Termiale S Suites Exercices corrigés QCM Fesic 00 Exercice 0 Fesic 004 Exercice 9 4 Fesic 004 Exercice 0 5 Fesic 004 Exercice 6 Fesic 004 Exercice 4 7 QCM divers 5 8 ROC+exemples, Frace 005 6 9 Récurrece, Frace 004 0 Récurrece, Podicherry 004 7 8 Récurrece, Amérique du Nord 005 8 Suite homographique, N Calédoie 06/008 Suite récurrete, Frace remplt 007 4 4 Barycetre, N Caledoie 005 6 5 Barycetre, N Calédoie 004 6 Ue expoetielle, Podicherry 005 7 8 7 Formule de Stirlig 9 8 Suites adjacetes, Atilles 004 9 Suites adjacetes : calcul de la racie carrée 0 Suites adjacetes : aire sous ue courbe 4 Suites adjacetes : le pricipe de la dichotomie 9 L et méthode de Newto-Raphso, Asie 000 0 ROC+suite solutio équatio, Polyésie 005 QCM Répodez par VRAI ou FAUX e JUSTIFIANT (sauf la questio f où il «suffit» de prouver) Soit (u ) ue suite géométrique de premier terme u 0 = et de raiso q ]0 ; + [ O ote S = u 0 + u + + u Alors a S'il existe N tel que u > 000, alors q > b Si q <, alors il existe N tel que 0 < u < c Si q >, alors lim S =+ + d Si lim S =, alors + e Si q =, alors S 4 = 5 q= f Démotrer par récurrece que + + + = (+ + + + ) Correctio a Vrai, b Vrai, c Vrai, d Vrai, e Faux Fesic 00 Exercice 0 O cosidère la suite ( u ) défiie par u N 0 = 0, u = et, pour tout N, O défiit les suites ( v ) et ( ) N a La suite ( v ) N est arithmétique b La suite ( w ) N est costate c Pour tout N, o a : u ( w v ) d La suite ( u ) N * Correctio u+ = u+ + u w N par v = u+ u et w = u+ + u = 5 a pas de limite fiie Termiale S F Laroche Suites umériques exercices corrigés
a Faux : Si la suite v est arithmétique, v+ v est costate : 5 5 5 v+ v = ( u+ u+ ) ( u+ u) = u+ + u u+ + u = u+ + u = v ; 5 c est doc faux, mais ous gagos ue iformatio itéressate : v+ = v v v + = ; v est géométrique de raiso b Vrai : Recommeços : et de premier terme v 0 = 0= d où v = w+ w = u+ + u+ u+ u = u+ + u + u+ u+ u = 0 doc c est vrai E plus o a w = w0 = u + u0 = 5 w v = u u u u u u 5 5 + + = = 5 Ok! c Vrai : ( ) + + d Faux : Remplaços pour calculer u : Fesic 004 Exercice 9 u = 5 dot la limite est 5 Soiet l u réel et ( u) N ue suite réelle à termes tous strictemet positifs Pour les questios a, b, c o suppose que u coverge vers l a l est strictemet positif b Il existe etier aturel tel que l soit ue valeur approchée de u à 0 près c La suite (l u) N coverge vers l(l) d O suppose das cette questio que la suite ( u) N vérifie pour tout etier aturel, u+ = lu et que u0 > u O e suppose pas que la suite ( u ) N coverge La suite ( u) N Correctio est décroissate Questio a b c d Répose F V F V a Si l pouvait être égative, il existerait des termes de u égatifs à partir d u certai rag ce qui est impossible Par cotre l peut être ulle : par exemple les suites q avec 0 < q < coverget vers 0 b La traductio de cette phrase est : il existe tel que u l 0 ; c est la défiitio même d ue suite covergete : il existe N tel que pour tout > N, u l kv où v coverge vers 0 c Supposos que u coverge vers 0 alors la suite (l u) N divergerait «covergerait» vers E fait cette suite d La foctio l est croissate doc si u0 > u alors lu0 > lu u > u, etc Par récurrece o a u > u + doc bie décroissate Remarquez que si o avait u0 < u alors la suite aurait été croissate E fait das le cas d ue suite u = f( u ) avec f croissate tout déped de l ordre des deux premiers termes 4 Fesic 004 Exercice 0 + O cosidère la suite complexe ( z) N défiie par z 0 = et, pour tout etier, z+ etier aturel, o appelle M le poit d affixe z + i = z Pour Termiale S F Laroche Suites umériques exercices corrigés
a La suite ( z ) est ue suite géométrique de raiso N b Quel que soit etier aturel, les triagles OMM + sot rectagles c M appartiet à l axe des abscisses si et seulemet si est u multiple de 4 d Pour tout etier aturel, Correctio a O a +i 4 4 Termiale S F Laroche Suites umériques exercices corrigés z π i 4 e = ( ) = + = doc ( ) z est ue suite géométrique de raiso N Questio a b c d Répose F V V V + i z+ z b Il ous faut calculer (, i π MO MM+ ) = arg( ) = arg = arg =, aisi que 0 z 4 + i + ( OM, OM+ ) = arg( ) = arg = z 4 agle mais ç aurait été mois amusat ) z π + i i i c O a évidemmet z 4 4 = z 0 e e = = π 4kπ si = kπ = = 4k 4 π d Avec la répose au c et e remarquat que π π Le derier agle vaut doc bie (o aurait pu calculer u seul π =, o retrouve bie doc M appartiet à l axe des abscisses z π i 4 e = ( ) 5 Fesic 004 Exercice Le pla est rapporté à u repère orthoormé ( O; i, j) O cosidère das ce repère les poits A( ; ), B(5 ; ) et I le milieu de [AB] Soit (G ) N * G 0 = O, la suite de poits défiie par : * Pour etier aturel, G + est le barycetre de {(G ; ), (A ; ), (B ; )} O appelle (x ; y ) les coordoées de G a G, G et G sot aligés b Quel que soit, G + est l image de G par l homothétie de cetre I et de rapport c La suite ( u) N d Pour tout, Correctio défiie par u = x est ue suite géométrique de premier terme et de raiso = x Questio a b c d Répose V F V V a E utilisat le barycetre partiel o a G + barycetre de {(G ; ), (I ; )}, soit le milieu de [G I], tous les G sot doc aligés
b L homothétie est bie de cetre I mais de rapport / Les coordoées de I sot (; ) x+ = ( x ) c E utilisat la défiitio d ue homothétie : IM' = kim, o a d où u = x est y+ = ( y ) géométrique de raiso /, de premier terme u0 = x0 = d Avec ce qu o a fait, ( x ) = x = O peut compléter avec le calcul de y : y = y = Quad ted vers l ifii x et y tedet respectivemet vers et, soit G ted vers I (ce qui était prévisible puisqu à chaque itératio o pred le milieu de [G I]) 6 Fesic 004 Exercice O cosidère ue droite graduée d origie O O cosidère les suites de poits (G ) N défiies aisi : * G 0 = O, * Pour etier aturel, G + est le barycetre de {(G ; ), (H ; )}, * H 0 a pour abscisse, * Pour etier aturel, H + est le barycetre de {(G ; ), (H ; )} O appelle g et h les abscisses respectives de G et H a La suite ( g h ) est ue suite géométrique de raiso b La suite ( g + h ) est ue suite costate c Les deux suites g et h coverget vers la même limite d Les suites g et h sot adjacetes 5 et (H ) N Correctio Questio a b c d Répose V V V F a Il faut évidemmet trouver les relatios etre g et h G + barycetre de {(G ; ), (H ; )} ous doe ( g+ g) + ( g+ h) = 0 5g+ = g + h g+ = g + h ; 5 5 H + barycetre de {(G ; ), (H ; )} ous doe ( h+ g) + ( h+ h) = 0 5h+ = g + h h+ = g + h ; 5 5 d où g+ h+ = g + h g h = ( g h ) 5 5 5 5 5 O peut alors calculer g h = ( g0 h0) = Quelle est la sigificatio géométrique de ce 5 5 résultat? 5 5 b g+ + h+ = g + h = g + h = = g0 + h0 = 0+ = Quelle est la sigificatio géométrique de ce 5 5 résultat? Termiale S 4 F Laroche Suites umériques exercices corrigés
c Des deux relatios précédetes o tire u petit système : ( ) g = ( /5) h ( /5) = ( + ) qui coverget toutes les deux vers, soit le milieu de [G 0H 0 ] d C est du cours la coditio de mootoie des deux suites est pas respectée O voit bie qu à chaque itératio la distace [G H ] est divisée par 5 g h = ( /5) g + h = d où 0 H G H G 7 QCM divers Pour tout réel x, Affirmatio a x e désige l image de x par la foctio expoetielle a Pour tous les réels a et b strictemet positifs, ( ) lb Affirmatio b Pour tous les réels a et b strictemet positifs, l( ) Affirmatio c e a = b a+ b = la+ lb La tagete e à la courbe de la foctio expoetielle a pour équatio y= ex Soit f ue foctio umérique défiie sur u itervalle ouvert I et soit a u élémet de I Affirmatio a Si f est cotiue sur I, alors f admet ue seule primitive sur I Affirmatio b Si f est pas cotiue e a, alors f est pas dérivable e a Affirmatio c Si f est pas dérivable e a, alors la foctio e a f( a+ h) f( a) h a ue limite ifiie h O cosidère deux suites ( u ) et ( ) v défiies sur N Affirmatio a Si ( u ) est mootoe décroissate et miorée et ( ) majorée alors ( u ) et ( ) v coverget vers la même limite v est mootoe croissate et Affirmatio b Si o a a u+ < u < b avec a et b das l itervalle ] [ Affirmatio c Si ( u ) coverge, alors la suite ( l ) u coverge 0; alors u coverge Affirmatio d Soit N * O cosidère la foctio f défiie sur ];+ [ par : f est dérivable sur ] ; + [ et pour tout x >, o a : f (x) = +x + x + 4x + + x + x f( x) = x Correctio Pour tout réel x, Termiale S 5 F Laroche Suites umériques exercices corrigés x e désige l image de x par la foctio expoetielle lb l Affirmatio a Vrai : ( ) ( ) a a b a e = e = b
Affirmatio b Faux : l( a b) la lb l( ab) + + = Affirmatio c Vrai : e, la tagete est y e ( x ) = + e = ex e+ e= ex Soit f ue foctio umérique défiie sur u itervalle ouvert I et soit a u élémet de I Affirmatio a Faux : Si f est cotiue sur I, alors f admet ue ifiité de primitives sur I, toutes différetes d ue costate Affirmatio b Vrai : Si f est pas cotiue e a, o a pas f(a) et f est pas dérivable e a Affirmatio c Faux : pas forcémet, o peut avoir des demi-tagetes O cosidère deux suites ( u ) et ( ) v défiies sur N Affirmatio a Faux : il faudrait par exemple e plus que v u tede vers 0 Affirmatio b Vrai : u est croissate, et si o fait la somme des iégalités a < u+ u < b, o a + + k k a b a < u+ u0 < b u0 u+ u0 u0 a + < < b + < b + ; doc u k k est borée Affirmatio c Faux : Si ( u ) coverge vers 0, alors la suite ( l ) u diverge Affirmatio d Vrai : f( x) = + x+ x + + x f '( x) = + x+ + x 8 ROC+exemples, Frace 005 4 poits Cet exercice costitue ue restitutio orgaisée de coaissaces PARTIE A : QUESTION DE COURS O suppose cous les résultats suivats : () deux suites (u ) et (v ) sot adjacetes lorsque : l'ue est croissate, l'autre est décroissate et u v ted vers 0 quad ted vers + ; () si (u ) et (v ) sot deux suites adjacetes telles que (u ) est croissate et (v ) est décroissate, alors pour tout apparteat à N, o a u v ; () toute suite croissate et majorée est covergete ; toute suite décroissate et miorée est covergete Démotrer alors la propositio suivate : «Deux suites adjacetes sot covergetes et elles ot la même limite» PARTIE B O cosidère ue suite (u ), défiie sur N dot aucu terme 'est ul O défiit alors la suite (v ) sur N par Termiale S 6 F Laroche Suites umériques exercices corrigés v = u Pour chaque propositio, idiquer si elle est vraie ou fausse et proposer ue démostratio pour la répose idiquée Das le cas d'ue propositio fausse, la démostratio cosistera à fourir u cotre exemple Ue répose o démotrée e rapporte aucu poit Si (u ) est covergete, alors (v ) est covergete Si (u ) est miorée par, alors (v ) est miorée par
Si (u ) est décroissate, alors (v ) est croissate 4 Si (u ) est divergete, alors (v ) coverge vers zéro Correctio PARTIE A : «Deux suites adjacetes sot covergetes et elles ot la même limite» O a u v et (v ) décroissate doc u v v0 d où (u ) est majorée et coverge vers l ; même chose pour (v ) qui est décroissate et miorée par u 0 et coverge vers l Comme u v ted vers 0 quad ted vers +, o a l l' = 0 l= l' PARTIE B : (u ) o ulle, Pour ue première ROC la difficulté est raisoable Iutile de racoter sa vie o plus! v = u Si (u ) est covergete, alors (v ) est covergete : Faux : importe quelle suite covergete vers 0 e marche pas, predre par exemple / Si (u ) est miorée par, alors (v ) est miorée par : Vrai : u v u u u Si (u ) est décroissate, alors (v ) est croissate : Faux ; v + ( u u+ ) v = = ; si (u ) est décroissate, u+ u 0 u u+, le umérateur u u u u + + est égatif, si le déomiateur est positif, soit lorsque la suite (u ) a que des termes positifs, (v ) est décroissate 4 Si (u ) est divergete, alors (v ) coverge vers zéro Faux : ue suite peut être divergete sas tedre vers l ifii, par exemple évidemmet que v 9 Récurrece, Frace 004 u = ( ) diverge, de même Das l esemble les questios e sot pas trop compliquées, la fabricatio de cotreexemples est ue boe activité qui permet la compréhesio des phéomèes e jeu Il est vrai que e pas coaître les réposes est déstabilisat, mais les correcteurs ferot certaiemet preuve de compréhesio u0 = O cosidère la suite (u ) défiie par pour tout etier aturel u+ = u + + Etudier la mootoie de la suite (u ) a Démotrer que, pour tout etier aturel, u > b Quelle est la limite de la suite (u )? Cojecturer ue expressio de u e foctio de, puis démotrer la propriété aisi cojecturée Correctio u+ u = + qui est évidemmet positif u est croissate a Par récurrece : u 0 = > 0, la propriété est vraie au rag 0 Au rag + il faut motrer que u + > ( + ) = + + ; or si u >, alors u + > + + qui est évidemmet supérieur à + + C est fii b Comme et que ted vers + lorsque ted vers +, u ted clairemet vers + Termiale S 7 F Laroche Suites umériques exercices corrigés
O calcule les premières valeurs de u : u0 =, u = + 0+ = 4, u = 4+ + = 9, u = 9+ ++ = 6 O voit apparaître la suite des carrés des etiers avec u décalage d u cra par rapport à l idice ; il s agit doc de motrer que u = ( + ) : ecore ue récurrece u+ = ( + ) + + = + + + + = + 4+ 4 = ( + ) C est bo 0 Récurrece, Podicherry 004 Soit la suite u défiie par u0 = 0, u+ = u a Claculer u, u, u O exprimera chacu des termes sous forme d ue fractio irréductible b Comparer les quatre premiers termes de la suite u aux quatre premiers termes de la suite w défiie par w = + c A l aide d u raisoemet par récurrece, démotrer que, pour tout etier aturel, u = w Soit v la suite défiie par v = l + a Moter que v + v + v = l4 b Soit S la somme défiie pour tout etier o ul par S = v + v + + v Exprimer S e foctio de Détermier la limite de S lorsque ted vers l ifii Correctio a O a u 0 = 0, u = = 0 u = = /, u = = / 4, b O voit facilemet que les termes de u sot ceux de w = + 0 c Par récurrece (aisi que demadé) ; o vérifie au rag 0 : u0 = 0, w = = 0, ok Supposos alors que u = w et motros que u+ = w+ : ceci est équivalet à u = + u = + = + = Tout va bie + + + + a v = l, v = l, v = l 4 + = u +, soit O peut utiliser l(a/b) = la lb : v + v + v = l l+ l l+ l l4= l4 ou bie l(ab) = la + lb : v + v + v = l + l + l = l l l 4 4 = = 4 4 S = v + v + + v = l + l + + l + l +, b soit S = l l+ l l + + l( ) l+ l l( + ) Tous les termes itermédiaires disparaisset ; o a doc S = l( + ) qui ted évidemmet vers Récurrece, Amérique du Nord 005 6 poits Le graphique ci-dessous sera complété et remis avec la copie Soit la foctio f défiie sur l itervalle [0 ; ] par x+ f( x) = x+ Termiale S 8 F Laroche Suites umériques exercices corrigés
Étudier les variatios de f sur l itervalle [0; ] Motrer que si x [ ;] alors ( ) [ ;] (u ) et (v ) sot deux suites défiies sur N par : u 0 = et pour tout etier aturel, u+ = f( u), v 0 = et pour tout etier aturel, v+ = f( v) f x a Le graphique doé e aexe représete la foctio f sur l itervalle [0 ; ] Costruire sur l axe des abscisses les trois premiers termes de chacue des suites (u ) et (v ) e laissat apparets tous les traits de costructio À partir de ce graphique, que peut-o cojecturer cocerat le ses de variatio et la covergece des suites (u ) et (v )? b Motrer à l aide d u raisoemet par récurrece que : Pour tout etier aturel, v Pour tout etier aturel, v+ v O admettra que l o peut démotrer de la même faço que : Pour tout etier aturel, u Pour tout etier aturel, u u + c Motrer que pour tout etier aturel, v u = + + E déduire que pour tout etier aturel, v u 0 d Motrer que pour tout etier aturel, ( v + )( u + ) v u et v u ( v u ) v u 4 4 + + e Motrer que les suites (u ) et (v ) coverget vers u même réel α Détermier la valeur exacte de α Termiale S 9 F Laroche Suites umériques exercices corrigés
Correctio f '( x) = > 0 doc f est croissate ; ( x+ ) f () = > et 5 () f = < doc si x [ ;], ( ) [ ;] f x a Visiblemet la suite u est croissate, et coverge vers le poit d itersectio etre la courbe de f et la droite (y = x), soit eviro,6 ; de même v semble décroissate et coverger vers le même poit Termiale S 0 F Laroche Suites umériques exercices corrigés
b Pour = 0, o a v 0 = qui est bie das l itervalle [; ] ; par ailleurs si alors comme f est croissate, f() f( v) f() v + ; la propriété est toujours vraie 5 De même o a v = f() = v0 ; par ailleurs si v+ v f( v+ ) f( v) v+ v+, etc 5 Remarquez que c est v = f() = v0 qui etraîe tous les autres termes derrière avec la complicité de la croissace de f Pour u c est pratiquemet pareil, sauf que u = f( u0) = > u0 et doc, etc c O échappe pas au calcul : v + + v v v + u + uv + v + u + uv v u v u u = = = v + u + v + u + v + u + + + ( )( ) ( )( ) u est du sige de v u; comme v0 u0 = > 0, par récurrece o a v u 0 ; o a > v + > < et pareil pour u doc v+ u+ ( v u ) = ( v u ) v + 4 d Ecore ue récurrece : v+ u+ ( v u ) = 4 4 4 4 0 v0 u0 = = = ; grâce à la relatio précédete o a évidemmet 4 + v Termiale S F Laroche Suites umériques exercices corrigés
e Les suites u et v sot adjacetes car 0 v u 0 lim( v u ) 0 lim( v u ) = 0 ; 4 elles coverget bie vers ue même limite α telle que + 5 α =,68 α + α = f( α) = α + α = a+ α α = 0 α + 5 α = 0,68 + 5 La limite est doc la première racie, soit α = Suite homographique, N Calédoie 06/008 5 poits 9 O cosidère la foctio f défiie sur ] ; 6[ par f ( x) = 6 x O défiit pour tout etier la suite (U ) U0 = par U+ = f ( U ) La courbe représetative de la foctio f est doée ci-dessous accompagée de celle de la droite d équatio y = x Costruire, sur ce graphique les poits M 0 (U 0 ; 0), M (U ; 0), M (U ; 0), M (U ; 0) et M 4 (U 4 ; 0) Quelles cojectures peut-o formuler e ce qui cocere le ses de variatio et la covergece évetuelle de la suite (U )? a Démotrer que si x < o a alors b Étudier le ses de variatio de la suite (U ) c Que peut-o déduire des questios a et b? O cosidère la suite (V ) défiie par V 9 6 x < E déduire que U < pour tout etier aturel = pour tout etier aturel U a Démotrer que la suite (V ) est ue suite arithmétique de raiso b Détermier V puis U e foctio de c Calculer la limite de la suite (U ) Termiale S F Laroche Suites umériques exercices corrigés
Correctio Voir la figure ci-dessous Termiale S F Laroche Suites umériques exercices corrigés
La suite semble croissate et coverger vers le poit ( ; ), soit vers ue limite égale à 9 a Si x <, x > 6 x > 6 x < 6 x < (o aurait pu utiliser les variatios de f) Par récurrece o a alors : U 0 < par défiitio ; si ( ) 9 U 6 9 U+ U b U+ U = U = = 6 U 6 U 6 U La suite est croissate c U est croissate et majorée, elle coverge doc a V = U = U = + U V V U + U < alors f ( U ) 9 = < 6 U qui est positif puisuqe U < 6 ; o a doc e remplaçat : et doc U + < 9 9 9 9V 9V 9V + = + = = = = =, 6 U V+ V 6 + V V V V V V soit V+ = = V ;(V ) est ue suite arithmétique de raiso + b V0 = = d où V = V0 + r= = et U U 6 6 6 0 c La limite de la suite (U ) est alors bie évidemmet Suite récurrete, Frace remplt 007 6 poits 6 = + = V + Termiale S 4 F Laroche Suites umériques exercices corrigés
La suite u est défiie par : u 0 = et u+ = u + pour tout etier aturel 7 a O a représeté das u repère orthoormé direct du pla ci-dessous, la droite d équatio et le poit A de coordoées ( ; 0) Costruire sur l axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite u b Démotrer que si la suite u est covergete alors sa limite est c Démotrer que pour tout etier aturel o a : u > 8 d Étudier la mootoie de la suite u et doer sa limite a Soit u etier aturel supérieur ou égal à Démotrer que : + + + = + 0 0 0 90 0 Termiale S 5 F Laroche Suites umériques exercices corrigés l = 8 b La suite v est défiie par v =,77 7 7 avec décimales cosécutives égales à 7 Aisi v 0 =,, v =,7 et v =,77 + k= y= x+ 7 = k 0 90 c est-à-dire que 0 E utilisat le a démotrer que la limite de la suite v est u ombre ratioel r (c est-à-dire le quotiet de deux etiers)
La suite u défiie au et la suite v sot-elles adjacetes? Justifier Correctio u 0 = et u+ = u + 7 a Costruire sur l axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite u b Si la suite u est covergete alors sa limite l est telle que l= l+ l= l= 7 7 8 c Par récurrece : u 0 = > 8 O suppose + 46 69 u >, alors u+ = u + > + = = = CQFD 8 7 8 7 54 54 8 d u+ u = u u u + 7 = + 7 qui est positif lorsque u > u <, ce qui est faux 7 8 doc u est décroissate La suite est décroissate, miorée elle coverge doc vers l = 8 a Somme des premiers termes (de à + il y a termes) d ue suite géométrique de premier terme + = et de raiso 0 00 0 : 0 = = k 00 90 k= 0 0 0 b v 0 =,, v = v0 + 0,07 = v0 + 7, v 0 = v + 0, 007 = v0 + 7 + 7, etc 0 0 O a doc v =,+ 7 + + + =,+ 7 + Termiale S 6 F Laroche Suites umériques exercices corrigés 0 0 0 90 0 Lorsque ted vers +, 0 7 7 5 ted vers 0 et v ted vers,+ = + = = 90 0 90 90 8 u décroissate et miorée, v croissate et majorée (évidet) ; elles ot même limite, elles sot adjacetes 4 Barycetre, N Caledoie 005 5 poits PARTIE A État doés deux poits disticts A 0 et B 0 d ue droite, o défiit les poits : A milieu du segmet [A 0 B 0 ] et B barycetre de {(A 0, ) ; (B 0, )} Puis, pour tout etier aturel, A + milieu du segmet [A B ] et B + barycetre de {(A, ) ; (B, )} Placer les poits A, B, A et B pour A 0 B 0 = cm Quelle cojecture peut-o faire sur les poits A et B quad deviet très grad? O muit la droite (A 0 B 0 ) du repère ( A 0 ; i ) avec i = A0B0 Soit u et v les abscisses respectives des poits A et B Justifier que pour tout etier aturel strictemet positif, o a PARTIE B u + v u + v u + = et v + = u + v u + v O cosidère les suites (u ) et (v ) défiies par u 0 = 0 ; v 0 = ; u + = et v + =
Démotrer que la suite (w ) défiie par w = v u est ue suite géométrique covergete et que tous ses termes sot positifs Motrer que la suite (u ) est croissate puis que la suite (v ) est décroissate Déduire des deux questios précédetes que les suites (u ) et (v ) sot covergetes et ot la même limite 4 O cosidère la suite (t ) défiie par t = u + v Motrer qu elle est costate PARTIE C À partir des résultats obteus das les parties A et B, préciser la positio limite des poits A et B quad ted vers + Correctio PARTIE A A + milieu du segmet [A B ] et B + barycetre de {(A, ) ; (B, )} A0 A A B B B0 Même quad est pas très grad, les suites de poits coverget vers u poit qui semble être à peu près au milieu de [A B ] O a das ce repère les abscisses suivates : u 0 = 0 et v 0 = u + v Si u et v sot les abscisses des poits A et B, o a u + = car A + est le milieu de [A B ] et u + v u + v v + = = car B + est le barycetre de {(A, ) ;(B, )} + PARTIE B u + v u + v u + 4v u v v u w = v u w+ = v+ u+ = = = doc w est ue suite 6 6 géométrique de raiso /6, doc covergete vers 0 Tous ses termes sot positifs car w = w0 = 6 6 u + v u v u u+ u = = = w > 0 doc (u ) est croissate ; u + v v v+ v = = w < 0 doc la suite (v ) est décroissate Comme w > 0, o a u < v doc u est croissate majoée, v décroissate miorée, les suites (u ) et (v ) sot covergetes et sot adjacetes car lim w = 0 ; elles ot doc la même limite 4 t+ u+ v+ u v u v u v t t0 u0 v0 PARTIE C u + v u + v = + = + = + + + = + = = = = + = 6 Comme u et v tedet vers la même limite l, e remplaçat das t o a : 5 Barycetre, N Calédoie 004 6 t = u + v = 6 l+ l= 5l = 6 l= 5 O cosidère les deux suites ( u ) et ( v ) défiies, pour tout etier aturel, par : Termiale S 7 F Laroche Suites umériques exercices corrigés
Calculer u, v, u, v u 0 u + = u + v = v et v 0 = 4 + u = + + v Soit la suite ( w ) défiie pour tout etier aturel par w = v u a Motrer que la suite ( w ) est ue suite géométrique de raiso 4 b Exprimer w e foctio de et préciser la limite de la suite ( w ) Après avoir étudié le ses de variatio des suites ( u ) et ( v ), démotrer que ces deux suites sot adjacetes Que peut-o e déduire? 4 O cosidère à préset la suite ( t ) défiie, pour tout etier aturel, par a Démotrer que la suite ( t ) est costate b E déduire la limite des suites ( u ) et ( v ) Correctio u0 + v0 7 u + v0 5 u + v 9 u + v 59 u = =, v = =, u = =, v = = 4 8 6 a u + v t u + v = u u + + v u + v u+ u u + v u v u + + + w = v u = = = = = = w 4 4 4 b w0 = v0 u0 = 4 = doc w = = ; sa limite est évidemmet 0 4 4 u+ u O a vu que = w+ > 0 doc u est croissate ; par ailleurs w = v u > 0 doc u > v ; u + v efi v+ v = u+ + v v = ( u+ v) = ( v) = ( u v) < 0 doc v est décroissate 4 Il reste à motrer que lim( u v) = 0 or c est justemet la limite de w Les suites ( u ) et ( v ) coverget doc vers la même limite (icoue pour l istat ) u+ + v+ u + v u+ + v u + v u + v 4 a t+ = = + = + + v = ( u + v ) = t O a doc t 7 = ( u0 + v0) = b Les suites ( u ) et ( v ) ot même limite l doc à l ifii, e remplaçat das t : 7 = ( l+ l) l= 7 6 Ue expoetielle, Podicherry 005 6 poits Pour tout etier aturel, o pose 0 u = O défiit aisi ue suite ( u ) N Prouver, pour tout etier aturel o ul, l équivalece suivate : 0 u+ 0,95u si et seulemet si +,9 Termiale S 8 F Laroche Suites umériques exercices corrigés
O cosidère la foctio f défiie sur [; + [ par f( x) = + x a Etudier le ses de variatio et la limite e + de la foctio f b Motrer qu il existe das l itervalle [; + [ u uique ombre réel α tel que f( α ) =,9 c Détermier l etier aturel 0 tel que 0 α 0 d Motrer que, pour tout etier aturel supérieur ou égal à 6, o a : +,9 a Détermier le ses de variatio de la suite ( u ) à partir du rag 6 b Que peut-o e déduire pour la suite? 4 E utilisat u raisoemet par récurrece, prouver, pour tout etier aturel supérieur ou égal à 6, 6 l ecadremet : 0 u 0,95 u E déduire la limite de la suite ( u ) N Correctio O remplace, o simplifie et o a ce qui est demadé : a u 6 0 0 0 + + 0 0 0 0 0 ( + ) ( + ) + 0,95u 0,95 0,95,9 +,9 f( x) = + x 0 0 0 lim + = = + x x b ; 9 9 f '( x) = 0 + + = 0 + < 0 x x doc f est décroissate ; x x 0 f () = et f décroissate doc f est bijective de [; + [ vers itervalle, il existe bie u uique réel α tel que f( α ) =,9 c O a f(5),9067 et f(6),85 d où 6 = 5 α 6 0 ]; ] ; comme,9 est das cet d Lorsque x α, comme f est décroissate, o a : f( x) f( α) =,9, doc pour tous les tels que 0 6 α, o a + = f( ) f(6) f( α) =,9 a D aprèe ce que ous veos de dire, la suite ( u ) est telle que u+ 0, 95u à partir du rag 6 ; comme tous les termes sot évidemmet positifs, la suite ( u ) est décroissate à prtir de ce rag b Décroissate et miorée par 0 doc covergete 6 4 0 0,95 u u6 : o vérifie facilemet au rag 6 car 0 u6 u6 ; quad o passe au rag suivat, o a 6 ( + ) 6 0,95 0,950,95 6 0,95 6 u + u u = u, CQFD Comme 0,95<, 7 Formule de Stirlig 6 0,95 ted vers 0 à l ifii aisi que u grâce à os amis les gedarmes Soit la suite ( u ) ( > 0) défiie par : u e =! Doer des valeurs approchées de u, u, u à 0 près a Soit g la foctio défiie sur [0 ; ] par t démotrer que pour tout t de [0; ] o a : l( + t) t 4 t g() t = l( + t) t+ E utilisat les variatios de g, 4 Termiale S 9 F Laroche Suites umériques exercices corrigés
b E déduire que pour tout > 0, o a + e a Démotrer que pour tout etier > 0 o a 4 + 4 u u e b E déduire que pour tout etier supérieur ou égal à o a : (o pourra poser t = /) + + + + 4 u e 4 a Par des cosidératios d aire motrer que pour tout etier supérieur ou égal à o a : dt + + + + + t b E déduire que que pour tout etier supérieur ou égal à o a : suite ( u )? u e l 4 Quelle est la limite de la Commetaire : o explore ici u moye d approcher! : comme u ted vers 0, o peut se dire qu e multipliat par quelque chose de la forme K α la limite peut deveir Ceci doerait alors u équivalet de! de la forme α K e E l occurrece ça marche, il s agit de ( π ) Correctio u 0, 679, u 0, 707, u 0, 40 = π :! π e a t g() t = l( + t) t+ ; 4 t t+ t+ t t t t( t ) g () t = + = = = < 0 + t ( + t) ( + t) ( + t) sur [0 ; ] g est décroissate et g (0) = l 0+ 0= 0 par coséquet b Posos t g( t) g(0) = 0 l( + t) t 4 t= das la relatio précédete : l( + t t) t l( ) l( ) 4 + 4 + 4 d où l + l e + e 4 4 a + ( ) ( )! + + + = = u ( )! + e u e ( + ) e e e!!( + ) 4 4 + = e e e = e 4( ) 4( ) 4 4 + b O a u e 4u u e u u e u u e u = e e Par coséquet o a e effectuat les produits d iégalités successifs : 4( ) 4( ) 4( ) 4( ) 4( ) 4 4( ) 4( ) 4 u e u e e u e e e u = e e e e, soit + + + + 4 u e 4 a Cet argumet est très classique Etre deux valeurs etières cosécutives, k et k+, l aire sous la courbe de /x est iférieure à l aire du rectagle de largueur et de hauteur /(k+) : d où e sommat sur tous ces rectagles : k+ k t k+ dt k+ t k k+ k t k Termiale S 0 F Laroche Suites umériques exercices corrigés
Termiale S F Laroche Suites umériques exercices corrigés dt= dt+ + dt + + + + + t t t b O a doc l l + + + + + + + + + +, soit l et d après l iégalité du b : u e 4 l 4 + + + + + 4 La suite ( u ) est positive et la partie droite ted vers exp( ), soit 0 Doc la suite ted vers 0 8 Suites adjacetes, Atilles 004 a + = a + b O défiit les suites (a ) et (b ) par a 0 =, b 0 =7 et b + = a + b ( ) ( ) Soit D ue droite muie d u repère ( O; i ) Pour tout de N, o cosidère les poits A et B d abscisses respectives a et b Placez les poits A 0, B 0, A, B, A et B Soit (u ) la suite défiie par u = b a Démotrez que (u ) est ue suite géométrique dot o précisera la raiso et le premier terme Exprimez u e foctio de Comparez a et b Étudiez le ses de variatio des suites (a ) et (b ) Iterprétez géométriquemet ces résultats 4 Démotrez que les suites (a ) et (b ) sot adjacetes 5 Soit (v ) la suite défiie par v = b a pour tout etier Démotrez que (v ) est ue suite costate E déduire que les segmets [A B ] ot tous le même milieu I 6 Justifiez que les suites (a ) et (b ) sot covergetes et calculez leur limite Iterprétez géométriquemet ce résultat Corrigé Les poits ot pour abscisse : ( 7) a = + = ; b = ( + 4) = 5 ; (u ) est géométrique : o a u = b a d où a = (6+ 5) = ; b = (+ 0) = u+ = b+ a+ = ( a + b) ( a + b) = ( b a) = u La suite (u ) est géométrique de raiso et de premier terme u 0 = 7 = 6 Fialemet o a u = 6 Comparos a et b et cherchos les variatios de ces suites : b a = 6 u = > 0 doc b > a b+ b = ( a b) b ( b a) u 0 + = = < doc (b ) est décroissate a+ a = ( a b) a ( b a u 0 + = = > doc (a ) est croissate Graphiquemet cela se traduit par le fait que la suite des poits A avace vers la droite alors que la suite des poits B se déplace vers la gauche mais les poits A demeuret e permaece à gauche des poits B
4 Motros que (a ) et (b ) sot adjacetes : (b ) est décroissate, (a ) est croissate, lim( b a) = lim(6 ) = 0 car la limite d ue suite géométrique de raiso r telle que r < est 0, doc les suites (a ) et (b ) sot adjacetes 5 v = a + b doc v+ = a+ + b+ = ( a + b) + ( a + b) = a + b = v doc (v ) est costate : le a + b v v = 0 milieu du segmet [A B ] est I d abscisse i = = [A B ] est costat et est la poit I d abscisse 4 car v 0 = + 7 = 8 6 Les suites (a ) et (b ) sot respectivemet croissate et décroissate et b > a doc = a a b b = 7 ; 0 0 (a ) est croissate et majorée par 7 doc (a ) coverge (b ) est décroissate et miorée par doc (b ) coverge De plus ces deux suites sot adjacetes doc elles coverget vers la même limite L Termiale S F Laroche Suites umériques exercices corrigés car (v ) est costate doc le milieu de E utilisat la suite costate (v ) telle que v = a + b = 8 et par passage à la limite : lima + limb = 8 doc L + L = 8 doc L = 4 Géométriquemet, cela se traduit par le fait que les suites de poits (A ) et (B ) vot se rapprocher du poit I(4), l ue par la gauche, l autre par la droite 9 Suites adjacetes : calcul de la racie carrée O cosidère les suites (u ) et (v ) défiies sur N par u 0 = et les relatios : u + v u + = et v 7 = u Calculer v 0, u, v, u, v, u et v Doer l'approximatio de u et v lue sur la calculatrice Justifier par récurrece que pour tout de N, u > 0 et v > 0 a Démotrer que quel que soit de N, ( u v ) 8 ( u v ) = b E déduire que u v ( u v ) + + 4u+ c Coclure que quel que soit o a u v 0 + = 4 E s aidat de la questio c, prouver que la suite (u ) est décroissate et que la suite (v ) est croissate 5 a Démotrer que quel que soit de N*, u 8 b Utiliser le résultat précédet pour démotrer que u v ( u v ) + + 0 c E déduire, à l'aide d'u raisoemet par récurrece que u v 0 d Détermier la limite de u v lorsque ted vers + 6 Coclure que les suites (u ) et (v ) sot adjacetes et détermier leur limite commue 7 Justifier que u est ue approximatio de 7 à 0 7 près 8 Proposez ue méthode géérale pour trouver ue valeur approchée de a où a est u réel quelcoque positif Cette méthode est celle utilisée par le mathématicie grec Héro ( er siècle) pour détermier ue approximatio des racies carrées Correctio
7 8 + + 7 7 v0 = u = 0 ; u0 + v0 6 8 7 7 u = = = = ; v 6 = u = 8 = 8 ; u + v 8 64+ 6 7 u = = = = ; 48 48 7 6 + 7 7 6 v = u = 7 = 7 ; u + v 48 7 57 7 7 8544 u = = =, 64575 ; v = = =, 64575 9 u 57 57 48 9 Il semble que les suites tedet vers,64575 et que la covergece soit très rapide P : u > 0 et v > 0 P 0 : u 0 = > 0 et v 0 = 7/ > 0 : P 0 est vérifiée u + v Supposos P vraie : u + = > 0 puisque u et v sot positifs, et bie sûr il e résulte que 7 v+ = 0 u > O a bie, quel que soit de N, u > 0 et v > 0 + 7 8 8 ( ) 8 7 u u + v = u v u + v u v = u v = u v = v = a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b ( u v ) ( u v ) ( u + v ) = + 8 = 7 4u+ 4u+ u+ 4 ( ) 7 = u 7 = u = u v u + + + + + u+ c De l'égalité précédete, o coclut que u + v + est strictemet positif quel que soit, c'est-à-dire e remplaçat + par, o a u v positif pour Il faut vérifier que l'iégalité est aussi vraie pour 7 = 0 : u0 v0 = = > 0 O a bie u v > 0 ou ecore u > v u + v u + v u v u 4 u+ u = u = = < 0 car v u < 0 ; v + 7 7 7( u u+ ) v = = > 0 u u u u + + car u + u < 0 et u > 0 quel que soit La suite (u ) est bie décroissate et la suite (v ) est croissate 5 a O sait que u > v or la suite v est croissate, doc v > v, o a doc : u > v > v = 8 5 b Par équivalece : u 5 v ( ) ( ) ( ) 0 u v 4 u v 0 u v 4 0 u u Or o + + 4 0 u u + + + + sait que 5 u > > d'où le résultat 8 5c O veut motrer par récurrece la propriété P : Vérifios P 0 : u0 v0 = < 0 0 Démotros P + : =, ok u v 0 + + ( ) = = = = 0 0 0 0 ( ) + u v u v 0 0 0 0 0 0 0 Termiale S F Laroche Suites umériques exercices corrigés
5 d O a 0 u v et o sait que 0 lim = 0, doc lim( u ) 0 0 v = (gedarmes) + + 6 Les suites (u ) et (v ) sot adjacetes, elles sot doc covergetes vers la même limite λ Celle-ci vérifie la relatio 7 7 lim v = l = l = 7 ; or l >0 doc l = 7 + lim u l + 7 7 u v = 0 8 0 0 = : la rapidité de la covergece est impressioate puisqu à chaque itératio o gage u facteur eviro 0 + E fait o double le ombre de décimales à chaque coup O se trouve e présece d'ue covergece dite quadratique u + v a 8 Pour trouver a, il suffit de faire la même chose avec u + = et v = puisque si (u ) et (v ) u sot adjacetes, elles ot même limite l telle que se faire de maière idetique, ça marche bie a l = l = a Les démostratios précédetes peuvet l L algorithme préseté ici débouche sur bo ombre de problèmes dot certais sot très actuels : o l utilise par exemple pour calculer les décimales de π, c est l algorithme de Bret et Salami Il s agit essetiellemet de l algorithme de la moyee arithmético-géométrique étudié par Lagrage puis par Gauss au 9 ème siècle 0 Suites adjacetes : aire sous ue courbe Objectifs : Etude de l aire sous ue courbe à l aide de suites Compredre commet o peut ecadrer l aire sous ue courbe par deux suites, compredre les otatios associées, savoir écrire le terme gééral des suites, prouver qu elles ot l aire comme limite commue (l existece de l aire est ici admise) Applicatio à deux exemples Remarques : L éocé ci-dessous est u peu log pour être proposé tel quel à ue classe Par cotre, il est possible d e exploiter des parties avec des élèves sous la forme d u TP ecadré et commeté (surtout pour les otatios) par le professeur f est ue foctio cotiue mootoe positive défiie sur [0; ] et (C) est la courbe représetat f das u O; i, j O ote A le poit tel que OA= i repère orthoormal ( ) O s itéresse à l aire A du domaie D délimité par la courbe (C), l axe des abscisses et les droites d équatios x = 0 et x = Pour approcher A, o utilise les suites u et v défiies aisi : - le segmet [OA] est partagé e segmets de même logueur ( ) ; - coformémet aux figures ci-dessous, o costruit : * les rectagles R, 0 situés sous la courbe (C), ayat comme base u des segmets de la k k subdivisio et u sommet sur la courbe (C) ; * les rectagles Sk, 0 k coteat la courbe (C), ayat comme base u des segmets de la subdivisio et u sommet sur la courbe (C); - u est la somme des aires des rectagles R, 0 ; k k Termiale S 4 F Laroche Suites umériques exercices corrigés
- v est la somme des aires des rectagles Sk, 0 k ; La mootoie de f assure que : u A v pour tout o A o A Figure Figure Partie A - Etude des otatios O ote A 0 = O et A, A,, A les poits de [OA] correspodat à sa subdivisio e segmets de même logueur a Sur les figures et ci-dessus où = 5, placer les poits A k pour k { 0,,,5} b O repred quelcoque Quel poit de la suite est cofodu avec A? c Quelle est la logueur d u segmet [A k A k + ], k { 0,,, } d Quelle est l abscisse du poit A k, k { 0,,, }?? O ote B 0, B, B,, B les poits de (C) d abscisses respectives 0,,,, a Sur les figures et ci-dessus où = 5, placer les poits B k pour k { 0,,,5} O repred quelcoque Quelles sot les coordoées de B k, k { 0,,, } Sur les figures et ci-dessus : a Idiquer les rectagles R k et S k pour k { 0,,,4} b Colorier la surface correspodat à l aire u? c Das ue couleur différete de celle du b colorier la surface correspodat à v u Partie B Etude des suites u et v Das cette questio, o suppose que f est croissate sur [0; ] (figure ) a Prouver que pour v - u ) v u = ( f () f (0)) (o pourra par exemple «empiler» tous les petits rectagles coloriés b Quelle est la hauteur du rectagle R k pour k { 0,,, }? c Quelle est l aire du rectagle R k? E déduire ue écriture de u Das cette questio, o suppose que f est décroissate sur [0; ] (figure ) a Prouver que v u = ( f (0) f ()) Termiale S 5 F Laroche Suites umériques exercices corrigés
b Quelle est la hauteur du rectagle S k pour k { 0,,, }? c Doer ue écriture de v Prouver que les suites u et v coverget vers A (o pourra ecadrer A u, puis A - v à l aide de l iégalité u A v) Partie C U exemple où f est décroissate f est la foctio défiie sur [0 ; ] par orthoormal ( O; i, j ) (uité graphique : 0 cm) f( x) = x + et (C) est sa courbe représetative das u repère Faire ue figure das le cas = 5 Placer (C), les poits A k et B k pour k { 0,,, } rectagles R k et S k pour k { 0,,, } A l aide de la questio B c vérifier que pour tout, v = + + + + + + + - - A l aide de la questio B a e déduire que u = + + + + - + + + + 4 Pour quelle valeur miimale de, u et v doet-ils u ecadremet de A d amplitude 0,0? Calculer les u et v correspodats à l aide d ue calculatrice programmable ou d u logiciel, aisi que les Partie D U exemple où f est croissate f est la foctio défiie sur [0; ] par f( x) = x et (C) est sa courbe représetative das u repère O; i, j (uité graphique : 0 cm) orthoormal ( ) Faire ue figure das le cas = 5 Placer (C), les poits A k et B k pour k { 0,,, } rectagles R k et S k pour k { 0,,, } Prouver que l aire du rectagle R k est égale à k Vérifier que pour tout, u = ( + + + ( -) ) 4 A l aide de l égalité prouver que pour tout, E déduire la limite de la suite u ( + )(+ ) + + = pour, 6 u ( -)(-) = 6 5 A l aide de la questio B a exprimer v e foctio de u et e déduire la limite de la suite v 6 Coclure : quelle est l aire A? Correctio A A = A ; A k A k + = ; abscisse de A k = k k k Coordoées de B k : ; f, aisi que les Termiale S 6 F Laroche Suites umériques exercices corrigés
B v - u est la somme des aires des petits rectagles coloriés sur la figure E «empilat» ces rectagles, o obtiet u rectagle de base et de hauteur f() f(0) Doc v u = ( f () f (0)) Hauteur de R k = k f ; aire de R k = f k u = aire de R 0 + aire de R + + aire de R = 0 f + f + f = k = k f k= 0 E «empilat» les rectagles correspodat à v u, o obtiet u rectagle de base et de hauteur f(0) f() Doc Hauteur de S k = v u = ( f (0) f ()) k f ; aire de S k = f k v = aire de S 0 + aire de S + + aire de S = 0 f + f + f = k = k f k= 0 u A v doc 0 A u v u et u v A v 0 Or v u = f (0) f () doc lim u v = 0 Par coséquet, d après le «théorème des gedarmes», + lim A u = 0 et lim A v = 0 D où lim u = lim v =A + C + + + o Aire de S k = f k = = doc v = aire de S 0 + aire de S + + aire de S = k k + + + + + + + + + + + = + + + + + + + - - v u = ( f (0) f ()) = = Doc u = v = + + + + + = + + - - v u = et = 0,0 pour = 50 Excel doe u50 0, 688779 et v50 0, 698779 A + + + + + + + + - Termiale S 7 F Laroche Suites umériques exercices corrigés
Remarques * Evidemmet A= l, mais deux sommes de termes (u et v ) e doet u ecadremet de A que d amplitude Ce est pas très efficace(croissace très lete de la série harmoique) pour calculer l * E fait, les suites u et v sot adjacetes, mais il est assez péible de prouver que u est croissate et que v est décroissate : u u = + + + + + + + + + + + = + + + 4 ( + )- ( + ) + + + ( + ) + (+ ) (+ ) + = = > 0 + + + ( + )(+ ) ( + )(+ ) v v = + + + + + + + + + + + + + + ( + )- ( + )- + + - - + + + + + + + + + + + + + + + + - - = (+ ) + (+ ) + = = < 0 + (+ ) (+ ) C est doc log et ous avos vu que le seul itérêt de prouver que les suites sot adjacetes est que cela permettrait d établir l existece de l aire = D o Aire de R k = f k = k k = u = aire de R 0 + aire de R + + aire de R = ( + )(+ ) 4 + + = pour tout Doc 6 ( ) (( ) + ) ( )( ) u = = 6 6 5 lim + u Pour tout = lim = + 6 = =, doc, v u ( f() f(0) ) 0 ( ) + + + = ( + + + ( ) ) v = u +, d où lim + v = lim u = + Termiale S 8 F Laroche Suites umériques exercices corrigés
6 Comme u A vet Remarque lim + v = lim u =, o e déduit + A = Ici aussi, les deux suites u et v sot adjacetes Pour le démotrer, il faudrait établir que u est croissate et que v est décroissate C est faisable car pour, u + + u = > 0 et v 6 ( + ) + 5 v = < 0, mais les calculs 6 ( + ) sot difficiles De plus, ici, c est tout à fait iutile car la covergece des suites u est v vers u même ombre est immédiate et prouve doc l existece de l aire, dot o obtiet e plus la valeur exacte Suites adjacetes : le pricipe de la dichotomie Le pricipe de la dichotomie * O admet la propriété des suites adjacetes : Si u est ue suite croissate et v ue suite décroissate telles que (v u) coverge vers 0, alors u et v coverget vers ue même limite l O e déduit que l est l uique réel tel que pour tout N, u l v * Méthode de dichotomie : I 0 est u itervalle fermé boré O le partage e deux itervalles fermés de logueurs égales I et I' O choisit l'u d'etre eux oté I, sur lequel o effectue à ouveau cette opératio O costruit aisi par récurrece ue suite ( I) N d'itervalles * Il s agit de prouver qu il existe u uique réel apparteat à tous les itervalles I Preuve : O défiit deux suites a et b : Pour tout N, o ote I = [ a ; b] (avec a b), c a + b =, ' I = [ a ; c ] et I " c b = [ ; ] ' Si o choisit I+ = I, alors a+ = a et a + b " b + =, sio o choisit I+ I =, et doc a + b a + = et b+ = b O prouve que les deux suites a et b sot adjacetes : b a * Pour tout N, b+ a+ =, doc la suite (b a) est géométrique, de raiso Elle coverge doc vers 0 * Pour tout N, I+ I, doc a a+ b+ b Par coséquet, a est croissate et b est décroissate * Les deux suites a et b sot doc adjacetes Coséqueces : Les deux suites a et b coverget vers ue limite commue l et l est l uique ombre réel tel que pour tout N, a l b, c est à dire l I Démostratio du théorème de la covergece mootoe à l aide de la méthode de dichotomie : * O a déjà prouvé que si ue suite d itervalles I = [ a ; b] a été costruite par dichotomie, les deux suites a et b coverget vers u même réel l * Il s agit de démotrer que toute suite croissate majorée est covergete Preuve Termiale S 9 F Laroche Suites umériques exercices corrigés
Soit ( u) N d itervalles ( I) N I = [ u ; M] ; * 0 0 ue suite croissate et majorée par u réel M O costruit par récurrece la suite défiie aisi : a + b * Pour tout N, o ote I = [ a ; b], c =, I " terme de la suite u, alors I + = I sio ' I + = I La suite d itervalles même réel l ( ) I N ' a c = [ ; ] et I " c b = [ ; ] Si " I cotiet u ayat été costruite par dichotomie, les deux suites a et b coverget vers u Par récurrece, chaque itervalle I cotiet tous les termes de la suite u à partir d u certai rag p : I = [ u ; M] cotiet tous les termes de la suite u à partir du rag 0 = p 0 * 0 0 * Supposos que I cotiee tous les termes de la suite u à partir d u certai rag p Alors : " " - ou bie I cotiet u terme u p de u, doc I+ = I ; comme u est croissate, I ' cotiet au plus les termes u pour {0,,, p } Doc I + cotiet les mêmes termes de u que I, sauf peut-être certais des p premiers, et par coséquet cotiet tous les termes de la suite u à partir d u certai rag p + ; " - ou bie I e cotiet pas de terme de u, doc u que I, doc tous à partir du rag p = p + ' I + = I Das ce cas, I + cotiet les mêmes termes de * Par coséquet, chaque itervalle I cotiet tous les termes de u à partir d u certai rag p O maiteat prouve que la suite u coverge vers l : Soit I u itervalle ouvert coteat l Comme l = lim a = lim b, il existe u rag N pour lequel a N et b N sot das I, doc I N + + Or I N cotiet tous les termes de la suite u à partir d u certai rag p N A partir de ce rag, tous les termes de la suite u sot aussi das I Doc la suite u coverge vers l L et méthode de Newto-Raphso, Asie 000 poits Partie A : Étude d ue foctio O cosidère la foctio f défiie sur [0; + [ par : f ( x) lx = + x I Soit (C) la courbe représetative de f das le pla rapporté à u repère orthoormal ( O; i, j) graphique : 5 cm Calculer les limites de f e 0 et e + Détermier les asymptotes de (C) Étudier le ses de variatio de f Dresser le tableau de variatio de f Motrer que l équatio f ( x ) = 0 admet sur l itervalle Détermier u ecadremet de α d amplitude 0 Doer, suivat les valeurs de x, le sige de f ( x ) sur ]0; + [ 4 Tracer la courbe (C) ; e ue solutio uique, otée α ; uité Partie B : Calcul d aire Détermier ue équatio de la tagete (D) à (C) au poit d abscisse a Soit ϕ la foctio défiie, pour tout x > 0, par : ϕ ( x) = x x + lx Calculer ( x) ϕ Termiale S 0 F Laroche Suites umériques exercices corrigés
E déduire le ses de variatio de ϕ, puis le sige de ϕ ( x), sur l itervalle ]0; + [ b Motrer que, pour tout x > 0, ( ) ( x) ϕ f x x= x c E déduire la positio relative de (C) et de (D) O cosidère le domaie limité sur le graphique par l axe des abscisses, la courbe (C) et la tagete (D) a Hachurer ce domaie b Soit A so aire, e cm Écrire la valeur exacte de A comme expressio polyomiale du secod degré e α Partie C : Étude d ue suite Soit x 0 u réel apparteat à l itervalle ; e α O ote M 0 le poit de (C) d abscisse x 0 a Doer ue équatio de la tagete (T 0 ) à (C) e M 0, e foctio de x 0, f ( x 0 ) et '( 0 ) b Soit x l abscisse du poit d itersectio de (T 0 ) avec l axe des abscisses Écrire x e foctio de x 0, f ( x 0 ) et '( 0 ) f x O cosidère la foctio h défiie sur ; e α a Motrer que h ( x) ( ) ( ) f x f x = f ( x) b Calculer f ( x) et étudier so sige sur par : ( ) f ( x) h x x f ( x) ; e α f x = (O remarquera que h(x 0 ) = x ) c E déduire que h est strictemet croissate sur ; e α, puis motrer que x < α f ( x) d E écrivat h( x) = x, étudier le sige de f ( ) ( x) a Démotrer que, pour tout x apparteat à ; e α b O cosidère la suite (x ) de réels défiie par x 0 et x h( x ) Motrer que la suite (x ) est strictemet croissate h x x sur ; e α E déduire que < x0 < x < α e + h( x ) appartiet à ; e α = pour tout etier aturel Correctio Partie A : Étude d ue foctio f ( x) Termiale S F Laroche Suites umériques exercices corrigés lx = + x Limite de f e 0 : o écrit l x = lx d où la limite est E + lx ted vers 0 doc f ted vers x x x x lx x lx = = qui est positif lorsque x e x x f '( x) f ( e) = + e Sur l itervalle ; e f est croissate vers l itervalle ; e solutio uique α La machie doe 0,567 comme valeur approchée de α qui cotiet 0 : f ( x ) = 0 a doc ue
Comme f est croissate, f ( x) 0 lorsque x α et f ( x) 0 lorsque x α Partie B : Calcul d aire (D) ( )( ) ( ) y= f x + f = x + = x a ϕ ( x) = x x + lx ; ϕ ( x) ϕ = doc ϕ( x) ( ) sio ( ) 0 b ( ) ( x )( x ) + x x = x+ = = : positif lorsque x, égatif x x x ϕ = 0 ( x) lx x+ lx x ϕ f x x= + x= = x x x c La positio relative de (C) et de (D) est doée par le sige de f ( x) x doc (C) est toujours e dessous de (D) a b Il faut d abord calculer l itégrale ( ) l ( l ) α ( lα ) ; comme ( ) 0 I = f x dx= + xdx= x+ x = x l( α ) α α α = α d où e remplaçat : Termiale S F Laroche Suites umériques exercices corrigés f α =, o a I = α α Par ailleurs il faut soustraire cette itégrale à l aire du triagle OKH qui vaut, et multiplier le tout par l uité d aire, soit 5 cm Fialemet A= 5 + α + α = 5 ( α + α ) Partie C : Étude d ue suite Soit x 0 u réel apparteat à l itervalle lx ; e α O ote M 0 le poit de (C) d abscisse x 0 0 a (T 0 ): f '( x ) = ; y f ( x )( x x ) f ( x ) xf ( x ) f ( x ) x f ( x ) 0 x0 b Lorsqu o fait y= 0 das l équatio précédete, o trouve = + = + ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) f ( x ) ( ) ( ) x f x f x f x 0= xf x + f x x f x x= = x = x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f x0
O cosidère la foctio h défiie sur ; e α a ( ) ( ) ( ) par : ( ) f ( x) h x x f ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) = (O remarquera que h(x 0 ) = x ) ( ) ( ) + ( ) ( ) f ( x) f ( x) f x f x f x f x f x f x f x f x f x h x = x h ( x) = = f x f ( x) soit h ( x) ( ) ( ) f x f x = f ( x) x x( lx) lx l l b ' x x+ x x + x f ( x) = f ( x) = = = 4 4 x x x x doc sur ; e α f x <, ( ) 0 c f est égalemet égative sur cet itervalle doc h est positive et h est croissate O a h( ) Comme x0 α d ( ) ( α ) ( α ) f α = α = α f et x h( x ) = 0 < et que h est croisssate, o a doc bie ( ) ( α ) ( ) ( ) f x h x x= f x Efi o a x0 e < et ( ) h x < h x < α 0 est positive sur ; e α car f est positive et f est égative h x0 x0 = x x0 > 0 x > x0, soit < x0 < x < α e a Nous veos de motrer que pour u x 0 das ; e α alors x ( ) h x0 + lx 0 x = est das ; e α C est ok b Par récurrece : x = h( x ) est alors tel que < x0 < x < x < α, etc Le raisoemet fait e x 0 est le e même à importe quel rag Doc la suite (x ) est strictemet croissate Comme elle est majorée par α, elle coverge Il faudrait ecore motrer qu elle coverge vers α, ce que l o voit e faisat le calcul : la rapidité de covergece est même spectaculaire, x x 0 0,678794474400000 4 0,5674655675600000 0,484550885700000 5 0,567490408700000 0,5586506054700000 6 0,56749040978400000 0,5666094850500000 7 0,56749040978400000 Cette méthode est très performate ; elle fut ivetée par Newto et améliorée par J Raphso quelques aées plus tard C est celle que l o utilise e gééral das les logiciels de calcul ROC+suite solutio équatio, Polyésie 005 7 poits La page aexe sera à compléter et à remettre avec la copie à la fi de l épreuve Partie A O cosidère la foctio f défiie sur l itervalle ]0; + [ par f (x) = x +l x O omme Γ sa courbe représetative das u repère orthogoal ( O; i, j) du pla Termiale S F Laroche Suites umériques exercices corrigés