T le ES - programme 2012 mathématiques ch.9 cahier élève Page 1 sur 10 Ch.9 Fluctuatio, estimatio Ue ure cotiet 50 % de boules blaches. O effectue, par simulatio, 20 séries de 100 tirages avec remise, et o détermie pour chacue d'elles la fréquece de sortie d'ue boule blache. Le graphique ci-cotre doe les 20 fréqueces aisi obteues. Ici la proportio p de boules blaches est coue, p = 0,5 et le ombre de boules tirées pour chaque série est égal à 100. Les fréqueces obteues sot différetes, elles fluctuet. O sait que, si 25 et 0,2 p 0,8, il y a 95 % de chaces pour que la fréquece das l'échatillo apparaisse das l'itervalle : p 1, p + 1. Cet itervalle est appelé itervalle de fluctuatio au seuil de 95 %. Questios-tests 1 page 241 Das la situatio ci-dessus détermiez l'itervalle de fluctuatio au seuil de 95 %. Ici l'itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % est l'itervalle : 1 0,5 100, 0,5 + 1 = [0,4, 0,6]. 100 Questios-tests 2 page 241 D'après le schéma ci-dessus, les résultats obteus sot-ils e accord avec les résultats théoriques? L'itervalle [0,4 ; 0,6] cotiet 19 des 20 fréqueces doc 95 % des fréqueces. Ce résultat est doc e accord avec les résultats théoriques. Questios-tests 3 page 241 Ue ure cotiet 30 % de boules rouges. O effectue 200 séries de 100 tirages avec remise et o calcule, pour chaque série, la fréquece des boules rouges obteues. Combie de fréqueces devraiet être situées das l'itervalle [0,2 ; 0,4] pour que le résultat de cette expériece soit e accord avec les résultats théoriques? Ici p = 0,3 et = 100, les coditios sot vérifiées et l'itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % est doc l'itervalle : 1 0,3 100, 0,3 + 1 = [0,2 ; 0,4]. 100 Cet itervalle doit doc coteir 95 % des fréqueces, soit 190 fréqueces. 1 NOTION D'ÉCHANTILLON 1.1 Défiitio DÉFINITION 1 U échatillo de taille est costitué des résultats de répétitios idépedates de la même expériece. 1.2 Exemples Cas d'ue ure U échatillo de taille est costitué des résultats de tirages avec remise. Notos que si les tirages s'effectuet sas remise, les tirages successifs e sot pas idépedats. E effet, das ce cas, la compositio de l'ure varie après chaque tirage. Cas d'u sodage Supposos que l'o iterroge persoes das ue populatio de N persoes. A priori, il s'agit d'ue situatio aalogue à u tirage sas remise das ue ure ; e effet, les persoes iterrogées e sot iterrogées qu'ue fois. E assimilat les persoes iterrogées aux boules d'ue ure, ceci sigifie que l'o e remet pas la persoe iterrogée «das l'ure» avat d'iterroger la suivate. 1.3 Ue covetio O coviet que si le ombre de persoes iterrogées est ettemet iférieur au ombre total N de persoes, u sodage peut être cosidéré comme u tirage avec remise das ue ure. E effet, das ce cas, les pourcetages des diverses catégories de persoes das la populatio sot très peu modifiés par la «suppressio» de certaies d'etre elles, e ombre égligeable par rapport au ombre total de persoes.
T le ES - programme 2012 mathématiques ch.9 cahier élève Page 2 sur 10 2 FLUCTUATION D'ÉCHANTILLONNAGE 2.1 U exemple Repreos l'exemple de l'ure das laquelle la proportio de boules blaches est égale à p. Supposos que p est cou, par exemple p = 0,6. Voici les fréqueces de boules blaches obteues, par simulatio, à partir de 20 échatillos, chacu de taille 100. 0,51 0,62 0,68 0,55 0,47 0,6 0,69 0,58 0,61 0,67 0,55 0,63 0,53 0,54 0,52 0,68 0,69 0,54 0,55 0,59 O costate sur cet exemple que les fréqueces observées fluctuet. Ce phéomèe est appelé fluctuatio d'échatilloage. Plus précisémet, o peut costater que, pour la plupart des échatillos, la fréquece de sortie d'ue boule blache se trouve das l'itervalle [0,5 ; 0,7]. O dispose aisi d'u ordre de gradeur du ombre d'échatillos dot la fréquece appartiet à l'itervalle [0,5 ; 0,7]. Das l'exemple, o peut vérifier qu'il y e a 19 sur 20, c'est-à-dire 95 %. 2.2 Itervalle de fluctuatio asymptotique Les résultats observés das l'exemple précédet sot e accord avec la propriété géérale suivate, démotrée e théorie des probabilités et des statistiques. THÉORÈME 1 Notos F la variable aléatoire qui à tout échatillo de taille associe la fréquece d'u caractère. Posos I = p(1 p) p(1 p) p 1,96, p + 1,96 où p désige la proportio de ce caractère das la populatio. Alors F pred ses valeurs das I avec ue probabilité qui s'approche de 0,95 quad deviet grad. O pratique cette approximatio dès que 30, p 5 et (1 p) 5. DÉFINITION 2 L'itervalle I = p(1 p) p(1 p) p 1,96, p + 1,96 est appelé itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 %. Exemple : Das l'exemple du paragraphe 2.1 ci-dessus, = 100 ; p = 0,6. Doc ici la variable aléatoire est égale à F 100 et l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % oté I 100 est l'itervalle [0,503 9; 0,696 1]. O peut costater que pour 95 % des échatillos, la fréquece observée appartiet à l'itervalle I 100. Ce résultat est e accord avec le théorème 1. 2.3 Retour sur la classe de secode O a vu e classe de secode que pour u échatillo de taille, l'itervalle p 1, p + 1 est u itervalle de fluctuatio de la fréquece au seuil de 95 %. Le théorème 1 ci-dessus doe e gééral u résultat u peu plus précis que le théorème aalogue vu e secode où l'itervalle utilisé est p 1, p + 1 car l'itervalle I est iclus das l'itervalle p 1, p + 1. Voir exercice 54 p. 259. Exercice 13 page 252 Doez u exemple d'échatillo de taille 20 que l'o peut obteir, aisi qu'u exemple du caractère que l'o peut observer avec : a) ue pièce de moaie ; b) u dé e forme de tétraèdre, marqué 1, 2, 3, 4 ; c) ue ure coteat des boules bleues, blaches ou rouges ; d) u jeu de 52 cartes. a) Lacer la pièce 20 fois et compter le ombre de «pile» obteus. b) Lacer le dé 20 fois et compter le ombre de «4». c) Tirer 20 boules avec remise et compter le ombre de boules bleues. d) Tirer 20 cartes avec remise et compter le ombre d as. Exercice 14 page 252 Commet simuler u échatillo statistique de taille 50 das u établissemet scolaire de 1 252 élèves? Numéroter les élèves de 1 à 1 252 et tirer 50 uméros avec remise.
T le ES - programme 2012 mathématiques ch.9 cahier élève Page 3 sur 10 Exercice 15 page 252 La proportio d'u caractère das ue populatio est égale à p. Peut-o utiliser le théorème 1 pour détermier u itervalle de fluctuatio asymptotique de taille au seuil de 95 % das les cas suivats : a) = 36 ; p = 0,5 ; b) = 100 ; p = 0,04 ; c) = 50 ; p = 0,95 ; d) = 400 ; p = 0,05. a) Oui, car 30 ; p = 18 > 5 et (1 p) = 18 > 5. b) No, car p = 4 < 5. c) No, car (1 p) = 50 0,05 = 2,5 < 5. d) Oui, car 30 ; p = 20 > 5 et (1 p) = 380 > 5. Exercice 16 page 252 La proportio d'u caractère das ue populatio est égale à 0,1. Quelle taille miimale devra avoir l'échatillo utilisé pour calculer la fréquece, afi de répodre aux coditios d'applicatio du théorème sur l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 %? O veut 30 et p > 5 doc 0,1 > 5. D où : 50. Exercice 17 page 252 La proportio d'u caractère das ue populatio est égale à 0,92. Quelle taille miimale devra avoir l'échatillo utilisé pour calculer la fréquece, afi de répodre aux coditios d'applicatio du théorème sur l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 %? O veut 30 et (1 p) > 5 doc 0,08 5. D où : 63. Exercice 18 page 252 La proportio p d'u caractère das ue populatio est égale à 0,65. Détermiez l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la fréquece d'u échatillo : a) de taille 100 ; b) de taille 1 000. a) I = 0,65 0,35 0,65 0,35 0,65 1,96, 0,65 + 1,96 100 100, et I [0,556 5 ; 0,743 5]. b) I = 0,63 0,4 0,63 0,4 0,65 1,96, 0,65 + 1,96 1 000 1 000 et I [0,620 4 ; 0,679 6]. OBJECTIF 1 : Coaître l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % Das ue populatio, la proportio p d'u caractère est coue. La variable aléatoire F qui, à tout échatillo de taille, associe la fréquece de ce caractère, pred ses valeurs das l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 %, I = p(1 p) p(1 p) p 1,96, p + 1,96, avec ue probabilité qui s'approche de 0,95 quad deviet grad. Das la pratique, o utilise cet itervalle dès que 30, p 5 et (1 p) 5. Exercice résolu A page 246 La proportio de aissaces d'efats prématurés est de 6 %. Des chercheurs suggèret que les femmes ayat eu u travail péible pedat leur grossesse sot plus susceptibles d'avoir u efat prématuré. O réalise ue equête auprès d'u échatillo aléatoire de 400 aissaces correspodat à des femmes ayat eu pedat leur grossesse u travail péible. Les chercheurs décidet a priori que si la proportio d'efats és prématurés das cet échatillo est supérieure à la bore supérieure de l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 0,95 alors leur hypothèse sera acceptée. O sait que das l'échatillo, il y a 50 efats prématurés. 1) Détermiez l'itervalle de fluctuatio asymptotique I associé à cette situatio au seuil de 0,95. 2) Quelle est doc la coclusio? Méthode Solutio 1) Nous utilisos la formule doat l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 0,95. 1) I = p(1 p) p(1 p) p 1,96, p + 1,96. Il coviet de bie aalyser l'éocé pour Ici p = 0,06 et = 400. savoir quelle est la valeur de et celle de p. Les coditios 30, p 5 et (1 p) 5 sot Ne pas oublier de vérifier les coditios de satisfaites. validité : 30, p 5 et (1 p) 5. E effet = 400, p = 24 et (1 p) = 376. Doc 2) O calcule la fréquece de prématurés das l'échatillo et o compare f à la bore I = [0,037 ; 0,083]. 2) Notos f la proportio de prématurés das l'échatillo :
supérieure de I. T le ES - programme 2012 mathématiques ch.9 cahier élève Page 4 sur 10 O pred e compte la règle de décisio choisie. f = 50 400 = 0,125. La bore supérieure de I est égale à 0,083. f est supérieure à la bore supérieure de I. Les chercheurs cocluet que la proportio d'efats prématurés est plus élevée chez les femmes ayat eu u travail péible pedat la grossesse. Exercice 1 page 246 Ue rhio-pharygite guérit aturellemet e mois de ciq jours das 60 % des cas. O veut tester u médicamet cesé abréger la durée de la maladie. Pour cela, o admiistre le médicamet à 1 000 persoes. Pour 63 % d'etre elles, la guériso a eu lieu e mois de ciq jours. 1) Détermiez l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 0,95 pour u échatillo de taille 1 000 associé à cette situatio, après avoir justifié les coditios de validité. 2) Que peut-o peser de l'efficacité de ce médicamet? 1) Ici = 1 000 et p = 0,6 doc : p = 600 et (1 p) = 400. Les coditios sot vérifiées. L'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % est l'itervalle : 0,6 0,4 0,6 1,96 c'est-à-dire I = [0,569, 0,631]. 1 000, 0,6 + 1,96 0,6 0,4, 1 000 2) La valeur 0,63 observée appartiet à l'itervalle I, doc l'efficacité du médicamet 'est pas prouvée. Exercice 20 page 252 La proportio p d'u caractère das ue populatio est égale à 0,42. Das u échatillo issu de la populatio, o a trouvé 0,49 comme fréquece de ce caractère. Cet échatillo est-il «représetatif» de la populatio pour ce caractère, sachat que l'échatillo est : a) de taille 100 ; b) de taille 1 000. Idicatio O pourra utiliser la otio d'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 954'o. a) Oui, car 0,49 0,42 0,58 0,42 0,58 0,42 1,96, 0,42 + 1,96 100 100. 0,42 0,58 b) No, car 0,49 > 0,42 1,96. 1 000 Exercice 23 page 253 Pratique du sport Le maire d'ue grade ville affirme que, d'après ses iformatios, 55 % des habitats majeurs pratiquet u sport. O iterroge 100 habitats majeurs au hasard et 43 % diset pratiquer u sport. O suppose que l'affirmatio du maire est vraie et que la populatio de la ville est suffisammet grade pour cosidérer que les 100 «tirages» sot effectués avec remise. 1) Précisez l'itervalle de fluctuatio asymptotique de la fréquece au seuil 0,95 adapté à cette situatio. 2) Commet peut-o iterpréter l'affirmatio du maire? 1) I = 0,55 0,45 0,55 0,45 0,55 1,96, 0,55 + 1,96 100 100. I [0,452, 0,648]. 2) Au seuil de 95 %, l affirmatio du maire est erroée car 0,43 I. Exercice 24 page 253 Accès à iteret U fourisseur d'accès à Iteret (FAI) affirme que, sur sa hotlie, seuls 20 % des cliets attedet plus de 5 miutes pour obteir u iterlocuteur. Ue associatio de cosommateurs, ayat reçu de ombreuses doléaces de la part de ses adhérets, décide de faire ue equête et iterroge au hasard 200 persoes ayat eu à s'adresser à la hotlie de ce FAI. 53 d'etre elles ot dû attedre plus de 5 miutes. O se demade si ces résultats permettet de mettre e doute l'affirmatio de ce fourisseur d'accès à Iteret. 1) Quel est le pourcetage de persoes qui ot attedu plus de 5 miutes das cet échatillo? 2) Précisez l'itervalle de fluctuatio asymptotique de la fréquece au seuil de 95 % adapté à cette situatio. 3) Que cocluez-vous? 53 1) 100 = 26,5 %. 200
T le ES - programme 2012 mathématiques ch.9 cahier élève Page 5 sur 10 2) I = 0,2 0,8 0,2 0,8 0,2 1,96, 0,2 + 1,96 200 200. I [0,144, 0,256]. 3) 0,265 I, par coséquet, l iformatio du fourisseur d accès est sas doute fausse. Exercice 25 page 253 Au ski Ue statio de ski familiale 'attire que 25 % de skieurs habitat hors du départemet. Souhaitat élargir sa clietèle, la statio fait réaliser des travaux au cours de l'été suivat ouveau télésiège débrayable à six places, caos à eige. L'hiver suivat, 500 skieurs sot iterrogés : 172 d'etre eux habitet hors du départemet. 1) Doez l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % adapté à cette situatio. 2) Peut-o affirmer que les travaux de l'été ot eu u impact sur la fréquetatio des skieurs habitat hors du départemet? 1) I = 0,25 0,75 0,25 0,75 0,25 1,96, 0,25 + 1,96 500 500. I [0,212, 0,288]. 2) La fréquece f est maiteat égale à 172 500 0,344. f appartiet pas à I, doc au seuil de 95 % o peut dire que les travaux ot amélioré la fréquetatio des skieurs hors départemet. Exercice 26 page 253 Trafic routier Les habitats d'u village traversé par u axe routier à fort trafic réclamet au Coseil gééral de leur départemet la costructio d'ue déviatio. Leur argumet : «Les camios sot plus bruyats et plus polluats que les autres véhicules. Or, chez ous, 80 % des véhicules traversat otre village sot des camios». Le Coseil gééral, étoé par u tel pourcetage, fait procéder à u comptage : sur 1 000 véhicules circulat sur cet axe et pris au hasard, 70 % sot des camios. O se demade si, au iveau 0,95, le «chiffre» avacé par les habitats du village est exact. O suppose vrai le pourcetage avacé par les habitats du village. O ote F la variable aléatoire doat la fréquece des camios sur u échatillo de 1 000 véhicules traversat le village. 1) Quel est alors l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % associé à F? 2) La fréquece obteue lors du comptage appartiet-elle à cet itervalle? Cocluez. 1) I = 0,8 0,2 0,8 1,96 1 000, 0,8 + 1,96 0,8 0,2 1 000. I [0,775, 0,825]. 2) 0,7 appartiet pas à cet itervalle. Soit le pourcetage avacé par les habitats est erroé, soit le comptage est pas représetatif. Exercice 27 page 254 Prise de décisio Cet exercice est extrait du documet d'accompagemet du programme. O admet que das la populatio d'efats de 11 à 14 as d'u départemet fraçais le pourcetage d'efats ayat déjà eu ue crise d'asthme das leur vie est de 13 %. U médeci d'ue ville de ce départemet est surpris du ombre importat d'efats le cosultat ayat des crises d'asthme et e iforme les services saitaires. Ceux-ci décidet d'etrepredre ue étude et d'évaluer la proportio d'efats de 11 à 14 as ayat déjà eu des crises d'asthme. Ils sélectioet de maière aléatoire 100 jeues de 11 à 14 as de la ville. La règle de décisio prise est la suivate : si la proportio observée est supérieure à la bore supérieure de l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 %, alors ue ivestigatio plus complète sera mise e place afi de rechercher les facteurs de risque pouvat expliquer cette proportio élevée. 1) Détermiez l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la proportio de jeues de 11 à 14 as ayat eu ue crise d'asthme das u échatillo de taille 100. 2) L'étude réalisée auprès des 100 persoes a déombré 19 jeues ayat déjà eu des crises d'asthme. Que pouvezvous coclure? 3) Le médeci 'est pas covaicu par cette coclusio et déclare que le ombre de persoes iterrogées était isuffisat pour mettre e évidece qu'il y avait plus de jeues ayat eu des crises d'asthme que das le reste du départemet.
T le ES - programme 2012 mathématiques ch.9 cahier élève Page 6 sur 10 Combie faudrait-il predre de sujets pour qu'ue proportio observée de 19 % soit e dehors de l'itervalle de fluctuatio asymptotique? 1) I = 0,13 0,87 0,13 0,87 0,13 1,96, 0,13 + 1,96 100 100. I [0,064, 0,196]. 2) 0,19 appartiet à l itervalle de cofiace au seuil de 95 %. Avec la règle de décisio choisie il y a pas lieu de faire d autres ivestigatios. 0,13 0,87 3) O veut 0,13 + 1,96 < 0,19. D où : 121. 3 ESTIMATION D'UNE PROPORTION INCONNUE À PARTIR D'UN ÉCHANTILLON O suppose maiteat que la proportio p 'est pas coue. O va voir commet il est possible d'obteir ue estimatio de la valeur de p à partir de la fréquece observée das l'échatillo. 3.1 Ue propriété importate THÉORÈME 2 Notos f la fréquece observée das u échatillo de taille et p le pourcetage que l'o veut estimer. Alors l'itervalle f 1, f + 1 cotiet p avec ue probabilité d'au mois 0,95. Coditios d'applicatio : Ce sot les mêmes que celles du théorème 1 : 30, p 5 et (1 p) 5. DÉFINITION 3 O dit que l'itervalle f 1, f + 1 est l'itervalle de cofiace de p au iveau de cofiace 0,95. (O dit aussi avec u risque de 5 %.) 3.2 Exemple d'applicatio À l'aide d'u échatillo de taille 100, o souhaite estimer u pourcetage p. O suppose que p [0,2 ; 0,8]. La fréquece observée das cet échatillo est 0,45. 1) Vérifios que les coditios d'applicatio du théorème 2 sot réalisées. O a : = 100, doc 30 ; 0,2 p 0,8 d'où 20 p 80, doc p 5 ; 0,2 p 0,8 d'où 0,2 1 p 0,8 et 20 (1 p) 80 doc (1 p) 5. 2) Les coditios état remplies, o peut appliquer le théorème 2. O peut doc dire que l'itervalle de cofiace de p au iveau de cofiace 0,95 est l'itervalle 1 0,45 100, 0,45 + 1 100, c'est-à-dire [0,35 ; 0,55]. Cet itervalle cotiet p avec ue probabilité d'au mois 0,95. Exercice 4 page 248 La semaie précédat ue électio qui oppose deux cadidats A et B, o iterroge 100 persoes pour coaître leur itetio de vote. 45 persoes idiquet quelles vot voter pour le cadidat A. 1) Justifiez que les coditios d'utilisatio d'u itervalle de cofiace au iveau de cofiace 0,95 sot satisfaites. 2) Peut-o affirmer avec ue probabilité de 0,95 que le cadidat A e sera pas élu? 3) E supposat que le pourcetage d'itetio de vote pour le cadidat A reste égal à 45 %, quel ombre miimum de persoes faut-il iterroger pour pouvoir affirmer avec ue probabilité supérieure à 0,95 que le cadidat A e sera pas élu? 1) Ici = 100 et f = 0,45 doc f = 45 et (1 f) = 55. Les coditios sot satisfaites. 2) L'itervalle de cofiace au iveau de cofiace 0,95 est [0,35 ; 0,55]. Cet itervalle cotiet des pourcetages supérieurs à 0,5 doc o e peut pas affirmer avec ue probabilité supérieure à 0,95 que le cadidat e sera pas élu. 3) Il aurait fallu que le ombre de persoes iterrogées soit tel que 0,45 1 < 0,5 d'où 1 < 0,05 doc > 400. Exercice 7 page 249 Q.C.M. Ue seule répose exacte Pour chaque affirmatio, ue seule répose est exacte. Idetifiez-la e justifiat votre répose.
T le ES - programme 2012 mathématiques ch.9 cahier élève Page 7 sur 10 1) Das ue populatio, la proportio d'u caractère est égale à 0,4. Das u échatillo aléatoire de taille 100 extrait de cette populatio, la fréquece de ce caractère appartiet à l'itervalle [0,3 ; 0,5]. a) Toujours. b) Jamais. c) Avec ue probabilité de 95 %. 2) Lorsque la taille de l'échatillo augmete, la logueur de l'itervalle de cofiace au seuil de 95 % : a) Dimiue. b) Reste costate. c) Augmete. 3) Das u échatillo de taille = 30, et pour ue proportio p telle que p 5 et (1 p) 5, la fréquece appartiet à l'itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % : a) Avec ue probabilité iférieure à 0,05. c) Toujours. b) Avec ue probabilité au mois égale à 0,95. 1) Répose exacte : c. L'itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % est l itervalle [0,3 ; 0,5]. 2) Répose exacte : a. Lorsque augmete, augmete et 1 dimiue. 3) Répose exacte : b, d'après la défiitio de l'itervalle de fluctuatio. Exercice 28 page 254 Das u échatillo de taille = 25, o a trouvé ue fréquece égale à f = 0,71. Idiquez si les coditios usuelles d'utilisatio de l'itervalle de cofiace au iveau de cofiace 0,95 sot remplies et doez cet itervalle. 30, doc les coditios e sot pas remplies. Exercice 30 page 254 Das u échatillo de taille = 36, o a trouvé ue fréquece égale à f = 0,15. Idiquez si les coditios usuelles d'utilisatio de l'itervalle de cofiace au iveau de cofiace 0,95 sot remplies et doez cet itervalle. 30 ; f = 5,4 > 5 et (1 f ) = 30,6 5. Les coditios sot remplies. I = 0,15 1 6, 0,15 + 1 6. Exercice 37 page 254 Ue ure cotiet des boules blaches et des boules oires. O aimerait coaître la proportio p des boules blaches. Pour cela, o effectue 100 tirages avec remise das cette ure. O obtiet 32 boules blaches. Estimez p à l'aide de l'itervalle de cofiace au iveau 0,95. L itervalle de cofiace au iveau 0,95 est égal à [0,22 ; 0,42]. Il y a 95 % de chaces que cet itervalle cotiee p. OBJECTIF 2 : Estimer ue proportio icoue à partir d u échatillo Notos f la fréquece observée das u échatillo de taille et p le pourcetage que l'o veut estimer. Alors l'itervalle f 1, f + 1 cotiet p avec ue probabilité d'au mois 0,95. Cet itervalle est appelé itervalle de cofiace de p au iveau de cofiace 0,95. O utilise cet itervalle dès que 30, p 5 et (1 p) 5. Exercice résolu B page 247 U cadidat à ue électio fait effectuer u sodage. Sur 100 persoes iterrogées, 63 déclaret vouloir voter pour lui. O suppose que les électeurs e chaget pas d'avis le jour du vote. O otera p le pourcetage de voix obteues par le cadidat. O suppose que 0,5 p 0,7. 1) Détermiez l'itervalle de cofiace de p au iveau de cofiace 0,95. 2) Éocez le résultat ci-dessus e lagage courat. Méthode Solutio 1) O utilise la otio d'itervalle de 1) La fréquece obteue à l'aide de l'échatillo est égale à 0,63. O cofiace au iveau de cofiace sait que 0,5 p 0,7 doc 0,7 p 0,5 et 0,3 1 p 0,5. 0,95. Ici = 100 doc 50 p 70 et 30 (1 p) 50. O vérifie que les coditios 30, Les coditios 30, p 5 et (1 p) 5 sot satisfaites. Doc p 5 et (1 p) 5 sot bie l'itervalle de cofiace au iveau 0,95 est l'itervalle satisfaites. 1 0,63 100, 0,63 + 1, c'est-à-dire [0,53 ; 0,73]. 100 2) La bore iférieure de l'itervalle [0,53 ; 0,73] joue u rôle essetiel. Si cette bore iférieure est supérieure à 0,5, alors le cadidat a de fortes 2) Il y a doc 95 chaces sur 100 pour que cet itervalle cotiee p. Or 0,53 > 0,5. Le cadidat a doc au mois 95 chaces sur 100 de gager l'électio.
T le ES - programme 2012 mathématiques ch.9 cahier élève Page 8 sur 10 chaces d'être élu. Exercice 2 page 247 Lors d'ue épidémie de grippe, 13 des élèves d'ue classe de termiale ES qui compte 34 élèves ot cotracté la maladie. O suppose que cette classe costitue u échatillo représetatif de l'esemble des 850 élèves du lycée. 1) Doez la fréquece d'élèves malades das la classe. 2) a) Justifiez que les coditios pour utiliser u itervalle de cofiace au iveau de cofiace 0,95 sot satisfaites. b) Doez cet itervalle de cofiace. 3) Emma, élève de la classe de termiale ES, estime qu'il est possible que plus de la moitié des élèves du lycée aiet eu la grippe. Qu'e pesez-vous? 1) 38 % des élèves sot malades. 2) a) Ici = 34, f = 0,38 doc f = 12,92 et (1 f) = 21,08. Les coditios sot satisfaites. b) L'itervalle de cofiace est égal à : I = 1 0,38 34, 0,38+ 1 34 soit I = [0,208, 0,552]. 3) La fréquece 0,5 appartiet à l'itervalle de cofiace, par coséquet Emma peut avoir raiso. Exercice 3 page 247 Ue ure cotiet des boules blaches et des boules oires. O effectue 100 tirages avec remise das cette ue et o obtiet 39 boules oires. Peut-o affirmer, avec ue probabilité d'au mois 0,95, qu'il y a plus de boules blaches que de boules oires das l'ure? Ici = 100, f = 0,39 doc f = 39 et (1 f) = 61. Les coditios sot satisfaites. L'itervalle de cofiace au iveau de cofiace 0,95 est égal à : 1 0,39 100? 0,39 + 1 100 soit I = [0,29 ; 0,49]. La fréquece 0,5 'appartiet pas à cet itervalle, o peut affirmer avec ue probabilité d'au mois 0,95 qu'il y a plus de boules blaches que de boules oires das l'ure. OBJECTIF 3 : Détermier ue taille d'échatillo suffisate pour obteir ue estimatio avec ue précisio doée Notos f la fréquece observée das u échatillo de taille, et p le pourcetage que l'o veut estimer. Dès que 30, p 5 et (1 p) 5, l'itervalle de cofiace f 1, f + 1 cotiet p avec ue probabilité d'au mois 0,95. Exercice résolu C page 248 O veut estimer la proportio p de foyers disposat e Frace d'u aboemet Iteret. O sait que p est compris etre 50 % et 70 %. 1) Quelle doit être la taille miimale de l'échatillo pour obteir u résultat avec ue précisio de 3 % au seuil de 0,95? 2) Quelle doit être la taille miimale de l'échatillo pour obteir u résultat avec ue précisio de 1 % au seuil de 0,95? Méthode Solutio 1) O est das le cas où p 'est pas cou. 1) L'itervalle de cofiace au seuil de 0,95 est l'itervalle O veut e trouver ue estimatio à partir d'u échatillo. p 1, p + 1 si les coditios 30, p 5 et (1 p) 5 E écrivat la défiitio de l'itervalle de sot réalisées. cofiace, o est rameé à la résolutio Ici 0,5 p 0,7 doc 0,3 1 p 0,5. d'ue iéquatio. La foctio x 1 Doc si 30 alors p 15 et (1 p) 9 et les trois est décroissate sur coditios serot réalisées. x ]0 ; +[ doc 0 < a b 1 a 1 b > 0. O veut trouver tel que 1 0,03. 1 O obtiet 0,03 c'est-à-dire 1 (0,03) 2. 1 Or 2 1 111,11 doc 1 112. (0,03) Les trois coditios sot doc réalisées. 2) Das la questio 2, o obtiet ue 2) O procède de faço aalogue. Cette fois doit vérifier
T le ES - programme 2012 mathématiques ch.9 cahier élève Page 9 sur 10 valeur de supérieure à celle de la 1 l'iégalité questio 1. Ce résultat était prévisible 0,01 c'est-à-dire 1 2. Doc 10 000. (0,01) car o impose ue Les trois coditios sot bie réalisées. Exercice 5 page 249 Questios sur le cours Complétez comme il coviet. Das les questios qui suivet, o suppose que = 30, p = 5, (1 p) = 5. 1) Pour assez grad, si p désige la proportio das la populatio, l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % est [, ]. 2) Si f désige la fréquece observée sur u échatillo de taille, la proportio p das la populatio totale est élémet de l'itervalle f 1, f + 1 avec u iveau de cofiace de. 1) Pour assez grad, si p désige la proportio das la populatio, l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de p(1 p) p(1 p) 95 % est p 1,96, p + 1,96. 2) Si f désige la fréquece observée sur u échatillo de taille, la proportio p das la populatio totale est élémet de l'itervalle f 1, f + 1 avec u iveau de cofiace de 95 %. Exercice 6 page 249 Vrai ou faux Les affirmatios suivates sot-elles vraies ou fausses? Justifiez votre répose. 1) Pour u échatillo de taille = 100 extrait d'ue populatio das laquelle la proportio d'u caractère est égale à 0,5, l'itervalle de fluctuatio asymptotique de la fréquece au iveau 0,95 est égal à [0,402 ; 0,598]. 2) Si das u échatillo de taille 100 la fréquece observée est égale à 0,4, alors la probabilité que la proportio p das la populatio totale soit comprise etre 0,3 et 0,5 est au mois égale à 0,95. 3) Si l'o veut obteir, au iveau de cofiace 0,95, u itervalle de cofiace d'étedue 0,1 alors il suffit d'étudier des échatillos de taille supérieure ou égale à 400. 1) Vrai. L'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % est : 10,5 1,96 0,5 0,5 100, 0,5 + 0,5 0,5 = [0,402 ; 0,598]. 100 2) Vrai. L'itervalle de cofiace au iveau de cofiace 0,95 est l'itervalle : 0,4 1 100, 0,4 + 1 = [0,3 ; 0,5]. 100 3) Vrai. Si 400 alors 1 = 1 = 0,05, doc l'étedue de l'itervalle de cofiace [f 0,05 ; f + 0,05] est égale à 0,1. 20 Exercice 8 page 249 Q.C.M. Au mois ue répose exacte Pour chaque affirmatio, plusieurs réposes peuvet être exactes. Idetifiez-les e justifiat votre répose. 1) La logueur de l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % : a) déped de la taille de l'échatillo ; b) augmete quad la taille de l'échatillo augmete ; c) dimiue quad la taille de l'échatillo augmete. 2) Si la fréquece d'u caractère d'u échatillo de taille 100 est égale à 0,3, alors : a) l'itervalle [0,2 ; 0,4] est u itervalle de cofiace au iveau de cofiace de 95 %. b) Das u échatillo de taille 200 la fréquece serait égale à 0,6. c) Das la populatio totale, la probabilité que la fréquece soit iférieure à 0,2 ou supérieure à 0,4 est iférieure à 0,05. 3) [0,55 ; 0,65] est l'itervalle de cofiace au iveau de cofiace 0,95 obteu à partir d'u échatillo de taille. O suppose que 30, p 5 et (1 p) 5. Alors : a) La taille de l'échatillo est égale à 400. b) Si o multiplie la taille de l'échatillo par 4, alors la logueur de l'itervalle de cofiace sera égale à 0,05. c) Il y a mois de 5 % de chaces que la fréquece das la populatio totale soit iférieure à 0,55. 1) Réposes : a et c. La taille vraie avec. Si augmete 1 dimiue.
T le ES - programme 2012 mathématiques ch.9 cahier élève Page 10 sur 10 2) Réposes : a et c. L'itervalle de cofiace au iveau de cofiace 0,95 est : 1 0,3 100, 0,3 + 1 100 = [0,2 ; 0,4]. La probabilité que la fréquece soit à l'extérieur de cet itervalle est égale à : 1 0,95 = 0,05. 3) Réposes exactes : a, b et c. Ici la logueur de l'itervalle est : 0,1 = 2 1, doc =- 400 et f = 0,6. Si o multiplie par 4 alors = 1 600 et l'itervalle de cofiace deviet : 1 0,6 1 000, 0,6 + 1 = [0,575 ; 0,625] de logueur 0,05. 1 000 Il y a 95 % de chaces que f soit das l'itervalle [0,55 ; 0,65] doc mois de 5 % de chaces que f soit iférieure à 0,55. Exercice 57 page 261 A. Loi ormale Ue etreprise fabrique des chaudières. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque chaudière prélevée au hasard das la productio, associe sa durée de foctioemet e aées. O admet que X suit la loi ormale de moyee 15 et d'écart-type 3. Ue chaudière est dite «amortie» si sa durée de foctioemet est supérieure ou égale à 10 as. Calculez la probabilité qu'ue chaudière prélevée au hasard das la productio soit «amortie»; arrodir à 10 3. B. Itervalle de cofiace O cosidère u échatillo de 100 chaudières prélevées au hasard das u stock importat. Ce stock est assez importat pour qu'o puisse assimiler ce tirage à u tirage avec remise. O costate que 94 chaudières sot sas aucu défaut. 1) Doez la fréquece f des chaudières de cet échatillo qui sot sas aucu défaut. 2) p est la proportio icoue des chaudières du stock qui sot sas aucu défaut. Détermiez u itervalle de cofiace de la proportio p avec le iveau de cofiace 95 %. Arrodir les bores à 10 2. 3) O cosidère l'affirmatio suivate «la proportio p est obligatoiremet das l'itervalle de cofiace obteu à la questio 2)». Est-elle vraie? A. Loi ormale À la calculatrice p(x 10) 0,952. B. Itervalle de cofiace 1) f = 0,94. 2) O a p [0, 1] doc I = 1 0,94 100, 0,94 + 1 100 [0 ; 1] = [0,84, 1]. 3) Cette affirmatio est fausse, p est das cet itervalle avec u iveau de cofiace de 0,95, mais p peut cepedat être à l extérieur.