CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE. CHPITRE DEUX : FORMLISME GEOMETRIQUE verson.3, -8 I. GEOMETRIE DNS L ESPCE-TEMPS ) Prncpe de relatvté Le prncpe de relatvté peut s exprmer ans : toutes les los physques s exprment comme des relatons géométrques entre des objets géométrques. En effet, pour de tels objets ndépendants de l exstence d un système de coordonnées, le prncpe de relatvté tel qu l a été vu dans le chaptre précédent sera forcément valde. Nous ntrodurons dans cette secton I les outls permettant de fare de la physque en utlsant des objets purement géométrques,.e. ayant une exstence ntrnsèque, ndépendante du chox d un système de coordonnées. C est une manère de vor dfférente de celle des lvres de premer et deuxème cycle unverstare, et l acquston des notons nécesste donc quelques efforts, mas ceux-c seront largement récompensés par la nouvelle vson que l on aura des los physques et des smplfcatons qu en découlent en relatvté. De plus, la géométre est le cadre déal pour aborder l étude de la relatvté générale. Nous avons vu au chaptre un qu l état nécessare d ntrodure un espace-temps, cette «varété» à 4 dmenson est donc l entté fondamentale dans laquelle s nscrt la relatvté restrente. Un événement P est un pont de cet espace-temps quadrdmensonnel (tros dmensons d espace et une dmenson temporelle), dont l exstence est parfatement défne sans qu l sot nécessare d ntrodure un référentel. ) Scalares On appelle scalare un nombre réel assocé à un pont de l espace-temps. S un scalare est assocé à chaque événement de l espace-temps, on parle de champ scalare. Nous sommes ben sûrs ntéressés par les champs scalares ayant une nterprétaton physque, par exemple la température thermodynamque ou la densté de masse dans un flude. 3) Vecteurs On peut chosr un événement orgne arbtrare, et désgner la poston d un évènement P par une flèche r lant l événement orgne à l événement P. Un vecteur (que l on appelle auss vecteur contravarant) est représenté par une flèche lant deux ponts de l espace-temps. C est un objet géométrque abstrat, dont l exstence est ndépendante de l ntroducton d un système de coordonnées. Pour repérer la poston d un évènement P, on se place dans un référentel (nertel, tant que nous, e est la base du repère, avec ( ) restons en relatvté restrente), mun d un repère O { e }, où { } =,,,3, 4, l ndce correspondant à la coordonnée temporelle. Les coordonnées de P sont alors les composantes x du vecteur poston r lant l orgne arbtrare O à P, obtenues par projecton de l extrémté du vecteur sur les axes : 3 r = x e + x e+ x e + x e3 = x e (.)
CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE. où nous avons utlsé les conventons d Ensten de sommaton mplcte,.e. nous sommons sur toutes les valeurs possbles les «ndces» répétés à la fos en poston haute et basse dans l expresson. fn de dstnguer les 3-vecteurs spataux des 4-vecteurs spato-temporels, nous emploerons systématquement la notaton en gras r pour un vecteur spatal, assocé aux ndces latns, j,, et la notaton fléchée r pour un vecteur quadrdmensonnel assocée aux ndces grecs, ν,... Pour smplfer l écrture des équatons, nous utlserons de plus des untés géométrques,.e. nous posons c = (.) ce qu revent à dre que s 8,9979458. m u = β,, un sècle vaut. vec cette conventon, [ ] 7 9,5. m et le damètre de la Terre est de 43 ms. S, à la fn d un calcul, nous voulons retourner au système MKS, de smples consdératons dmensonnelles nous permettront de replacer les facteurs c manquants. Ces coordonnées sont dépendantes du référentel nertel chos : s on projette le pont sur la base d un autre référentel, les coordonnées x de P auront d autres valeurs. Mas l est mportant de ben vsualser que le pont, lu, est nvarant par changement du système de coordonnées. Nous pouvons addtonner et soustrare des vecteurs. Nous obtenons par exemple dans un système de coordonnées quelconque le vecteur r lant les ponts P et Q en soustrayant le vecteur poston de P au vecteur poston de Q : r = rq rp. Ses composantes dépendent du système de coordonnées chos, mas cette flèche exste ndépendamment d un chox de référentel, et même ndépendamment d un chox d orgne. Enfn, afn d une part, d alléger les écrtures et, d autre part, pour des rasons qu devendront plus clares au cours du chaptre, nous emploerons souvent pour désgner un vecteur la notaton abstrate «vecteur», en oublant de précser une base et ce, même lorsque nous parlons de l objet géométrque sans fare référence à une système de coordonnées. Nous précserons «composante du vecteur» lorsque nous nous ne parlerons pas de l ntégralté du vecteur mas d une de ses composantes. Il faut toutefos garder à l esprt que, malgré ce raccourc, le vecteur a une exstence propre ndépendante du chox d une base. 4) Vecteurs nfntésmaux et grandeurs physques en physque newtonenne En physque newtonenne, le temps est consdéré comme une grandeur absolue, se déroulant du passé vers le futur au même rythme pour tout observateur. Dans ce cadre, l objet fondamental est le pont de l espace. De même que dans le cas plus général de l espace-temps, dans les condtons d applcaton de la physque non-relatvste, on peut reler deux ponts de l espace et B par une flèche, le vecteur r, qu a une exstence géométrque ntrnsèque ben que ses coordonnées dépendent du chox de référentel (fg.). En physque, nous sommes souvent ntéressés par une expresson locale des los. Consdérons deux ponts très proches et B de l espace euclden à 3 dmensons. Le vecteur dr les relant est alors nfntésmal et on peut consdérer qu l résde en. On construt de nombreuses grandeurs physques d ntérêt à partr de ce vecteur. S l espace est rempl par un flude, on peut fare la dfférence dr des vecteurs postons des ponts et B occupés par un élément de volume du flude à deux dates proches, séparées par une durée dt (nsstons sur le fat que l écoulement du temps, supposé unversel, est ndépendant du référentel chos). En multplant le vecteur dr par l nverse de la durée, on obtent le vecteur vtesse du flude au pont : d v = r dt
CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE.3 z B B z z B z r yˆ ' y y B r B zˆ ' O x B ẑ r xˆ ' x ˆx O x B ŷ y B y x fg.. : Coordonnées dans deux référentels dfférents et nvarance de l objet géométrque r (à t fxé). qu est donc parfatement défn en tant qu objet géométrque. S l on fat toutefos un chox de référentel, on peut réécrre v comme : dx v= e dt Une remarque s mpose c : dr étant nfntésmal, l peut être consdéré comme résdant en un seul pont de l espace mas, comme dt est auss nfnment pett, le vecteur vtesse a une dmenson qu n est plus nfntésmale. De plus, l n a pas les mêmes dmensons qu un vecteur poston, l n appartent donc pas à l espace euclden. En fat, l résde au seul pont, dans un espace vectorel nommé espace tangent à l espace euclden au pont, noté V p. Cela ne nous retendra pas de représenter un vecteur comme une flèche sur un schéma, mas l faut ben garder à l esprt que seul le pont orgne du vecteur est concerné. S l on consdère le vecteur vtesse en chaque pont du flude, on obtent un champ de vecteurs. Chacun de ces vecteurs résde dans un espace vectorel dfférent, tangent à l espace euclden au pont concerné. Mas, comme l espace a partout la même structure (ce qu sera encore le cas en relatvté restrente mas plus en relatvté générale), on peut comparer sans précautons ces dfférents vecteurs et constater, par exemple, que le flude est plus rapde au pont P qu au pont Q ou que les vtesses en ces deux ponts sont colnéares. v étant auss un vecteur, on peut calculer la dfférence dv entre les ponts et B la multpler à nouveau par l nverse de la durée pour obtenr l accélératon du flude entre et B : d a = v dt En multplant l accélératon du volume élémentare de flude par sa masse m (scalare) on obtent la force ma qu s exerce sur lu, la lo fondamentale de la dynamque peut ans s exprmer comme une relaton entre objets géométrques, sans beson de chosr un référentel : F = ma. Le traval (scalare) exercé sur l élément de flude sera le produt scalare de la force et du déplacement : δ W = ma dr, etc.
5) Vecteurs duaux CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE.4 Revenons au cas plus général de l espace-temps. On défnt les vecteurs duaux, ou vecteurs covarants, comme des applcatons lnéares de l espace tangent vers les nombres réels. Ils résdent * * dans l espace cotangent V p à l espace au pont consdéré. ns, s ω V, p V et a : p ω a = aω (.3) ( ) ( ) On peut construre une base de vecteurs duaux { } e en requérant : e ( e ) ν = δ ν où δ ν est le symbole de Kronecker, égal à s = ν est nul snon. Le développement d un vecteur e s écrt donc : ω = ω e Les ndces relatfs aux composantes d un vecteur dual fgurent donc en poston basse. L acton d un vecteur dual sur un vecteur s écrt donc, en terme de ses composantes : ( ) ( ν ν )( ) ν ω = ω ( ) e eν = ω e eν = ω δν = ω (.4) ns, les vecteurs peuvent auss être consdérés comme des applcatons de l espace cotangent vers les nombres réels : ν ( ω) = ω eν ( e ) = ω (.5) L espace dual à l espace cotangent est donc l espace tangent lu-même : ** V = V dual suvant ses composantes dans la base { } p De la même manère que pour les vecteurs, nous désgnerons souvent un vecteur dual par le raccourc ω, même lorsque nous parlons de l objet géométrque ω. p 6) Tenseurs Un tenseur de rang (k,l) est défn comme une applcaton multlnéare qu, à k vecteurs covarants et à l vecteurs contravarants, assoce un nombre réel. On peut donc représenter un tenseur T de rang (,) comme : * * T( _, _; _) : ( ωυ, ; ) Vp Vp Vp T( ωυ, ; ) (.6) où les emplacements correspondent à des «fentes» dans lesquelles placer les vecteurs. Des fentes de même type sont séparées par une vrgule, et les fentes correspondant aux vecteurs duaux et aux vecteurs par un pont vrgule. Le terme multlnéare veut dre que le tenseur est lnéare en chacun T aω+ bυ; c = act ω; + bct υ; avec a, b, c réels. Ils résdent dans un des vecteurs,.e. ( ) ( ) ( ) * espace tensorel tangent au pont de l espace consdéré, noté Vp Vp pour un tenseur de rang (,). Un scalare peut donc être consdéré comme un tenseur de rang, un vecteur (contravarant) comme un tenseur de rang (,) qu attend que l on nsère un vecteur covarant dans la fente pour donner un nombre réel : ( _) : ω ( ω) (.7) On vot c que, pour obtenr les composantes d un tenseur, l sufft d nsérer les vecteurs de la base dans les fentes. Par exemple : e = e ν e = où ( ) ν ( ) représente la -ème composante du vecteur et non le vecteur dans son ntégralté.
CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE.5 Exemple mportant : tenseur métrque Plaçons nous tout d abord dans l espace euclden. Nous dotons cet espace d un produt scalare, qu est un nombre construt à partr de deux vecteurs. près chox d un système de coordonnées, le produt scalare de deux vecteurs r = x e et s= y e s écrt : j j j j j j ( ) ( ) rs = x e y e = x y e e = x y δ (.8) s la base est orthonormée ( δ j est le symbole de Kronecker, égal à s = j et nul snon). Cette défnton permet de calculer le carré de la dstance séparant et B en calculant le produt scalare de r par lu même : j s = r r = x x δ j (.9) Le «produt scalare» étant une applcaton lnéare qu, à deux vecteurs, assoce un nombre réel, nous pouvons donc défnr le tenseur métrque de rang (,) : g( _, _) : B, g( B, ) B (.) Dans le cas d un espace euclden à tros dmensons, ce tenseur s exprme : j g = g e, e = δ (.) j ( ) Le tenseur métrque permettant le calcul de la dstance s, qu est un nvarant galléen (fg..), l content une nformaton au sujet de la structure géométrque de l espace euclden. Il est partculer dans le sens où son expresson dans un système de coordonnées est nvarante par un changement de référentel : on dt que l espace euclden est plat. Comme l a une valeur en chaque pont de l espace, l ensemble de ces tenseur est le champ tensorel métrque. Le produt scalare s exprme avec ces conventons, dans un système de coordonnées où les composantes des vecteurs sont = x e et B= y e : j B = gxy j Plaçons nous mantenant dans le cadre de la relatvté restrente. Nous dotons l espace-temps d un produt scalare, que nous notons par analoge avec (.) : B =η B, (.) ( ) où η (_, _) est le tenseur métrque de l espace-temps de Mnkowsk à quatre dmensons, de rang (,) ( η (_, _) est une notaton réservée pour la métrque de l espace-temps plat de Mnkowsk, alors que g (_, _) est utlsé pour toute métrque). Tout comme le produt scalare de l espace euclden est compatble avec la conservaton la dstance entre deux ponts, le produt scalare de l espace-temps dot être compatble avec l nvarance de l ntervalle s entre deux évènements,.e. on lu demande de s écrre dans un système de coordonnée nertel quelconque, r étant le 4-vecteur séparant deux événements P et Q : ν r r = η( r, r) = η ν x x = t + x + y + z = s (.3) Nous en dédusons : η ν = (.4), +++,, est dte lorentzenne par opposton à la métrque Cette métrque de sgnature ( ) eucldenne de sgnature postve ( +, ++, ). Tout comme la métrque eucldenne, ce tenseur a la proprété partculère d avor les mêmes composantes dans tout système de coordonnées. Cette nvarance des composantes sera remse en cause en relatvté générale, où le champ métrque (qu est un champ tensorel) est la varable dynamque assocée à la courbure de j
CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE.6 S df -df dσ fg.. : Contrantes exercées sur un élément de surface de l ntéreur d un solde. fg..3.a : Contrantes radales fg..3.b : Contrantes de csallement l espace-temps. Une base de l espace tangent est dte orthonormée s les composantes du tenseur métrque dans cette base sont nulles hors de la dagonale : g ν = s ν. Exemple : Tenseur des contrantes Consdérons, dans le cadre de la physque newtonenne, un solde S sur lequel on exerce des contrantes. Nous sommes ntéressés par une expresson locale des los nous permettant de conclure par résoluton d équatons dfférentelles et chox de certanes condtons aux lmtes. Nous consdérons les contrantes exercées sur un élément de surface orentée du solde dσ. Les contrantes exercées ne sont pas forcément orthogonales à la surface sélectonnée, elles sont une combnason de contrantes radales et de contrantes de csallement (vor fg..). Les contrantes sont des applcatons lnéares de dσ,.e. elles doublent s on double la surface consdérée. On peut donc les exprmer par une relaton tensorelle : df= T _, dσ ( ) où T (_; _) est le tenseur des contrantes et df est un vecteur. Dans un système de coordonnées spécfé mas arbtrare, les composantes de df s écrvent : j df = Te; dσ = T dσ ( ) Les composantes du tenseur des contrantes ont la dmenson d une presson (N.m - ). S l on regarde par exemple la composante df de la force, elle est composée d un terme T dσ exprmant la contrante radale,.e. la force comprmant ou étrant la composante x de l élément de surface. Les deux autres termes, T dσ et T 3 3dΣ, exprment quant à eux le csallement de l élément de surface,.e. la force exercée suvant x sur les composantes y et z de l élément de surface (vor fg..3). fn de précser ces dées, consdérons un lqude dont l extenson spatale est suffsamment fable pour néglger le champ de pesanteur et dont l ordre de grandeur de la vtesse de déplacement est suffsamment fable pour pouvor néglger sa vscosté. La contrante exercée est alors purement radale : l s agt de la presson hydrostatque. Le tenseur des contrantes de ce lqude est donc : T j = pδ j La force exercée sur un élément de surface est donc : j
CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE.7 df = pdσ La mécanque newtonenne admet ans une formulaton géométrque, les los physques s exprmant comme des relatons géométrques entre objets géométrques (ben sûr, s l on veut calculer certanes grandeurs, l est nécessare de se placer dans un système de coordonnées galléen). près avor ntrodut le produt tensorel, nous généralserons ces dées au cadre d un espace-temps à quatre dmensons dans la secton II. 7) Produt tensorel, contracton partr de deux tenseurs T et T de rangs (k, l) et (k, l ), on peut construre un nouveau tenseur de rang (k + k, l + l ) en défnssant le produt tensorel par la relaton : * T T (_; _, _): Vp Vp Vp ( ω; VW, ) T T ( ω; VW, ) = T( ω; V) T ( W) (dans cet exemple k =, l =, k = et l = ). Tout tenseur de rang (k,l) peut donc être décomposé l e e e ν e ν : sur une base { } k k l T _,, _ ; _,, _ = T e l e e ν e ν ν ν (.5) k k fentes l fentes où l on somme sur toutes les valeurs des,, k et ν,, ν l (4 dans l espace-temps de Mnkowsk). Il y n k+ l tenseurs de base dans un espace de dmenson n. La notaton abrégée ntrodute pour les vecteurs et les vecteurs duaux s applque auss aux tenseurs. ns, un tenseur de rang (k,l) peut être noté : k T = T ν νl Se rappeler cependant qu un tenseur est un objet géométrque, l est défn avant qu on chossse une base et qu on lu attrbue des coordonnées. Nous rénssterons sur ce fat lorsque nous verrons comment les composantes de ces objets se transforment lors d un changement de coordonnées. La contracton de deux fentes permet de passer d un tenseur de rang (k, l) à un tenseur de rang (k, l ). Sot un tenseur T de rang (,), s écrvant comme la somme de produts tensorels : T( _, _; _, _) = ω υ B( _, _; _, _) + La contracton de la premère fente duale et de la deuxème fente vectorelle de ω υ B est : C 4 ω υ B( _, _; _, _) ω( B) υ _; _ (.6) ( ) Plus généralement, les composantes de la contracton de T sont : ν ν C4T ρσ = T ρ (.7) qu est un tenseur de rang (,) : l ndce est muet pusque, pour chacune des composantes du tenseur, on dot sommer sur toutes les valeurs possbles de. Tous les ndces non-muets dovent fgurer en même poston (lgne et colonne) des deux côtés de l égalté. La notaton ndcelle est donc un excellent garde-fou pour empêcher les erreurs lors d un calcul : la cohérence d une expresson est assurée par la poston des ndce. B ω 8) Tenseur métrque et manpulaton des ndces Le tenseur métrque permet de passer de manère unvoque des vecteurs aux vecteurs duaux, en njectant un vecteur dans l une de ses fentes et en lassant l autre lbre :
CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE.8 g (_, ) = g ν ν = Cette opératon est appelée abassement d un ndce. ns, le produt scalare admet une notaton plus compacte : B = g xy ν xy ν = La métrque admet un nverse g, ou g ν en notaton ndcelle, dont les composantes dans un système de coordonnées partculer mas arbtrare, s écrvent : j j g g jk = gkjg = δk (.8) La métrque nverse permet l opératon d élèvement d un ndce en lu applquant un vecteur covarant, elle peut donc être consdérée comme une applcaton de l espace cotangent vers l espace tangent : g (_, ω) = g ν ων = ω l ade de ces opératons de manpulaton des ndces, on peut donc passer de manère unvoque de l espace tangent à l espace cotangent. On peut donc parler lbrement du vecteur, sans précser s ce vecteur est covarant ou contravarant, pusqu l exste des bjectons (la métrque et la métrque nverse) entre les deux espaces vectorels. Dans l espace euclden en coordonnées cartésennes, les composantes de la métrque sont gj = δj, les composantes de la métrque nverse sont donc g j = δj. Le vecteur et son mage duale correspondante ont donc exactement les mêmes composantes, cela justfe le fat que habtuellement, en physque, on ne prête guère attenton au placement des ndces : 3 3 = (,, ) = (,, ) Nous nous permettrons donc dans la sute, dans le cas de la physque newtonenne, de placer les ndces comme bon nous semble. ν Dans l espace-temps de Mnkowsk, la métrque nverse η a les mêmes composantes que la métrque dans tout référentel nertel. Elever ou abasser un ndce temporel entraîne donc l apparton d un sgne alors que, pour les ndces spataux, les composantes restent nchangés : 3 η( _, ) = η ν = ν = (,,, ) ν ν η (_, ω) = ωη = ω = ( ω, ω, ω, ω3) On retrouve évdemment avec ces relatons la conservaton de l ntervalle nfntésmal ds : dr dr = η dr, dr = dx dx ν = dx dx = dt + dx + dy + dz = ds ( ) η ν ν Plus généralement, on peut passer d un tenseur (k,l) à des tenseurs (k-n,l+n) ou (k+n,l-n). On chost de représenter ces nouveaux tenseurs par la même lettre que le tenseur orgnal. Par exemple : ασ νρ νρα g T = T σλγ γ βλ νρ νρ β α σλγ = α σ γ g g T T On peut donc parler lbrement d un tenseur de rang k, sans précser s l s agt de fentes covarantes ou contravarantes, pusqu on peut construre tous les tenseurs de rang (k n, n) possbles de manère unvoque à l ade la métrque. 9) Métrque vue comme un élément de longueur nfntésmal La métrque exprmée comme un ntervalle de longueur nfntésmal permet de retrouver par dentfcaton ses composantes dans des systèmes de coordonnées non-cartésens. En coordonnées ρθ,,z, l élément de longueur nfntésmal s écrt : cylndrques ( ) ds = d ρ + ρ dθ + dz (.9) On en dédut :
CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE.9 ( ) ds = g dx dx g = ; g = ; g = ; g = (.) j j ρρ θθ ρ zz j j En coordonnées sphérques ( r, θ, ϕ ), on a : ds = dr + r dθ + r sn θdϕ (.) d où les composantes non-nulles de la métrque dans ce système de coordonnées : g = ; g = r ; g = r sn (.) rr θθ ϕϕ θ ) Dfférencaton a. Dérvée drectonnelle et gradent Une dernère parte mathématque est nécessare avant un retour à la physque : l s agt de savor comment dfférenter vecteurs et tenseurs. En effet, une expresson locale des los physques, exprmée sous forme d équatons dfférentelles et de condtons aux lmtes, nécesste de savor comment les nouveaux objets géométrques ntroduts dans cette secton varent localement. Nous rasonnerons dans l espace-temps de Mnkowsk, mas la dscussons restera valable pour l espace euclden. La dérvée drectonnelle suvant le vecteur d un champ tensorel T(P) dans l espace-temps est défne par la relaton : lm ( xp + ε ) ( xp T T T ) (.3) ε La dérvée drectonnelle est lnéare par rapport au vecteur, on peut donc consdérer la dérvée drectonnelle comme un nouveau tenseur de rang (k, l+), où la dernère fente est la «fente de dérvaton» dans laquelle on nsère le vecteur : (_,, _; _,, _, _) = (_,, _; _,, _, T T ) Le nouveau tenseur T est le tenseur gradent de T (ou dérvée covarante de T). En notaton ndcelle, l est noté ndfféremment : k k α T ν ou T ν l ν ν l; α (l ndce α correspondant à la fente de dérvaton). La notaton «pont vrgule», en dehors d économser de l encre, permet de lster les ndces de T dans le bon ordre. La dérvée drectonnelle T de T suvant s écrt donc, en notaton ndcelle : k α k α α T ν ou T ν l ν ν l; α (.4) Dans une base cartésenne ou lorentzenne, pour lesquelles les vecteurs de base ne sont pas modfés au cours d un déplacement, les composantes du gradent de T sont smplement les dérvées partelles des composantes de T selon la drecton envsagée : k T ν k νl k k T ν νl; α= αt ν T α ν l ν νl, α x Dans ce cours, nous utlserons de préférence les notatons «vrgule» et «pont vrgule». S la base n est pas cartésenne ou lorentzenne (e.g. les bases cylndrque ou sphérque), les composantes du gradent ne seront pas égales aux dérvées partelles. En effet, au cours du déplacement nfntésmal ε, les vecteurs de la base subront auss une modfcaton dont l faudra tenr compte avant de pouvor comparer les tenseurs en deux ponts dfférents de l espace ou de l espace-temps. Lorsque nous aborderons la relatvté générale, les proprétés mêmes de l espace (par l ntermédare de la métrque), seront modfées au cours du déplacement. Comme nous n avons pas le beson d utlser mmédatement les coordonnées cylndrques ou sphérques, nous remettons l étude des technques permettant de calculer un gradent dans des cas plus généraux à la parte «relatvté
CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE. générale». Du fat de leur défnton «tradtonnelle», la dérvée drectonnelle et le gradent obéssent à la règle de composton des dérvatons : ( T S) = ( T) S+ T ( S) (.5) En notaton ndcelle, pour des tenseurs de rang (3,) : T νρ S αβγ = T νρ S αβγ + T νρ S αβγ ( ) ( ) ( ) ; λ ; λ ; λ La métrque étant un champ tensorel constant, son gradent est dentquement nul en tout pont de l espace-temps de Mnkowsk (ou de l espace euclden) : g = sot g να ; = (.6) b. Dvergence et dalemberten partr du gradent, on peut construre pluseurs quanttés utles et ben connues. Tout d abord, le gradent d un champ scalare (.e. un tenseur de rang (,)) n est autre que son (4-)gradent habtuel : φ; α = φ, α (.7) (cette écrture est à prendre dans son sens géométrque : l ndce ne désgne pas une composante mas le vecteur dual «gradent de φ» dans son ntégralté). On obtent la quantté scalare dvergence d un champ vectorel en contractant les deux fentes du tenseur «gradent du vecteur» : C ( ( _; _)) = ; (.8) En notatons classques, la dvergence s écrt donc, dans l espace-temps de Mnkowsk : ; =, = + t où est la 3-dvergence classque du 3-vecteur «parte spatale de». On vot donc que les los de conservatons ben connues de la masse et de la charge électrque peuvent s écrre dans ce formalsme par des équatons du type ( 4-vecteur conservé) = (.9) Nous y revendrons au chaptre 5. S l s agt d un tenseur, l faut précser suvant quelle fente on prend la dvergence. Par exemple pour la dvergence d un tenseur T de rang (3,) suvant sa deuxème fente : ( ) Τ C 5 ( Τ) = T α γ λ; (.3) On vot c un exemple de la clarté de la notaton ndcelle. On obtent le dalemberten (dans l espace-temps de Mnkowsk, laplacen dans l espace euclden), en contractant les deux fentes de dfférentaton du double gradent d un champ tensorel : Τ ( ) Τ=T αβγ λ; (.3) (tous les ndces présents derrère le pont vrgule sont des ndces de dfférencaton). Il faut donc pouvor fare apparaître en poston haute une fente de dfférentaton. On sous-entend donc une applcaton de la métrque nverse, qu fat apparaître un sgne négatf à la dérvée temporelle : αβγ αβγ T T = g σ αβγ Τ = Τ T ( ) λ; ν λ; λ; σ Pour un vecteur, le dalemberten est, en coordonnées cartésennes et en notatons classques :, α α = + t où est le laplacen de la parte spatale du 4-vecteur : une équaton d onde pourra donc être décrte dans ce formalsme par une équaton du type 4-vecteur qu se propage = terme source ( )
CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE. c. Tenseur de Lev-Cvta Deux tenseurs suffsent à caractérser entèrement les proprétés géométrques de l espace-temps. Nous avons déjà parlé du tenseur métrque g, qu content l nformaton «dstance dans l espacetemps» et la noton d orthonormalté. Nous ntrodusons c le tenseur de Lev-Cvta ε, qu content l nformaton «orentaton de l espace-temps». Pour une base orthonormée ( conventonnel du terme et e sont : g ν = s ν ) et drecte (le trèdre e, e, e est drect au sens 3 est drgé vers le futur), les composantes du tenseur de Lev-Cvta ε νρσ =+ s νρσ est réalsé par un nombre par de permutatons à partr de 3 ε νρσ = s νρσ est réalsé par un nombre mpar de permutatons à partr de 3 ε νρσ = s tous les ndces ne sont pas dfférents Par exemple, ε 3 = (une permutaton) et ε 3 = + (deux permutatons). C est donc un tenseur complètement antsymétrque. En relatvté restrente (et dans l espace euclden), les composantes du tenseur de Lev-Cvta sont les mêmes dans tout système de coordonnées nertel. Spécalsons nous au cas de l espace euclden à tros dmensons : on défnt le produt vectorel de deux vecteurs par l nserton de deux vecteurs dans les dernères fentes du tenseur de Lev-Cvta : B ε( _, B, ) sot, en notaton ndcelle : B εjk B j k (.3) Ic et dans la sute, nous ne prendrons plus garde au placement des ndces dans l espace euclden : nous savons en effet que les composantes des vecteurs et des vecteurs duaux correspondants sont dentques. Le rotatonnel du vecteur est : 3 = C 5 C 4[ ε ] (les ndces de la deuxème contracton se réfèrent à la numérotaton ntale des fentes). En notaton ndcelle, on a de manère beaucoup plus smple : =εjk k, j (.33) Une proprété très mportante du tenseur de Lev-Cvta en tros dmensons, dérvable asément à partr de l expresson de ses composantes, est la suvante : j j j εjmεklm = δkδl δlδk δkl (.34) Notez sogneusement le placement des ndces dans cette notaton. Cette relaton permet de retrouver faclement les relatons d analyse vectorelle en tros dmensons. Voyons comment s utlse cette formule sur deux exemples : lm = ε ε = ε ε = δ ( ) ( ), m l m l m ( δδ δδ ) lm jk k, j lm kj k, jm kj k, jm = + = + k j j k k, jm l, mm m, ml ( ) = où nous sommes repassé dans la dernère lgne aux notatons classques à tros dmensons. De même : B C D = ε ε B ε CD ( ) ( ) pl ( lmn m n )( jk j k ) = ε ε ε BCD = δ ε BCD = Bε CD Bε CD p pl nml jk m n j k nm jk m n j k p jk j k p n njk j k ( ( )) ( ( )) = C D B B C D partr du tenseur de Lev-Cvta, nous apprendrons plus lon dans ce chaptre à ntégrer sur un volume d espace-temps. Pour l heure, nous en savons assez pour revenr à la physque relatvste.
II. CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE. GEOMETRIE ET RELTIVITE ) Intervalle et transformaton de Lorentz L ntervalle s entre deux évènements étant nvarant dans tout système de coordonnées nertel, nous cherchons les transformatons qu obéssent à cette contrante. Un exemple partculèrement smple satsfasant cette condton est la translaton (changer l orgne du référentel, conserver la même base) : ' x x = x + a (.35) où { a } est un ensemble de 4 nombres (notez que les prmes sont affectés aux ndces et non à x, cette notaton rappelle que le pont dont les coordonnées sont x est un objet géométrque qu ne change pas lorsque les coordonnées changent). La translaton ne change pas les valeurs des x, elle n est donc pas partculèrement ntéressante. Le seul autre type de transformaton lnéare qu convent est de multpler les composantes du vecteur poston par une matrce : ' ' x =Λ x En mposant l nvarance de l ntervalle : ν ' ν ' ' ν ' ν s = η x x = η x x = η Λ x Λ x ' ' ' '( )( ) ' ν ' ν ( ν η ' ν ')( x x ) ν ν ν ν = Λ Λ Nous cherchons donc les matrces de transformaton pour lesquelles ' ν ' η = η Λ Λ (.36) ν ' ν ' ν Les matrces satsfasant à (.36) sont dtes transformatons de Lorentz. Pluseurs types de transformatons répondent à ce crtère. Tout d abord, on peut vérfer que les 3 rotatons d espace conventonnelles, par exemple la rotaton autour de l axe z, vérfent (.36) : ' cosθ snθ Λ = snθ cosθ où θ est l angle de rotaton autour de l axe x. Pus vennent les 3 rotatons hyperbolques, ou boosts, qu mélangent l axe temporel et l un des axes spataux, par exemple pour l axe x : coshφ snhφ ' snhφ coshφ Λ = où φ est le paramètre de boost. D après les résultats du chaptre précédent, on peut dentfer ce paramètre avec la rapdté et poser v = tanhφ la 3-vtesse (valeur du vecteur vtesse drgé suvant x dans l espace en 3 dmensons) du référentel nertel prmé par rapport au référentel non prmé pour obtenr la matrce de transformaton habtuelle : Le groupe de Poncaré, dont les éléments sont nvarants par transformaton de Lorentz, content auss des transformatons dscrètes : le renversement par rapport au temps et les 3 symétres par rapport à un plan. On sat que la nature ne respecte pas les symétres «mror» (désntégraton du kaon neutre) : on les rejette donc malgré leur nvarance.
CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE.3 γ γv v ( v x ) γ γ Λ e = avec γ = v Par symétre, la transformaton nverse Λ d une transformaton de Lorentz Λ est auss une transformaton de Lorentz. On se contentera donc de l écrre en modfant les ndces : Λ Λ ( ) On a donc la lo de transformaton suvante pour passer des coordonnées prmées au coordonnées non prmées : x =Λ x u nveau des composantes de la matrce, l sufft comme on l a vu pour passer de l une à l autre de changer le sgne de v. Les coordonnées d un événement P sont, dans ce formalsme, consdérées comme les composantes de l objet géométrque nvarant «4-vecteur contravarant poston dans l espace-temps». La lo de transformaton (des composantes) d un 4-vecteur est donc, en relatvté restrente : ' =Λ (.37) Les composantes sont modfées, mas l objet géométrque «4-vecteur» est nvarant : ' e =Λ e = e On en dédut que les vecteurs de la base se transforment sous une transformaton de Lorentz selon la transformaton nverse des composantes du vecteur : e =Λ e (.38) En généralsant, on a pour lo de transformaton des 4-vecteurs duaux et des vecteurs de la base duale : ω =Λ ω (.39) e =Λ e Et la lo de transformaton des tenseurs :,, k k l,, k T ν ν ν,, νl =Λ Λ Λ T k ν Λνl ν,, ν (.4) l cette lo de transformaton provent donc de notre nsstance à vor le tenseur comme un objet géométrque, elle s obtent en postulant que l objet n est pas modfé par une transformaton de Lorentz :,, k ν ν l,, k ν νl T(_,,_;_,,_) = T ν,, νl e e T k e e = ν,, ν e l e e e k k l ttenton toutefos : la lo de transformaton des tenseurs ne correspond pas à un produt matrcel au sens ordnare. En effet, prenons l exemple d un tenseur de rang : ν ν ν T =Λ Λ νt L ndce ν apparaît c dans les deux termes comme un ndce colonne. En pratque, pour utlser les règles de calcul habtuelles, l faut donc opérer à une transposton en calculant en notaton matrcelle : T T = Λ T Λ (.4) où T Λ est la matrce transposée de Λ.
) Vtesse et mpulson CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE.4 Un deuxème exemple de 4-vecteur est le vecteur 4-vtesse U. S x ( ) τ est la lgne d unvers d une partcule P exprmée dans un référentel nertel quelconque et paramétrée par son temps propre, on défnt la 4-vtesse comme : dx U (.4) dτ Lorsqu on change de référentel, les composantes du vecteur poston se transforment suvant une transformaton de Lorentz et la paramétrsaton de la courbe n est pas modfée, la vtesse est donc ben, contrarement à la 3-vtesse, un objet géométrque. On dédut de sa défnton la norme de U : η ν UUν = (.43) pusque, pour un vecteur de type temps : d dx dx ν τ = η ν. Dans le référentel de repos de la partcule, ses composantes sont (,,, ) et, dans un référentel nertel R, les composantes de U s écrvent, par une transformaton de Lorentz trvale : dx dx dt dx U γ ( γγ, ) dτ dt dτ dt (.44) avec v le vecteur 3-vtesse habtuel de la partcule dans le référentel d observaton : v = dx dt. La 4-vtesse permet de retrouver smplement la lo de composton des vtesses. Sot un référentel R se déplaçant à la 3-vtesse v par rapport au référentel R (v étant mesurée dans R colnéare à l axe x ). On obtent les composantes de la 4-vtesse de la partcule dans R par une transformaton de Lorentz de (.44) : U =Λ U = ( γγ ( + vv ), γγ ( v+ v ), γv, γv3) Nous pouvons auss rasonner à partr de (.43), comme nous l avons fat pour le référentel R. S V est la 3-vtesse de la partcule dans R, on a donc auss : U = ( Γ, ΓV ) avec Γ = V V Nous pouvons égaler les deux dernères expressons composante par composante, et chercher les nconnues V, qu correspondent à l addton des vtesses v et v recherchée. L équaton lant les composantes temporelles donne : Γ= γγ ( + vv ) que nous njectons dans les tros équatons spatales pour obtenr la lo de composton des 3-vtesses : v+ v v v3 V = ; V = ; V3 = + vv γ + vv γ + vv avec v la 3-vtesse de la partcule dans R, v = v e la 3-vtesse du référentel R par rapport à R et V la 3-vtesse de la partcule dans R. Un autre exemple de 4-vecteur est la 4-mpulson p : p mu (.45) où m est le scalare «masse de la partcule». Sa norme est donc : p p ν m η ν = Dans l espace des quanttés de mouvement, le 4-vecteur se trouve donc sur l hyperboloïde de masse (fg..4). La composante temporelle p de ce vecteur est l énerge de la partcule. Dans le référentel de repos de la partcule (.e. dans lequel U = ), l énerge de la partcule est : p = mu = m
CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE.5 p p = p + p = m ( ) ( ) m p fg..4 : hyperboloïde de masse En rétablssant les facteurs c manquants, nous avons donc retrouvée la formule d Ensten E S la partcule se déplace à la 3-vtesse v suvant l axe x, on mesure : U =Λ U avec U =,,, d où : U = ( γγ, v,,) ( γ, γ,,) p = m mv ( ) = mc. γ m est donc l énerge de la partcule en mouvement, composée de son énerge au repos m et de son énerge cnétque ( γ ) m. L énerge n est donc pas un scalare mas un concept qu nécesste le chox d un référentel nertel de l observateur. Nous pouvons cependant trouver une relaton géométrque pour l exprmer (dépendant, ben sûr, de la vtesse de l observateur). En effet, s on chost la 4-vtesse U obs de l observateur par rapport à la partcule de 4-mpulson p, on montre faclement que : ν p Uobs = η ν p Uobs = γm= E (.46) la lmte newtonenne où u, au deuxème ordre en v, on retrouve : m u p = γ m= m+ m = E u p = γ mv mv où E est l énerge de la partcule en mécanque newtonenne. Le lecteur attentf aura remarqué que cette défnton de la 4-mpulson n est pas applcable à une partcule de masse nulle comme le photon. Pour une telle partcule, on peut contourner la dffculté en défnssant : dx p = (.47) dς où l on fat tendre m et dτ vers zéro tout en gardant le paramètre dς = dτ m fn. Par conséquent, le temps propre d une partcule de masse nulle est «fgé» : la lgne d unvers d un photon est donc nulle (de type lumère) et sa 4-vtesse, qu tend vers l nfn, n est pas défne. D après la théore quantque, la 4-quantté de mouvement d un photon est dans un référentel nertel quelconque : p= ( p = ω, p= k) k = ω, k nommé 4-vecteur d onde. De plus : l est donc proportonnel à un 4-vecteur ( ) d où l dentté η p p ν k m ν = ω + = = p= ωn (.48)
CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE.6 où n est le 3-vecteur pontant dans la drecton de propagaton du photon. Remarquons que, pour un p = γm γmv = m électron dont la vtesse tend vers la célérté de la lumère, la dfférence ( ) ( ) devent néglgeable devant ( γ m) : une partcule massve ultrarelatvste peut donc être tratée comme un photon de fréquence γ m. Exemple : berraton et effet Doppler relatvste Sot une source lumneuse S émettant dans son référentel de repos R un photon de 4- vecteur d onde k = ( ω, ωn) en drecton d un observateur se déplaçant à la 4-vtesse U obs par rapport à elle. On tre mmédatement de (.46) que l énerge du photon mesurée par l observateur est affectée d un facteur γ : E = p Uobs = ( γω k v) La fréquence du photon dans le référentel d observaton est donc modfée : c est l effet Doppler relatvste : ω = γω( vk ) (.49) u premer ordre en v, on obtent la formule classque, applcable pour la majorté des sources lumneuses. Cependant, lorsque l on veut fare des mesures de fréquences très précses, on place généralement l observateur de manère à ce que la vtesse de la source sot orthogonale à la drecton d observaton des photons. Dans ce cas, le terme domnant dans l expresson (.49) provent du facteur de dlataton des temps dans le référentel moble : l est du deuxème ordre en v. Pour obtenr toutes les caractérstques du vecteur d onde, l sufft d applquer une transformaton de Lorentz à ses composantes. Supposons, sans restrendre la généralté de notre propos, que le photon sot éms dans le plan (x,y) dans le référentel R : k = ( ω, k, k,). La transformaton de Lorentz donne : k = ω = γω( vk ) k = γ ( k vω) (.5) k = k 3 k = La premère équaton n est autre que l expresson (.49). Retrouvons smplement l aberraton stellare : l angle que fat la parte spatale du 4-vecteur d onde avec l axe y dans R est ( k ) θ = arctan k. Dans le référentel d observaton, l observateur mesure un angle : ( ) ( ) arctan ( ) = arctan k k = k v k (.5) θ γ ω entre le 3-vecteur d onde et l axe entre le 3-vecteur d onde et l axe y. On retrouve ans l aberraton relatvste des étoles vue au chaptre, avec des termes supplémentares dus au fat que nous n avons pas consdéré un 3-vecteur d onde se propageant suvant les y décrossants. En effet, en posant k = et k = ω dans (.5), l vent : θ = arctan ( γ v) qu est ben le résultat attendu. Etant donné que toutes les quanttés géométrques consdérées dans ce cours seront des 4-quelque chose, nous omettrons ce préfxe 4 devant le nom des vecteurs dans la sute.
III. COLLISIONS CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE.7 ) Conservaton de l mpulson Deux des prncpes de conservaton les plus fructueux en physque sont la conservaton de la quantté de mouvement et la conservaton de l énerge. Généralsons à quatre dmensons à partr de l mpulson qu content ces nformatons : s représente les partcules entrant dans un 4-volume (dans lequel peuvent se produre des chocs, des annhlatons ), et les partcules qu en sortent après l nteracton, on dot avor : p = p (.5) ' Cette relaton est exprmée entre objets géométrques. ns, s une partcule n nteragt pas avec l unvers extéreur, sa quantté de mouvement dot rester constante, la 4-mpulson étant tangente à la lgne d unvers, celle-c est une drote dans un l espace-temps (plat) de Mnkowsk. Remarquons de plus que ses composantes, après chox d un référentel, se notent : p = p (conservaton de l énerge) ' ' p = p' (conservaton de la quantté de mouvement) ' L énerge n est donc pas une quantté géométrque scalare, son exstence n a de sens qu après avor chos un référentel et «séparé» l espace temps en espace et en temps. La lo de conservaton de l mpulson est donc plus fondamentale que les deux relatons qu en découlent dans un espace à 3 dmensons. Exemples : Réacton nterdtes entre électrons et photons Envsageons l annhlaton d un électron et d un poston donnant un photon : + e + e γ Plaçons nous dans le référentel où l électron est au repos avant l annhlaton et où le poston se déplace à la vtesse U e = ( γm, γmv,, + ). On ne peut pas satsfare à la lo de conservaton de l mpulson : m γ m ω γ mv ω + pusque ( γ + ) m γ mv : le vecteur résultant ne se trouve pas sur le cône de lumère et la réacton est mpossble, ben que les conservatons de la charge électrque et du «nombre leptonque» (nous revendrons plus tard sur les types de partcules) soent assurées. En revanche, la réacton d annhlaton e+ + e γ est possble. En effet, l écrture de la conservaton de l mpulson donne : m γm ω ω γ mv ωcosθ ωcosθ + = + ωsnθ ωsnθ '
x CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE.8 p p p + + p + x p γ p p p + + p + p γ e + e x fg..5.a : réacton mpossble, la somme des quanttés de mouvement n est pas sur le cône de lumère e + e x fg..5.b : réacton possble avec émsson de deux photons (les deux composantes non nulles non représentées de p γ et p γ se compensent) où θ est l angle que fat le photon avec l axe x dans l espace. C est un système de tros équatons à quatre nconnues : on a la lberté de chosr une varable et d en dédure les autres de manère à satsfare à la lo de conservaton. Ces résultats se vsualsent smplement sur des dagrammes d espace-temps auxquels on superpose les mpulsons, colnéares à la vtesse (fg..5). S la vtesse relatve des leptons est fable devant la célérté de la lumère, leur énerge est domnée par leur énerge de masse et les deux photons ont la même énerge dans le référentel de (quas) repos de l électron et du postron. Les deux photons ont alors la même énerge : l énerge de masse des leptons,.e. 5 kev, et des drectons opposées. La régon centrale de notre galaxe émet fortement à la longueur d onde correspondant à cette énerge : hc λ =. m E Les spéculatons vont bon tran pour savor d où provennent les postons, alors que l unvers semble globalement s pauvre en antmatère. La régon est scrutée depus 3 par INTEGRL, le satellte d observaton gamma de l agence spatale européenne. Envsageons mantenant l absorpton d un photon par un électron : e + γ e La somme des quanttés de mouvement ntales et fnales s écrvent, dans le référentel où l électron est au repos avant l absorpton : m ω m+ ω ω ω p e pγ = et p + + e = La norme du vecteur p e est : ( ) m ω ω m m ω m + + = l ne peut donc pas être l mpulson d un électron : l n est pas stué sur l hyperboloïde de masse. La réacton est nterdte. On peut vsualser ce résultat dans l espace tangent des mpulsons (fg..6) (les deux schémas ne sont pas superposés afn de les rendre plus lsbles).
CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE.9 x p p γ p γ + p p hyperboloïde de masse de l électron p γ γ e x p me = p = p + p γ p fg..6.a : dagramme d espacetemps correspondant à la réacton mpossble fg..6.b : même réacton mpossble, vue dans l espace des mpulsons Pour changer la drecton d une partcule, l faut lu applquer une force selon la lo de Newton généralsée : dp dτ = F (.53) où F est le (4-)vecteur force. S on chost un référentel nertel, la parte spatale de cette lo se résume à la deuxème lo de Newton avec des facteurs γ ntervenant dans la quantté de mouvement : dp γ = F avec p= γ mv (.54) dt La parte spatale F de la force est donc, par dentfcaton à la lmte newtonenne : F= γ f où f est la 3-force «newtonenne» utlsée dans les cas non-relatvstes. La parte temporelle de (.54) s écrt quant à elle : de F γ = avec E = γ m (.55) dt qu a la dmenson d une pussance. Pour une partcule fondamentale, la masse dot rester nvarante : d d dp m = p p= p = p F = (.56) dτ dτ dτ La force dot donc être orthogonale à la lgne d unvers de la partcule. Cette contrante permet de connaître la lo régssant la varaton d énerge (.55) connassant la 3-force f. Nous verrons une autre conséquence de ce résultat dans la parte «électromagnétsme» de ce chaptre. Notons, au sujet des nteractons non-fondamentales utlsées en mécanque du solde, que la noton même de solde, au sens d objet matérel étendu et rgde, n a plus d exstence en relatvté. En effet, s on met un solde en translaton, toutes les partes qu ne sont pas en contact drect avec l opérateur subssent une nteracton à dstance nstantanée. Remarquons, de plus, que l nteracton gravtatonnelle n est pas modélsée par une force, nous verrons en abordant la relatvté générale qu elle est avantageusement consdérée comme une varaton de la métrque de l espace-temps. La noton de force ne sera donc utlsable que dans le cas de l nteracton électromagnétque et de la physque des fludes compressbles relatvstes.
CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE. détecteur sgnal source RX θ fg..7. : Effet Compton ) L effet Compton L effet Compton,.e. la dffuson d un photon par un électron, est l expérence hstorque qu mt en évdence la réalté du photon, car son explcaton nécesste d ntrodure l mpulson du photon. L explcaton de l effet photoélectrque ne demandat que de postuler des échanges d énerge quantfés entre le champ électromagnétque et un partcule chargée. Nous nous plaçons dans le référentel du repos de l électron avant la collson, et nous consdérons un photon ncdent se propageant suvant l axe x. Sans restrendre la généralté du rasonnement, nous orentons les axes de manère à ce que le photon sot dffusé dans le plan ( x, y ). Nous nous ntéressons à la drecton de dffuson du photon,.e. l angle θ que fat la parte spatale de son vecteur d onde k avec l axe x après la collson. C est en effet la seule quantté physque mesurable, l électron cédant rapdement son énerge cnétque au mleu sous forme thermque. Ecrvons la conservaton de l mpulson en notant p l mpulson de l électron et en prmant les quanttés après la collson : k + p= k + p (.57) On en dédut mmédatement : k k = p p k k + k k k k = p p+ p p p p ( ) ( ) ( ) ( ) ωω cosθ = γ m (.58) pusque k k = k k =, p p = p p = m, k k = ωω ( cosθ) et p p = γ m. De plus, la conservaton de l énerge (composante spatale de (.57)) requert : ( ω ω ) = ( γ ) m On peut donc réécrre (.58) : = C ( cosθ ) (.59) avec = ω et = ω les longueurs d onde rédutes des photons ncdent et dffusé, et en posant C m la longueur d onde rédute de Compton de l électron. Numérquement, elle vaut : 3 C = mc = 3,9. m (.6) La modfcaton de la fréquence du photon ncdent n est donc faclement décelable que pour des photons de très courte longueur d onde (.e. de très haute énerge). La varaton de l énerge des photons est ans totalement néglgeable pour des photons vsbles dont les longueurs d onde rédutes sont de l ordre de -7 m : 6 vsble ( )