djcentes telles que (x n ) n N soit croissnte et (y n ) n N soit décroissnte lors : 1. pour tout (n, m) N 2, x n y m, 2. lim x n et lim y n existent, sont finies et sont égles. n + n + Preuve Démontré en cours. 10
Chpitre 2 Rppels suites complexes, limsup de suites réelles 2.1 Suites complexes Il n existe ps x R tel que x 2 = 1 (ou x 2 +1 = 0). Si on veut que tout polynôme de degré 2 it 2 rcines, on introduit le nombre imginire i qui vérifie i 2 = 1. On définit lors les nombres complexes comme l somme d une prtie réelle et d une prtie imginire : C = { + ib, R, b R}. C est donc très similire à R 2 = {(, b), R, b R}. L différence est qu on définit un produit C C C lors qu on ne le fit ps sur R 2 (il existe un produit sclire R 2 R 2 R mis c est différent). Un des intérêts principux des nombres complexes est leur formultion module-rgument : Propriété 1 (MODULE ET ARGUMENT) Soit z = + ib C. il existe un unique couple (ρ, θ) R + [0, 2π[ tel que z = ρe iθ. On lors = ρ cos(θ), b = ρ sin(θ) et ρ = 2 + b 2. Alors si z = ρe iθ et z = e iθ, on zz = ρe i(θ+θ ). Donc une multipliction pr un nombre complexe de module 1 correspond à une rottion. C est à cuse de cet effet qu on utilise les nombres complexes pour modéliser les phénomènes oscillnts. 11
2.1 Suites complexes Rppels suites complexes, limsup de suites réelles Définition 1 (SUITE COMPLEXE) Une suite complexe est une ppliction { N C n z n. Pour définir l convergence des suites complexes, on définit les voisinges dns C. Définition 2 (VOISINAGE) Soit z C. On dit que V C est un voisinge de z si et seulement s il existe ε > 0 tel que D(z, ε) = {z C tq z z ε} V. Remrque On peut ussi prendre o D(z, ε) = {z C tq z z < ε}. L définition de limite de suite dns C est lors l même que dns R. Définition 3 (LIMITE D UNE SUITE) Soit (z n ) n N une suite complexe et soit l C. On dit que l est l limite de (z n ) n N, et on note l = lim z n si et seulement si pour tout V voisinge de l, il existe N V N tel que n + pour tout n N V, z n V. Remrque 1. l = lim n + z n signifie donc pour tout ε > 0, il existe N ε N tel que n N ε z n l ε (c est à dire z n D(l, ε)). 2. Dns R on définit des voisinges de + et, ce qui permet de définir des limites infinies. Dns C on ne le fit ps : une limite infinie dns C n ucun sens! Comme dns R, on définit les suites de Cuchy. 12
Rppels suites complexes, limsup de suites réelles 2.1 Suites complexes Définition 4 (SUITE DE CAUCHY) Soit (z n ) n N une suite complexe. On dit que (z n ) n N est une suite de Cuchy si et seulement si on : pour tout ε > 0, il existe N ε N tel que (n N ε et m N ε ) z n z m ε. Comme dns R, on lors : Propriété 2 (C EST COMPLET) Dns C, toute suite de Cuchy est convergente. Autrement dit C est complet. Pour le démontrer, on décompose l suite complexe en s prtie réelle et s prtie imginire. On : Propriété 3 (CONVERGENCE (CAUCHY)) Soit (z n ) n N une suite complexe. Les propositions suivntes sont équivlentes : (z n ) n N est de Cuchy (dns C), (Re(z n )) n N et (Im(z n )) n N sont de Cuchy (dns R), (Re(z n )) n N et (Im(z n )) n N convergent (dns R), (z n ) n N converge (dns C). Lorsqu on utilise l formultion module-rgument : Propriété 4 (LIMITE, MODULE ET ARGUMENT) Soit (z n ) n N une suite complexe et l C. On lim z n = l (limite dns C) lim z n = l (limite dns R). n + n + Remrque ATTENTION : LA RECIPROQUE N EST PAS VRAIE. Il n y que deux cs où l étude du module permet de conclure sur l convergence de l suite : si lim z n = 0 lors lim z n = 0. n + n + 13
2.2 Limite sup et inf Rppels suites complexes, limsup de suites réelles si lim n + z n = + lors (z n ) n N diverge. DIFFERENCE FONDAMENTALE ENTRE R ET C : il n y ps de reltion d ordre (similire à ) dns C (ni dns R 2 : de fçon générle, on peut ordonner des nombres réels mis ps des vecteurs). Donc ps de notion de suite croissnte, de mjortion, de théorème des gendrmes, de limsup et liminf! 2.2 Limite sup et inf ATTENTION, nous ne considèrerons ici que les suites réelles. L reltion d ordre de R permet de définir l limsup et l liminf d une suite réelle. L intérêt est que l limsup et l liminf existent toujours, dns R {, + }, contrirement à l limite. Définition 5 (LIMSUP, LIMINF) Soit (x n ) n N une suite réelle. Pr définition, lim sup x n = n + lim inf x k. n + k n lim sup n + k n x k et lim inf n + x n = Remrque 1.Cette définition s étend ux suites non nécessirement bornées, en posnt et lim sup x n = + si l suite n est ps mjorée, n + lim inf x n = si l suite n est ps minorée. n + 2. L suite (sup x k ) n N étnt décroissnte, elle dmet toujours une limite dns R {, + }. De k n même, l suite (inf x k) n N étnt croissnte, elle dmet toujours une limite dns R {, + }. k n Il est commode de relier l limsup et l liminf d une suite à ses vleurs d dhérence. Définition 6 (VALEUR D ADHERENCE) Soit (x n ) n N une suite réelle et R {, + }. On dit que est une vleur d dhérence de (x n ) n N si et seulement s il existe une sous-suite de (x n ) n N qui tend vers. On lors : 14
Rppels suites complexes, limsup de suites réelles 2.2 Limite sup et inf Propriété 5 (LIMSUP, LIMINF ET ADHERENCE) Soit (x n ) n N une suite réelle. S limite supérieure est l plus grnde de ses vleurs d dhérence, et s limite inférieure est l plus petite. On en déduit : Propriété 6 (CONVERGENCE) Une suite réelle (x n ) n N tend vers l R {, + } si et seulement si lim sup x n = n + lim inf x n = l. n + 15
2.2 Limite sup et inf Rppels suites complexes, limsup de suites réelles 16
Chpitre 3 Séries dns R ou C : Nous sommes désormis en mesure de définir l notion de série. Nous llons voir que s définition repose sur l notion de suite. Les deux sont donc extrêmement liés, et il ne fudr jmis perdre cet spect de vue. Définition 1 (SERIE) Soit (x n ) n N une suite de nombres réels ou complexes. On ppelle série de terme générl x n et on note x n, l suite (S n ) n N définie pr pour tout n N, S n = n x k. On dit que l série x n converge (resp. diverge) ssi l suite (S n ) n N converge (resp. diverge). Si l série converge, série. lim S n est notée n + k=0 x n et est ppelée l somme de l Exemple (SERIE GEOMETRIQUE) Soit z C tel que z < 1. n Alors z k = 1 n zn+1 et comme, lim 1 z n + zn+1 = 0 on lim z k = 1 n + 1 z. k=0 k=0 L série z n 1 est donc convergente et s somme est 1 z. 17
3.1 Premiers critères de convergence Séries dns R ou C : Propriété 1 (SOMMES DE SERIES) Soient x n et y n deux séries réelles ou complexes et λ C. 1. Si x n et y n convergent lors (λx n + y n ) converge et (λx n + y n ) = λ x n + y n. 2. Si λ 0, si x n diverge et y n converge lors (λx n + y n ) diverge. Remrque Si x n et y n divergent, on peut voir qund même (x n + y n ) qui converge. Exemple : si x n = y n. 3.1 Premiers critères de convergence Propriété 2 (CRITERE DE CAUCHY POUR LES SERIES) Une série réelle ou complexe x n converge si et seulement pour tout ε > 0, il existe m N ε N tel que (m > n N ε ) x k ε. k=n+1 Preuve L suite (S n ) n N où S n = k=0 n x k est une suite réelle ou complexe. Donc elle converge si et seulement si elle est de Cuchy. Et (S n ) n N est de Cuchy si et seulement si pour tout ε > 0, il existe N ε N tel que (n N ε et m N ε ) S n S m ε. Ou encore si et seulement si pour tout ε > 0, il existe N ε N tel que (m > n N ε ) S n S m ε. Remrque IMPORTANT : d près l propriété précédente, si x n converge, lors lim n + x n = 0. Du coup, si lim x n 0, on dit que x n est grossièrement divergente. n + Preuve Démontré en cours. Définition 2 (CONVERGENCE ABSOLUE) On dit que l série (réelle ou complexe) x n est bsolument convergente si et seulement si l série (réelle) x n est convergente. 18
Séries dns R ou C : 3.2 Séries réelles à termes positifs Propriété 3 (CONVERGENCE ABSOLUE ET CONVERGENCE) Une série réelle ou complexe bsolument convergente est convergente. Preuve Si x n est bsolument convergente lors x n est convergente et vérifie donc le critère de Cuchy : m pour tout ε > 0, il existe N ε N tel que m > n N ε x k = m x k < ε. Or k=n+1 k=n+1 m m x k x k. Donc x n vérifie le critère de Cuchy. Elle est donc convergente. k=n+1 k=n+1 3.2 Séries réelles à termes positifs Propriété 4 (COMPARAISON) Soient x n et y n deux séries réelles à termes positifs telles que pour tout n N, x n y n. Alors i) si y n converge lors x n converge, ii) si x n diverge lors y n diverge. Preuve i) Notons S n = n x k et T n = k=0 n y k. On pour tout n N, S n T n. k=0 Si y n converge, notons T = lim T n. Comme y n est à termes positifs, pour tout n + n N, S n T. De plus, comme x n est à termes positifs, (S n ) n N est croissnte. Comme elle est mjorée pr T, elle est convergente. ii) Si x n diverge, puisqu elle est à termes positifs, lim S n = +. Donc lim T n = n + n + +. Définition 3 (EQUIVALENCE) Soient (x n ) n N et (y n ) n N deux suites réelles ou complexes. On dit qu elles sont équivlentes à l infini et on note x n + y n si et seulement si pour n ssez grnd, x n = y n (1 + ε(n)) vec ε(n) = 0. lim n + 19
3.2 Séries réelles à termes positifs Séries dns R ou C : Propriété 5 (SERIES ET EQUIVALENTS) Soient x n et y n deux séries réelles à termes positifs telles que x n + y n. Alors xn et y n sont de même nture (convergentes ou divergentes). Preuve Si x n + y n, lors pour n ssez grnd, x n = y n (1 + ε(n)) où lim ε(n) = 0. Pour n ssez n + grnd, 1/2 ε(n) 1/2 donc y n /2 y n (1 + ε(n)) = x n 3y n /2. Puisque pour n ssez grnd y n /2 x n, si x n converge lors y n converge et si y n diverge lors x n diverge. Puisque pour n ssez grnd x n 3y n /2, si y n converge lors x n converge et si x n diverge lors y n diverge. Ces comprisons ne sont vlbles que prce que x n et y n sont à termes positifs. Définition 4 (NEGLIGEABILITE) Soient (x n ) n N et (y n ) n N deux suites réelles ou complexes. On dit que (x n ) n N est négligeble devnt (y n ) n N à l infini et on note x n = + o(y n ) si et seulement si pour n ssez grnd, x n = y n ε(n) vec ε(n) = 0. lim n + Propriété 6 (SERIES ET NEGLIGEABILITE) Soient x n et y n deux séries réelles telles que x n = + o(y n ). On suppose que y n est à termes positifs et qu elle converge. Alors x n est ussi convergente. Propriété 7 (SERIE DE RIEMANN) Soit α R +. Si α > 1 lors l série 1/n α converge et si α 1 lors elle diverge. Preuve Cette propriété ser démontrée pr comprison d une série et d une intégrle en dessous. Propriété 8 (COMPARAISON AVEC LES SERIES DE RIEMANN) Soit x n une série réelle à termes positifs. 1. S il existe α > 1 tel que pour tout n N, n α x n 1, lors x n converge. 2. S il existe α 1 tel que pour tout n N, n α x n 1, lors x n diverge. 20
Séries dns R ou C : 3.2 Séries réelles à termes positifs Preuve L preuve est une simple ppliction de l proposition précédente et du principe de comprison des séries à termes positifs. Les deux propriétés suivntes (règle de Cuchy et règle de D Alembert) consistent à comprer une série à termes positifs vec une série géométrique. L fçon l plus simple de les énoncer est d utiliser les limsup et liminf : Propriété 9 (REGLE DE CAUCHY) Soit x n une série réelle à termes positifs. Notons l = lim sup n xn. Alors n + i) Si l < 1, x n converge, ii) si l > 1, x n diverge, iii) si l = 1, on ne peut ps conclure. C est le cs douteux de l règle de Cuchy. Propriété 10 (REGLE DE D ALEMBERT) Soit x n+1 x n une série réelle à termes strictement positifs. Notons L = lim sup et n + x n x n+1 l = lim inf. Alors n + x n i) Si L < 1, x n converge, ii) si l > 1, x n diverge, iii) si l 1 L, on ne peut ps conclure. C est le cs douteux de l règle de D Alembert. x n+1 Remrque Lorsque lim existe, on L = l et l règle de D Alembert est lors très similire à l règle de Cuchy : n + x n i) Si l < 1, x n converge, ii) si l > 1, x n diverge, iii) si l = 1, cs douteux. Remrque LIEN ENTRE LES REGLES DE CAUCHY ET DE D ALEMBERT : x n+1 Si lim existe, lors lim n x n+1 xn existe et lim = lim n xn. Donc il est n + x n n + n + x n n + x n+1 inutile d essyer l règle de Cuchy si l règle de D Alembert donné lim = 1. n + x n x n+1 Si lim n existe ps, il est possible que lim n xn existe qund même, et il est n + x n n + possible qu on ne soit ps dns le cs douteux de l règle de Cuchy, même si on est dns le cs douteux de celle de D Alembert. 21
3.3 Comprison d une série et d une intégrle impropre Séries dns R ou C : 3.3 Comprison d une série et d une intégrle impropre Rppelons ici l définition d une intégrle impropre. Nous y reviendrons plus trd dns le chpitre conscré ux intégrles. Définition 5 (INTEGRALE IMPROPRE) Soient R et f : [, + [ R intégrble sur tout intervlle borné inclus dns [, + [. Si X lim X + converge, et on note impropre diverge. f(x)dx existe et est finie, on dit que l intégrle impropre f(x)dx = X lim X + f(x)dx f(x)dx. Sinon, on dit que l intégrle Propriété 11 (COMPARAISON SERIE ET INTEGRALE IMPROPRE) Soit f : [, + [ R intégrble sur tout intervlle borné inclus dns [, + [, décroissnte et positive. Alors l intégrle impropre même nture (convergentes ou divergentes). f(x)dx et l série f(n) sont de Preuve Comme f est décroissnte, on pour tout n N, pour tout x [n, n + 1], f(n + 1) f(x) f(n), donc n+1 n f(n + 1)dx C est à dire f(n + 1) f(x)dx Donc, puisque n+1 n n+1 n X =lim X + X N =lim X + X N n+1 n f(x)dx n+1 n f(x)dx f(n). Or f(n)dx. ( f(x)dx E()+1 f(x)dx + X 1 f(x)dx f(n), si n=e()+1 f(x)dx diverge, n+1 n ) f(x)dx. c est à dire n+1 f(x)dx diverge, lors f(n) diverge, et si f(n) converge, lors n converge. De même, puisque f(n+1) n+1 n f(x)dx, si et donc f(n) converge, et si f(n) diverge, lors f(x)dx f(x)dx converge, lors f(n+1) converge f(x)dx diverge. Exemple 1/n α, α > 0 : 22
Séries dns R ou C : 3.4 Séries à termes quelconques Si α 1, 1 { 1, si α > 1, 1 α +, si α < 1. Si α = 1, 1 1 x α dx = 1 x dx = X lim X + 1 lim X + [ln(x)]x 1 Donc 1 converge si et seulement si α > 1. nα 1 x α dx = = +. [ ] x 1 α X lim = X + 1 α 1 Propriété 12 (ENCADREMENT DU RESTE) Soit f : [, + [ R positive et décroissnte, telle que pour n, R n = Alors, pour tout n, f(x)dx R n f(k). k=n+1 n+1 n f(x)dx. f(x)dx converge. Notons Remrque Pour toute série réelle ou complexe x n convergente, l quntité R n = est ppelée reste d ordre n de x n, et on lim R. n + k=n+1 x k 3.4 Séries à termes quelconques Définition 6 (SERIE SEMI-CONVERGENTE) Lorsqu une série est convergente mis ps bsolument convergente, on dit qu elle est semi-convergente. Définition 7 (SERIE ALTERNEE) Une série réelle x n est dite lternée si et seulement si ( 1) n x n grde un signe constnt pour tout n N. 23
3.5 Sommtion pr pquets, produit Séries dns R ou C : Propriété 13 (REGLE DES SERIES ALTERNEES) Pour qu une série lternée x n converge, il suffit que l suite ( x n ) n N soit décroissnte et tende vers 0. De plus, dns ce cs, le reste d ordre n, R n = n N, R n x n+1. k=n+1 x k, vérifie pour tout Exemple ( 1) n /n est convergente mis ps bsolument convergente (donc elle est semi-convergente). Cette série est ppelée série hrmonique lternée. On peut montrer en ppliqunt Tylor-Lgrnge à ln(1 + x) sur [0, 1] que n=1 ( 1) n n = ln(2) Propriété 14 (REGLE D ABEL) Soit x n une série complexe où pour tout n N, x n = α n u n tels que i) l suite (α n ) n N est réelle, décroissnte et tend vers 0, n ii) il existe M R tel que pour tout n N, u k M. Alors x n est convergente. k=0 Exemple Pour α > 0 et θ 0 [2π], l série exp(inθ)/n α converge. En effet : 1/n α joue le rôle de α n, (1/n α ) n N est une suite réelle, décroissnte et qui tend vers 0. exp(inθ) joue le rôle de u n, n exp(ikθ) = 1 exp(i(n + 1)θ) 1 exp(iθ) 2 1 exp(iθ). k=0 2 Or est indépendnt de n, donc l règle d Abel s pplique. 1 exp(iθ) 3.5 Sommtion pr pquets, produit On peut remplcer des pquets de termes consécutifs pr leur somme effectuée : 24
Séries dns R ou C : 3.5 Sommtion pr pquets, produit Propriété 15 (COMPARAISON DE SERIES) Soit n ϕ(n) une ppliction strictement croissnte de N dns N. Soit x n une série complexe. On considère l série ϕ(n+1) 1 y n où y n = x k lors k=ϕ(n) i) Pour que x n converge, il est nécessire que y n converge. De plus, si c est le cs, x n = y n. ii) Si les x n sont des réels positifs, pour que x n converge, il est nécessire et suffisnt que y n converge. Définition 8 (PERMUTATION) On ppelle permuttion de N une bijection de N sur N. Définition 9 (SERIE COMMUTATIVEMENT CONVERGENTE) On dit qu une série x n est commuttivement convergente si et seulement si pour toute permuttion σ de N, l série x σ(n) est convergente. Propriété 16 (COMMUTAT. ET ABS. CONVERGENTE) Une série complexe est commuttivement convergente si et seulement si elle est bsolument convergente. Dns ce cs, s somme ne chnge ps si on chnge l ordre des termes. Remrque Cette propriété implique que pour toute série complexe semi-convergente, on peut trouver une permuttion des termes qui donne une série divergente. On peut ussi démontrer que pour toute série complexe semi-convergente, pour tout nombre complexe fixé à l vnce, on peut trouver une permuttion des termes qui donne une série dont l somme est ce nombre. Exemple à prtir de l série hrmonique lternée x n = ( 1) n+1 = 1 1 n 2 + 1 3 1 4 + = ln(2), n 1 n 1 on construit l série y n = 1 1 2 1 4 + 1 3 1 6 1 8 + + 1 2n + 1 1 2(2n + 1) 1 2(2n + 2) +... n 1 Puis, pr sommtion pr pquets, on considère 25
3.5 Sommtion pr pquets, produit Séries dns R ou C : z n = n 1 n 1 1 ( 1) n+1 2 n ( 1 1 ) 1 ( 1 2 4 + 3 1 ) 1 ( ) 1 6 8 + + 2n + 1 1 2(2n + 1) = 1 2 ln(2). Or si y n converge lors n 1 y n = n 1 z n = 1 2 ln(2). Donc n 1 y n n 1 x n. 1 2(2n + 2) + = Définition 10 (SERIE PRODUIT) Soient x n et y n deux séries complexes. On ppelle série produit de x n et y n l série z n où n N, z n = n n x p y q = x p y n p = x n q y q. p+q=n p=0 q=0 Propriété 17 (CONVERGENCE SERIE PRODUIT) xn yn Soient et deux séries complexes bsolument convergentes. Alors l série produit zn de x n et yn est bsolument convergente et z n = ( + ) ( + x n y n ). Remrque Cette propriété ne s étend ps ux séries semi-convergentes. Exemple On pose pour tout n N, x n = y n = ( 1)n (n + 1). 1/4 Les séries x n et y n sont lternées et convergentes. 1 Elles ne sont ps bsolument convergentes cr x n = (n + 1) donc x 1/4 n est de même nture que 1/n 1/4, (cr (n + 1) 1/4 + n 1/4 ) qui est une série de Riemnn divergente. L série produit est z n vec z n = ( 1) n 1 1 (p + 1) 1/4 (q + 1). 1/4 p+q=n Or pour tout p n, (p + 1) 1/4 (n + 1) 1/4 donc pour tout (p, q) N 2 tel que p + q = n, 1 (p + 1) 1/4 (q + 1) 1 1/4 (n + 1). 1/2 Donc z n 1 (n + 1) = (n + 1) 1/2 (n + 1) = 1/2 (n+1)1/2. Donc z n est grossièrement divergente. p+q=n 26
Chpitre 4 Suites de fonctions Dns les prties suivntes, on v considérer des fonctions D C C. L continuité, l limite finie qund z tend vers z 0 (z 0 fini) et l dérivbilité de telles fonctions se définissent comme pour les fonctions D R R (mis le module remplce l vleur bsolue). On ne définit ps de limite infinie, ni de limite qund z tend vers l infini. Les fonctions D C C dérivbles sont dites holomorphes et ont des propriétés bien plus fortes que les fonctions D R R dérivbles. Leur étude ne commence qu en L3 de mthémtiques. Remrque Dns R, l définition de l dérivée fit intervenir le rpport f(x) f(x 0). Elle implique donc de x x 0 pouvoir diviser pr (x x 0 ). Dns C, ç un sens, l division pr un nombre complexe est bien définie. Dns R 2 ç n en ps, l division pr un vecteur n est ps définie. Pour cette rison, on peut définir l dérivée d une fonction D C C mis ps d une fonction D R 2 R 2. Pour ces dernières, on introduit une notion plus sophistiquée, l différentibilité. L étude de l différentibilité se voit en ANALYSE III. Comme il n y ps de reltion d ordre dns C, il n y ps de théorème de Rolle, et ps d églité des ccroissements finis. Mis on peut qund même démontrer une inéglité des ccroissements finis : Théorème 1 (INEGALITE DES ACCROISSEMENTS FINIS) Soit f : D C C holomorphe sur D, de dérivée f et (z 0, z) D 2 tels que [z 0, z] D, lors f(z) f(z 0 ) z z 0 sup f (t). t [z 0,z] 27
Suites de fonctions Remrque t [z 0, z] signifie il existe α [0, 1] tel que t = z 0 + α(z z 0 ). Définition 1 (CONVERGENCE SIMPLE) Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur le même domine D : pour tout n N, f n : D C C. Soit f : D C C. On dit que (f n ) n N converge simplement vers f sur D ssi pour tout z D, lim f n(z) = f(z) (limite dns C). n + Remrque Cette définition est ussi vlble pour les fonctions D R R. Exemple On considère f n : { [0, 1] R, x x n. (f n ) n N converge simplement sur [0, 1] vers f où f : [0, 1] { R 0 si x [0, 1[, x 1 si x = 1. On remrque que dns cet exemple, pour tout n N, f n est continue mis que f est discontinue en 1. Définition 2 (CONVERGENCE UNIFORME) Soit (f n ) n N une suite de fonctions D C C et f : D C C. On dit que (f n ) n N converge uniformément vers f sur D si et seulement si lim sup f n (z) f(z) = 0. n + z D Remrque (f n ) n N converge simplement vers f sur D se trduit pr : pour toutz D, pour tout ε > 0, il existen z,ε N tel que n N z,ε f n (z) f(z) ε. (f n ) n N converge uniformément vers f sur D se trduit pr : pour toutε > 0, il existen ε N tel que n N ε pour tout z D, f n (z) f(z) ε. Il y un risque de confondre ces deux expressions qui se ressemblent (surtout si on note N u lieu de N z,ε et N ε ). L différence est que pour l convergence uniforme, N ε doit convenir pour tous les z D. 28
Suites de fonctions Propriété 1 (CONVERGENCE UNIFORME ET SIMPLE) Si (f n ) n N converge uniformément vers f sur D lors elle converge simplement vers f sur D. Preuve Soit z 0 D. On 0 f n (z 0 ) f(z 0 ) sup z D le théorème des gendrmes, f n (z) f(z). Donc si lim lim f n(z 0 ) f(z 0 ) = 0 donc n + Remrque LA RECIPROQUE N EST PAS VRAIE! Définition 3 (SUITE UNIFORMEMENT DE CAUCHY) sup n + z D f n (z) f(z) = 0, d près lim f n(z 0 ) = f(z 0 ). n + Soit (f n ) n N une suite de fonctions D C C. On dit que (f n ) n N est uniformément de Cuchy sur D si et seulement si ε > 0, N ε N tel que (n N ε et m N ε ) f n (z) f m (z) < ε. sup z D Propriété 2 (CONVERGENCE UNIFORME ET CAUCHY) Une suite (f n ) n N de fonctions D C C converge uniformément sur D si et seulement si elle est uniformément de Cuchy sur D. En prtique, on fit d bord l étude de l convergence simple, ce qui détermine f. On étudie lors f n (z) f(z). sup z D Si on le mjore pr (α n ) n N tel que uniforme. Si on le minore pr (α n ) n N tel que uniforme. lim n + α n = 0 lors on montré qu il y convergence lim α n 0 lors on montré qu il n y ps convergence n + Propriété 3 (SUITE NON CONVERGENTE UNIFORMEMENT) Soit (f n ) n N une suite de fonctions D C C et f : D C C. Pour que (f n ) n N ne converge ps uniformément vers f sur D, il suffit qu il existe une suite (z n ) n N de points de D tels que f n (z n ) f(z n ) ne converge ps vers 0 (limite dns C). 29
4.1 Propriétés des limites uniformes Suites de fonctions 4.1 Propriétés des limites uniformes Propriété 4 (LIMITE ET CONTINUITE) Soit (f n ) n N une suite de fonctions D C C et f : D C C telles que (f n ) n N converge uniformément vers f sur D. Soit D. Si pour tout n N, f n est continue en, lors f est continue en. Preuve Soit D. Soit ε > 0. N ε N tel que n N ε, x D, f n (x) f(x) ε/3. η ε > 0 tel que ( x η ε et x D) f Nε (x) f Nε () ε/3. Donc ( x η ε et x D) f(x) f() f(x) f Nε (x) + f Nε (x) f Nε () + f Nε () f() ε. Donc f est continue en. Remrque { [0, 1] R On voit que l suite de fonctions f n : x x n ne converge uniformément sur [0, 1] vers ucune fonction. En effet elle converge simplement sur [0, 1] vers une fonction qui n est ps continue. Propriété 5 (LIMITE ET INTEGRALE) Soient (, b) R 2, ( < b) et (f n ) n N une suite de fonctions continues de [, b] dns R. Soit f : [, b] R telle que (f n ) n N converge uniformément vers f sur [, b]. Alors lim n + b f n (x)dx = b f(x)dx. Preuve Soit ε > 0 fixé. Il existe N N tel que n N pour tout x [, b], f n (x) f(x) ε/(b ). Donc, si n N, b b b f n (x)dx f(x)dx = b (f n (x) f(x))dx Donc lim n + b f n (x)dx = b f(x)dx. f n (x) f(x) dx ε. Remrque Cette propriété n est plus vrie si on n que l convergence simple de (f n ) n N vers f. 30
Suites de fonctions 4.1 Propriétés des limites uniformes Propriété 6 (LIMITE ET DERIVABILITE) Soient D un disque de C et (f n ) n N une suite de fonctions D C C, holomorphes sur D. On suppose que i) l suite (f n) n N converge uniformément sur D vers une fonction g. ii) il existe z 0 D tel que (f n (z 0 )) n N converge. Alors (f n ) n N converge uniformément vers une fonction f : D C C sur toute prtie bornée de D. De plus, f est holomorphe sur D et f = g. Remrque Cette proposition est encore vrie pour les fonctions D R R (remplcer holomorphe pr dérivble et D disque de C pr D intervlle de R). 31
4.1 Propriétés des limites uniformes Suites de fonctions 32
Chpitre 5 Série de fonctions 5.1 DEFINITION De fçon nlogue ux séries, les séries de fonctions sont définies à prtir des suites de fonctions. Définition 1 (SERIE DE FONCTIONS) Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur le même domine D : pour tout n N, f n : D C C. On dit que l série de fonctions f n converge simplement (resp. uniformément) sur D ssi l suite des somme prtielles (suites de fonctions) (S n ) n N où n pour tout n N, pour tout z D, S n (z) = f k (z) converge simplement (resp. uniformément) sur D. k=0 Remrque En prtique, pour l étude de l convergence simple d une série de fonctions D C C, on est rmené à l étude de l convergence d une série complexe. Propriété 1 (CRITERE DE CAUCHY UNIFORME) Une série de fonctions f n où f n : D C C converge uniformément sur D si et seulement pour tout ε > 0, il existe N ε N tel que (m > n N ε ) m sup f k (z) ε. z D k=n+1 On en déduit que 33
5.1 DEFINITION Série de fonctions Propriété 2 (CONDITION NECESSAIRE DE CONV. UNIF.) Pour que l série de fonctions f n où f n : D C C converge uniformément sur D, il fut que l suite (f n ) n N converge uniformément vers 0 sur D. Les propriétés sur l continuité, l dérivtion et l intégrtion viennent des propriétés des suites de fonctions : Propriété 3 (SERIE DE FONCTIONS ET CONTINUITE) Soit f n, f n : D C C, une série de fonctions et D tel que pour tout n N, f n soit continue en. Si f n converge uniformément sur D lors en. f n est continue Propriété 4 (SERIE DE FONCTIONS ET DERIVATIONS) Soient D un disque de C et (f n ) n N une suite de fonctions D C C, holomorphes sur D. On suppose que i) l série f n converge uniformément sur D, ii) il existe z 0 D tel que f n (z 0 ) converge. Alors f n converge simplement ( sur D et uniformément sur toute prtie bornée de D. + ) De plus, f n est holomorphe et f n = f n. Propriété 5 (SERIE DE FONCTIONS ET INTEGRATION) Soit f n, f n : [, b] R R ( < b) une série de fonctions continues. Si f n ( b + ) b converge uniformément sur [, b], lors f n (x)dx = f n (x)dx. On étudie mintennt une utre notion de convergence plus forte que l convergence uniforme : Définition 2 (CONVERGENCE NORMALE) Soit f n, f n : D C C, une série de fonctions. On dit que f n converge normlement sur D ssi pour tout n N, sup f n (z) < + et sup f n (z) converge. z D z D 34
Série de fonctions 5.1 DEFINITION Remrque En prtique, - pour montrer qu il y convergence normle, on cherche à mjorer sup f n (z) pr un réel α n tel z D que α n soit convergente, et - pour montrer qu il n y ps convergence normle, on cherche à minorer sup f n (z) pr un réel z D α n tel que α n soit divergente. Une fçon de minorer est d utiliser : Propriété 6 (SERIE NON CONVERGENTE NORMALEMENT (1)) (règle de l suite (z n ) n N ) Soit f n, f n : D C C, une série de fonctions. Pour que f n ne converge ps normlement sur D, il suffit qu il existe une suite (z n ) n N de points de D tels que f n (z n ) diverge. Remrque Cette propriété est bsée sur une minortion : si pour tout n N, z n D, lors sup f n (z) f n (z n ). Donc, si f n (z n ) diverge, lors z D sup f n (z) diverge. z D Un cs prticulier de l propriété précédente est : Propriété 7 (SERIE NON CONVERGENTE NORMALEMENT (2)) Soit f n, f n : D C C, une série de fonctions. S il existe z 0 D tel que f n (z 0 ) ne soit ps bsolument convergente, lors f n n est ps normlement convergente sur D. L intérêt de l convergence normle est dns l propriété suivnte : Propriété 8 (CONVERGENCE NORMALE ET UNIFORME) Toute série normlement convergente est uniformément convergente. Preuve Si ( n ) f n est normlement convergente, l suite sup f k (z) est convergente donc de z D k=0 n N Cuchy. C est à dire que pour tout ε > 0, il existen ε N tel que (m > n N ε ) 35
5.1 DEFINITION Série de fonctions m n m sup f k (z) sup f k (z) ε, ou encore sup f k (z) z D z D z D ε. k=0 k=0 k=n+1 m Or pour tout z D, f k (z) m m f k (z) sup f k (z). z D k=n+1 k=n+1 k=n+1 m Donc sup f k (z) ε. Donc f n vérifie le critère de Cuchy uniforme sur D. Donc elle z D k=n+1 converge uniformément sur D. Autre critère de convergence uniforme : Propriété 9 (REGLE D ABEL UNIFORME)) Soit f n, f n : D C C une série de fonctions telles que pour tout n N, pour tout z D, f n (z) = α n (z)u n (z) vec i) pour tout z D, l suite (α n (z)) n N est réelle et décroissnte, ii) l suite de fonctions (α n ) n N converge uniformément vers l fonction identiquement nulle sur D. n iii) il existe M R tel que pour tout n N, sup u k (z) M. Alors f n converge uniformément sur D. z D k=0 36
Chpitre 6 Séries entières Les séries entières sont des séries de fonctions de forme prticulière. Elles sont bien dptées à l opértion de dérivtion, et donc à l résolution d équtions différentielles. Définition 1 (SERIE ENTIERE) Une série entière est une série de fonctions de l forme n z n (fonctions C C, z n z n ) où pour tout n N, n C. Pour étudier l convergence de l série, Propriété 1 (THEOREME D ABEL) Soit n z n une série entière. Soit z 0 C tel que l suite ( n z n 0 ) n N soit bornée. Alors i) pour tout z 1 C tel que z 1 < z 0, l série (complexe) n z n 1 est bsolument convergente. ii) r tel que 0 r < z 0, l série de fonctions n z n est normlement convergente sur le disque fermé D(0, r) = {z C tq z r}. Preuve Si z 0 = 0, z 1 C tel que z 1 < z 0 et r R tel que r < z 0 donc l propriété est trivile. Si z 0 0, soit M tel que n N, n z0 n M. ( ) n i) Si z 1 C est tel que z 1 z 0 lors n N, n z1 n = nz0 n z1 n M z 1 z 0 z 0. n Comme z 1 z 1 converge donc n z1 n converge. z 0 = z 1 z 0 < 1, M ii) Si 0 r < z 0, sup converge. z D(0,r) z 0 n z n sup M z D(0,r) 37 n z 1 z 0 = M ( r z 0 ) n et M ( ) n r z 0
Séries entières Définition 2 (RAYON DE CONVERGENCE) Soit n z n une série entière. On ppelle ryon de convergence de l série le nombre R = sup{r R + tq ( n r n ) n N soit bornée}. Remrque {r R + tq ( n r n ) n N soit bornée} cr il contient 0. Si cet ensemble est mjoré il dmet une borne sup. Sinon, on convient de poser R = +. Propriété 2 (VALEURS DE RAYONS DE CONVERGENCE) Soit R le ryon de convergence d une série entière n z n. i) Si R = 0, n z n 1 ne converge que pour z 1 = 0. ii) Si R = +, pour tout z 1 C, n z n 1 converge bsolument et pour tout r 0, n z n 1 converge normlement sur D(0, r). iii) Si R est un nombre fini non nul, pour tout z 1 C tel que z 1 < R, n z n 1 converge bsolument, pour tout z 1 C tel que z 1 > R, n z n 1 diverge, pour tout r tel que 0 r < R, n z n 1 converge normlement sur D(0, r). Définition 3 (DISQUE DE CONVERGENCE) Si R est le ryon de convergence d une série entière n z n, le disque ouvert o D(0, R) = {z C tq z < R} est ppelé disque de convergence de l série entière. Remrque Si R est fini, on ne sit ps à priori si n z n converge pour z = R. Détermintion du ryon de convergence : Propriété 3 (D ALEMBERT ET RAYON DE CONVERGENCE) Soit lim n + n z n n+1 n une série entière et R son ryon de convergence. Supposons que = l (l fini ou infini). Alors si 0 < l < +, R = 1/l ; si l = 0, R est + ; si l est +, R = 0. Remrque Cette propriété se démontre pr l règle de d Alembert. 38
Séries entières 6.1 Opértions sur les séries entières Propriété 4 (FORMULE D HADAMARD) Soit n z n une série entière et R son ryon de convergence. Notons n lim sup n = l. Alors n + si 0 < l < +, R = 1/l ; si l = 0, R est + ; si l est +, R = 0. Exemple 1. Pour zn, R est +, ( lim n! n + n! (n + 1)! = 2. Pour n!z n (n + 1)!, R = 0, ( lim n + n! 3. Pour zn n z n n = 1 n d Abel). n + 1, R = 1, ( lim n + n lim n + 1 n + 1 = 0). = lim (n + 1) = + ). n + diverge. Si θ 0 [2π], exp(inθ) n 4. Pour zn (n + 1) 2, R = 1, ( lim n2 n + n 2 = 1). Pour z = 1, z = exp(iθ). Si θ = 0 [2π], Donc z C tel que z = 1, zn est bsolument convergente. n2 6.1 Opértions sur les séries entières Propriété 5 (SOMME ET PRODUIT DE SERIES ENTIERES) converge (déj montré pr l règle = 1). Pour z = 1, z n = 1 n converge. 2 Soient n z n et b n z n deux séries entières de ryon de convergence respectif R et R b. On considère - l série entière somme ( n + b n )z n, et - l série entière produit n c n z n où c n = p b n p de ryon de convergence respectif p=0 R s et R p. On lors R s inf(r, R b ), R p inf(r, R b ) et pour tout z 1 C tel que z 1 < inf(r, R b ), ( n + b n )z1 n = n z1 n + b n z1 n,et ( + ) ( + ) c n z1 n = n z1 n b n z1 n. n 2 39
6.2 Propriétés fonctionnelles d une série entière Séries entières Remrque Si R R b, lors R s = inf(r, R b ). 6.2 Propriétés fonctionnelles d une série entière Propriété 6 (CONTINUITE) Soit n z n une série entière de ryon de convergence R 0. Alors surd(0, o R), z n z n est une fonction continue. Preuve Soit z 0 D(0, o R). Alors z 0 < R. Soit r tel que z 0 < r < R. n z n converge normlement sur D(0, r) et pour tout n N, z n z n est continue sur D(0, r) donc en z 0. Pour l étude de l intégrtion des séries entières, on se restreint dns ce cours u cs des séries entières réelles : n x n où pour tout n N, n R et x R. Toutes les propriétés des séries entières complexes sont vries pour les séries entières réelles. Si R est l ryon de convergence d une série entière réelle n z n, son disque de convergence est l intervlle ] R, R[. Propriété 7 (INTEGRATION) Soit n x n une série entière réelle de ryon de convergence R 0. Alors pour tout, b tels que < b et [, b] ] R, R[, b n x n dx = b n x n dx. Pour l étude de l dérivtion, on revient ux fonctions complexes : Propriété 8 (DERIVATION) i) Les séries entières n z n et n n z n 1 ont le même ryon de convergence. ii) Soit n z n une série entière de ryon de convergence R 0. Alors sur o D(0, R), z ( + ) (p) n z n = n=p n z n est indéfiniment dérivble et pour tout p N, n(n 1)... (n p + 1) n z n p. 40
Séries entières 6.2 Propriétés fonctionnelles d une série entière Preuve i) Démontré en cours, ii) n n z n 1 le même ryon de convergence R que n z n. Soit z 0 D(0, o R) et soit r tel que z 0 < r < R. n n z n 1 et n z n convergent normlement sur D(0, r) qui est un disque de C. De plus, pour tout n N, z n z n est holomorphe et s dérivée est z n n z n 1 Donc est holomorphe sur D(0, r) (donc en z 0 ), et s dérivée est n=1 n n z n 1 En ppliqunt ce résultt à l série entière dérivée n n z n 1 on obtient l série entière dérivée seconde n(n 1) n z n 2. Pour tout p N, en réitérnt ce processus, on obtient l série entière dérivée d ordre p. On voit là que contrirement ux utres séries de fonctions, les séries entières sont bien dptées à l dérivtion. Grâce à cette propriété, elles constituent un outil prtique pour l résolution de certines équtions différentielles : n z n Exemple On cherche une série entière qui soit égle à s dérivée (donc on cherche une série entière solution de f f = 0). On suppose donc qu il existe R > 0 tel que pour tout x ] R, R[, f(x) = Donc f (x) = n=1 n n x n 1 = (n + 1) n+1 x n. Or f f = 0 donc pour tout x ] R, R[, Donc ( (n + 1) n+1 n ) x n = 0. (n + 1) n+1 x n n x n = 0. n x n. Donc pour tout n N, n = (n + 1) n+1. C est à dire 1 = 0, 2 = 1 /2 = 0 /2, 3 = 2 /3 = 0 /6... Montrons pr récurrence que n = 0 : c est vri ux rngs 1, 2 et 3. Supposons que ç soit vri n! u rng k : k = 0 k!. Alors k+1 = k k + 1 = 0 (k + 1)!. L série insi formée, 0 n! xn pour ryon de convergence + et on peut montrer en utilisnt le théorème de Tylor-Lgrnge que pour tout x R, 0 n! xn = 0 exp(x). Donc toute série entière solution de f f = 0 est de l forme C exp(x) où C est une constnte. En fit il n y ps d utre solution, définie sur un intervlle : si g est définie sur un intervlle I et telle que g g = 0, lors 41
6.2 Propriétés fonctionnelles d une série entière Séries entières Donc il existe C R tel que pour tout x I, ( ) g(x) = g (x) exp(x) exp(x)g(x) exp(x) exp(2x) g(x) exp(x) = 0. = C. Donc g(x) = C exp(x). 42
Chpitre 7 Fonctions développbles en séries entières 7.1 L exemple de l exponentielle complexe On vu que l exponentielle est (à une constnte multiplictive près) l seule fonction qui soit égle à s dérivée (sur un intervlle), et c est l rison pour lquelle on l utilise pour résoudre les équtions différentielles d ordre 1. Pour le montrer, on vu que le ryon de convergence de l série entière réelle xn + n! est + et que pour tout x R, exp(x) = x n. On générlise cette n! expression à tout z C. Définition 1 (EXPONENTIELLE COMPLEXE) Pour tout z C, on pose exp(z) = z n n!. On toujours l propriété fondmentle de l exponentielle. Propriété 1 (PROPRIETE DE L EXPONENTIELLE) Pour tous z 1, z 2 C, exp(z 1 ) exp(z 2 ) = exp(z 1 + z 2 ). Preuve Pour tout z 1, z 2 C, exp(z 1 ) exp(z 2 ) = ( + z n 1 n! 43 ) ( + z n 2 n! ) = c n où pour tout n N, c n =
7.2 Développement en série entière Fonctions développbles en séries entières n k=0 z1 k z2 n k k! (n k)! ( c n est l série produit de zn 1 n! et zn 2 n! Donc exp(z 1 ) exp(z 2 ) = 1 n! n k=0 n! k!(n k)! zk 1z n k 2 = qui sont bsolument convergentes). 1 n! (z 1 + z 2 ) n = exp(z 1 + z 2 ). On v mintennt voir pourquoi les nombres complexes de module 1 sont ssociés à des rottions : Propriété 2 (DEVELOPPEMENT DE COS, SIN, EXP) Pour tout θ R, i) cos(θ) = ( 1) n (2n)! θ2p, ( 1) n ii) sin(θ) = (2n + 1)! θ2n+1, iii) exp(iθ) = cos(θ) + i sin(θ). Preuve i) pour tout n N, cos (2n) (x) = ( 1) n cos(x) et cos (2n+1) (x) = ( 1) n+1 sin(x). Donc, pour tout N N, en ppliqunt l formule de Tylor-Lgrnge à l ordre 2N +1 à cos entre 0 et θ, on : il existe c N compris entre 0 et θ tel que cos(θ) = N ( θ 2n (2n)! cos(2n) (0) + θ2n+1 (2n + 1)! cos(2n+1) (0) θ 2N+2 (2N + 2)! cos(2n+2) (c N ). Or pour tout n N, cos (2n) (0) = ( 1) n cos(0) = ( 1) n et cos (2n+1) (0) = ( 1) n+1 sin(0) = 0, donc 0 N lim N + cos(θ) ( 1) n (2n)! θ2n L preuve du ii) est similire. lim N + θ 2N+2 (2N + 2)! = 0. iii) exp(iθ) = i n θn ( 1) p ( 1) p = n! (2p)! θ2p + i (2p + 1)! θ2p+1 (une suite complexe p=0 p=0 converge si et seulement si s prtie réelle et s prtie imginire convergent). On en déduit imméditement que θ R, exp(iθ) = 1. ) + 7.2 Développement en série entière On vu en utilisnt Tylor-Lgrnge que pour tout x R, x n + exp(x) = n!, cos(x) = ( 1) n x2n + (2n)! et sin(x) = ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)!. 44
Fonctions développbles en séries entières 7.2 Développement en série entière ATTENTION : Il ne fut ps confondre ces expressions vec les développements limités en 0 de exp(x), cos(x) et sin(x). Dns un développement limité, en 0, on ne grde qu un nombre fini de termes, et le développement n est utile que qund x tend vers 0. Ici, on considère une infinité de termes et ces développements sont vlbles pour tout x R. On les ppelle des développements en série entière. Définition 2 (DEVELOPPEMENT EN SERIE ENTIERE) Soit f : D C C tel que D soit un voisinge de 0. On dit que f dmet un développement en série entière sur D si et seulement si il existe une suite de coefficients complexes ( n ) n N telle que pour tout z D, f(z) = n z n. On v voir que si elle existe, l suite ( n ) n N est nécessirement unique et liée ux dérivées successives de f : Propriété 3 (DERIVEE N-IEME) Soit f : D C C développble en série entière sur D. Alors pour tout n N, f (n) (0) existe et n = f (n) (0). n! Preuve Puisque f coïncide u voisinge de 0 vec z n z n qui est indéfiniment dérivble en 0, f l est ussi. De plus, pour tout p N, f (p) (0) = n=p n(n 1)... (n p + 1) n 0 n p = p(p 1)... 1 p. A cuse de cette propriété, à toute fonction indéfiniment dérivble en 0 on ssocie s série de Tylor en 0. Définition 3 (SSERIE DE TAYLOR) Soit f : D C C indéfiniment dérivble en 0. L série de Tylor de f en 0 est l série f (n) (0) z n. n! 45
7.3 Développement des fonctions usuelles Fonctions développbles en séries entières Deux questions se posent lors 1. L série f (n) (0) z n converge-t-elle? n! 2. Si oui, converge-t-elle vers f(z)? Il est évident que pour z = 0, l série converge vers f(0). Pr contre, pour z 0, l reponse peut être non à chcune de ces questions. Des exemples seront étudiés en TD. Remrque On définit de l même fçon que dns C les fonctions développbles en série entière sur R et leur série de Tylor. Pour svoir si une fonction réelle indéfiniment dérivble en 0 est développbles en série entière, les deux mêmes questions se posent, et l réponse peut être non à chcune de ces questions. L formule de Tylor-Lgrnge donne une condition suffisnte pour qu une fonction soit développble en série entière. Dns ce cours, on ne l donne que pour les fonctions réelles. Propriété 4 (CONDITION SUFFISANTE) Soit f : I R R où I est un intervlle contennt 0. On suppose que f est indéfiniment dérivble sur I, et qu il existe une constnte M telle que pour tout n N, pour tout x I, f (n) (x) M. Alors f est développble en série entière. Remrque On déjà utilisé cette propriété pour développer exp, cos et sin. Preuve On pplique l formule de Tylor-Lgrnge à f entre 0 et x, à l ordre N : il existe c N compris entre 0 et x tel que Donc 0 lim N + N f(x) f(x) = N f (n) (0) x n n! x n n! f (n) (0) + xn+1 (N + 1)! f (N) (c N ). lim N + x N+1 (N + 1)! M = 0. 7.3 Développement des fonctions usuelles Souvent, pour développer une fonction en série entière, on se rmène à des fonctions usuelles (comme pour les développements limités). 46
Fonctions développbles en séries entières 7.3 Développement des fonctions usuelles Propriété 5 (FONCTIONS USUELLES) Fmille de l exponentielle : pour tout z C, exp(z) = Pour tout x R, exp(x) + exp( x) ch(x) = = 2 exp(x) exp( x) sh(x) = = 2 cos(x) = x2n ( 1) n (2n)!, et z n n!. x 2n (2n)!, x 2n+1 (2n + 1)!, sin(x) = ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)!. Toutes ces séries entières ont donc un ryon de convergence infini. Fmille du binôme : pour tout z C tel que z < 1, + 1 1 z = z n,et + 1 1 + z = ( 1) n z n. Pour tout x R tel que x < 1, ln(1 + x) = ( 1) n xn+1 n + 1, et rctn(x) = ( 1) n x2n+1 2n + 1. Pour tout α R, pour tout x R tel que x < 1, (1 + x) α = 1 + α α(α 1) x + x 2 α(α 1)... (α n + 1) + = x n. 1! 2! n! Toutes ces séries entières ont un ryon de convergence égl à 1. Remrque 1. De l même fçon qu on défini exp(z), pour tout z C, en utilisnt le développement en série entière de l exponentielle, on peut définir cos(z), sin(z), ch(z) et sh(z), pour tout z C. Les développements de ces fonctions donnés dns l propriété précédente sont encore vlbles dns C. Mis ces fonctions définies sur C sont beucoup moins utilisées que l exponentielle complexe. 47
7.3 Développement des fonctions usuelles Fonctions développbles en séries entières 2. Le développement de On en déduit le développement de 1 1 z se clcule fcilement en étudint l série géométrique z n. 1 en chngent z en z, puis celui de ln(1 + x) en 1 + z se restreignnt à x R puis en prennt l primitive du développement de on clcule le développement de rctn(x) en développnt d bord s dérivée 1. De même, 1 + x 1 1 + x 2. 3. Le développement de (1 + x) α n est vlble que pour α indépendnt de x. L méthode l plus prtique pour le clculer est d utiliser une éqution différentielle (voir en TD). Pour α N, il n y qu un nombre fini de termes non nuls dns ce développement, et on retrouve l formule du binôme de Newton : (1 + x) α = α α! n!(α n)! xn. 4. Les fonctions ln(1+x), rctn(x) et (1+x) α peuvent elles ussi être prolongées à o D(0, 1) C de fçon à ce que les développements donnés dns l propriété précédente soient encore vlbles. Mis il y plusieurs fçons de définir ces fonctions dns le cs complexe et on ne considèrer que le cs réel dns ce cours. 48
Chpitre 8 Séries de Fourier Les séries de Fourier sont des séries de fonctions d un type prticulier, qui servent à étudier les fonctions périodiques. L idée est d exprimer une fonction 2π-périodique quelconque comme une combinison linéire de fonctions 2π-périodiques simples, de l forme cos(nx) ou sin(nx), vec n N. Cette combinison linéire ser, en générl, une somme infinie, c est à dire une série : Définition 1 (SERIE TRIGNONOMETRIQUE) On ppelle série trigonométrique une série de fonctions f n dont le terme générl est de l forme f n (x) = n cos(nx) + b n sin(nx) vec x R et,pour tout n N, n C et b n C. Propriété 1 (CONVERGENCE) Si n et b n convergent bsolument, lors l série trigonométrique ( n cos(nx) + b n sin(nx) ) converge normlement sur R. Preuve sup n cos(nx) + b n sin(nx) n + b n. Or, si n et b n convergent bsolument lors x R ( n + b n ) converge donc sup n cos(nx) + b n sin(nx) converge. x R Avec des hypothèses moins fortes sur ( n ) n N et (b n ) n N, on : 49
Séries de Fourier Propriété 2 (CONVERGENCE (2)) Si les suites ( n ) n N et (b n ) n N sont réelles, décroissntes, et tendent vers 0 lors, pour tout x 0 R \ 2πZ fixé ( n cos(nx 0 ) + b n sin(nx 0 ) ) converge. De plus pour tout ε > 0, ( n cos(nx) + b n sin(nx) ) converge uniformément sur chque intervlle de l forme [2nπ + ε, 2(n + 1)π ε] vec n Z. L preuve de cette propriété est une ppliction de l règle d Abel uniforme. En utilisnt les formules d Euler, on peut réécrire une série trigonométrique en remplçnt les cos et sin pr des exponentielles : ( ) ( ) n ib n pour tout n N, n cos(nx) + b n sin(nx) = e inx n + ib n + e inx. 2 2 Cette remrque permet d introduire ce qu on ppelle l écriture complexe d une série trigonométrique. Mis pour ç, l hbitude est d utiliser des séries pour lesquelles l indice n est dns Z et non plus simplement dns N : Définition 2 (INDICE ENTIER RELATIF) L série n Z x n est pr définition l série x 0 + n N (x n + x n ). On lors : Propriété 3 (ECRITURE COMPLEXE) Toute série trigonométrique n N ( ) n cos(nx) + b n sin(nx) peut se réécrire sous l forme n Z c n e inx vec c 0 = 0 et n N, c n = n ib n 2 et c n = n + ib n. Alors, n N, n = c n + c n et b n = i(c n c n ). 2 Lorsqu une série trigonométrique converge uniformément sur [ π, π], on peut retrouver ses coefficients en fonction de s somme : 50
Séries de Fourier Propriété 4 (EVALUATION DES COEFFICIENTS) Soit ( ) n cos(nx) + b n sin(nx) une série trigonométrique uniformément convergente sur [ π, π]. Notons, S(x) = Alors 0 = 1 2π n = 1 π π π π ( ) n cos(nx) + b n sin(nx), pour tout x R. S(x)dx et pour tout n N, π S(x) cos(nx)dx et b n = 1 π π π S(x) sin(nx)dx. Remrque 1. S est une fonction R C. On donc ici des intégrles de fonctions R C uxquelles il fut donner un sens. Pr définition, pour f : R C, b f(x)dx = b Re(f(x))dx + i b Im(f(x))dx. 2. On n ps d expression pour b 0. En fit, puisque b 0 est le coefficient de sin(0x) = 0, il n ucune importnce, on peut choisir pr exemple b 0 = 0. Si l série trigonométrique est donnée pr son écriture complexe, les expressions se simplifient : Propriété 5 (SERIE TRIGO-COMPLEXE) Soit n Z c n e inx une série trigonométrique écrite sous forme complexe qui converge uniformément sur [ π, π]. Notons, pour tout x R, S(x) = 1 π S(x)e inx dx. 2π π n= c n e inx. Alors pour tout n Z, c n = Preuve Soit n 0 Z fixé. Puisque n Z c n e inx converge uniformément sur [ π, π], 1 π S(x)e in0x dx = 1 π 2π π 2π π = 1 2π 51 n= π n= π c n e inx e in 0x dx c n e inx e in 0x dx.
Séries de Fourier Or 1 π e inx e in0x dx = 2π π 1 si n = n 0, 0 sinon. Cette propriété une interpréttion géométrique simple qui ser développée dns le prgrphe sur l églité de Prsevl. Remrque Puisque cos(nx) et sin(nx) sont 2π-périodiques, S(x) l est ussi. A cuse de ç, on peut chnger l intervlle d intégrtion : pour tout α R, pour tout n Z, c n = 1 α+2π S(x)e inx dx. 2π α L même chose est vrie pour n et b n. Mintennt qu on étudié les séries trigonométriques, on peut revenir u progrmme de déprt : étnt donnée une fonction 2π-périodique quelconque, peut-on l réécrire comme l somme d une série trigonométique? Définition 3 (SERIE DE FOURIER) (SERIE DE FOURIER) Soit f une fonction 2π-périodique. S série de Fourier est pr définition l série trigonométrique ( n cos(nx) + b n sin(nx) ) définie pr 0 = 1 π f(x)dx et pour tout n N, n = 1 π f(x) cos(nx)dx et 2π π π π π b n = 1 f(x) sin(nx)dx, si ces intégrles sont définies. π π Ou, de fçon équivlente, c est l série trigonométrique écrite sous forme complexe c n e inx où, pour tout n Z, c n = 1 π f(x)e inx dx. Les coefficients n et b n 2π n Z π (ou, de fçon équivlente, c n ) sont ppelés coefficients de Fourier de f. Propriété 6 (PARITE) 1. Puisque f est 2π-périodique, on peut chnger l intervlle d intégrtion en [α, α + 2π], pour tout α R. 2. Si f est pire, pour tout n N, b n = 0. 3. Si f est impire, pour tout n N, n = 0. 52
Séries de Fourier De fçon nlogue à ce qui se psse qund on développe une fonction en série entière, étnt donnée une fonction f 2π-périodique dont les coefficients de Fourier sont définis, deux questions se posent : 1. L série de Fourier de f converge-t-elle? 2. Si oui, converge-t-elle vers f? Mlheureusement, comme pour les séries entières, l réponse peut être non à chcune de ces questions. Il existe toute une théorie décrivnt l convergence de l série de Fourier sous diverses hypothèses sur f. Prmis cette théorie, on retiendr pour ce cours le résultt suivnt : Théorème 1 (DIRICHLET JORDAN) Soit f une fonction 2π-périodique continue sur [ π, π] suf éventuellement en un nombre fini de points. On suppose qu en ces points de discontinuité, f dmet une limite à droite et une limite à guche finies. Enfin, on suppose que f dmet en tout point de [ π, π] une dérivée à droite et une dérivée à guche (finies). Alors pour tout x R, l série de Fourier de f est convergente en x et pour somme 1 ( ) lim f(y) + lim 2 f(y). y x + y x En prticulier, en tout point x où f est continue, l somme de s série de Fourier est f(x). Il est prtique de réinterpréter l théorie des séries de Fourier en utilisnt les notions d espce vectoriel et de produit sclire. On peut lors retenir certins spects des séries de Fourier en grdnt en tête l nlogie vec l espce vectoriel simple qu est R 2, qui est muni du produit sclire x. y = x 1 y 1 + x 2 y 2. Cette nlogie s écrit de fçon plus nturelle qund on utilise l écriture complexe des séries de Fourier. L espce qui, pour les séries de Fourier, joue le rôle de l espce vectoriel R 2 est l ensemble de fonctions F = {f : R C, 2π-periodiques et dont le crré est intégrble sur [ π, π]}. On peut définir un produit sur F (une fonction F F C) qui jouer le rôle du produit sclire de R 2 : Définition 4 (PRODUIT SCALAIRE) Pour f, g F, on ppelle produit sclire de f et g, et on note (f, g) le nombre complexe (f, g) = 1 π f(x)ḡ(x)dx où ḡ(x) désigne le nombre complexe conjugué de 2π π g(x). 53
8.1 Interpréttion géométrique des séries de Fourier Séries de Fourier Lorsqu on un produit sclire, on peut définir une norme : Définition 5 (NORME) (NORME) Soit f F. On ppelle norme de f et on note f le nombre réel positif f = (f, f). Remrque L norme de R 2 est construite de cette fçon à prtir du produit sclire : x = x. x = x 2 1 + x 2 2. Propriété 7 (BASE ORTHONORMEE) L ensemble (infini) des fonctions {x e inx, n Z} forme une bse orthonormée (infinie) de F muni du produit sclire (.,.). En effet on déjà vu que pour tout n 0 Z, 1 π e inx e in0x dx = 2π π ce qui se trduit pr 1 si n = n 0, 0 sinon, 1 si n = n 0, (e in0x, e inx ) = 0 sinon, ce qui est l définition d une fmille orthonormée. Le fit que cette fmille contienne ssez d éléments pour être considérée comme une bse nécessite des développements supplémentires : L différence entre R 2 et F est qu une bse orthonormée de R 2 ne contient que 2 éléments lors qu une bse orthonormée de F contient une infinité d éléments. On dit que F est de dimension infinie. Pr nlogie vec R 2, on dit qu on décomposé f F suivnt l bse orthonormée {x e inx, n Z} si on trouvé des coefficients c n Z tels que +N lim f(x) c n e inx = 0. L N + n= N proposition précédente ffirme que cette décomposition est possible pour tout f F. Alors on obtient l interpréttion suivnte. 8.1 Interpréttion géométrique des séries de Fourier Soit f F. S série de Fourier n est rien d utre que s décomposition suivnt l bse orthonormée {x e inx, n Z}. Cette interpréttion permet de retenir l expression des coefficients de Fourier de f : 54
Séries de Fourier 8.1 Interpréttion géométrique des séries de Fourier Propriété 8 (PROJECTION ORTHOGONALE) Soit f F. Pour tout n Z son coefficient de Fourier c n est l projection orthogonle de f sur e inx, c est à dire c n = (f(x), e inx ) = 1 π f(x)e inx dx. 2π π Enfin, cette interpréttion permet de relier l norme de f vec ses coefficients de Fourier : Théorème 2 (PARSEVAL-BESSEL) Soit f F et {c n, n Z} ses coefficients de Fourier en écriture complexe, {( n, b n ), n N} ses coefficients de Fourier en écriture réelle. Alors l norme de f vérifie : 1. Inéglité de Bessel : pour tout N N, 2. Eglité de Prsevl : f 2 = (f, f) = 1 π f(x) 2π f(x)dx π = 0 2 + 1 N ( n 2 + b n 2 ). 2 f 2 = (f, f) = n=1 n= c n 2 = 0 2 + 1 2 n=1 N n= N c n 2 ( n 2 + b n 2 ). 55
8.1 Interpréttion géométrique des séries de Fourier Séries de Fourier 56
Chpitre 9 INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE Une intégrle dépendnt d un prmètre est une fonction de l forme ϕ(x) = J f(x, t)dt. Nous intègrons donc en fonction de t sur un intervlle J R, mis cette fonction dépend d un prmètre x. En intégrnt, nous obtenons donc une nouvelle fonction qui dépendr de x, notée ici ϕ. En générl on ne sit ps clculer explicitement l intégrle, et donc l seule expression que nous puissions voir de ϕ ser s forme intégrle et non ps explicite. Nous essyons qund même d voir des informtions sur ϕ concernnt s continuité, dérivbilité et même son intégrtion qund c est possible. C est le but de ce chpitre. Il existe une théorie développée sur des espces vectoriels, mis nous ne nous contenterons dns cette prtie que de fonctions de l forme ϕ : I R x f(x, t)dt, où I et J sont des intervlles de R bornés ou non, vec x I et t J. Nous nous limiterons ici dns le cdre des intégrles de Riemnn, pour un cdre plus générl il fudr se référer u cours d intégrtion de troisième nnée de licence. J Remrque Nous verrons que lorsque J n est ps borné, pr exemple J = [, + [ l limite lim ϕ(x), où x I n est ps comme notre intuition pourrit le lisser penser. x x 0 En effet, nous serions évidemment tentés d écrire que cette limite est l même que f(x 0, t)dt mis c est fux en générl. Nous pouvons le montrer vec l exemple suivnt. 57 lim f(x, t)dt = x x 0
9.1 Intervlle d intégrtion J compct INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE Exemple Soit ϕ(x) = 0 xe tx dt définie pour x 0. On pose f(t, x) = xe tx. On donc ϕ(0) = 0, et un simple clcul nous montre que pour tout x > 0, ϕ(x) = 1. Pr conséquent, lim ϕ(x) = 1 x 0 + D utre prt, lim xe tx = 0 et donc x 0 Ainsi, lim x 0 + ϕ(x) 0 lim x 0 0 + f(x, t)dt. On montrerit églement que dϕ(x) dx lim f(x, t)dt = 0. x 0 + 0 f (x, t)dt. x 9.1 Intervlle d intégrtion J compct 9.1.1 Bornes d intégrtion constntes Dns cette section, nous supposerons que t J = [, b], vec et b des réels tels que < b (ce n est ps nécessire mis cel simplifier les nottions). Nous llons donc considérer ϕ de l forme ϕ : I R x b f(x, t)dt, Théorème 1 (CONTINUITE) On suppose f continue sur I [, b], lors l fonction ϕ : I R x est définie et continue sur l intervlle I. b f(x, t)dt, Preuve Démontré en cours. 58
INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE 9.1 Intervlle d intégrtion J compct Théorème 2 (DERIVEE) On suppose que i. f est continue sur I [, b], ii. f dmet une dérivée prtielle f(x, t) est continue pour tout (x, t) I [, b] x lors l fonction ϕ : I R x f sur I [, b] et l ppliction (x, t) x b f(x, t)dt, est définie et de clsse C 1 sur lintervlle I. On de plus pour tout x I, ϕ (x) = b f(x, t)dt. x Preuve Démontré en cours. Théorème 3 (DERIVEE D ORDRE SUPERIEUR) On suppose que i. l ppliction f continue sur I [, b], ii. L ppliction f dmet des dérivées prtielles m f jusqu à l ordre n (respectivement à tout ordre) sur I [, b] et pour tout m n (respectivement pour tout m) xm les pplictions (x, t) m f(x, t) sont continues pour tout (x, t) I [, b] xm lors l fonction ϕ : I R x b f(x, t)dt, est définie et de clsse C m (respectivement de clsse C ) sur lintervlle I. On de plus pour tout m n (respectivement pour tout m N), pour tout x I, ϕ (m) (x) = b m f(x, t)dt. xm Preuve Démontré en cours. 59
9.1 Intervlle d intégrtion J compct INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE Théorème 4 (INTEGRATION : FUBINI) On suppose que f : [α, β] [, b] R est continue (où [α, β] et [, b] sont des segments fermés bornés de R), lors les fonctions ϕ : [α, β] R x sont continues, et l on b ( β α b f(x, t)dt, et φ : [, b] R t β ) β ( b ) f(x, t)dx dt = f(x, t)dt dx. α α f(x, t)dx, 9.1.2 Bornes d intégrtion vribles Théorème 5 (CONTINUITE) On suppose les pplictions f : I R [, b] R, u : I [, b] et v : I [, b] continues, lors l fonction est continue. ϕ : I R x v(x) u(x) f(x, t)dt, 60
INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE 9.2 Intervlle d intégrtion J non borné Théorème 6 (DERIVABILITE) On suppose que : 1. f : I R [, b] R est continue, 2. f dmet une dérivée prtielle f continue sur I, x 3. les pplictions u : I [, b] et v : I [, b] sont dérivbles, lors l fonction est dérivble, de dérivée ϕ (x) = v(x) u(x) ϕ : I R x v(x) u(x) f(x, t)dt, f(x, t) dt + v (x)f(x, v(x)) u (x)f(x, u(x)). x 9.2 Intervlle d intégrtion J non borné Dns cette section, on ne suppose plus un intervlle d intégrtion [, b] mis un intervlle du type [, + [, le cs ], ] se fit de fçon nlogue. Nous llons considérer ici une ppliction f : I [, + [ R (x, t) f(x, t), où R. Comme nous l vons dns l introduction de ce chpitre, l continuité seule de f ne ser ps suffisnte pour obtenir des résultts similires à l section précédente. Nous devrons voir des hypothèses supplémentires qu il ne fudr ps oublier de montrer, sinon nous ne pourrons ps conclure. 9.2.1 Rppel Avnt toute chose, il fut tout d bord s ssurer que pour tout x I l intégrle converge. On rppelle l définition du chpitre 3. dpté à notre fonction f. 61 f(x, t)dt
9.2 Intervlle d intégrtion J non borné INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE Définition 1 (INTEGRALE IMPROPRE) Soient R et f : I [, + [ R intégrble sur tout intervlle borné I [, b] inclus dns I [, + [. Si lim k + k f(x, t)dt converge, et on note que l intégrle impropre diverge. f(x, t)dt existe et est finie, on dit que l intégrle impropre f(x, t)dt = k lim k + f(x, t)dt. Sinon, on dit 9.2.2 Convergence Définition 2 (CONVERGENCE UNIFORME) Soient R et f : I [, + [ R continue sur tout intervlle I [, + [. On dit que pour tout x I l intégrle générlisée f(x, t)dt converge uniformément sur I si on : pour tout ε > 0, il existe A R, A, tel que pour tout T > A, et pour tout x I, on T f(x, t)dt < ε. On en déduit l propriété suivnte. Propriété 1 (CRITERE DE CAUCHY UNIFORME) Sous les nottions et hypothèses de l définition précédente, on dit que l intégrle générlisée converge uniformément sur l intervlle I si et seulement si pour tout ε > 0, il existe A et T > A R, A, tels que pour tout T tel que T > T > A, et pour tout x I, on T f(x, t)dt < ε. T 62
INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE 9.2 Intervlle d intégrtion J non borné Définition 3 (CONVERGENCE NORMALE OU DOMINEE) Soient R et f : I [, + [ R continue sur tout intervlle I [, + [. On dit que pour tout x I l intégrle générlisée f(x, t)dt converge normlement sur une prtie V de I s il existe une fonction positive continue g : [, + [ R + telle que i. pour tout x V et pour tout t [, + [, f(x, t) g(t), ii. l intégrle est convergente. g(t)dt Propriété 2 (CONVERGENCE NORMALE ET UNIFORME) Si une intégrle générlisée converge normlement, elle converge uniformément. Propriété 3 (CONVERGENCE UNIFORME ET CONTINUITE) Soient R et f : I [, + [ R continue sur tout intervlle I [, + [. Si l intégrle générlisée f(x, t)dt converge uniformément sur tout intervlle fermé bornée contenu dns l intervlle I, lors l fonction ϕ définie pr est continue sur I. ϕ(x) = f(x, t)dt En règle générle il suffit de montrer le résultt suivnt pour voir l continuité de ϕ. 63
9.2 Intervlle d intégrtion J non borné INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE Propriété 4 (CONTINUITE SOUS LE SIGNE INTEGRAL) Soient R et f : I [, + [ R continue sur tout intervlle I [, + [ tels que : i. pour tout x I l fonction x f(x, t) est continue sur I, ii. pour tout t [, + [, l fonction t f(x, t) est continue et intégrble sur [, + [, iii. il existe une fonction g : [, + [ R continue, positive et intégrble sur [, + [ telle que pour tout (x, t) I [, + [, Alors l fonction ϕ définie pour tout x I pr f(x, t) g(t). est continue sur I. ϕ(x) = f(x, t)dt Propriété 5 (CONVERGENCE UNIFORME ET DERIVEE) Soient R et f : I [, + [ R continue sur tout intervlle I [, + [. On suppose que les conditions suivntes sont vérifiées : i. il existe x 0 dns I tel que l intégrle suivnte f(x 0, t)dt converge. ii. L fonction f dmet une dérivée prtielle pr rpport à l première vrible continue sur I [, + [, iii. L intégrle générlisée f(x, t)dt (9.1) x converge uniformément sur tout intervlle fermé borné de I, lors l fonction ϕ définie pr est dérivble sur I et ϕ(x) = ϕ (x) = f(x, t)dt f(x, t)dt. x 64
Chpitre 10 Fonctions Eulériennes Prmi les pplictions des fonctions dépendnt d un prmètre, nous pouvons trouver les fonctions eulériennes. 65
66 Fonctions Eulériennes
Chpitre 11 Trnsformées de Lplce 11.1 Rppel En première nnée, on vu que l différentition et l intégrtion sont des trnsformées, utrement dit, ces opértions trnsforment une fonction en une utre. De plu, ces deux trnsformées sont linéires. Dns ce chpitre, nous llons étudier une trnsformée prticulière : l trnsformée de Lplce. Auprvnt définissons l notion de trnsformée intégrle. Définition 1 (TRANSFORMEE INTEGRALE) Si, pour tout (x, y) R 2, (x, y) f(x, y) est une fonction de deux vribles à vleurs dns R lors une intégrle définie pr rpport à l une des deux vribles conduit à une fonction de l utre vrible. Autrement dit, F : { R R y F (y) = f(x, y)dx. De fçon nlogue, une intégrle définie pr b K(s, t)f(t)dt trnsforme une fonction f de vrible t en une fonction F de vrible s. Nous nous intéressons tout prticulièrement ici à une trnsformée intégrle où l intervlle d intégrtion est l intervlle non bornée [0, + [. On rppelle, d près les chpitres précédents, que si pour tout t R+, t f(t) est définie, lors on définit 0 K(s, t)f(t)dt = lim b + b K(s, t)f(t)dt, comme étnt une intégrle impropre. Si l limite existe on dit que l intégrle est convergente, sinon elle diverge. Dns ce qui suit, nous llons prendre K(x, t) = e st : c est comme cel que nous llons définir l trnsformée de Lplce. 67
11.2 Définition Trnsformées de Lplce 11.2 Définition Définition 2 (TRANSFORMEE DE LAPLACE) Soit f une fonction définie pour t 0. Alors l intégrle L {f(t)} = 0 e st f(t)dt (11.1) est ppelée trnsformée de Lplce de f sous l condition qu elle converge. Si elle converge le résultt est une fonction de s que nous supposerons réels ici (il est à noté que l pluprt du temps on considère s complexe, mis pour l clrté de ce chpitre nous resterons sur les réels). Nottion : Nous urons pour hbitude dns ce chpitre de noter les trnsformées de Lplce en mjuscule correspondnt à l fonction trnsformée. Pr exemple, F (s) = L {f(t)}, G(s) = L {g(t)}, Y (s) = L {y(t)},... Propriété 1 (LINEARITE) Lorsqu elle existe, l trnsformée de Lplce L est une trnsformée linéire, utrement dit pour tous f, g tels que L {f} et L {g} existent et pour tous réels α et β, nous vons : 0 e st [αf(t) + βg(t)]dt = α 0 e st f(t)dt + β = αl {f(t)} + βl {g(t)} = αf (s) + βg(s) 0 e st g(t)dt 11.3 Quelques fonctions élémentires Présentons dns cette section les trnsformées de Lplce des fonctions élémentires les plus usuelles vec les conditions sur s pour voir leur existence. 68
Trnsformées de Lplce 11.4 Existence de L Fonction Trnsformée Condition. L {1} = 1 s s > 0 b. L {t n } = n! s n+1, n N s > 0 c. L {e t } = 1 s s > d. L {sin(kt)} = e. L {cos(kt)} = k s 2 + k 2 s > 0 s s 2 + k 2 s > 0 f. L {sinh(kt)} = g. L {cosh(kt)} = k s 2 k 2 s s 2 k 2 s > s > 11.4 Existence de L Rppelons ce qu est une fonction continue pr morceux. Définition 3 (CONTINUITE PAR MORCEAUX) Une fonction est continue pr morceux sur [0, + [ si pour chque intervlle 0 t b, il existe un nombre fini de points t k, k = 1, 2,..., n (t k 1 t k ) sur lesquels f possde des discontinuits et qui est continue sur chque intervlle ouvert t k 1 < t < t k. Nous introduisons lors une nouvelle notion ppelée ordre exponentiel, qui permet de mîtriser les vritions de l fonction f en fonction de certines exponentielles. Définition 4 (ORDRE EXPONENTIEL) Une fonction est d ordre exponentiel c s il existe des constntes réelles c, M > 0 et T > 0 telles que f(t) Me ct, pour tout t > T. Nous pouvons lors énoncer une condition suffisnte d existence de trnsformée de Lplce. 69
11.5 Trnsformée inverse et trnsformée de dérivées Trnsformées de Lplce Théorème 1 (CONDITION SUFFISANTE) Si f, continue pr morceux sur [0, + ) est d ordre exponentiel c pour t > T lors L f(t) existe pour s > c. Attention, ces conditions ne sont ps nécessires! 11.5 Trnsformée inverse et trnsformée de dérivées 11.5.1 Trnsformée inverse Définition 5 (TRANSFORMEE INVERSE) Si F (s) représente l trnsformée de Lplce d une fonction f, i.e. L {f(t)} = F (s), lors f(t) est l trnsformée de Lplce inverse de F (s) et nous notons f(t) = L 1 {F (s)}. Quelques trnsformées inverses Trnsformée Trnsformée inverse. 1 = L 1 { 1 s } b. t n = L 1 { n! }, n N sn+1 c. e t = L 1 { 1 s } d. sin(kt) = L 1 k { s 2 + k } 2 e. cos(kt) = L 1 s { s 2 + k } 2 f. sinh(kt) = L 1 k { s 2 k } 2 g. cosh(kt) = L 1 s { s 2 k } 2 Ett que l trnsformée de Lplce d une ppliction nulle t N (t), est nulle, il résulte de cel que deux fonctions différentes peuvent voir l même trnsformée de Lplce : L (f(t) + N (t)) = L (f(t)) = F (t) 70
Trnsformées de Lplce 11.5 Trnsformée inverse et trnsformée de dérivées Exemple Voir exemple en cours ou TD. Pr conséquent, si nous cceptons l fonction nulle, nous voyons que l trnsformée inverse de Lplce n est ps unique. D un utre côté, elle ser unique si nous n cceptons ps les fonctions nulles. Ce résultt s énonce dns le théorème suivnt. Théorème 2 (LERCH) Si nous nous restreignons ux fonction f qui sont continues pr morceux sur tout intervlle fini [0, N], N R + et d ordre exponentiel pour t > N, lors l trnsformée inverse de Lplce F (s) est unique. Remrque -L 1 est un opérteur linéire, utrement dit, pour tous α, β constntes, et s tels que F (s) et G(s) existent, L 1 {αf (s) + βg(s)} = αl 1 {F (s)} + βl 1 {G(s)}, où F et G sont des trnsformées des fonctions f et g. 11.5.2 Trnsformer une dérivée Le but de ce chpitre sur les trnsformées de Lplce est de les utiliser pour l résolution d équtions différentielles. Supposons que f soit continue et d ordre exponentiel pour tout t 0 et que f soit continue pr morceux pour tout t 0, lors L {f (t)} = 0 e st f (t)dt = [e st f(t)] + 0 + s = f(0) + sl {f(t)}. 0 e st f(t)dt donc L {f (t)} = sf (s) f(0). De mme, L {f (t)} = s 2 F (s) sf(0) f (0), et L {f (t)} = s 3 F (s) s 2 f(0) sf (0) f (0), Théorème 3 (DERIVEE) Si f, f,..., f n 1 sont continues sur [0, + ) et sont d ordre exponentiel et si f (n) est continue pr morceux sur [0, + ) lors où F (s) = L f(t). L {f (n) (t)} = s n F (s) s n 1 f(0) s n 2 f (0)... f (n 1) (0) 71
11.6 Résolution d équtions différentielles Trnsformées de Lplce 11.6 Résolution d équtions différentielles Dns cette section, nous llons nous intéresser à une méthode de résolution des équtions différentielle linéires d ordre n à coefficients constnts grâce ux trnsformées de Lplce. Considérons l éqution différentielle n x (n) (t) + n 1 x (n 1) (t) +... + 0 x(t) = g(t), (11.2) x(0) = x 0, x (0) = x 1,... x (n 1) = x n 1, où les i et les y i, i = 0,..., n sont constntes. Pr l propriété de linérité, l trnsformée de Lplce de cette combinison linéire est une combinison linéire de trnsformées de Lplce : n L {x (n) (t)} + n 1 L {x (n 1) (t)} +... + 0 L {x(t)} = L {g(t)}. (11.3) Le système (11.2) devient lors n [s n X(s) s n 1 x(0)... x (n 1) (0)] + n 1 [s n 1 X(s) s n 2 x(0)... x (n 2) (0)] + 0 X(s) = G(s), (11.4) où L {x(t)} = X(s) et L {g(t)} = G(s). l éqution linéire devient lors une éqution lgébrique en X(s). On résout lors l éqution trnsformée (11.4) pour X(s), P (s)x(s) = Q(s) + G(s). (11.5) On écrit X(s) = Q(s) P (s) + G(s) P (s) où P (s) = ns n + n 1 s n 1 +... + 0, Q(s) est un polynôme de degré n 1 et G(s) = L {g(t)}. Il est à noté que pour cette étpe il ser demndé de bien se souvenir de l décomposition en éléments simples des frctions rtionelles du cours d lgèbre II. Enfin on résout x(t) = L 1 {X(s)}. Théorème 4 (LIMITE) Si f est continue pr morceux sur [0, + ) et d ordre exponentiel pour t > T lors lim s + L {f(t)} = 0. Remrque Ce théorème perrmet de dire si. Remrque L trnsforme de Lplce inverse peut ne ps tre unique, i.e. L {f 1 (t)} = L {f 2 (t)} vec f 1 f 2. Mis si f 1 f 2 sont continues pr morceux sur [0, + ) et d ordre exponentiel lors f 1 et f 2 sont dites essentiellement les mmes, et si elles sont continues, on dit que ce sont les mmes. 72
Trnsformées de Lplce 11.7 Thorme de trnsltion 11.7 Thorme de trnsltion Il n est ps prtique d utiliser l trnsforme de Lplce (s dfinition) chque fois que nous souhitons trouver l trnsforme de Lplce d une fonction f. Dns ce prgrphe, nous prsentons des thormes qui nous viterons un trvil fstidieux et qui nous permettront de construire une liste plus longue de trnsformes de Lplce. 11.7.1 Trnsltion sur l xe des s 11.7.2 Trnsltion sur l xe des t Définition 11.1 Fonction de Heviside L fonction de Heviside U (t ) (U pour Unit Step Function ) est dfinie pr { 0 si 0 t <, U (t ) = 1 si t. 11.8 Proprits dditionnelles 11.8.1 Multiplier une fonction pr t n 11.8.2 Convolution Si les fonction f et g sont continues pr morceux sur [0, + ), lors un produit spcil not f g est dfini pr l intgrle f g = t C est l convolution de f et g. C est une fonction de t. N.B. : t 0 f(τ)g(t τ)dτ = t 0 0 f(τ)g(t τ)dτ. f(t τ)g(τ)dτ, utrement dit f g = g f. Mis ATTENTION, l intgrle d un produit n est ps gl u produit des intgrles!!! Pr contre, l trnsforme de Lplce d un produit spcil est le produit des trnsformes de Lplce. Ce qui est intressnt ici est donc de trouver l trnsforme de Lplce d un produit de convolution sns clculer l intgrle de Lplce. 11.8.3 Trnsforme d une intgrle Qund g(t) = 1 et L {g(t)} = G(s) = 1 s, lors L { t L 1 { F (s) s } 11.8.4 Eqution intgrle de Volterr 0 f(τ)dτ} = F (s) s et donc t 0 f(τ)dτ = Le thorme de convolution et le rsultt de l intgrle d une trnsforme sont utiles pour rsoudre des qutions dns lesquelles l fonction inconnue pprt sous le signe. 73
11.8 Proprits dditionnelles Trnsformées de Lplce Eqution intgrle de Volterr f(t) = g(t) + t 0 f(τ)h(t τ)dτ, o g et h sont connues. Voir TD pour un exemple de rsolution d une telle qution. 11.8.5 Trnsforme de fonction priodique Si f est priodique de priode T, T > 0, f(t + T ) = f(t). 11.8.6 Fonction δ-dirc Les systmes mcniques sont souvent soumis des forces externes de lrge mgnitude sur une priode trs brve (une ile d vion qui vibre frppe pr un clir, une msse sur un ressort (flipper), une blle (golf, tennis, bse-bll etc...). Impulsion : δ (t t 0 ) = 0 0 t < t 0, 1 2 t 0 t t 0 +, 0 t t 0 +, o > 0 et t 0 > 0. Qund 0, δ (t t 0 ) tend vers l fonction δ-dirc. Fonction δ-dirc : quelques proprits : i. δ(t t 0 ) = lim { 0 δ (t t 0 ) sit = t0 ii. δ(t t 0 ) = 0 sit t 0 iii. 0 δ(t t 0 )dt = 1 74