Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 1 1. Notio de «série statistique» Il s agit d ue série de doées recueillies auprès des différetes uités statistiques d u échatillo ou d ue populatio cocerat chacue des variables mesurées. 2. VRAI ou FAUX. a) VRAI. La courbe ormale est symétrique par rapport à la moyee. b) FAUX. Le modèle de la loi ormale peut s appliquer à des variables quatitatives discrètes, mais à coditio que celles-ci puisset predre u très grad ombre de valeurs. c) VRAI. Les valeurs ayat ue cote z égative sot toutes, par défiitio, iférieures à la moyee. Or, das u modèle ormal, la médiae est égale à la moyee ; il s esuit doc que les valeurs ayat ue cote z égative sot toutes iférieures à la médiae. d) FAUX. Il est possible de recotrer ue cote z égale à 4, mais cela das des cas extrêmemet rares.
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 2 3. Portio de l aire sous la courbe pour certaies cotes z. a) D après la table de la loi ormale, o trouve 43,32 % des cotes z etre 0 et 1,5 (puisque la valeur 0,4332 se trouve à l itersectio de la lige 1,5 et de la coloe +0,00) : 43,32% 0 1,5 Z b) La proportio des cotes z situées etre 2,12 et 1,5 est doée par : [proportio des cotes etre 2,12 et 0] [proportio des cotes etre 1,5 et 0]. La courbe ormale état symétrique, la proportio des cotes etre 2,12 et 0 est la même qu etre 0 et 2,12 et correspod à 0,4830 (puisque c est cette valeur qu o trouve à l itersectio de la lige 2,1 et de la coloe +0,02 ; de faço aalogue, la proportio des cotes etre 1,5 et 0 est la même qu etre 0 et 1,5 et correspod à 0,4332. La proportio des cotes z etre 2,12 et 1,5 est doc : c est-à-dire eviro 4,98 %. 0,4830 0,4332 = 0,0498, 4,98% -2,12-1,5 Z c) La proportio des cotes z supérieures à 0,78 est doée par : [proportio des cotes supérieures à 0] [proportio des cotes etre 0 et 0,78]. D après la table de loi ormale, la proportio des cotes etre 0 et 0,78 correspod à 0,2823 (valeur à l itersectio de la lige 0,7 et de la coloe +0,08). Puisque la proportio des cotes supérieures à 0 est 0,5, la proportio des cotes z supérieures à 0,78 est doc égale à : 0,5000 0,2823 = 0,2177,
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 3 c est-à-dire 21,77 %. 21,77% 0,78 Z d) La proportio des cotes z iférieures à 0,26 est doée par : [proportio des cotes etre et 0] + [proportio des cotes etre 0 et 0,26], D après la table de loi ormale, la proportio des cotes etre 0 et 0,26 correspod à 0,1026 (valeur à l itersectio de la lige 0,2 et de la coloe +0,06). Puisque la proportio des cotes iférieures à 0 est 0,5, la proportio des cotes z iférieures à 0,26 est doc égale à : c est-à-dire 60,26 %. 0,5000 + 0,1026 = 0,6026, 60,26% 0,26 Z
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 4 4. Cotes z selo la portio de l aire sous la courbe. a) La proportio de cotes z etre z et 0 est doée par 74,86 % mois la proportio comprise etre 0 et +, à savoir 50 % ; o a doc 74,86 % 50 % = 24,86 %. Or, d après la table de la loi ormale, c est etre 0 et 0,67 que l o trouve 24,86 % des cotes z (puisque 0,2486 se trouve à l itersectio de la lige 0,6 et de la coloe +0,07) et la même proportio se trouve, par symétrie, etre 0,67 et 0. Comme la cote z recherchée se trouve à gauche de la moyee, c est la valeur z = 0,67 que l o retiet ici. b) E vertu de la table de distributio ormale, c est etre 0 et 1,5 que l o trouve 43,32 % des cas (puisque c est la valeur 0,4332 que l o retrouve à l itersectio de la lige 1,5 et de la coloe +0,00). c) Pour détermier etre 2 et quelle cote z o trouve 10,02 % des cotes z, établissos d abord quelle proportio se trouve etre 2 et 0. Cette proportio, qui est la même par symétrie qu etre 0 et 2, est, d après la table de distributio ormale, 0,4772. La proportio de cotes z comprises etre la cote z recherchée et 0 est doc 0,4772 0,1002, c est-à-dire 0,377. Or, c est à l itersectio de la lige 1,10 et de la coloe +0,06 que se trouve cette valeur ; la cote z recherchée est doc 1,16, puisqu elle se trouve à gauche de la moyee. d) Puisque la portio d aire sous la courbe se trouve au cetre de la distributio, o e trouve 47,5 % à gauche et 47,5 % à droite. Or, das la table de distributio ormale, 0,475 se trouve à l itersectio de la lige 1,90 et de la coloe +0,06, idiquat que c est etre 0 et 1,96 qu o trouve 47,5 % des cotes z. Puisque, par symétrie, la même proportio se trouve etre 1,96 et 0, les cotes z recherchées, à savoir z 1 et z 2, etre lesquelles o trouve les 95 % des cotes z qui sot situées au cetre de la distributio sot 1,96 et 1,96.
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 5 5. Âge auquel les bébés parcouret 10 m seuls. a) État doé que z(x), la cote z d ue valeur x quelcoque, est doée par : z(10,5) = z(x) = x " µ # où, das le cas préset, µ = 12 et σ = 0,7, la cote z d u efat qui a marché seul à 10,5 mois est : 10,5" 12 0,7 2,14. Iterprétatio : l âge de l efat se situe à eviro 2,14 écarts types sous la moyee. b) La proportio des efats qui commecet à marcher après 10,5 mois (dot la cote z est 2,14) est égale à la proportio des efats qui commecet à marcher etre 10,5 et la moyee 12 mois (dot la cote z est 0), plus la proportio des efats qui commecet à marcher plus tard que la moyee. De faço plus cocise, o peut dire que : P(z > 2,14) = P( 2,14 < z < 0) + P(z > 0) où P sigifie «Proportio d après la table de distributio ormale». O a alors : P(z > 2,14) = 48,38 % + 50 % = 98,38 %. O peut doc cosidérer qu eviro 98,38 % des efats commecet à marcher après 10,5 mois. c) La proportio des efats qui commecet à marcher avat 10,5 mois correspod simplemet à 100 % mois la proportio (calculée e b) des efats qui commecet à marcher après 10,5 mois, c est-à-dire : 100 % 98,38 % = 1,62 %. d) E substituat 1,5 à z(x) de même que les valeurs µ = 12 aisi que σ = 0,7 das la formule de la cote z, o a : ce qui, e isolat x, doe : 1,5 = x "12 0,7, x = 12 + 0,7 1,5 = 12 1,05 = 13,05. O peut doc cosidérer que les efats dot l âge correspod à ue cote z de 1,5 commecet e gééral à marcher à 13 mois eviro.
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 6 6. Trajets pour se redre au travail. a) Puisqu o a ici u échatillo dot la moyee x est 50 miutes et l écart type s est 8 miutes, la cote z de 45 miutes est doée par : O peut alors dire que : d où : 45" 50 z(45) = 8 = 0,625 0,63. P(z < 0,63) = P(z < 0) P( 0,67 < z < 0), P(z < 0,63) = 50 % 23,57 % = 26,43 %. Le ombre de jours où Gilles s est redu au travail e mois de 45 miutes correspod doc à 26,43 % 100 jours, c est-à-dire à eviro 26 jours. b) Puisqu o a ici u échatillo avec x = 56 miutes et s = 2 miutes, la cote z de 45 miutes est doée par : z(45) = 45" 56 2 = 5,5. Or, d après la table de la distributio ormale, le pourcetage de cotes z se trouvat à plus de 5,5 écarts types de la moyee est ifime, à savoir mois de 0,01 % (c est-à-dire 1 % 100). O peut doc, à toutes fis pratiques, cosidérer que le ombre de jours sur 100 où Gilles a pu se redre au travail e mois de 45 miutes par le trajet B correspod à 0 jour. c) O peut évaluer les risques de Gilles d arriver e retard e calculat la cote z correspodat à 60 miutes par l u et l autre trajet. Par le trajet A, o a : z(60) = 60 " 50 8 = 1,25. Les risques que Gilles pree plus d ue heure pour se redre à so travail par la trajet A, c est-àdire les risques que le temps pris par Gilles soit supérieur à la cote z 1,25 sot doés par : P(z > 1,25) = P(z > 0) P(0 < z < 1,25), d où : P(z > 1,25) = 50 % 39,44 % = 10,56 %. E calculat la cote z de 60 miutes par le trajet B, o a : z(60) = 60 " 56 2 Les risques que Gilles pree plus d ue heure pour se redre à so travail par la trajet B, c est-àdire les risques que le temps pris par Gilles soit supérieur à la cote z 2 sot doés par : = 2.
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 7 d où : P(z > 2) = P(z > 0) P(0 < z < 2), P(z > 2) = 50 % 47,72 % = 2,28 %. Puisque Gilles pred plus d ue heure pour parcourir le trajet A das eviro 10,56 % des fois, alors qu il pred plus d ue heure das seulemet 2,28 % des fois par le trajet B, il devrait doc choisir le trajet B (et cela même si le temps moye est plus log), car la probabilité qu il arrive e retard est mois élevée par ce trajet B que par le trajet A.
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 8 7. Nombre d heures de sommeil. a) La cote z correspodat à 7 heures de sommeil est, avec µ = 8,1 et σ = 1,1 : z(7) = 7 " 8,1 1,1 = 1. Or, d après la table de distributio ormale, o trouve eviro 34,13 % des cotes z etre 0 et 1, ce qui équivaut à dire ici qu o trouve eviro 34,13 % des Caadies qui dormet etre 7 et 8,1 heures. La proportio de Caadies qui dormet mois de 7 heures par uit est doc égale à 50 % 34,13 % eviro, c est-à-dire 15,87 %. Sur u échatillo de 1000, o devrait doc ormalemet avoir 15,87 % 1000, c est-à-dire 159 Caadies eviro qui dormet mois de 7 heures par uit. b) La cote z correspodat à 9 heures de sommeil est, avec µ = 8,1 et σ = 1,1 : z(9) = 9 " 8,1 1,1 0,82. Or, d après la table de distributio ormale, o trouve eviro 29,39 % des cotes z etre 0 et 0,82, ce qui équivaut à dire ici qu o trouve eviro 29,39 % des Caadies qui dormet etre 8,1 et 9 heures. La proportio de Caadies qui dormet etre 7 et 9 heures par uit est doc 34,13 % + 29,39 %, c est-à-dire eviro 63,52 %. Sur u échatillo de 1000, o devrait doc ormalemet avoir 63,52 % 1000, c est-à-dire 635 Caadies eviro qui dormet etre 7 et 9 heures par uit. c) O doit d abord ici trouver la cote z au-delà de laquelle se situet ormalemet 15 % des cotes z. Cette cote z est la même que celle qui, das la table de distributio ormale, est requise pour qu o ait, etre elle et la moyee, 50 % 15 %, c est-à-dire 35 % des cotes z ; la cote z recherchée correspod à 1,04. E itroduisat cette valeur das la formule de la cote z, o a : ce qui, e isolat x, doe : 1,04 = x " 8,1 1,1, x = 8,1 + 1,1 1,04 9,24. Pour être parmi les 15 % des Caadies qui dormet le plus, u Caadie doit dormir au mois 9,24 heures par uit eviro, c est-à-dire 9 heures 15 miutes eviro. d) O doit d abord ici trouver les cotes z correspodat à chacu des déciles. État doé qu o détermie les quatiles e partat sauf idicatio cotraire # des doées les plus faibles, D 2, le deuxième décile, correspod à la valeur sous laquelle o trouve les 20 % des cotes z les plus faibles. Par ailleurs, puisqu o trouve 50 % des doées à gauche de la moyee, la cote z correspodat à D 2 est la même que celle qui est requise, d après la table de distributio ormale, pour que l o ait 30 % des cotes z etre cette
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 9 cote et la moyee ; elle correspod à 0,84. E l itroduisat das la formule de la cote z et e isolat x, o obtiet : x = 8,1 + 1,1 ( 0,84) 7,18. De même, D 3 détermie les 30 % des cotes z les plus faibles et la cote z correspodat à ce quatile est la même que celle qui est requise pour que l o ait 20 % des cotes z etre cette cote et la moyee ; elle correspod à 0,52. E l itroduisat das la formule de la cote z et e isolat x, o obtiet : x = 8,1 + 1,1 ( 0,52) 7,53. Ue Caadiee faisat partie du groupe compris etre le deuxième et le troisième décile dort doc etre 7,18 et 7,53 heures eviro, c est-à-dire etre 7 heures 11 miutes et 7 heures 32 miutes eviro.
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 10 8. Notes du derier test. Sachat qu avec ue moyee de 65 %, la ote de 80 % de Marti correspod à ue cote z de 1,5, o peut trouver l écart type σ e itroduisat les valeurs coues das la formule de la cote z puis e isolat σ, ce qui doe : d où : Puisque : σ = 1,5 = z(60 %) = 80 % " 65 %, # 80 % " 65 % 1,5 60 % " 65 % 10 % = 10 %. = 0,5, les élèves qui ot eu mois de 60 % sot ceux dot la ote correspod à ue cote z de 0,5. À partir de la table de distributio ormale, o peut établir que la proportio de ces élèves correspod à 50 % mois la proportio de ceux dot la cote z se situe etre 0 et 0,5, c est-à-dire 50 % 19,15 %, soit 30,85 %.
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 11 9. Âge de la première voiture. a) L itervalle de cofiace à l itérieur duquel doit se trouver ue moyee pour u iveau de cofiace doé (IC NC ) est doé par : où : Puisqu ici : IC NC = $ x " z NC # s ; x + z NC # s ' & ) % ( x = la moyee de l échatillo ; z NC = la cote z pour le iveau de cofiace désiré ; s = l écart type de l échatillo ; = la taille de l échatillo. NC est égal à 90 % (ou 0,90, c est-à-dire 18 fois sur 20) ; x est égal à 19,4 as ; z NC correspod à z 0,90 et est égal à 1,645 (état doé qu o trouve selo la table de distributio ormale 90 % 2 = 45 % des cas etre 0 et 1,645, aisi que 45 % des cas etre 1,645 et 0) ; s est égal à 1,1 a ; est égal à 1 500 ; o a doc comme itervalle de cofiace : IC 0,90 = $ 19,4 "1,645 # 1,1 ; 19,4 +1,645 # 1,1 ' & ), % 1500 1500 ( IC 0,90 = [19,35 as ; 19,45 as]. b) Iterprétatio : l âge moye auquel l esemble des Québécois de 30 as et plus possédat ue voiture ot eu leur première voiture se situe etre 19,35 as et 19,45 as et ce, avec u risque d erreur de 10% ; ou ecore : il y a 90 % des chaces que l âge moye auquel l esemble des Québécois de 30 as et plus possédat ue voiture ot eu leur première voiture se situe etre 19,35 as et 19,45 as.
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 12 10. Cégépies propriétaires de voiture. a) L itervalle de cofiace à l itérieur duquel doit se trouver ue proportio pour u iveau de cofiace doé (IC NC ) est doé par : où : Puisqu ici : IC NC = $ & p " z NC # %& p(1" p) ; p + z NC # p(1" p) p = la proportio (exprimée par rapport à 1) observée das l échatillo ; z NC = la cote z pour le iveau de cofiace désiré ; = la taille de l échatillo. NC est égal à 95 % (ou 0,95, c est-à-dire 19 fois sur 20) ; p est égal à 625 cégépies ayat répodu par l affirmative sur 800, soit 625 800, c est-à-dire eviro 0,7813 ; ' ) () z NC correspod à z 0,95 et est égal à 1,96 (état doé qu o trouve selo la table de distributio ormale 95 % 2 = 47,5 % des cas etre 0 et 1,96, aisi que 47,5 % des cas etre 1,96 et 0), est égal à 800 ; o a doc comme itervalle de cofiace : IC 0,95 $ & 0,7813 "1,96 # %& 0,7813(1" 0,7813) 800 ; 0,7813 +1,96 # IC 0,90 [0,7527 ; 0,8099], c est-à-dire, exprimé e pourcetages : IC 0,90 [75,3 % ; 81,0 %]. 0,7813(1" 0,7813) 800 ' ) (), b) Iterprétatio : ous sommes certais à 95 % que la proportio des cégépies du Québec qui possèdet ue voiture se situe eviro etre 75,3 % (0,7527) et 81,0 % (0,8099) ; le risque d erreur, c est-à-dire le risque de se tromper e affirmat que la proportio se situe das cet itervalle, est doc de 5 %.
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 13 11. Réductio de l itervalle de cofiace Lorsqu o fait de l estimatio de paramètres, o peut réduire l itervalle de cofiace e réduisat la marge d erreur, laquelle proviet du produit zc [écart type de la distributio d échatilloage] ; o peut doc procéder de deux faços pour réduire la marge d erreur et, par coséquet, l itervalle de cofiace. 1º O peut accepter u risque d erreur plus élevé, c est-à-dire choisir u iveau de cofiace mois élevé : la cote z qui sera alors reteue sera mois grade, d où ue valeur mois grade comme marge d erreur. 2º O peut sélectioer u plus grad échatillo : la valeur de la taille état plus élevée, cela aura pour effet de dimiuer l écart type de la distributio d échatilloage : tat das le cas d ue proportio, où la formule d écart type utilisée est que das le cas d ue moyee, où la formule d écart type utilisée est la marge d erreur sera doc réduite d autat. s p(1" p) ; ;
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 14 12. Prédictio de poportio de votes Le politicie s atted à obteir 60 % des votes avec ue marge d erreur de 5 % (la moitié de la largeur de l itervalle de cofiace). E exprimat ces valeurs par rapport à l uité et e les itroduisat, de même que la valeur de la taille égale à 400, das la formule de la marge d erreur, laquelle correspod à : ME NC = z NC p(1" p), o obtiet : 0,05 = z NC 0,6(1" 0,6) 400. E isolat z, o a alors : z NC = 0,05 0,6(1" 0,06) 400 2,04. D après la table de distributio ormale, o trouve eviro 47,93 % des cas etre 0 et ue cote z égale à 2,04 ; e multipliat cette valeur par deux, o a alors u iveau de cofiace égale à 2 47,94 %, c est-à-dire 95,86 %. La probabilité que le politicie se trompe est doée par 100 % 95,86 % = 4,14 %, ce qui correspod à ue probabilité de 0,414.
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 15 13. Proportio de Caadies vivat e ville O a ici p = 0,77 (c est-à-dire 77 %) pour ue taille égale à 5 000 ; u risque d erreur de 5 % correspodat à u iveau de cofiace de 95 %, d où ue valeur z 0,95 égale à 1,96. E itroduisat ces valeurs das la formule de la marge d erreur, o obtiet : ME 0,95 = 1,96 0,77(1" 0,77) 5000 = 0,117, c est-à-dire 11,7 %.
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 16 14. Sodage sur le site Iteret Caoë O a ici p = 0,78 (c est-à-dire 78 %) pour ue taille égale à 5 842 ; pour u iveau de cofiace de 99 %, la valeur z 0,99 est approximativemet égale à 2,575. E itroduisat ces valeurs das la formule de l itervalle de cofiace, à savoir : IC NC = $ & p " z NC # %& p(1" p) ; p + z NC # p(1" p) ' ) (), o obtiet : IC 0,99 = $ & 0,78 " 2,575 # %& 0,78(1" 0,78) 5842 ; 0,78 + 2,575 # 0,78(1" 0,78) 5842 ' ) () IC 0,99 = [0,766 ; 0,794], c est-à-dire [76,6 % ; 79,4 %]. Il y a 99 % des chaces que la proportio réelle de Québécois utilisat Iteret, qui croiet que les victimes de la route devraiet pouvoir poursuivre e justice les resposables, se situe approximativemet etre 76,6 % et 79,4 %.
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 17 15. Vitesse de coduite sur ue autoroute du Québec. a) Coloes des fréqueces relatives à remplir : Vitesse (km/h) Nombre d automobilistes Proportio d automobilistes (%) [95 ; 100[ 7 2,0 [100 ; 105[ 39 11,3 [105 ; 110[ 61 17,7 [110 ; 115[ 108 31,3 [115 ; 120[ 99 28,7 [120 ; 125[ 25 7,2 [125 ; 130[ 6 1,7 Total 345 99,9 Note : le total des pourcetages égale pas 100 % e raiso des arrodissemets. b) Comme o a ici u échatillo de doées groupées par classes, la moyee est : x ( 7 " 97,5)+ ( 39 "102,5)+...+ ( 6 "127,5) 345 112,6 km/h, et l écart type est : s ( ) 2 + 39 " ( 102,5#112,6) 2 +...+ 6 " ( 127,5#112,6) 2 7 " 97,5#112,6 345#1 6,22 km/h. Iterprétatio : e moyee, les automobilistes de l échatillo roulaiet à ue vitesse de 112,6 km/h. La vitesse des automobilistes s éloige e moyee de ±6,22 km/h par rapport à 112,6 km/h. c) E itroduisat 2,575, la cote z correspodat à u iveau de cofiace de 99 %, de même que les valeurs x = 112,6 et s = 6,22 calculés e b) das la formule de l itervalle de cofiace : IC NC = [ x z NC s ; x + z NC s ], o obtiet : $ IC 0,99 = 112,6 " 2,575 # 6,22 ; 112,6 + 2,575 # 6,22 ' & ), % 345 345 (
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 18 IC 0,99 = [111,74 km/h ; 113,46 km/h]. d) La marge d erreur est doée par : 2,575 " 6,22, ce qui doe eviro 0,86 km/h. 345 Iterprétatio : o est certai à 99 % que la vitesse moyee de l esemble des automobilistes qui circulet sur l autoroute 20 à l edroit et la période doée se situe eviro etre 111,74 km/h et 113,46 km/h.
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 19 16. Temps de parcours de la distace etre Trois-Rivières et Rivière-du-Loup. a) La variable étudiée est le temps pris pour parcourir la distace etre Trois-Rivières et Rivière-du- Loup. b) Il s agit d ue variable quatitative cotiue, puisque ses variatios peuvet correspodre à u très grad ombre de valeurs, dot l échelle de mesure est de iveau proportioel, état doé que le 0 a ue valeur absolue. c) Comme o a ici u échatillo de doées groupées par classes, la formule de la moyee est : x " f i m i où : x = la moyee de l échatillo ; " f i m i = la somme de chacu des produits f 1 m 1, f 2 m 2, de chaque milieu de classe par la fréquece correspodate ; = la taille de l échatillo. La moyee est alors : x 3"162,5+15"167,5+... + 3"187,5 84 175 miutes. Pour l écart type, la formule est : s = # ( ) 2 f i m i " x - 1 où : s = l écart type de l échatillo ; f i = chacue des fréqueces associées à ue classe ; m i = chacu des milieux de classe ; x = la moyee de l échatillo ; = la taille de l échatillo. L écart type est alors : s 3" (162,5-175) 2 +15" (167,5-175) 2 +L+ 3" (187,5#175) 84 #1 5,94 miutes. d) Pour u iveau de cofiace de 99 %, d où z 0,99 = 2,575 d après la table de distributio ormale, o a, état doé que x 175 miutes et s 5,94 miutes, ue marge d erreur doée par :
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 20 ME 0,99 2,575 " 5,94 84 1,67 miute. D après les doées proveat de l échatillo, il y a 99 % des chaces que le temps pris pour parcourir la distace etre Trois-Rivières et Rivière-du-Loup se situe eviro etre, d ue part, 175 miutes 1,67 miute, soit 173,33 miutes et, d autre part, 175 miutes + 1,67 miute, soit 176,67 miutes. O peut doc peser que le policier a raiso de douter des résultats de la CAA, puisqu il y a peu de chaces que les ges preet e moyee 180 miutes pour parcourir la distace, c est-à-dire qu ils roulet plus letemet que ce qui ressort des vitesses eregistrées. e) D après les doées rapportées par l histogramme, la proportio d automobilistes qui fot le trajet e mois de 170 miutes est doée par : p = 3+15 84 = 18 21,4 %. 84 E itroduisat cette valeur, de même que celle de la taille de l échatillo et celle de la cote z correspodat à u iveau de cofiace de 95 % (c est-à-dire 1,96), das la formule de l itervalle de cofiace, à savoir : IC NC = $ & p " z NC # %& p(1" p) ; p + z NC # p(1" p) ' ) (), o obtiet : IC 0,95 $ & 0,214 "1,96 # %& 0,214(1" 0,214) 84 ; 0,214 "1,96 # 0,214(1" 0,214) 84 ' ) () IC 0,95 [0,1263 ; 0,3017], c est-à-dire [12,63 % ; 30,17 %]. Comme le pourcetage de 20 % avacé par la CAA est compris à l itérieur de l itervalle de cofiace, o e peut coclure que ce pourcetage est trop bas.
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 21 17. Temps d attete das ue pizzeria. a) La variable étudiée, le temps d attete, est ue variable cotiue car le ombre de valeurs possibles est très élevé. b) Le temps qu u cliet peut estimer devoir attedre correspod au temps moye qu o peut estimer, à partir des doées recueillies, apparteir à l itervalle de cofiace doé par : IC NC = $ x " z NC # s ; x + z NC # s ' & ). % ( L itervalle de cofiace requiert de coaître la moyee et l écart type, mais ce calcul doit se faire e teat compte du fait que le tableau doit être régularisé, la derière classe ayat ue amplitude de 6 ; pour ce faire, o trasforme la derière classe e 3 classes d amplitude 2 «[14 ; 16[», «[16 ; 18[» et «[18 ; 20[» ayat chacue ue fréquece de 3. O obtiet alors, comme moyee : et, comme écart type : s x 3" 5+ 7 " 7 +... + 3"19 60 10,93 miutes, 3" (5-10,93) 2 + 7 " (7-10,93) 2 +L+ 3" (19 #10,93) 60 #1 L itervalle de cofiace correspod fialemet à : IC 0,95 $ 10,93 "1,96 # 3,31 ; 10,93 +1,96 # 3,31 ' & ), % 60 60 ( IC 0,95 [10,09 ; 11,77]. 3,31 miutes. Il y a doc 95 % de chaces qu u cliet attede etre 10,1 et 11,8 miutes eviro avat de recevoir sa pizza le jeudi à l heure du souper. c) Das le calcul de l itervalle de cofiace effectué e b), la marge d erreur ME NC correspod à : ME 0,95 = 1,96 3,31 E remplaçat 60 par, la ouvelle valeur que l o cherche, et e substituat 0,84 par 0,84 2, c est-à-dire eviro 0,42, o obtiet : 3,31 ME 0,95 = 1,96 0,42 miute. E isolat, o obtiet fialemet : 60 0,84 miute. 1,96 2 " 3,312 0,42 2 239 persoes.
Corrigé des exercices du chapitre 10 : SECTION «ON S ENTRAÎNE» (P. 351-355) Page 22 d) D après le tableau des temps d attete, la proportio de cliets qui attedet mois de 10 miutes est doée par : p = 3+ 7 +13 60 = 23 38,3 %. 60 E itroduisat cette valeur, de même que celle de la taille de l échatillo et celle de la cote z correspodat à u iveau de cofiace de 95 % (c est-à-dire 1,96), das la formule de l itervalle de cofiace, à savoir : IC NC = $ & p " z NC # %& p(1" p) ; p + z NC # p(1" p) ' ) (), o obtiet : IC 0,95 $ & 0,383"1,96 # %& 0,383(1" 0,383) 60 ; 0,383+1,96 # 0,383(1" 0,383) 60 ' ) () IC 0,95 [0,260 ; 0,505], c est-à-dire [26,0 % ; 50,5 %]. Etre 26 % et 50,5 % des cliets peuvet espérer avoir mois de 10 miutes d attete ; ce résultat est fiable à 95 %. e) Das le calcul de l itervalle de cofiace effectué e d), la marge d erreur ME NC correspod à : ME 0,95 = 1,96 0,383(1" 0,383) 60 0,123, c est-à-dire 12,3 %. E remplaçat 60 par, la ouvelle valeur que l o cherche, et e substituat 0,123 par 0,123 3, c est-à-dire eviro 0,041, o obtiet : 0,383(1" 0,383) ME 0,95 = 1,96 0,041. E isolat, o obtiet fialemet : 1,96 2 " 0,383(1# 0,383) 0,041 2 540 cliets.