Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d Anlyse IV Suites et Séries de fonctions 1
Prémbule Le but de ce cours est de générliser l notion de somme finie de termes en étudint comment cette dernière se comporte lorsque l on considère une succession infinie de termes. L clé ser de considérer ces sommes infinies, ussi ppelées séries, comme l limite de suites. Autrement dit, qund on se souvient du cours sur les suites, il ser plus fcile d ssimiler le cours sur les séries C est pour cel que les deux premiers chpitres concernnt des rppels ne doit ps être négligé. Un des points clés de ce cours ser l étude des séries de Fourier dont les pplictions sont ssez nombreuses dns d utres domines des mthémtiques (notmment les équtions différentielles et les équtions ux dérivées prtielles). Pour rriver u chpitre concernnt les séries de Fourier, il fudr cependnt fire un petit chemin qui nous y mèner de fçon moins brupte. Comme nous l vons écrit plus hut, nous rppellerons l structure de R, puis l notion de suites dns R ou C. Nous considèrerons ensuite les séries dns leur générlité, puis les suites et séries de fonction, pour ensuite psser ux séries entières, ux fonctions développbles en séries entière et enfin les séries de Fourier. Nous pourrons lors résoudre quelques équtions différentielles à l ide de cette théorie. L objectif de l deuxième prtie du cours ser de résoudre des équtions différentielles à l ide des trnsformées de Lplce. Cet outil mthémtique ne pourr s ppliquer rigoureusement sns un petit trvil préliminire sur les intégrles dépendnt d un prmètre. Une fois ces concepts ssimilés, vous serez en possession d outils solides pour résoudre plusieurs types d équtions différentielles et équtions ux dérivées prtielles mis églement des problèmes un peu plus théoriques. 2
Tble des mtières 1 Structure de R, suites dns R ou C : 5 1.1 L crise des nombres chez les grecs......................... 5 1.2 Suites et voisinges :................................. 6 1.3 Limites de suites................................... 7 1.4 Borne sup ou inf, mx ou min............................ 9 1.5 Suites djcentes................................... 10 2 Rppels suites complexes, limsup de suites réelles 11 2.1 Suites complexes................................... 11 2.2 Limite sup et inf.................................... 14 3 Séries dns R ou C : 17 3.1 Premiers critères de convergence........................... 18 3.2 Séries réelles à termes positifs............................ 19 3.3 Comprison d une série et d une intégrle impropre................ 22 3.4 Séries à termes quelconques............................. 23 3.5 Sommtion pr pquets, produit........................... 24 4 Suites de fonctions 27 4.1 Propriétés des limites uniformes........................... 30 5 Série de fonctions 33 5.1 DEFINITION..................................... 33 6 Séries entières 37 6.1 Opértions sur les séries entières........................... 39 6.2 Propriétés fonctionnelles d une série entière..................... 40 7 Fonctions développbles en séries entières 43 7.1 L exemple de l exponentielle complexe....................... 43 7.2 Développement en série entière............................ 44 7.3 Développement des fonctions usuelles........................ 46 8 Séries de Fourier 49 8.1 Interpréttion géométrique des séries de Fourier................... 54 3
TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES 9 INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE 57 9.1 Intervlle d intégrtion J compct.......................... 58 9.1.1 Bornes d intégrtion constntes....................... 58 9.1.2 Bornes d intégrtion vribles........................ 60 9.2 Intervlle d intégrtion J non borné......................... 61 9.2.1 Rppel.................................... 61 9.2.2 Convergence................................. 62 10 Fonctions Eulériennes 65 11 Trnsformées de Lplce 67 11.1 Rppel......................................... 67 11.2 Définition....................................... 68 11.3 Quelques fonctions élémentires........................... 68 11.4 Existence de L.................................... 69 11.5 Trnsformée inverse et trnsformée de dérivées................... 70 11.5.1 Trnsformée inverse............................. 70 11.5.2 Trnsformer une dérivée........................... 71 11.6 Résolution d équtions différentielles........................ 72 11.7 Thorme de trnsltion................................. 73 11.7.1 Trnsltion sur l xe des s.......................... 73 11.7.2 Trnsltion sur l xe des t.......................... 73 11.8 Proprits dditionnelles................................ 73 11.8.1 Multiplier une fonction pr t n........................ 73 11.8.2 Convolution.................................. 73 11.8.3 Trnsforme d une intgrle.......................... 73 11.8.4 Eqution intgrle de Volterr......................... 73 11.8.5 Trnsforme de fonction priodique...................... 74 11.8.6 Fonction δ-dirc............................... 74 4
Chpitre 1 Structure de R, suites dns R ou C : () Julius Wilhelm (b) Augustin Richrd Dedekind Louis (1789- (1831-1916), 1857), un mthémticien mthémticien llemnd, il est le frnçis, premier à proposer proposé l une construction première définition rigoureuse des rigoureuse nombres réels à d une limite prtir des nombres d une suite insi rtionnels. que plusieurs contributions fondmentles dns l étude de l convergence séries. des (c) Joseph Louis, comte de Lgrnge (1736-1813) un mthémticien itlien, à l origine semble-t-il de l nottion indicielle des suites. FIGURE 1.1 Quelques mthémticiens célèbres liés ux réels et ux suites. L ensemble des nombres réels, noté R se construit rigoureusement à prtir de N (entiers nturels) en définissnt Z (entiers reltifs) puis Q (nombres rtionnels : de l forme p/q vec p Z et q Z ). Dns ce cours, on v simplement rppeler l différence entre R et Q. 1.1 L crise des nombres chez les grecs Pythgore considère un tringle isocèle rectngle de côté 1. Il remrque que le crré de l hypothénuse vut 2. Or il remrque qu il n existe ps de nombre dns Q dont le crré soit 2. Donc, si 5
1.2 Suites et voisinges : Structure de R, suites dns R ou C : les seuls nombres qu on connisse sont les rtionnels, il y des longueurs simples qui ne sont ps des nombres! L ensemble des réels, R est défini à prtir de Q en rjoutnt des nombres pour éviter ce genre de problème. Une des fçons de rjouter des nombres est d utiliser l notion de suite : 1.2 Suites et voisinges : Commençons cette section pr l définition des suites réelles. Définition 1 (SUITES) On ppelle suite réelle toute ppliction (x n ) n N. { N R n x n. On note une telle ppliction Remrque On ppeller ussi suite les pplictions dont l ensemble de déprt est N privé de ses premiers éléments jusqu à un certin rng. L notion l plus importnte concernnt les suites est celle de convergence. Pour définir l convergence, on définit l notion de voisinge. L étude des voisinges est une brnche des mthémtiques ppelée l topologie (voir cours d Anlyse III pour les bses, et le cours de Topologie élémentire (Semestre 5) pour plus de détils). On peut définir des voisinges pour des objets utres que des nombres (des vecteurs, des fonctions,...). Chque fois qu on peut définir des voisinges, on peut lors étudier des convergences, des continuités, des notions proches de l dérivbilité, et fire de l optimistion. Définition 2 (VOISINAGE) Soit x R. On dit que V R est un voisinge de x si et seulement s il existe ε > 0 tel que [x ε, x + ε] V. Remrque On peut ussi dire, c est équivlent, que V R est un voisinge de x si et seulement s il existe ε > 0 tel que ]x ε, x + ε[ V. Définition 3 (VOISINAGE DE L INFINI) On dit que V R est un voisinge de + (resp. de ) si et seulement s il existe A R tel que [A, + [ V (resp. ], A] V ). 6
Structure de R, suites dns R ou C : 1.3 Limites de suites L notion de voisinge étnt en plce, nous nous intéressons lors u comportement des suites qund n tend vers l infini. Pour cel nous llons introduire les limites de suites. 1.3 Limites de suites Définition 4 (LIMITE) Soit (x n ) n N une suite réelle. Soit l fini ou infini. On dit que l est l limite de (x n ) n N, et on note l = lim x n si et seulement si pour tout V voisinge de l, il existe N V N tel n + que pour tout n N V, x n V. Si une suite dmet une limite finie on dit qu elle CONVERGE. Si elle dmet une limite infinie ou si elle n dmet ps de limite, on dit qu elle DIVERGE. Si l est +, l = lim n + x n signifie : pour tout A R, il existe N A N tel que n N A x n A. Si l R, l = lim n + x n signifie : pour tout ε > 0, il existe N ε N tel que n N ε x n [l ε, l + ε] (c est à dire x n l ε). Propriété 1 (COMPARAISON DES LIMITES) Soient (x n ) n N et (y n ) n N deux suites de réels tels que pour tout n N, x n y n. Supposons que lim x n = l 1 et lim y n = l 2. Alors l 1 l 2. n + n + Remrque Même si on suppose que pour tout n N, x n < y n, on ne peut ps en déduire que l 1 < l 2 (on juste l 1 l 2 ). Exemple : pour tout n N, x n = 0 et y n = 1/n. Propriété 2 (THEOREME DES GENDARMES) Soient (x n ) n N, (y n ) n N et (z n ) n N trois suites de réels telles que pour tout n N, x n y n z n. On suppose que lim x n = lim z n = l (l fini ou infini). Alors n + n + lim y n = l. n + 7
1.3 Limites de suites Structure de R, suites dns R ou C : Il existe une notion proche de celle de suite convergente, mis ne nécessitnt ps de préciser l vleur de l. Définition 5 (SUITE DE CAUCHY) Soit (x n ) n N une suite réelle. On dit que (x n ) n N est une suite de Cuchy si et seulement si on pour tout ε > 0, il existe N ε N tel que (n N et m N ε ) x n x m ε. QUESTION IMPORTANTE : est-ce qu être une suite de cuchy est l même chose qu être une suite convergente? Propriété 3 Si une suite est convergente, lors elle est de Cuchy. Preuve Démontré en cours. Remrque ATTENTION : l réciproque n est ps vrie en générl. Pr contre, le fit de trviller sur un espce où l réciproque est vrie serit bien prtique. En effet nous pourrions montrer l convergence d une suite sns voir à clculer l limite de cette suite. Les espces dont l réciproque de l propriété ci-dessus. Définition 6 (ENSEMBLE COMPLET) Si dns un ensemble toute suite de Cuchy est convergente, on dit que cet ensemble est complet Exemple Q n est ps complet. En effet, considérons l suite définie pr x 0 = 2 et pour tout n N, x n+1 = (1/2)(x n + 2/x n ). Tous les x n sont bien dns Q et on montrer (en TD) que cette suite est de Cuchy. Or, si s limite est l, lors l = (1/2)(l + 2/l), c est à dire l 2 = 2 donc l n existe ps dns Q! On peut mintennt dire ce qu est R : R est le complété de Q : c est Q uquel on rjoute toutes les limites des suites de Cuchy. (Cette phrse ne constitue bien sûr ps une construction rigoureuse de R). Mis ce n est ps l seule fçon de construire R. Il en existe deux utres équivlentes. L une d elle permet de définir R à prtir de Q pr l notion de borne sup qui est l objet de l section suivnte. 8
Structure de R, suites dns R ou C : 1.4 Borne sup ou inf, mx ou min 1.4 Borne sup ou inf, mx ou min Définition 7 (BORNE SUP, BORNE INF) Soit E R. On dit que M R est l borne supérieure de E (M = sup(e)) si et seulement si 1. M est un mjornt de E (pour tout x E, x M), 2. si M est un mjornt de E, lors M M. De même m R est l borne inférieure de E (m = inf(e)) si et seulement si 1. m est un minornt de E (pour tout x E, x m), 2. si m est un minornt de E, lors m m. Propriété 4 (MAJORANT ET SUITES) M = sup(e) M est un mjornt de E, si et seulement si il existe (x n ) n N suite d éléments de E telle que lim x n = M. n + L propriété correspondnte pour l borne inf est vrie. Définition 8 (MAXIMUM, MINIMUM) Soit E R. On dit que M est le mximum de E (M = mx(e)) si M = sup(e) et M E. On dit que m est le minimum de E (m = min(e)) si m = inf(e) et m E. On peut mintennt décrire l deuxième fçon de construire R : R correspond à Q uquel on rjoute toutes les bornes sup de sous-ensembles de Q. On lors les deux propriétés suivntes : Propriété 5 (PROPRIETE DE LA BORNE SUP) Toute prtie de R non vide et mjorée dmet une borne sup. 9
1.5 Suites djcentes Structure de R, suites dns R ou C : Propriété 6 (REEL ET BORNE SUP) Tout réel est l borne sup d un ensemble d éléments de Q. Remrque Q n ps l propriété de l borne sup : {x Q tel que x 2 < 2} dmet 2 comme borne sup dns R et n dmet ps de borne sup dns Q. Enfin, l troisième fçon de construire R utilise les suites croissntes et mjorées : R ser lors Q uquel on rjoute toutes les limites de suites croissntes et mjorées de Q. On lors : Propriété 7 (SUITE CROISSANTE MAJOREE) Toute suite réelle (x n ) n N croissnte et mjorée (resp. décroissnte et minorée) converge et on lim x n = sup x n (resp. lim x n = inf x n). n + n + n N n N Remrque Cette propriété n est ps vrie dns Q. 1.5 Suites djcentes Définition 9 (SUITES ADJACENTES) Soient (x n ) n N et (y n ) n N deux suites de réels. On dit qu elles sont djcentes si et seulement si 1. l une des suites est croissnte, 2. l utre suite est décroissnte, 3. lim n + (x n y n ) = 0. Propriété 8 (LIMITES ET SUITES ADJACENTES) Si (x n ) n N et (y n ) n N sont deux suites réelles djcentes telles que (x n ) n N soit croissnte et (y n ) n N soit décroissnte lors : 1. pour tout (n, m) N 2, x n y m, 2. lim x n et lim y n existent, sont finies et sont égles. n + n + Preuve Démontré en cours. 10
Chpitre 2 Rppels suites complexes, limsup de suites réelles 2.1 Suites complexes Il n existe ps x R tel que x 2 = 1 (ou x 2 +1 = 0). Si on veut que tout polynôme de degré 2 it 2 rcines, on introduit le nombre imginire i qui vérifie i 2 = 1. On définit lors les nombres complexes comme l somme d une prtie réelle et d une prtie imginire : C = { + ib, R, b R}. C est donc très similire à R 2 = {(, b), R, b R}. L différence est qu on définit un produit C C C lors qu on ne le fit ps sur R 2 (il existe un produit sclire R 2 R 2 R mis c est différent). Un des intérêts principux des nombres complexes est leur formultion module-rgument : Propriété 1 (MODULE ET ARGUMENT) Soit z = + ib C. il existe un unique couple (ρ, θ) R + [0, 2π[ tel que z = ρe iθ. On lors = ρ cos(θ), b = ρ sin(θ) et ρ = 2 + b 2. Alors si z = ρe iθ et z = e iθ, on zz = ρe i(θ+θ ). Donc une multipliction pr un nombre complexe de module 1 correspond à une rottion. C est à cuse de cet effet qu on utilise les nombres complexes pour modéliser les phénomènes oscillnts. 11
2.1 Suites complexes Rppels suites complexes, limsup de suites réelles Définition 1 (SUITE COMPLEXE) Une suite complexe est une ppliction { N C n z n. Pour définir l convergence des suites complexes, on définit les voisinges dns C. Définition 2 (VOISINAGE) Soit z C. On dit que V C est un voisinge de z si et seulement s il existe ε > 0 tel que D(z, ε) = {z C tq z z ε} V. Remrque On peut ussi prendre o D(z, ε) = {z C tq z z < ε}. L définition de limite de suite dns C est lors l même que dns R. Définition 3 (LIMITE D UNE SUITE) Soit (z n ) n N une suite complexe et soit l C. On dit que l est l limite de (z n ) n N, et on note l = lim z n si et seulement si pour tout V voisinge de l, il existe N V N tel que n + pour tout n N V, z n V. Remrque 1. l = lim n + z n signifie donc pour tout ε > 0, il existe N ε N tel que n N ε z n l ε (c est à dire z n D(l, ε)). 2. Dns R on définit des voisinges de + et, ce qui permet de définir des limites infinies. Dns C on ne le fit ps : une limite infinie dns C n ucun sens! Comme dns R, on définit les suites de Cuchy. 12
Rppels suites complexes, limsup de suites réelles 2.1 Suites complexes Définition 4 (SUITE DE CAUCHY) Soit (z n ) n N une suite complexe. On dit que (z n ) n N est une suite de Cuchy si et seulement si on : pour tout ε > 0, il existe N ε N tel que (n N ε et m N ε ) z n z m ε. Comme dns R, on lors : Propriété 2 (C EST COMPLET) Dns C, toute suite de Cuchy est convergente. Autrement dit C est complet. Pour le démontrer, on décompose l suite complexe en s prtie réelle et s prtie imginire. On : Propriété 3 (CONVERGENCE (CAUCHY)) Soit (z n ) n N une suite complexe. Les propositions suivntes sont équivlentes : (z n ) n N est de Cuchy (dns C), (Re(z n )) n N et (Im(z n )) n N sont de Cuchy (dns R), (Re(z n )) n N et (Im(z n )) n N convergent (dns R), (z n ) n N converge (dns C). Lorsqu on utilise l formultion module-rgument : Propriété 4 (LIMITE, MODULE ET ARGUMENT) Soit (z n ) n N une suite complexe et l C. On lim z n = l (limite dns C) lim z n = l (limite dns R). n + n + Remrque ATTENTION : LA RECIPROQUE N EST PAS VRAIE. Il n y que deux cs où l étude du module permet de conclure sur l convergence de l suite : si lim z n = 0 lors lim z n = 0. n + n + 13
2.2 Limite sup et inf Rppels suites complexes, limsup de suites réelles si lim n + z n = + lors (z n ) n N diverge. DIFFERENCE FONDAMENTALE ENTRE R ET C : il n y ps de reltion d ordre (similire à ) dns C (ni dns R 2 : de fçon générle, on peut ordonner des nombres réels mis ps des vecteurs). Donc ps de notion de suite croissnte, de mjortion, de théorème des gendrmes, de limsup et liminf! 2.2 Limite sup et inf ATTENTION, nous ne considèrerons ici que les suites réelles. L reltion d ordre de R permet de définir l limsup et l liminf d une suite réelle. L intérêt est que l limsup et l liminf existent toujours, dns R {, + }, contrirement à l limite. Définition 5 (LIMSUP, LIMINF) Soit (x n ) n N une suite réelle. Pr définition, lim sup x n = n + lim inf x k. n + k n lim sup n + k n x k et lim inf n + x n = Remrque 1.Cette définition s étend ux suites non nécessirement bornées, en posnt et lim sup x n = + si l suite n est ps mjorée, n + lim inf x n = si l suite n est ps minorée. n + 2. L suite (sup x k ) n N étnt décroissnte, elle dmet toujours une limite dns R {, + }. De k n même, l suite (inf x k) n N étnt croissnte, elle dmet toujours une limite dns R {, + }. k n Il est commode de relier l limsup et l liminf d une suite à ses vleurs d dhérence. Définition 6 (VALEUR D ADHERENCE) Soit (x n ) n N une suite réelle et R {, + }. On dit que est une vleur d dhérence de (x n ) n N si et seulement s il existe une sous-suite de (x n ) n N qui tend vers. On lors : 14
Rppels suites complexes, limsup de suites réelles 2.2 Limite sup et inf Propriété 5 (LIMSUP, LIMINF ET ADHERENCE) Soit (x n ) n N une suite réelle. S limite supérieure est l plus grnde de ses vleurs d dhérence, et s limite inférieure est l plus petite. On en déduit : Propriété 6 (CONVERGENCE) Une suite réelle (x n ) n N tend vers l R {, + } si et seulement si lim sup x n = n + lim inf x n = l. n + 15
2.2 Limite sup et inf Rppels suites complexes, limsup de suites réelles 16
Chpitre 3 Séries dns R ou C : Nous sommes désormis en mesure de définir l notion de série. Nous llons voir que s définition repose sur l notion de suite. Les deux sont donc extrêmement liés, et il ne fudr jmis perdre cet spect de vue. Définition 1 (SERIE) Soit (x n ) n N une suite de nombres réels ou complexes. On ppelle série de terme générl x n et on note x n, l suite (S n ) n N définie pr pour tout n N, S n = n x k. On dit que l série x n converge (resp. diverge) ssi l suite (S n ) n N converge (resp. diverge). Si l série converge, série. lim S n est notée n + k=0 x n et est ppelée l somme de l Exemple (SERIE GEOMETRIQUE) Soit z C tel que z < 1. n Alors z k = 1 n zn+1 et comme, lim 1 z n + zn+1 = 0 on lim z k = 1 n + 1 z. k=0 k=0 L série z n 1 est donc convergente et s somme est 1 z. 17
3.1 Premiers critères de convergence Séries dns R ou C : Propriété 1 (SOMMES DE SERIES) Soient x n et y n deux séries réelles ou complexes et λ C. 1. Si x n et y n convergent lors (λx n + y n ) converge et (λx n + y n ) = λ x n + y n. 2. Si λ 0, si x n diverge et y n converge lors (λx n + y n ) diverge. Remrque Si x n et y n divergent, on peut voir qund même (x n + y n ) qui converge. Exemple : si x n = y n. 3.1 Premiers critères de convergence Propriété 2 (CRITERE DE CAUCHY POUR LES SERIES) Une série réelle ou complexe x n converge si et seulement pour tout ε > 0, il existe m N ε N tel que (m > n N ε ) x k ε. k=n+1 Preuve L suite (S n ) n N où S n = k=0 n x k est une suite réelle ou complexe. Donc elle converge si et seulement si elle est de Cuchy. Et (S n ) n N est de Cuchy si et seulement si pour tout ε > 0, il existe N ε N tel que (n N ε et m N ε ) S n S m ε. Ou encore si et seulement si pour tout ε > 0, il existe N ε N tel que (m > n N ε ) S n S m ε. Remrque IMPORTANT : d près l propriété précédente, si x n converge, lors lim n + x n = 0. Du coup, si lim x n 0, on dit que x n est grossièrement divergente. n + Preuve Démontré en cours. Définition 2 (CONVERGENCE ABSOLUE) On dit que l série (réelle ou complexe) x n est bsolument convergente si et seulement si l série (réelle) x n est convergente. 18
Séries dns R ou C : 3.2 Séries réelles à termes positifs Propriété 3 (CONVERGENCE ABSOLUE ET CONVERGENCE) Une série réelle ou complexe bsolument convergente est convergente. Preuve Si x n est bsolument convergente lors x n est convergente et vérifie donc le critère de Cuchy : m pour tout ε > 0, il existe N ε N tel que m > n N ε x k = m x k < ε. Or k=n+1 k=n+1 m m x k x k. Donc x n vérifie le critère de Cuchy. Elle est donc convergente. k=n+1 k=n+1 3.2 Séries réelles à termes positifs Propriété 4 (COMPARAISON) Soient x n et y n deux séries réelles à termes positifs telles que pour tout n N, x n y n. Alors i) si y n converge lors x n converge, ii) si x n diverge lors y n diverge. Preuve i) Notons S n = n x k et T n = k=0 n y k. On pour tout n N, S n T n. k=0 Si y n converge, notons T = lim T n. Comme y n est à termes positifs, pour tout n + n N, S n T. De plus, comme x n est à termes positifs, (S n ) n N est croissnte. Comme elle est mjorée pr T, elle est convergente. ii) Si x n diverge, puisqu elle est à termes positifs, lim S n = +. Donc lim T n = n + n + +. Définition 3 (EQUIVALENCE) Soient (x n ) n N et (y n ) n N deux suites réelles ou complexes. On dit qu elles sont équivlentes à l infini et on note x n + y n si et seulement si pour n ssez grnd, x n = y n (1 + ε(n)) vec ε(n) = 0. lim n + 19
3.2 Séries réelles à termes positifs Séries dns R ou C : Propriété 5 (SERIES ET EQUIVALENTS) Soient x n et y n deux séries réelles à termes positifs telles que x n + y n. Alors xn et y n sont de même nture (convergentes ou divergentes). Preuve Si x n + y n, lors pour n ssez grnd, x n = y n (1 + ε(n)) où lim ε(n) = 0. Pour n ssez n + grnd, 1/2 ε(n) 1/2 donc y n /2 y n (1 + ε(n)) = x n 3y n /2. Puisque pour n ssez grnd y n /2 x n, si x n converge lors y n converge et si y n diverge lors x n diverge. Puisque pour n ssez grnd x n 3y n /2, si y n converge lors x n converge et si x n diverge lors y n diverge. Ces comprisons ne sont vlbles que prce que x n et y n sont à termes positifs. Définition 4 (NEGLIGEABILITE) Soient (x n ) n N et (y n ) n N deux suites réelles ou complexes. On dit que (x n ) n N est négligeble devnt (y n ) n N à l infini et on note x n = + o(y n ) si et seulement si pour n ssez grnd, x n = y n ε(n) vec ε(n) = 0. lim n + Propriété 6 (SERIES ET NEGLIGEABILITE) Soient x n et y n deux séries réelles telles que x n = + o(y n ). On suppose que y n est à termes positifs et qu elle converge. Alors x n est ussi convergente. Propriété 7 (SERIE DE RIEMANN) Soit α R +. Si α > 1 lors l série 1/n α converge et si α 1 lors elle diverge. Preuve Cette propriété ser démontrée pr comprison d une série et d une intégrle en dessous. Propriété 8 (COMPARAISON AVEC LES SERIES DE RIEMANN) Soit x n une série réelle à termes positifs. 1. S il existe α > 1 tel que pour tout n N, n α x n 1, lors x n converge. 2. S il existe α 1 tel que pour tout n N, n α x n 1, lors x n diverge. 20
Séries dns R ou C : 3.2 Séries réelles à termes positifs Preuve L preuve est une simple ppliction de l proposition précédente et du principe de comprison des séries à termes positifs. Les deux propriétés suivntes (règle de Cuchy et règle de D Alembert) consistent à comprer une série à termes positifs vec une série géométrique. L fçon l plus simple de les énoncer est d utiliser les limsup et liminf : Propriété 9 (REGLE DE CAUCHY) Soit x n une série réelle à termes positifs. Notons l = lim sup n xn. Alors n + i) Si l < 1, x n converge, ii) si l > 1, x n diverge, iii) si l = 1, on ne peut ps conclure. C est le cs douteux de l règle de Cuchy. Propriété 10 (REGLE DE D ALEMBERT) Soit x n+1 x n une série réelle à termes strictement positifs. Notons L = lim sup et n + x n x n+1 l = lim inf. Alors n + x n i) Si L < 1, x n converge, ii) si l > 1, x n diverge, iii) si l 1 L, on ne peut ps conclure. C est le cs douteux de l règle de D Alembert. x n+1 Remrque Lorsque lim existe, on L = l et l règle de D Alembert est lors très similire à l règle de Cuchy : n + x n i) Si l < 1, x n converge, ii) si l > 1, x n diverge, iii) si l = 1, cs douteux. Remrque LIEN ENTRE LES REGLES DE CAUCHY ET DE D ALEMBERT : x n+1 Si lim existe, lors lim n x n+1 xn existe et lim = lim n xn. Donc il est n + x n n + n + x n n + x n+1 inutile d essyer l règle de Cuchy si l règle de D Alembert donné lim = 1. n + x n x n+1 Si lim n existe ps, il est possible que lim n xn existe qund même, et il est n + x n n + possible qu on ne soit ps dns le cs douteux de l règle de Cuchy, même si on est dns le cs douteux de celle de D Alembert. 21
3.3 Comprison d une série et d une intégrle impropre Séries dns R ou C : 3.3 Comprison d une série et d une intégrle impropre Rppelons ici l définition d une intégrle impropre. Nous y reviendrons plus trd dns le chpitre conscré ux intégrles. Définition 5 (INTEGRALE IMPROPRE) Soient R et f : [, + [ R intégrble sur tout intervlle borné inclus dns [, + [. Si X lim X + converge, et on note impropre diverge. f(x)dx existe et est finie, on dit que l intégrle impropre f(x)dx = X lim X + f(x)dx f(x)dx. Sinon, on dit que l intégrle Propriété 11 (COMPARAISON SERIE ET INTEGRALE IMPROPRE) Soit f : [, + [ R intégrble sur tout intervlle borné inclus dns [, + [, décroissnte et positive. Alors l intégrle impropre même nture (convergentes ou divergentes). f(x)dx et l série f(n) sont de Preuve Comme f est décroissnte, on pour tout n N, pour tout x [n, n + 1], f(n + 1) f(x) f(n), donc n+1 n f(n + 1)dx C est à dire f(n + 1) f(x)dx Donc, puisque n+1 n n+1 n X =lim X + X N =lim X + X N n+1 n f(x)dx n+1 n f(x)dx f(n). Or f(n)dx. ( f(x)dx E()+1 f(x)dx + X 1 f(x)dx f(n), si n=e()+1 f(x)dx diverge, n+1 n ) f(x)dx. c est à dire n+1 f(x)dx diverge, lors f(n) diverge, et si f(n) converge, lors n converge. De même, puisque f(n+1) n+1 n f(x)dx, si et donc f(n) converge, et si f(n) diverge, lors f(x)dx f(x)dx converge, lors f(n+1) converge f(x)dx diverge. Exemple 1/n α, α > 0 : 22
Séries dns R ou C : 3.4 Séries à termes quelconques Si α 1, 1 { 1, si α > 1, 1 α +, si α < 1. Si α = 1, 1 1 x α dx = 1 x dx = X lim X + 1 lim X + [ln(x)]x 1 Donc 1 converge si et seulement si α > 1. nα 1 x α dx = = +. [ ] x 1 α X lim = X + 1 α 1 Propriété 12 (ENCADREMENT DU RESTE) Soit f : [, + [ R positive et décroissnte, telle que pour n, R n = Alors, pour tout n, f(x)dx R n f(k). k=n+1 n+1 n f(x)dx. f(x)dx converge. Notons Remrque Pour toute série réelle ou complexe x n convergente, l quntité R n = est ppelée reste d ordre n de x n, et on lim R. n + k=n+1 x k 3.4 Séries à termes quelconques Définition 6 (SERIE SEMI-CONVERGENTE) Lorsqu une série est convergente mis ps bsolument convergente, on dit qu elle est semi-convergente. Définition 7 (SERIE ALTERNEE) Une série réelle x n est dite lternée si et seulement si ( 1) n x n grde un signe constnt pour tout n N. 23
3.5 Sommtion pr pquets, produit Séries dns R ou C : Propriété 13 (REGLE DES SERIES ALTERNEES) Pour qu une série lternée x n converge, il suffit que l suite ( x n ) n N soit décroissnte et tende vers 0. De plus, dns ce cs, le reste d ordre n, R n = n N, R n x n+1. k=n+1 x k, vérifie pour tout Exemple ( 1) n /n est convergente mis ps bsolument convergente (donc elle est semi-convergente). Cette série est ppelée série hrmonique lternée. On peut montrer en ppliqunt Tylor-Lgrnge à ln(1 + x) sur [0, 1] que n=1 ( 1) n n = ln(2) Propriété 14 (REGLE D ABEL) Soit x n une série complexe où pour tout n N, x n = α n u n tels que i) l suite (α n ) n N est réelle, décroissnte et tend vers 0, n ii) il existe M R tel que pour tout n N, u k M. Alors x n est convergente. k=0 Exemple Pour α > 0 et θ 0 [2π], l série exp(inθ)/n α converge. En effet : 1/n α joue le rôle de α n, (1/n α ) n N est une suite réelle, décroissnte et qui tend vers 0. exp(inθ) joue le rôle de u n, n exp(ikθ) = 1 exp(i(n + 1)θ) 1 exp(iθ) 2 1 exp(iθ). k=0 2 Or est indépendnt de n, donc l règle d Abel s pplique. 1 exp(iθ) 3.5 Sommtion pr pquets, produit On peut remplcer des pquets de termes consécutifs pr leur somme effectuée : 24
Séries dns R ou C : 3.5 Sommtion pr pquets, produit Propriété 15 (COMPARAISON DE SERIES) Soit n ϕ(n) une ppliction strictement croissnte de N dns N. Soit x n une série complexe. On considère l série ϕ(n+1) 1 y n où y n = x k lors k=ϕ(n) i) Pour que x n converge, il est nécessire que y n converge. De plus, si c est le cs, x n = y n. ii) Si les x n sont des réels positifs, pour que x n converge, il est nécessire et suffisnt que y n converge. Définition 8 (PERMUTATION) On ppelle permuttion de N une bijection de N sur N. Définition 9 (SERIE COMMUTATIVEMENT CONVERGENTE) On dit qu une série x n est commuttivement convergente si et seulement si pour toute permuttion σ de N, l série x σ(n) est convergente. Propriété 16 (COMMUTAT. ET ABS. CONVERGENTE) Une série complexe est commuttivement convergente si et seulement si elle est bsolument convergente. Dns ce cs, s somme ne chnge ps si on chnge l ordre des termes. Remrque Cette propriété implique que pour toute série complexe semi-convergente, on peut trouver une permuttion des termes qui donne une série divergente. On peut ussi démontrer que pour toute série complexe semi-convergente, pour tout nombre complexe fixé à l vnce, on peut trouver une permuttion des termes qui donne une série dont l somme est ce nombre. Exemple à prtir de l série hrmonique lternée x n = ( 1) n+1 = 1 1 n 2 + 1 3 1 4 + = ln(2), n 1 n 1 on construit l série y n = 1 1 2 1 4 + 1 3 1 6 1 8 + + 1 2n + 1 1 2(2n + 1) 1 2(2n + 2) +... n 1 Puis, pr sommtion pr pquets, on considère 25