Leçon 1 Statstques Lors d une séance de saut en hauteur, le professeur d EPS a relevé, en centmètres, les performances c-dessous : 110-115-10-110-100-110-15-15-100-95-135-105-1-110-95-100-110-85-85-105-140-15-100-135-105-1-135-115-10-135 Quelles nformatons peut-on obtenr à partr de ces performances? Effectfs d une sére statstque L ensegnant a relevé les dfférentes hauteurs passées par ses élèves. Le caractère étudé c est la hauteur des dfférents sauts. Plutôt que d utlser «un par un» les résultats obtenus, on peut les regrouper dans un tableau statstque : Hauteur (cm) 85 95 100 105 110 115 10 15 1 135 140 Nombre d élèves 4 3 5 3 4 1 Dans un tableau statstque, l effectf d une valeur est le nombre de réponses assocé à cette valeur. L ensemble des valeurs et des effectfs forme une sére statstque. Dans la sére statstque des performances, l effectf de la valeur 110 cm est 5, celu de la valeur 15 cm est 3. Dans une sére statstque, l effectf total est égal à la somme des effectfs de cette sére statstque. 7
L effectf total de l étude statstque fate par le professeur d EPS est : + + 4 + 3 + 5 + + + 3 + + 4 + 1 =. On sat alors qu l y a eu performances relevées. Afn d avor une vue plus synthétque de cette étude, l ensegnant souhate présenter les résultats sous la forme de pourcentages. Pour cela, on se concentre sur chacune des valeurs de la sére statstque, l une après l autre, en calculant la fréquence de chaque valeur : La fréquence f d une valeur du caractère étudé est : Effectf de la valeur du caractère f =. Effectf total de la sére On peut alors compléter le tableau des données relevées : Hauteur (cm) 85 95 100 105 110 115 10 15 1 135 140 Nombre d élèves 4 3 5 3 4 1 Fréquence 4 3 5 3 4 1 La somme totale des fréquences est égale à 1. Grâce aux fréquences, les réponses, demandées sous forme de pourcentages, devennent plus smples à calculer. En effet, pour la hauteur 135cm: 4 4 pour? pour 100? = 4 100 = f 100. 8 La performance 135 cm a été réalsée par envron 13,3 % des élèves.
Exercce 1 Pour agrémenter la cour d un collège, on a planté 76 arbustes dont on a mesuré la talle. Compléter le tableau en ndquant l effectf manquant et les fréquences. On écrra les fréquences sous la forme d un pourcentage. Talle 1, m 1,40 m 1,50 m 1,60 m Effectf 1 3 9 Fréquence Le professeur d EPS souhate mantenant avor une représentaton graphque des résultats. En suvant la même méthode que pour les pourcentages, on va construre un dagramme crculare (ou sem-crculare) pour présenter graphquement cette étude. L angle correspondant à la valeur 100 cm est : 4 4 pour? pour 360? = 4 360 = f 360. La performance 100 cm est donc représentée par un angle de 48. Le dagramme crculare obtenu est donc le suvant : 105 cm 100 cm 95 cm 110 cm 85 cm 140 cm 115 cm 10 cm 15 cm 1 cm 135 cm Pour un dagramme sem-crculare, on prend 180 à la place de 360. 9
Exercce Construre un dagramme crculare correspondant à la sére statstque de l exercce résolu 1. L ensegnant souhate «postonner» les élèves par rapport à une donnée relatve aux résultats obtenus. Un des ndcateurs statstques connu par le professeur est la moyenne de la sére statstque. Pour calculer la moyenne d une sére statstque, on effectue la somme de toutes les valeurs pus on la dvse par l effectf total. Pour ce relevé de performances, la somme des valeurs est : 110 + 115 + 10 + 110 + 100 + 110 + 15 + 15 + 100 + 95 + 135 + 105 + 1 + 110 + 95 + 100 + 110 + 85 + 85 + 105 + 140 + 15 + 100 + 135 + 105 + 1 + 135 + 115 + 10 + 135 sot 3 410 et l effectf total est. Donc la performance moyenne relevée est : m = 3410 113,7 cm. Attenton à l nterprétaton : l n y a pas 15 élèves sous la moyenne et 15 élèves au-dessus de la moyenne. Exercce 3 Dans une usne, des employés ont les salares suvants (en ): 760 ; 85 ; 915 ; 990 ; 1 065 ; 1 160 ;1 96 ; 1 090 ; 1 110 ; 953. Quel est le salare moyen des ouvrers dans cette usne? Dans la somme des valeurs que l on a calculée c-dessus, on remarque (en utlsant les proprétés de l addton) que l on effectue 85 + 85 pus 110 + 110 + 110 + 110 + 110... Or, on peut écrre ces dfférentes sommes sous la forme de produts 85 pus 5 110... qu sont les produts entre les valeurs étudées et leurs effectfs. En fasant ans, on a calculé la moyenne pondérée de la sére statstque.
Pour calculer la moyenne pondérée par les effectfs d une sére statstque : on multple chaque valeur par l effectf correspondant, pus on effectue la somme de ces produts, pour enfn dvser cette somme par l effectf total. La moyenne pondérée ne dffère en ren de la moyenne calculée classquement. Il s agt juste d une améloraton du procédé. On dt pondérée car chaque valeur est affectée par son effectf. Exercce 4 Dans une classe de 8 élèves, les notes à un devor se répartssent de la manère suvante : Notes 6 7 8 9 10 11 1 13 15 Effectfs 1 4 6 3 3 3 4 Calculer la moyenne de la classe à ce devor. Statstques et tableur Pour cette parte, on a utlsé le tableur Calc. C est celu de la sute bureautque OpenOffce, lbrement téléchargeable à l adresse : http://fr.openoffce.org/. On rappelle les défntons à connaître lors de l utlsaton d un tableur : colonne ; lgne et cellule. Cellule C3 Colonne C Lgne 3 1 3 4 5 A B C D 31
La foncton SOMME permet de calculer la somme d un ensemble de valeurs. Mas l faut le fare de manère à rendre tout changement dans l ensemble des valeurs, très smple à fare. On utlse pour cela des références aux cellules sous la forme A1, A... A B C 1 1 5 3 15 4 10 =SOMME(A1:A5) 5 1 En valdant cette sase, l ordnateur affchera 54 (résultat de la somme des cellules A1 à A5)etadaptera seul cette valeur lorsque les cellules A1 à A5 changeront de contenu. La moyenne d une sére statstque se calcule alors faclement avec ce calcul de somme mas on peut également utlser la foncton MOYENNE sous la forme =MOYENNE(A1:A5) qu renvoe drectement la moyenne des nombres stués dans les cellules A1 à A5. Par contre, sur ce tableur, on ne peut pas calculer une moyenne pondérée avec une seule foncton. S on souhate détermner une telle moyenne, l faut décomposer les calculs avec la foncton SOMMEPROD(A1:A5;B1:B5) qu effectue la somme des produts des nombres de la colonne A par ceux de la colonne B. A B C D E F 1 1 1 5 3 15 1 4 10 3 =SOMMEPROD(A1:A5,B1:B5)/SOMME(B1:B5) 5 1 Pour tous les calculs à effectuer ou les fonctons à utlser, l est mpératf de les fare précéder d un sgne «=» snon l ordnateur n effectue pas les calculs demandés 3 Pour construre dfférentes représentatons de séres statstques (dagramme en bâtons, crculare ou sem-crculare ; lste de ponts...), on
peut également fare appel au tableur, grâce au menu Inserton pus Dagramme. Les combnasons possbles pour la constructon d un graphque sont nombreuses : l convendra d être vglant lors de l utlsaton de cette commande. Le tableur peut également être utlsé dans le calcul lttéral (page 59). SC À l ssue de cette leçon, les compétences du socle commun sont : Calculer des fréquences. Calculer la moyenne d une sére donnée. Créer ou modfer une feulle de calcul, nsérer une formule. Créer un graphque à partr des données d une feulle de calcul. SC Exercces complémentares 5 Calculer la moyenne de la sére de valeurs : 19 5 5 3 36 10 11 5 7 17 9 8 1 19 14 35 5 1 6 On détallera les calculs. (a) On a relevé les températures à Nce durant une semane de novembre : 1;;1; 1; ;5;9. Quelle a été la température moyenne à Nce cette semane-là? (b) On a relevé les températures à Rennes durant cette même semane : 3; ;0; 1; ;3;5. Quelle a été la température moyenne à Rennes cette semane-là? 7 La sére statstque suvante représente la durée d attente à un standard téléphonque : valeur (mnutes) 7 10 1 13 14 15 18 effectf 11 4 4 1 7 1 Calculer la durée moyenne d attente. 33
8 Le graphque c-dessous représente la répartton des notes d une classe lors du derner devor : E X E R C I C E S 1 Effectfs 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 Notes (a) Comben d élèves ont effectué ce devor? (b) Comben d élèves ont obtenu une note supéreure ou égale à 14? (c) Quelle est la note moyenne à ce devor? (d) La moté de la classe a-t-elle obtenue plus que la note moyenne? 9 Il y avat cnq perroquets dans une cage et leur prx moyen état de 5000. Un jour, durant le nettoyage de la cage, le plus beau des perroquets s est envolé. Le prx moyen des quatre perroquets restants est mantenant de 4000. Comben coûtat le perroquet qu s est échappé? 10 Voc les notes d un élève de 4 e en mathématques : 1 er trmestre 15 10 8 13 10 e trmestre 13 9 7 14 13 16 3 e trmestre 1 15 17 14 1 (a) Calculer sa moyenne pour chacun des tros trmestres. (b) Calculer la moyenne des moyennes des tros trmestres. (c) Calculer la moyenne de l ensemble de ses notes sur son année scolare. Que remarque-t-on? 34