Dérivée e foctios algébriques et e foctios implicites Das ce chapitre, ous allos utiliser la éfiitio e foctio érivée pour e éuire es règles e érivatio qui abrègerot les calculs et les rerot mois laborieu. Dérivées es foctios costates, ietité et e la forme r Théorème. : Dérivée ue foctio costate Si f ( ) k, où k R, alors f '( ) 0 Eemple : Soit f( ). Calculos f '( ) f '( ) 0 Graphique e f ( ) : pete ulle Théorème. : Dérivée e la foctio ietité Si f ( ) alors f '( ) Remarque : Lorsque ous utilisos la otatio y ou ( y ), ça sigifie que ous érivos la foctio y par rapport à.
Eemple : Calculer a) ( ) b) () t t c) (8) 0 Théorème. : Dérivée e, où N Si f ( ), où N alors f '( ) Nous pouvos égalemet écrire ( ) ou ( )' Eemple : Calculer y t si a) y t : y ( t ) t t t t b) y 0 t : y ( t ) 0 t t t 0 9 Théorème. : Dérivée e r, où r R r Si f ( ), où r R alors f '( ) r r pour les valeurs e telles que f ( ) et f '( ) sot éfiies.
Eemple : Calculer y ' si : a) y 6 : 6 y' ( )' ( )' 6 6 7 6 7 b) y : y' ( )' ( )' c) y : 8 y' ( )' ( )' ( )' 8 8 8 8 8 8 8 8 8 Dérivées e prouits, e sommes et e quotiets e foctios Théorème. : Dérivée u prouit ue costate par ue foctio Soit k, ue costate, et f, ue foctio érivable. Si H ( ) k f( ) alors H '( ) k f '( ) Eemple : Soit f f ( ) 7 (7 ) 7(6) 6 6 et 9 9 g ( ). Calculos f et g g 9 ( ) (9 ) 9( ) 9 0 9 9 9 9 9 0
Théorème.6 : Dérivée ue somme ou ue ifférece e foctios Soit f( ), f( ), f( ),..., et f ( ), foctios érivables. Si H ( ) f ( ) ± f ( ) ± f ( ) ±... ± f ( ) alors H '( ) f'( ) ± f'( ) ± f'( ) ±... ± f '( ) Eemple : Calculer les érivées es foctios suivates a) f( ) 8 + 8 8 f '( ) [ + ]' [ ]' + [ ]' 8 8 [ ]' + [ ]' ( 8) + 9 + b) gt t t t t () + 8 + 9 '( ) [ 8 9]' g t t t + t t+ [ ]' [ ]' [8 ]' [ ]' [9]' t t + t t + 6 0 t t + t +
c) y + ( )( ) y + + ( )( ) y [ + ] + 8 + 9 [ ] [ ] [ ] [] Remarque : + + + ( )( ) ( ) ( ) 8 9 ( )() Théorème.7 : Dérivée u prouit e foctios Soit f et g eu foctios érivables. Si H ( ) f( ) g( ), alors H '( ) f '( ) g( ) + f( ) g'( ) Eemple : Calculer les érivées es foctios suivates a) y + ( )( ) y + + + (+ )( ) + ( )() ( ) ( ) ( ) ( ) 6 9 + + 8 9 +
b) y ( )(7 ) y ' [( )(7 )]' + ( ) '(7 ) ( )(7 )' + ( 8 )(7 ) ( )( ) 6 + 0 + 0 6 6 70 6 6 Corollaire : Dérivée u prouit e foctios Soit f, g et j trois foctios érivables. Si H ( ) f( ) g( ) j( ), alors H '( ) f'( g ) ( ) j ( ) + f( g ) '( ) j ( ) + f( g ) ( ) j'( ) Eemple : Calculer la érivée e f( ) ( )(+ )(+ ) f '( ) ( ) '(+ )(+ ) + ( )(+ ) '(+ ) + ( )(+ )(+ ) ' ( )(+ )(+ ) + ()( )(+ ) + ()( )(+ ) ( )(0 ) ()( 7 6) ()( ) + + + + + + + + 0 8 9 + + 6
Corollaire : Dérivée u prouit e foctios Soit f( ), f( ), f( ),..., et f ( ), foctios érivables. Si H ( ) f ( ) f ( ) f ( )... f ( ), alors H '( ) f '( ) f ( ) f ( )... f ( ) + f ( ) f '( ) f ( )... f ( ) + f ( ) f ( ) f '( )... f ( ) +... + f ( ) f ( ) f ( )... f '( ) Eemple : Calculer la érivée e + [ ] [ + ] [ + ] + [ ] 0 Remarque : [ + ] + [ ] + y Théorème.7 : Dérivée u quotiet e foctios Soit f et g eu foctios érivables, et g ( ) 0. Si f ( ) f '( g ) ( ) f( g ) '( ) H( ), alors H '( ) g ( ) [ g ( )] 7
Eemple : Calculer les érivées es foctios suivates + a) y ( + ) ' (+ ) ' y ' [ ] () (+ )() [ ] b) y + ( )'( + ) ( )( + )' y ' ( + ) ( )( + ) ( )( + ) ( + ) [ + ] [ + ] ( + ) ( + ) c) y ( )' ( )( )' y ' ( ) ( )( ) + + 8
Dérivées e foctios composées et érivées successives Dérivées e foctios composées E : Soit H ( ) ( 6 ) Avec le théorème.7, o a : H +. Évaluer H '( ) '( ) [( + 6)( + 6)( + 6)]' + + + + + + + + + + + ( 6) '( 6)( 6) ( 6)( 6)'( 6) ( 6)( 6)( 6) ' + + ( 6) ( 6) ' Théorème.0 : Dérivée e [ f ( )] r Soit f ue foctio érivable, où r R Si H ( ) [ f( )] r, alors H r f f r '( ) [ ( )] '( ) E : Trouver ( ) 6 6 6 ( ) 6( ) ( ) ' 6( ) (0 0 ) 60 ( ) E : Trouver t t t (t ) (t ) (t ) ' t t t (t ) (6 t) t 9
E : Trouver la érivée e y ( ) ( + ) Souvet, comme as ce cas, o aura à utiliser plus ue règle : y ' [( ) ( + ) ] [( ) ]'( + ) + ( ) [( + ) ]' + + + [( ) ()]( ) ( ) [( ) ()] ( )( + ) + ( ) ( + ) + + + ( )( ) [( ) ( )] + + ( )( ) ( ) Théorème. : Règle e érivatio e chaîe Soit f et g eu foctios érivables Si y ( f o g)( ), i.e. y f( g( )), alors y' f '( g( )) g'( ) O peut réécrire ce théorème e utilisat la otatio e Leibiz : Théorème. : Règle e érivatio e chaîe (avec la otatio e Leibiz) Soit y f( g( )) le résultat e la compositio e y f( u) u g( ) Alors y y u (otatio e Leibiz) u 0
où y représete la érivée e y par rapport à, y u u représete la érivée e y par rapport à u et représete la érivée e u par rapport à E : Soit y 7. Calculer y e utilisat la otatio e Leibiz E posat u, o a que 7 y u y y u (otatio e Leibiz) u u 7 ( u ) (7 ) ( ) u (7 ) 7 (7 ) (7 ) (car (car u 7 ) u 7 )
Dérivées successives Si f ( ) est ue foctio érivable, alors sa érivée est aussi ue foctio qui peut elle aussi être érivable. La érivée ue foctio f '( ) s appelle la érivée secoe ou érivée orre e f ( ). Lorsqu o érive à ouveau, o obtiet la érivée troisième ou érivée orre e f ( ). De la même faço o peut ériver plusieurs fois ue même foctio. Notatios possibles pour eprimer les érivées successives e y f( ) Dérivée première : Dérivée secoe : Dérivée troisième : Dérivée quatrième : Dérivée ième : y y ' f ( ) f '( ) y y '' f ( ) f ''( ) y y ''' f ( ) f '''( ) y () y () f ( ) f ( ) y ( ) y ( ) f ( ) f ( ) E : Calculer y si y + 7 + y Pour pouvoir calculer, o oit ériver y fois e suite :
y y + ' 6 6 7 y y'' 6 + y y''' y () y y () y 0 E : Évaluer f '''() si f( ) f( ) f f f '( ) [ ]' + 6 ''( ) [ + ]' 0 6 8 8 '''( ) [ ]' Doc f '''() 8 ()
Dérivatio implicite Jusqu à préset, toutes les foctios étuiées l ot été à partir équatios où la variable y était eprimée ue faço eplicite e terme e la variable iépeate. Les équatios avaiet la forme y f( ). Par eemple, y 7 et y ( )(7 ) éfiisset toutes les eu ue foctio sous ue forme eplicite. Il arrive cepeat que l équatio e soit pas oée sous cette forme. C est le cas e l équatio y y 0, qui représete égalemet ue foctio mais qui est présetée sous la forme f ( y, ) gy (, ). O it alors que la variable y est eprimée ue faço implicite e terme e la variable. Pour passer e la forme implicite à la forme eplicite, o résout l équatio par rapport à la variable y : y y 0 y y y( ) y L équatio éfiit à préset ue foctio sous ue forme eplicite. O peut maiteat la ériver e utilisat les règles vues précéemmet. Par cotre, as certais cas, il peut être ifficile, voire impossible, e éfiir eplicitemet ue foctio. Par eemple, les eu équatios suivates représetet es foctios, mais o e peut isoler la variable y :
y y 6 y et + y y + Avec les outils que ous avos actuellemet, ous e pouvos trouver la érivée e foctios implicites. Heureusemet, ous pouvos l obteir e utilisat ue techique ite e érivatio implicite. Avat e la voir, complétos l eemple suivat : E : Si y est ue foctio e, effectuer chacue es érivées suivates : a) b) y c) y a) Puisque y est foctio e, o remplace y par f() as les eu erières érivées : b) y ( f( )) ( f( )) f( ) y y c) y ( f( )) ( f( )) + ( f( )) ( f( )) + ( f( )) f( ) y y + y y + y y '
Techique e érivatio implicite Soit ue équatio e la forme F( y, ) Gy (, ). Pour étermier y, o suivra les étapes suivates : ère étape : O érive les eu membre e l équatio: ( F( y, )) ( Gy (, )) ième étape : O isole y e l équatio obteue à la ère étape E : Trouver y si y y O érive les eu membres e l équatio par rapport à : ( y y ) y y (Iiquer commet ça se éveloppe) y y y (y ) ( + y) y ( + y) y y 6 0 y 6
E : Trouver par érivatio implicite y si y y 8+ O érive les eu membres e l équatio par rapport à : ( y y ) (8+ ) 8 y y + (Iiquer commet ça se éveloppe) y y y+ y y ( y ) y y y y 7