Mathématiques B30 Suites et séries Module de l élève 00
Mathématiques B30 Suites et séries Module de l élève Bureau de la miorité de lague officielle 00
Liste des objectifs du programme d'études de Mathématiques B30 Objectif gééral L élève sera capable de: Démotrer l habileté à appliquer la coaissace des foctios expoetielles et logarithmiques à des situatios de la vie courate. Objectifs spécifiques L élève sera capable de: G.8. Idetifier ue séquece géométrique. G.9. Détermier le e terme d ue séquece géométrique G.10. Calculer le ombre requis de moyees géométriques etre les termes doés G.11. Calculer la somme d ue série géométrique G.1. Défiir et illustrer les termes suivats : séquece géométrique, itérêt composé, valeur actualisée, auité, moyee géométrique G.13. Détermier la milite d ue séquece G.14. Calculer la somme d ue série ifiie G.15. Résoudre des problèmes relatifs aux séries arithmétiques ou géométriques G.16. Résoudre des problèmes se rapportat à l itérêt composé ou à ue valeur actualisée G.17. Résoudre des problèmes se rapportat à des auités ou à des hypothèques Remerciemets Ce module puise la majeure partie de so coteu du documet Algèbre 30, 1988 Miistère de l Éducatio de la Saskatchewa. Égalemet, des exemples et des exercices sot tirés du documet de B. Thiesse (Mathematics B 30. Saskatoo Public School Divisio). Les droits de reproductio écessaires ot été obteus auprès des éditeurs de ces deux documets. P.ii - Math B30 - Suites et séries
1. Itroductio Selo Statistique Caada, eviro 46 % des diplômés du collégial et 50 % des bacheliers emprutet de l'arget das le cadre des programmes gouveremetaux de prêts aux étudiats. À la fi de leurs études, les diplômés doivet rembourser ue dette moyee se situat etre 9 600 $ et 13 300 $ (Statistique Caada, http://www.statca.ca/daily/fracais/98108/q98108.htm#art1). Pourquoi parler du taux d edettemet des étudiats e guise d itroductio? Simplemet parce que les cocepts de cette uité permettet les calculs qui devieet importats pour les cosommateurs et cosommatrices. E effet, ue boe compréhesio des otios de suites et des séries peut ous aider à compredre commet o calcule le motat à rembourser à chaque mois sur des empruts bacaires. U ivestisseur peut aussi mieux apprécier le processus lui permettat de faire fructifier so arget. Mais avat d e arriver à ces applicatios, il est écessaire de défiir quelques termes cocerat les suites et les séries. 1.1 Notio de suite Ue suite (ou séquece) est ue liste de ombres ou de termes séparés par des virgules. Elles peuvet être aussi simples que celle idiquat les dates d u mois (1,, 3,, 31) ou aussi complexes que celle idiquat combie d arget vous obteez lorsque vous placez ue certaie somme e baque à tous les mois. Les élémets d ue suite sot ommés des termes. Chaque terme d ue suite possède ue positio. Par exemple, das la suite 5, 10, 15, 0, 5, 30, 35,, le 5 e terme est 5. O peut aussi représeter le ciquième terme par la otatio t. Das cette suite, le e 5 5 terme est idiqué par t. Ue suite est dite fiie si elle possède u derier terme. Par exemple, la suite, 10, 18, 6 est fiie. Ue suite ifiie a pas de derier terme. Par exemple, la suite ifiie, 10, 18, 6,... 1.. Différece etre ue suite arithmétique et ue suite géométrique Les suites peuvet être de tout gere, mais celles qui ot le plus d applicatios sot les suites arithmétiques et les suites géométriques. Das ue suite arithmétique (ou progressio arithmétique), o retrouve ue différece commue (parfois appelée raiso). Il s agit du ombre qu il faut ajouter à u terme de la suite pour obteir le suivat. Par exemple, la séquece, 5, 8, 11, 14, est ue suite arithmétique. La différece commue est d3. O obtiet P.1 - Math B30 - Suites et séries
facilemet la différece e soustrayat deux termes cosécutifs d ue suite arithmétique. Das ue suite géométrique (progressio géométrique), chaque terme, à l exceptio du premier, est obteu e multipliat le terme précédet par ue valeur costate. Au lieu de parler d ue différece commue comme das le cas d ue suite arithmétique, o parle plutôt d u rapport commu (ou raiso). Par exemple, la suite 64, 3, 16, 8, 4, est ue suite géométrique dot le rapport 1 r.o obtiet facilemet le rapport d ue suite géométrique e calculat le quotiet etre deux termes cosécutifs. 1.3 Commet trouver u terme das ue suite arithmétique? La défiitio d ue suite arithmétique de la sectio précédete ous permet deux costatios qui sot résumées das l ecadré suivat. Costatatios au sujet des suites arithmétiques 1. U terme quelcoque d ue suite arithmétique se trouve e ajoutat la différece commue au terme précédet.. La différece commue d ue suite arithmétique se trouve e faisat la différece etre u terme quelcoque et le terme précédet. La formule suivate, qu o omme aussi terme gééral, permet de trouver u terme quelcoque das ue suite arithmétique : 1 t a d t a d est le terme à trouver est le premier terme de la suite est la positio du terme das la suite est la différece commue ou la raiso P. - Math B30 - Suites et séries
Exemple 1 : Trouve le 0 e terme de la suite 3, 7, 11, 15, Solutio t est le terme à trouver a3 0 d4 t a 1 d t0 3 01 479 Exemple : Trouve le premier terme d ue suite arithmétique pour laquelle et le 14 e terme est -41. d 3 Solutio t a1 d 41 a 14 13 41 a 39 a Le premier terme est doc -. Les termes situés etre deux termes o cosécutifs d ue suite arithmétique sot ommés moyes arithmétiques. Par exemple, les moyes arithmétiques situés etre et 14 das la suite, 5, 8, 11, 14, sot 5, 8 et 11. Lorsqu o cherche u seul terme situé etre deux termes o cosécutifs, o parle alors d ue moyee arithmétique. p r q, Il est assez facile de trouver ue moyee arithmétique :, où pqet r sot des termes cosécutifs das ue suite arithmétique. Par exemple, das la suite, 5, 8, 11, 14,, o pourrait obteir la moyee etre 5 et 11 e 511 8 calculat. P.3 - Math B30 - Suites et séries
Exemple 3 : Trouve les 5 moyes arithmétiques etre 3 et 1. Solutio Commeços par ue représetatio de la suite: 3,,,,,,1 a 3, t7 1 et 7 Trouvos d à l aide des iformatios fouries et de la formule du t a 1 d terme gééral: 1 3 6d 18 6d 3 d Exemple 4 : Trouve la moyee arithmétique etre 9 et 5. Solutio p r q 9 5 q 17 Exemple 5 : Trouve le premier terme d ue suite arithmétique dot le quatrième terme est 3 et le septième terme est 15. Solutio,,,3,,,15 Puisque a alors 3 a3d 4 3 et a7 15 alors 15 a6d Nous avos alors u système d équatios liéaires à variables. La résolutio de ce système ous permettra de trouver le premier terme. 15 a6d 3a3d 1 3d ou 4 d P.4 - Math B30 - Suites et séries
E substituat das la secode équatio, ous trouvos que: a 6 4 15 a 9 Le premier terme de la suite est doc 9. Nos coaissaces des suites arithmétiques ous permettet de résoudre des problèmes de la vie courate comme e témoige l exemple suivat. Exemple 6 : Marc, u étudiat de l Uiversité de Saskatoo, reçoit u salaire de 1500 $ pedat sa première aée de travail pour u emploi à temps partiel. Il recevra ue augmetatio de 700 $ au début de sa deuxième aée et au début de chaque aée subséquete. Quel sera so salaire à la fi de la 8 e aée s il coserve cet emploi après ses études uiversitaires? Solutio Les salaires formet ue suite arithmétique dot les premiers termes sot: 1500,1300,13900,... a 1500 d 700 8 t a 1 d t8 1500 7 700 17400$ Marc recevra doc 17400 $ à la fi de la 8 e aée de travail. P.5 - Math B30 - Suites et séries
Exercice 1. Trouve les 4 premiers termes des suites arithmétiques dot ous coaissos le premier terme et la différece commue. a) a ; d 7 b) a0; d 6 c) a8; d d) a 0,5; d 0,3 e) a m; d m1 f) a 1, 0; d 0, 0. Détermie lesquelles des suites suivates sot arithmétiques. Doe la valeur de d des suites qui le sot. a) 5, 7, 9, 11,... b) 1, 4, 9,... c) 7,, -3,... d), 4, 8, 16,... e) 15, 17, 0,,... f) -10, 5, 0,... g) -5, -1, 3, 7,... h), 1,5, 1, 0,5,... 3. Das chacue des suites arithmétiques suivates trouve d et le prochai terme. a) 4, 7, 10, 13,... b) 15, 11, 7, 3,... c) 1, -1, -3, -5,... d) -5, -, 1, 4,... e) 5 7 4,1,,,... 6 6 3 f) 1 1 5 1,,,,... 4 3 1 g) a, a+b, a+4b h) 3x-, 3x-5, 3x-8,... 4. Trouve le e terme de chaque suite arithmétique dot o doe les valeurs a, d et. a) 1 a 7; d ; 3 b) a 3; d 3; 14 c) 1 a 10; d ; 31 d) a 3; d 3; 8 e) a 0; d 0,5; 101 f) a 3; d ; 11 g) a ; i d 5; i 1 h) 3 5 a ; d ; 13 4 4 P.6 - Math B30 - Suites et séries
5. Trouve le terme spécifié pour chacue des suites arithmétiques suivates. a) 1 t ; 17, 13, 9,... b) t0;10,7, 4,... c) 1 1 t45;3,3,3,... 4 d) 1 t99; 5, 3,,... e) t10;8,3,,... f) t0; 4, 7,10,... g) 3 3 9 t1;,,,... 4 4 h) 5 7 3 t10;,,,... 6 6 i) t8; 3 x y, 3x y, 3x3 y,... t j) 16 5 7 3 ;,,,... 6 6 6. Trouve le ombre de termes das chaque suite. a) -5, -, 1,..., 8 b) -, -4, -6,..., -4 c) x, x+y, x+4y,..., x+18y d) 5a-3b, 4a-b, 3a-b,..., -5a+7b e) -, 5, 1,...,14 f) 7,, -3,..., -8 7. Quel est le rag du terme idiqué das la suite doée? a) 138 das la suite -9, -, 5,... b) -14 das la suite 3, -, -7,... c) 89 das la suite 3, 5, 7,... d) -13 das la suite, 15, 13, 11,... e) x+4 das la suite x+, x+7, x+1,... f) m+18d das la suite m, m+3d, m+6d,... 8. Trouve le ombre idiqué de moyes arithmétiques etre les ombres doés. a) Trois etre 6 et -1 b) Ciq etre 3 et 1 c) Trois etre 1 et -1 d) Six etre -6 et 6 e) Deux etre 18 et 54 f) Trois etre 18 et 54 g) Deux etre x-4y et 5x+5y h) Quatre etre 5a-3b et 15a+b P.7 - Math B30 - Suites et séries
9. Trouve a et d d ue suite arithmétique pour laquelle les termes suivats sot doés. t 9; t 41 a) 10 14 t 6; t 1 b) 9 1 t 3; t 54 c) 8 15 t 37; t d) 7 10 t 0; t 53 e) 5 16 t 315 k; t 33k f) 7 11 10.Ue balle qui tombe e chute libre parcourt 4,9 m la première secode, 14,7 m la deuxième secode, 4,5 m la troisième secode et aisi de suite. Quelle distace parcourt-elle pedat la septième secode? 11.Léo Gééreux dépose 500 $ das u compte d éparge le jour du 5 e aiversaire de so fils Joseph. À chacu des aiversaires suivats, il verse 75 $ de plus que l aée précédete. Combie déposera-t-il le jour du 18 e aiversaire de Joseph? 1.Mariae se trouve u emploi qui lui doe u salaire de 650 $ par mois. Elle recevra ue augmetatio mesuelle de 5 $. Quel sera so salaire mesuel à la fi d ue aée de travail? 13.U charpetier costruit u escalier etre le premier et le deuxième étage d ue maiso. Le deuxième étage est 3,3 m au-dessus du premier étage. Chaque cotremarche de l escalier mesure cm. Combie de marches y aura-t-il etre les étages? 14.Ue pile de briques cotiet 85 briques das la ragée du bas, 79 das la ragée suivate, 73 das la troisième et aisi de suite jusqu à ce qu il y ait qu ue brique das la derière ragée. Combie y a-t-il de briques das la treizième ragée? Combie de ragées y a-t-il? 15.Ue employée de magasi touche u salaire de 15500 $. Elle reçoit auellemet ue augmetatio de 1100 $. Après combie d aées de travail so salaire sera-t-il de 1000 $? 16.Pour défrayer les études ultérieures de sa fille, M. Raymod dépose 1000 $ das u compte d éparge au momet où celle-ci est e sixième aée. Il augmete so dépôt de 15 $ chaque aée jusqu à ce que celle-ci soit e douzième aée. Quel est le motat du derier dépôt? P.8 - Math B30 - Suites et séries
1.4 Commet trouver u terme spécifique das ue suite géométrique? t 1 La formule permet de trouver le terme d ue suite géométrique où t a r ar est le terme à trouver, est le premier terme de la séquece, est le rapport (ou raiso) etre deux termes d ue suite géométrique, est la positio du terme das la suite. Exemple 7 : Trouve le 10 e terme de la suite 1, 3, 9, 7,. Solutio t10? a 1 10 r 3 10 1 t 10 1 3 19683 e Exemple 8 : Trouve le premier terme d ue suite géométrique pour laquelle et le 9 e terme est 34. r 3 Solutio t 1 ar 8 34 a 3 34 6561a 34 4 a 6561 81 Comme ce fut le cas pour les suites arithmétiques, ous pouvos calculer les moyes d ue suite géométrique à l aide d ue relatio: q pr où q, p et r sot des termes cosécutifs das ue suite géométrique. Par exemple, das ue suite où et 150 sot des termes o cosécutifs, o peut calculer trois moyes géométriques e commeçat par celui du cetre : q pr P.9 - Math B30 - Suites et séries
q 150 500 q 500 50 O réalise que seul le terme positif peut répodre aux exigeces de cette suite de sorte que ous avos maiteat :,,50,,150. E répétat la même démarche avec et 50 et esuite avec 50 et 150, o trouve les deux moyes maquats :, 10, 50, 50, 150 si le rapport est positif et, -10, 50, -50, 150 si le rapport est égatif Exemple 9 : Trouve 3 moyes géométriques etre 3 et 48. Solutio La représetatio schématique de cette suite est 3,,,,48 a 3, t5 48, 5 r O trouve e utilisat la formule du terme gééral d ue suite géométrique. t ar 1 4 48 3r 4 16 r 1 4 16 r r Les moyes sot: 6, 1 et 4 lorsque r = et -, -6 et -4 lorsque r = -. P.10 - Math B30 - Suites et séries
Exemple 10: Trouve la moyee géométrique positive etre 3 et 7. Solutio Soit q, la moyee géométrique positive etre 3 et 7. Alors, q 3 7 819 Nos coaissaces des suites géométriques peuvet aussi s appliquer à résoudre des problèmes de la vie courate. Exemple 11: U club composé de 50 membres espère augmeter le ombre de ses membres de 5 % par aée durat les 3 prochaies aées. S il réussit, quel sera le ombre de membres du club das 3 as? Solutio Ces doées représetet ue suite géométrique das laquelle a 50, r 1,5 et 4. t t t t 4 4 4 1 ar 50 1, 5 3 50 1,953 488, 8 Nous pouvos dire que le ombre de membres das 3 as sera d eviro 488 persoes. Exemple 1 : Ue maiso achetée il y a trois as au prix de 100 000 $ se ved aujourd hui 133 100 $. E supposat que la valeur de l immeuble ait augmeté e progressio géométrique, trouve le taux auel moye de l augmetatio de sa valeur. Solutio 100 000,,,133100 a 100 000; t 133100; 4 133100 100 000 r 1 3 4 1,331 1,1 r 3 Le taux moye d augmetatio a été de 10 % par aée. P.11 - Math B30 - Suites et séries
Exercice 1. Trouve les quatre premiers termes d ue suite géométrique ayat les caractéristiques idiquées. d) a 5; r a) b) c) 3 a ; r a1; 1 r a 48; 3 r e) f) a ; 7 r 3 a 54; r 3. Détermie lesquelles des suites suivates sot arithmétiques (A), géométriques (G) ou i l ue i l autre (N). Si ue suite est arithmétique ou géométrique doe la valeur de d ou de r. a) 4, 8, 16, 3,... b) 1,4, 9, 16,... c) -5, -7, -9, -11,... d) 64, -3, 16, -8,... e) 3, 4, 0, 1616,... 8 8 f) 4, 8,,,... 3 9 3 5 g),,,... ay ay ay h) x, 3x, 5x, 7x, i)... 3, 3, 3 3, 9,... 3 9 7 81 j),,,,... 4 8 16 k) 5, 6, 7, 8,... l) 6 4 c, c, c,... 3. Trouve le e terme de chaque suite géométrique dot les valeurs suivates sot fouries. a) a 3 r 4 5 b) a 1 1 r 5 6 c) a 16 3 r 4 5 d) a 18 1 r 8 P.1 - Math B30 - Suites et séries
4. Trouve le terme spécifié pour chacue des suites géométriques suivates. a) t 7 ; 5, 3 4 10, 0,... p p p d) b) t8; 54, 18, 6,... 1 1 c) t7;,,,... 6 3 3 t ;,,,... 10 q q 4q e) t 9 ; 3, 6, 3,... f) t ; 7,18,1,... 6 5. Trouve le ombre de termes das chacue des suites géométriques suivates. a) a 5 r 5 t 315 1 1 c) a 64 r t 1 1 b) a 7 r t 3 7 1 9 d) a 36 r t 18 6. a) Quel est le rag du terme 16 de la suite, -6, 18,...? b) 1 Quel est le rag du terme das la suite 43, -81, 7,...? 9 3. État doé l iformatio qui suit, trouve la raiso (r) des suites géométriques suivates. Doe toutes les réposes possibles. a) a 5 t4 135 b) a 4 t6 97 a c) 3 3 75 d) a 7 t5 11 t 8. a) Trouve deux moyes géométriques etre 1 et 79. b) Trouve trois moyes géométriques etre -3 et -768. c) Trouve ue moyee géométrique égative etre -3 et -48. d) Trouve quatre moyes géométriques etre 3 et 96. e) Trouve ue moyee géométrique positive etre 3 et 75. 6. Trouve a et r d ue suite géométrique lorsque: a) t3 18 t7 1458 b) 3 3 t4 t8 8 18 P.13 - Math B30 - Suites et séries
10. La populatio d ue ville de 300 000 augmete de % par aée. Trouve la populatio de cette ville das 5 as. 11. U père doe 5 $ à so fils à l occasio de so 10 e aiversaire et décide qu il doublera cette somme à chaque aiversaire subséquet. Quelle somme le fils recevra-t-il de so père à so 0 e aiversaire? 1. Combie d acêtres comptes-tu das la 9 e géératio qui te précède, supposat qu il y ait pas de duplicatio? 13. Le premier billet gagat d ue loterie vaut 10 000 $. Chaque billet tiré par la suite vaut la moitié du motat précédet. Quelle est la valeur du 5 e billet tiré? 14. Ue cloche de verre cotiet 1000 cm 3 d air. Au premier coup de pisto, ue pompe retire 0 % de cet air, laissat alors 80 % de l air sous la cloche. Au deuxième coup, la pompe retire ecore 0 % du volume d air qui reste, et aisi de suite. Quel volume d air restera-t-il après le 5 e coup du pisto? 15. U côté d u triagle équilatéral mesure 30 cm. O costruit u deuxième triagle équilatéral iscrit das le premier e joigat le milieu des côtés. O costruit u troisième triagle, et aisi de suite, e répétat ce procédé. Trouve le périmètre du quatrième triagle iscrit (le ciquième triagle). 16. U côté d u carré mesure 10 cm. O costruit u deuxième carré e joigat les poits-milieux des côtés du premier carré. Si o cotiue d iscrire des carrés de la même faço, quel est le périmètre du quatrième carré iscrit (le ciquième carré)? 17. Ue voiture évaluée à 7500 $ se déprécie de 15 % par aée. Trouve la valeur de la voiture à la fi de 4 as. 18. Ue maiso vaut 89 000 $. O s atted à ce que sa valeur s apprécie à u taux de 8 % par aée. Quelle sera la valeur de cette maiso après 5 as? 19. U club de teis comptat 400 membres veut augmeter le ombre de ses membres de 0 % par aée. Combie de membres ce club aura-t-il das 5 as? 0. Pour réduire les polluats de la fumée qui s échappe de ses chemiées, ue usie istalle 6 filtres dot chacu élimie 18 % des polluats de la fumée qui y passe. Quel pourcetage de polluat reste après le sixième filtre? P.14 - Math B30 - Suites et séries
. Séries arithmétiques Ue série est ue expressio obteue à partir d ue suite, mais das laquelle la virgule est remplacée par u sige +. Par exemple, la suite arithmétique 3, 5, 7, 9, 11, deviet ue série lorsque ous avos 3+5+7+9+11+ La plupart du temps, ce qui ous itéresse das ue série, c est sa somme. O utilise le terme S pour représeter la somme des termes d ue série S a t t t arithmétique. Aisi, 3... où a est le premier terme de la série et t, le e terme de celle-ci. Exemple 13 : Calcule la somme des trois premiers termes d ue série arithmétique dot le premier terme est et le troisième 8. Solutio La représetatio de cette série est: 8. E utilisat le cocept de moyee arithmétique, ous trouvos que le terme maquat est 5. Alors, S3 5815. Le calcul de la somme d ue série avec peu de termes est relativemet facile. Toutefois, la tâche deviet beaucoup plus ardue lorsque la série comporte plusieurs termes. C est pourquoi des formules existet pour calculer la somme d ue série arithmétique. Somme des premiers termes d ue série arithmétique 1) Lorsque le premier ( a ) et le derier terme ( t ) d ue série arithmétique sot cous: S a t a ) Lorsque le premier terme ( ) et la différece commue ( d ) d ue série arithmétique sot cous: S a 1 d P.15 - Math B30 - Suites et séries
Nous utilisos le symbole grec sigma pour simplifier la otatio d ue série arithmétique lorsque ous désiros obteir sa somme. Pour spécifier les paramètres de la sommatio, le symbole pred l allure géérale où i est appelé l idice de sommatio, représete le ombre de termes das la série et est le terme gééral de la série. O lit ce symbole comme suit : calcule la t i somme des termes 1 jusqu à d ue série arithmétique dot le terme gééral est. t i Par exemple, pour représeter la somme des 6 premiers termes de la série arithmétique 11+8+5+-1-4, ous pourrios commecer par détermier le terme gééral de la série. Aisi, t a 1 d et t 11 1 3 t t 113 3 14 3 6 La otatio de sommatio deviet alors 6 1 l aide d ue des deux formules précédetes. S S 6 a t 611 4 14 3 1 i1. La somme est calculée à t i P.16 - Math B30 - Suites et séries
51 1 Exemple 14 : Détermie 100 3 Solutio 51 1 Commece par écrire quelques termes de cette série afi de détermier a. 100 3 100 3 1 100 3 100 3 3... 100 3 51 97 94 91... ( 53) Doc, a 97 et r 53. Puisque le rag du premier terme das le symbole de sommatio est 1, ous pouvos dire qu il y aura 51 termes das la série: 51. E utilisat la formule a t 51 97 53 S, ous calculos S51 11. Exemple 15 : Trouve les 3 premiers termes d ue série arithmétique pour laquelle S 3, a 10 et 8. Solutio Trouvos la valeur de la différece commue e utilisat la S formule. a 1 d 8 10 8 1 d 3 3 40 7d 11 8d 4 d Ue fois la différece commue coue, ous trouvos que les 3 premiers termes de cette série sot -10, -6 et -. P.17 - Math B30 - Suites et séries
Exercice 3 1. Trouve S pour chaque série arithmétique à partir des iformatios suivates. a) a 5 d 3 1 b) a 5 t 100 0 c) a 85 t 5 1 d) a 9 d 6 14 e) a 5 1 d 13 f) a 3 t 38 8. a) Calcule et S pour la série 5+11+17+3+... t0 0 t10 S10 b) Calcule et pour la série 10+7+4+1+... 3. Calcule la somme des séries suivates. a) 7+14+1+8+...+98 b) 10+4--8-...-44 c) 15+11+7+3+...-37 1 1 1 5 d)... 6 3 3 4. Calcule S pour les séries suivates. a) d 4 9 t 7 b) a 89 d 4 t 13 c) a 1 d t 5 d) 6 9 14 d t 5. Trouve les trois premiers termes de chaque série arithmétique à partir des iformatios suivates. a) a 8 t 408 S 88 b) 14 t 53 S 378 c) a 3 1 S 300 d) a 6 t 306 S 1716 e) 17 t 67 S 459 P.18 - Math B30 - Suites et séries
6. Développe les séries suivates. Il est pas écessaire de calculer la somme. a) 5 4 b) i 1 c) i1 10 j1 7 j d) 3k 16 k 4 5 e) i i1 7. Écris les séries arithmétiques suivates e utilisat la otatio sigma. a) 4+8+1+16+0+4 b) 0+18+16+14+1+10+8 c) -0-15-10-5+0+5+10+15 d) 57+60+63+...+354 e) 1+3+5+...+1111 f) 6+11+16+...+1111 8. Calcule la somme des séries suivates. 70 a) 1 1 101 b) 3i i1 45 c) 1 7k k 1 60 d) 4j 5 e) j1 36 1 1 5 P.19 - Math B30 - Suites et séries
9. Le magasi Méfietoi veut t embaucher pour faire u certai travail ue heure par jour. Il t offre deux choix de rémuératio: soit 6,75 $ le premier jour, 7,00 $ le deuxième jour, 7,5 $ le troisième et aisi de suite pour 0 jours ou soit u salaire global de 185 $ pour les 0 jours. Quel choix serait le plus avatageux pour toi? 10. Ue pile de bûches cotiet 1 bûches das la ragée du bas. Chaque ragée cotiet ue bûche de mois, jusqu à ce qu il y ait qu ue bûche das la ragée du haut. Combie de bûches y a-t-il das la pile? 11. U théâtre cotiet 1 places das la première ragée. Chaque ragée subséquete cotiet ue place de plus. S il y a 30 ragées de places, quelle est la capacité du théâtre? 1. Les coûts de réparatio d ue automobile augmetet de 90 $ chaque aée. Si les coûts de réparatio s élevaiet à 160 $ la première aée, quelles seraiet les coûts de réparatio de la 7 e aée? Quel motat total aura été déboursé pour les réparatios de cette automobile pedat 7 as? 13. U exame comporte 10 questios. La première vaut 1 poit et chaque questio subséquete vaut poits de plus que la précédete. Quelle est la ote maximale d u élève qui termie cet exame? P.0 - Math B30 - Suites et séries
3. Séries géométriques 3.1 Somme d ue série géométrique La somme des premiers termes d ue série géométrique est obteue à partir des formules de l ecadré ci-dessous. Formules de la somme des premiers termes du série géométrique 1) Le premier terme et la raiso sot cous: S ar 1 r 1 ) Le premier terme, la raiso et le derier terme sot cous: Das les deux cas, r 1. S a rt 1 r Exemple 16 : Trouve la somme des six premiers termes de la série Solutio 4 1 4... 3 S ar 1 r 1 S 6 6 1 1 1 3 1456 1 81 1 3 P.1 - Math B30 - Suites et séries
Exemple 17 : Exprime la série géométrique représetée par sa forme développée et calcule sa somme. 7 1 3 1 das 7 1 11 1 71 Solutio 3 3 3... 3 1 0 1 3 4 5 6 3 3 3 3 3 3 3 6 18 54 16 486 1458 La somme de cette série est 186. 3 Exemple 18 : Trouve la somme des termes de la série 48-4+1-...+. 4 Solutio 1 3 a 48 r t 4 a rt S 1 r 13 48 4 19 S 1 4 1 P. - Math B30 - Suites et séries
Exercice 4 1. Trouve la somme de la série géométrique décrite par les iformatios suivates. a) a 7 r 4 b) a 56 3 r 4 5 c) a 16 1 r 6 d) a 43 r 3 5 e) a 65 3 r t 5 81. Trouve la somme des 7 premiers termes de la série 5-10+0-... 3. Trouve la somme des 6 premiers termes de la série 81+7+9+... 4. 7 Trouve la somme des 6 premiers termes de la série 4-18+ -... 5. Trouve la somme de la série 6-1+4-48+...1536 6. Trouve la somme de la série 4800+400+100+...+75 7. Trouve la somme suivate: 8. Trouve la somme suivate: 6 1 9 1 5 4 11 9. Trouve la somme suivate: 1 7 1 10. Trouve la somme suivate: 6 1 1 9 3 11. Utilise la otatio sigma pour écrire la série 1++4+8+16+3+64+18+56+51 1 P.3 - Math B30 - Suites et séries
675 1. Utilise la otatio sigma pour écrire la série 800+600+450+ + 05 8 13. À l âge de 66 as M. Retraité commece à recevoir u reveu auel (d u pla de retraite qu il a établi). Le pla est tel qu à chacu de ses aiversaires subséquets, il reçoit deux fois plus que l aée précédete. Si, jusqu à so 70 e aiversaire iclusivemet, il a reçu u reveu total de 30 380 $, combie d arget a-t-il reçu la première aée? 14. U sydicat a développé u système pour avertir tous ses membres e cas d urgece. La présidete téléphoe à 3 membres (iveau 1) qui à leur tour téléphoet à 3 autres membres chacu (iveau ), et aisi de suite. Combie de membres aurot été avertis après le 8 e iveau d appels? 15. Ue etreprise fait des profits de 500 000 $ pedat sa première aée d opératio. Elle projette d augmeter ses profits de 10 % par aée. Calcule ses profits pedat la 6 e aée, aisi que les profits totaux pedat ses 6 premières aées d opératio. P.4 - Math B30 - Suites et séries
3. Séries géométriques ifiies Le cocept de limite reviet souvet das l étude des mathématiques et fait partie itégrate d u domaie des mathématiques appelé le Calcul itégral. Nous allos ous iitier à ce cocept e explorat ce qui se produit lorsqu ue série géométrique est ifiie. Examie attetivemet ce qui se produit das les deux suites géométriques suivates, umérotées 1 et pour les besois de la cause: 1), 4, 8, 16,..., ) 1 1 1 1,,,,..., 3 4 1 Das la suite 1), la valeur du terme gééral deviet de plus e plus grad au fur et à mesure que augmete. À la limite, o pourrait peser que la suite deviet ifiimet grade lorsque augmete. La limite de cette suite est doc ifiimet grade. Das la suite ), c est plutôt le cotraire, alors que le terme gééral deviet de plus e plus petit au fur et à mesure que augmete. D ailleurs si o remplaçait par u très grad ombre, o trouverait que la limite de cette suite est très près de 0. Par exemple, lorsque =100000, la valeur du terme gééral est 0,00001. Lorsqu o remplace par 1000 000, cette valeur deviet 0,000001, ce qui ecore plus près de 0. Doc, la limite de la suite ) est 0. 1 Symboliquemet, o peut écrire que lim 0. Cette expressio se lit la 1 limite de lorsque ted vers l ifii est égale à 0. Cette suite est dite covergete puisqu elle possède ue limite. Par cotre, a pas de limite puisqu il y a aucue valeur précise vers laquelle celle-ci ted. O dit alors que la suite est divergete parce qu elle e possède pas de limite. Exemple 19 : Détermie si la suite dot le terme gééral est covergete ou divergete. t 3est Solutio Cette suite est divergete puisqu elle a pas de limite. P.5 - Math B30 - Suites et séries
3 Exemple 0 : Détermie si la suite dot le terme gééral est t est 5 covergete ou divergete. Solutio Ue méthode visat à détermier la limite d ue telle suite cosiste à diviser chaque terme par. Aisi, 3 3 3 5 5 5 3 Au fur et à mesure que deviet de plus e plus grad, et devieet de plus e plus près de 0. Ces deux valeurs devieet alors égligeables de sorte que 3 0 lim. 5 5 0 5 Cette suite est doc covergete. Exemple 1 : Détermie si la suite, 1 1,,... est covergete. 3 Solutio t 1 1 1 1 1 1 Puisque lim 0, ous pouvos réduire à 1 lim 10 3 La suite coverge doc vers 3. P.6 - Math B30 - Suites et séries
Ue série géométrique ifiie est ue série géométrique pour laquelle le 1 1 ombre de termes est ifii. Par exemple, la série 16+8+4++1+ + +... La 4 somme des premiers termes de cette série est doée par la formule S S ar 1 r 1 1 16 1 1 3 1 1 1 1 0 Lorsque, le terme. O peut dire que S 3 0 1 ou 3. Nous iterprétos alors cette somme comme état la limite vers laquelle ous ous approchos lorsque ous augmetos le ombre de termes das la série. Autremet dit, plus est grad, plus la somme des termes de la série s approche de 3. Pour simplifier otre travail, ous allos défiir ue formule permettat d obteir la somme d ue série géométrique ifiie. Somme d ue série géométrique ifiie a S 1 r si r 1 Exemple : Quelle est la somme de la série 80, -60, 45,...? Solutio a 80 80 30 5 S 45 1 r 3 7 7 7 1 4 4 P.7 - Math B30 - Suites et séries
Exemple 3 : Utilise la formule de la somme d ue série géométrique ifiie pour covertir le ombre décimal 5,36 e fractio réduite. Solutio 5,36 5,36363636... 5 0,36 0,0036 0,000036... 5 S 0,36 0,36 36 4 5 5 5 5 1 0,01 0,99 99 11 59 11 P.8 - Math B30 - Suites et séries
Exercice 5 1. Détermie si chaque suite est covergete ou divergete. Si elle coverge, doe sa limite. a) t 3 1 1 1 b) 4, 3,3,...,3 3 c), 4, 6,..., d) 1, 1, 1,... 1 4 8 e) 1,, 4,..., 1 1 1 f) 1,,,..., 4 9 1 g) t 3 h) t 4 1 4 i) t 6 7 44 j) t. Détermie lesquelles des séries ifiies suivates sot covergetes. Trouve la somme de celles qui le sot. a) 1 1... 3 9 1 b) -1+ -... c) 3-9+7-... d) 1+4+ 4 3 3 9 7 e)... 4 8 16 f) 48+16+ +... 3 5 5 g) 10... 8 P.9 - Math B30 - Suites et séries
3. Utilise la formule de la somme d ue série géométrique ifiie pour covertir e fractios irréductibles les ombres décimaux suivats. a) 0,7 b) 0,18 c) 0,93 d) 4,35 e) 3,87 4. Ue balle est échappée d ue hauteur de 10 m et elle rebodit à la moitié de sa hauteur précédete à chaque rebod. Calcule la distace totale parcourue par cette balle à partir de la première fois qu elle touche le placher jusqu à so immobilisatio. 5. Ue balle de caoutchouc est échappée d ue hauteur de 40 m. Elle remote /5 de sa hauteur précédete à chaque rebod. Quelle distace parcourra-t-elle avat de s immobiliser? 6. Le côté d u triagle équilatéral mesure 16 cm. O costruit u triagle équilatéral iscrit das le premier e joigat le poit-milieu des côtés du premier triagle. Si o répète ce même procédé sas fi, quelle sera la somme des périmètres des triagles? Quelle sera la somme des superficies de ces triagles? 7. Le côté d u carré mesure 10 cm. O costruit u carré iscrit e joigat le poitmilieu de chaque côté du premier carré. Si o répète ce même procédé sas fi, quelle sera la somme des périmètres de ces carrés? Quelle sera la somme des superficies de ces carrés? P.30 - Math B30 - Suites et séries
4. L itérêt composé Lorsque Philippe a ouvert so premier compte e baque, o lui a idiqué que l arget qui y serait déposé accumulerait de l itérêt à u taux spécifique. Autremet dit, la baque allait lui doer u certai motat d arget à des périodes fixes. L itérêt est u frais payé à quelqu u pour l utilisatio de so arget. Das le cas de Philippe, la baque lui remet ue somme pour l arget qu il y dépose. Das le cas de Mélaie, qui possède u emprut bacaire pour l achat d ue voiture, elle doit payer des frais pour l arget empruté à la baque sous forme d itérêt. Das cette sectio, ous allos examier l itérêt composé. L itérêt est dit composé lorsque des frais sot payés o seulemet sur la somme d arget ivestie ou déposée, mais égalemet sur l itérêt qui est déjà accumulé. L itérêt composé présete doc u avatage sur l itérêt simple, puisque ce derier est calculé que sur la somme d arget déposée ou ivestie. Avat de préseter des exemples de calculs de l itérêt composé, commeços par préciser les symboles qui serot utilisés das cette sectio. Capital (C): Somme d arget emprutée ou déposée. Taux d itérêt (i): Taux à partir duquel les frais d itérêt sot calculés. Temps (t): Temps pour lequel l arget est remboursé ou déposé. Nombre de périodes (): Nombre de fois que les paiemets ou dépôts s effectuet. Motat (M): Motat d arget accumulé ou qui est dû après ue certaie période de temps. 4.1 Itérêt simple Comme ous l avos metioé, l itérêt simple se calcule uiquemet sur le capital ivesti. Ce type d itérêt est habituellemet utilisé sur des empruts de mois d ue aée. La formule de l itérêt simple est I Cit où I est l itérêt simple, C est le capital, i est le taux d itérêt et t, le temps. Par exemple, si Magalie emprute 1000 $ à u taux auel de 8 % remboursable e trois as, l itérêt sera de I 10000,083 40$ pour la période de trois as. C est doc dire que Magalie aura remboursé, au bout de trois as, les 1000 $ empruté e plus des 40 $ e itérêt, pour ue somme totale de 140 $. P.31 - Math B30 - Suites et séries
4. Itérêt composé Supposos que Magalie aurait empruté l arget avec u itérêt composé. Le tableau suivat motre commet o calcule le motat à rembourser. Capital Itérêt payé après la première aée Itérêt payé après la deuxième aée Itérêt payé après la troisième aée 1000 $ (1000)(0,08)=80 $ (1080)(0,08)=86,40 (1166,40)(0,08)=93,31 $ Le capital utilisé à chaque période de remboursemet tiet compte de l itérêt accumulé lors de la période précédete. Aisi, lorsque viet le temps de payer à la fi de la secode aée, Magalie doit calculer l itérêt de l itérêt accumulé lors de la première. Il e est de même pour la période suivate. La somme totale remboursée par Magalie sera doc de 159,71 $. Elle doit doc payer 19,71 $ de plus lorsque l itérêt est composé que lorsque l itérêt est simple. L itérêt composé est habituellemet utilisé lorsque le remboursemet d u emprut s effectue sur plus d ue aée. Pourquoi parler de l itérêt composé das le cadre du module sur les suites et séries. Simplemet parce que le cocept d itérêt composé permet de calculer des motats qui représetet ue suite géométrique. Par exemple, suppose qu u ivestissemet de 00 $ est fait à u taux d itérêt de 11 % composé auellemet. Quel sera le motat accumulé après ciq as. Le schéma suivat motre la progressio de l ivestissemet pedat les ciq aées. Au début, il y a que les 00 $ ivestis, mais après ue aée, le calcul de l itérêt est (00)(0,11) = $. Le capital pour la prochaie période est doc de $. O réalise qu il est possible de calculer e ue seule étape cette somme e effectuat l opératio (00)(1,11) = $. Comme l idique le schéma, la somme accumulée après ciq as sera de (00)(1,11) 5 = 337,01 $. Chaque motat représete u des termes d ue suite géométrique défiie par t 1 ar. Das ce cas-ci, a 00, r 1,11 et 6 : 6 1 t 5 00 1,11 337,01$. Pour simplifier le travail, ue formule de l itérêt composé a été développée. P.3 - Math B30 - Suites et séries
Formule de l itérêt composé M C 1i où M est le motat accumulé, C est le capital ivesti ou empruté, i est le taux d itérêt par période de capitalisatio et le ombre de périodes de capitalisatio. Exemple 4 : 800 $ sot ivestis das u placemet à u taux d itérêt composé de 6 % calculé trimestriellemet pedat 5 as. Quel sera le motat accumulé à la fi de cette période? Solutio Utilisos la formule de l itérêt composé: M C 1i. C = 800 = (3 périodes par aée)(5 as) = 15 Pour détermier i, il faut diviser le taux d itérêt par le ombre de périodes de capitalisatio par aée. 0,06 Aisi i 0,0. 3 Périodes de capitalisatio L itérêt peut être calculé plus d ue fois par aée. Les termes suivats sot habituellemet utilisés pour préciser le ombre de périodes de capitalisatio. Auellemet: 1 fois par aée Semestriellemet: fois par aée Trimestriellemet: 3 fois par aée Quotidieemet: 365 fois par aée Mesuellemet: 1 fois par aée Il faut réajuster le taux d itérêt e foctio de ces périodes. Par exemple si le taux d itérêt est de 1 % capitalisé mesuellemet, le ouveau taux d itérêt est doc 0,1 i 0,01 1. Il e va de même pour. Par exemple si l itérêt est capitalisé mesuellemet pedat 3 as, = (1)(3)=36. M 80010,0 15 1076,69$ P.33 - Math B30 - Suites et séries
4.3 Valeur actuelle (actualisée) La valeur actuelle d ue somme d arget est le motat qu il faut ivestir aujourd hui à u taux d itérêt doé pour obteir ue certaie somme d arget plus tard. La formule de l itérêt composé permet d obteir cette valeur actuelle puisqu elle représete e quelque sorte la valeur de C. L exemple suivat illustre ce cocept. Exemple 5 : Quelle somme d arget doit être ivestie maiteat à 8 % capitalisé auellemet pour produire 900 $ das 3 as. Solutio L éocé du problème ous idique que 3, i 0,08 et M 900. Nous teteros d obteir la valeur actuelle qui est véritablemet le capital à ivestir : C. E réarrageat les termes de la formule de l itérêt composé, ous obteos que: M 900 C 714,45$ 1 i 1,08 3 Il faut doc ivestir 714,45 $ maiteat afi d obteir 900 $ das 3 as selo les coditios d itérêt metioées. L exemple 5 ous permet de préciser ue formule lorsque le problème demade de calculer la valeur actuelle. Valeur actuelle VA VA M 1 i P.34 - Math B30 - Suites et séries
4.4 Utilisatio de la calculatrice à affichage graphique pour le calcul de l itérêt composé La calculatrice TI-83 permet d obteir rapidemet les calculs fiaciers tels que celui de l itérêt composé. Bie que l utilisatio de la calculatrice soit habituellemet très appréciée des élèves, il e faut pas oublier qu il s agit seulemet d u outil permettat de vérifier des réposes, et o d ue méthode de remplacemet à la boe compréhesio des cocepts décrits précédemmet. Supposos que ous ous itéressios à calculer le motat obteu après qu u dépôt de 800 $ à 6 % d itérêt composé 4 fois par aée pedat 10 as. Les étapes suivates expliquet les opératios avec la calculatrice. Appuie sur 3899 de sorte que toutes les réposes serot arrodies à deux décimales près. Appuie sur y V pour ouvrir le programme TVM Solver. La figure suivate motre l écra. Les valeurs serot fort probablemet différetes sur to écra. Pour N, etre le ombre de périodes de capitalisatio qui est de 40 (4 périodes par aée multipliées par 10 as). I % représete le taux d itérêt e pourcetage. Celui-ci est de 6. PV représete la valeur actuelle. Celle-ci est de 800 $. Nous allos mettre u sige égatif devat cette valeur pour préciser qu il s agit d arget qui a été ivesti. Si l arget avait été reçu, comme das le cas d u emprut, le sige serait positif. Doc, etre la valeur -800. Il y aura pas de paiemets et c est pourquoi ous allos etrer 0 pour PMT. FV est la valeur que ous tetos d obteir. Nous allos passer par dessus pour l istat et ous redre à P/Y. P.35 - Math B30 - Suites et séries
P/Y représete le ombre de paiemets par aée. Celui-ci est de 4. C/Y représete le ombre de périodes de capitalisatio; même valeur que P/Y. Aisi C/Y=4. Laisse END scitillat. Voici à quoi devrait ressembler to écra. Déplace le curseur de maière à ce que ce derier soit sur FV. Appuie sur w? %afi de trouver le motat accumulé. P.36 - Math B30 - Suites et séries
Exercice 6 1. Trouve la valeur acquise d u ivestissemet de 600 $ à 10 % pour 4 as composé: a) auellemet. b) semestriellemet. c) tous les 4 mois. d) mesuellemet.. Trouve la valeur fiale des ivestissemets suivats: a) 500 $ à 6 % par aée composé semestriellemet pedat 7 as. b) 1000 $ à 9 % par aée composé tous les 4 mois pedat 9 as. c) 5000 $ à 6 % par aée composé mesuellemet pedat 3 as. 3. U père ivestit 1000 $ le jour de la aissace de so efat à u taux de 6 % capitalisé semestriellemet. Combie recevra l efat le jour de so 18 e aiversaire? 4. Le produit atioal brut (PNB) d u pays augmete e moyee de 5 % par aée. Sachat que le PNB cette aée est de 30 407 000 $, calcule le PNB projeté das 7 as. 5. E vue de t acheter ue maiso das 5 as, tu ivestis 000 $ das u placemet à dépôt garati à 10 % par aée capitalisé tous les 4 mois. Quel sera to capital de cette source au momet de l achat? 6. Quel motat faut-il pour rembourser u prêt de 5000 $ après 3 as s il a été coseti à 1 % par aée composé tous les 4 mois? 7. Jea a acheté ue obligatio d éparge du Caada de 1000 $. Le taux d itérêt était de 13 % composé auellemet. Quelle a été la durée de l obligatio si la valeur acquise se chiffre à 3004 $? 8. Quel capital ivesti maiteat doera 500 $ das les coditios suivates: a) e 4 as à u taux de 16 % composé auellemet. b) e as à u taux de 14 % composé semestriellemet. c) e 6 as à u taux de 15 % composé tous les 4 mois. d) e as à u taux de 1 % composé mesuellemet. P.37 - Math B30 - Suites et séries
9. Jeae a acheté ue police d assurace qui vaudra 35 000 $ das 18 as. Si le taux d ivestissemet est de 16 % capitalisé semestriellemet, quelle est la valeur actuelle de cette assurace? 10. Justi estime qu il lui faudra 1 000 $ pour faire so cours de géie qui débutera das 4 as. Combie d arget devrait-il ivestir aujourd hui à 13 % composé auellemet pour accumuler ce motat? 11. M. et Mme Breziski plaifiet u voyage d ici 8 as, qui leur coûtera 10 000 $. Quel motat ivesti maiteat à 15 % capitalisé semestriellemet leur permettra d accumuler ce motat? 1. M. Lejeue veut pouvoir débourser 30 000 $ pour l achat d u chalet à sa retraite das 15 as. Combie d arget devrait-il ivestir maiteat à 14 % composé tous les 4 mois pour atteidre ce but? 13. Quel motat faut-il ivestir à 9 % composé auellemet afi de remplacer ue machie de 9000 $ dot o estime la durée de vie à 4 as ecore? P.38 - Math B30 - Suites et séries
5. Les auités Ue auité est u motat d arget payable de faço régulière par des versemets égaux. Ce motat est calculé e teat compte de l itérêt accumulé sur le motat iitial aisi que de l esemble de tous les paiemets effectués. Par exemple, lorsqu ue persoe sige u emprut bacaire e vue de l achat d ue maiso, ses paiemets mesuels sot tels qu elle rembourse le même motat à chaque mois. Il e est de même pour certais types de placemets où l ivestisseur dépose u motat fixe à chaque mois. Preos l exemple d ue auité de six paiemets semi-auels de 400 $ à 7 % par aée composé semestriellemet. Le diagramme ci-dessous illustre ces paiemets. 0,07 L itérêt calculé est de 0,035 puisque 0,035. À la fi des trois aées, le 5 motat accumulé sera M 400 400(1,035) 400(1,035)... 400(1,035) ou M 60,11$. Nous remarquos que l additio précédete représete la a1 r somme d ue série géométrique, S, qui peut être simplifiée à 1 r 6 a 11,035 S 60,11$. 1 0,035 L ecadré ci-dessous motre la formule d auité qui peut être utilisée pour des problèmes semblables. P.39 - Math B30 - Suites et séries
Formule d ue auité ordiaire S R 1i 1 où S est le motat futur de l auité ordiaire, le ombre de périodes de capitalisatio, R le paiemet effectué à chaque période et i l itérêt. i Exemple 6 : U joueur de la LNH estime que sa carrière se poursuivra pedat 1 as. Pour créer u fods de retraite, il dépose 300000 $ à la fi de chaque aée pedat 1 as das u compte rapportat 8 % e itérêt par aée composé auellemet. Combie d arget aura-t-il après ces 1 aées? Solutio S R 1i 1 i 1 300000 10,08 1 S 0,08 5693137,94$ Parfois, c est le motat à ivestir ou la valeur des paiemets qui ous itéresse. Nous cherchos alors la valeur actuelle de l auité. Supposos que ous désirios coaître le motat d arget à ivestir maiteat à 10 % d itérêt capitalisée auellemet pour maiteir ue auité de 4 paiemets auels de 800 $, si le premier paiemet est à faire das u a d ici. Le diagramme qui suit motre le déroulemet des paiemets. P.40 - Math B30 - Suites et séries
La valeur actuelle de chacu des paiemets est idiquée à gauche. Pour trouver la répose à ce problème, il faut détermier la somme de toutes les valeurs actuelles qui formet ue série géométrique. a 800 1,1 1 r 4 1,1 S a 1 r 1 r ou S 800 1 1 1,1 1,1 1 1 1,1 4 536,17$ La formule habituellemet utilisée pour obteir la valeur actuelle d ue auité est présetée das l ecadré suivat. Formule de la valeur actuelle d ue auité VA R 1 1i où VA est la valeur actuelle de l auité, R est le motat de chaque paiemet, i est l itérêt et, le ombre de périodes cosécutives de capitalisatio. i Exemple 7 : Quelle somme d arget déposée aujourd hui à 5,6 % d itérêt composé 4 fois par aée va géérer le même motat que des paiemets de 55 $ effectués à la fi de chaque période de 3 mois pedat 6 as dot l itérêt est de 5,6 % composé 4 fois par aée? Solutio Le problème ous demade de trouver la valeur actuelle d ue auité de 55 $, quatre fois par aée pedat 6 as à u itérêt de 5,6 % capitalisé 4 fois par aée. Das ce cas, 4 0,056 et i 0,014 et 4 P.41 - Math B30 - Suites et séries
VA 55 1 10,014 0,014 4 10639,11$. Il est égalemet possible de trouver cette valeur e utilisat la calculatrice TI-83 et e complétat les écras de maière à avoir ce qui suit et résolvat pour trouver FV: Ue des applicatios des auités les plus utilisées est celle du calcul du motat des paiemets lors d u emprut. Comme l illustre l exemple suivat, il s agit de travailler avec la formule de la valeur actuelle d ue auité. Exemple 8 : J emprute 8000 $ pour m acheter ue voiture à u taux d itérêt de 1 % par aée. Je dois rembourser cet emprut das 4 as par des paiemets mesuels égaux. Trouve le motat de chaque paiemet mesuel. Solutio Das ce problème, VA 8000, (1)(4) 48 et 0,1 i 0,01. Nous cherchos R. 1 R 1 1i VA et i ( VA)( i) 80000,01 R 10,67$ 48 1 1 1 1,01 i P.4 - Math B30 - Suites et séries
Exercice 7 Détermie la valeur acquise pour les auités ordiaires suivates. 1. Des paiemets de 1000 $ sot effectués chaque mois pedat 3 as à u taux d itérêt de 1 % capitalisé mesuellemet.. Des paiemets de 650 $ sot effectués chaque 4 mois pedat 5 as à u taux d itérêt de 8 % capitalisé tous les 4 mois. 3. Des paiemets de 5500 $ sot effectués chaque aée pedat 0 as à u taux d itérêt de 7 % capitalisé auellemet. 4. Des paiemets de 10000 $ sot effectués semestriellemet pedat 9 as à u taux d itérêt de 9 % capitalisé semestriellemet. Quel sera le paiemet à effectuer R qui doera la somme doée selo les coditios idiquées? 5. La somme désirée est de 500 $. Les paiemets sot effectués tous les 4 mois pedat 4 as. Le taux d itérêt est de 6 % par aée capitalisé tous les 4 mois. 6. La somme désirée est de 100 000 $. Les paiemets sot effectués semestriellemet pedat 11 as. Le taux d itérêt est de 7 % par aée capitalisé semestriellemet. 7. La somme désirée est de 54000 $. Les paiemets sot effectués auellemet pedat 5 as. Le taux d itérêt est de 6 % par aée capitalisé auellemet. 8. La somme désirée est de 655 $. Les paiemets sot effectués mesuellemet pedat 3 as. Le taux d itérêt est de 10 % par aée capitalisé mesuellemet. Résous les problèmes suivats. 9. Abid dépose 1000 $ à la fi de chaque aée pedat 10 as das u compte rapportat 8 % e itérêt capitalisé auellemet. a) Combie d arget sera das le compte d Abid après le dépôt fial? b) Quel sera le motat e itérêt accumulé? P.43 - Math B30 - Suites et séries
10. Helea dépose 500 $ semestriellemet pedat 10 as das u compte rapportat 8 % capitalisé semestriellemet. Combie Helea aura-t-elle d arget après 10 as? 11. Fred dépose 50 $ à tous les 4 mois pedat 10 as das u compte rapportat 8 % d itérêt capitalisé à tous les 4 mois. Combie Fred aura-t-il d arget après 10 as? 1. Éric sait que c est importat de placer de l arget afi d avoir u fods de retraite dès u jeue âge. Il dépose 1000 $ chaque jour d aiversaire à partir du jour de ses 16 as jusqu à so 5 e aiversaire iclusivemet. Le compte das lequel il dépose so arget rapporte 10 % e itérêt capitalisé auellemet. a) Combie d arget Éric aura-t-il le ledemai de so 5 e aiversaire? b) Si Éric laisse ce motat (a) das le compte pedat 35 autres aées, sas y faire d autres dépôts, combie d arget aura-t-il lorsqu il aura 60 as (idice: utilise la formule de l itérêt composé). Détermie la valeur actuelle de chacue des auités ordiaires qui suivet. 13. Des paiemets de 500 $ sot effectués auellemet 15 as à u taux d itérêt de 7,5 % capitalisé auellemet. 14. Des paiemets de 4000 $ sot effectués semestriellemet pedat 1 as à u taux d itérêt de 8, % capitalisé semestriellemet. 15. Des paiemets de 575 $ sot effectués chaque mois pedat 6 as à u taux d itérêt de 6 % capitalisé mesuellemet. 16. Des paiemets de 900 $ sot effectués chaque mois pedat 0 as à u taux d itérêt de 7, % capitalisé mesuellemet. Détermie le motat du paiemet écessaire pour rembourser (amortir) chacu des empruts suivats. 17. 16000$: 9 paiemets auels à 6 %. 18. 5000$: 0 paiemets semestriels à 9,4 % capitalisés semestriellemet. 19. 4800$: 6 paiemets à tous les 4 mois à 8 % capitalisés trois fois par aée. 0. 10000$: 360 paiemets mesuels à 7, % capitalisés mesuellemet. P.44 - Math B30 - Suites et séries
Résous chacu des problèmes suivats. 1. Lorsqu o achète ue maiso, il est parfois difficile d obteir u taux d itérêt sur l emprut hypothécaire jugé raisoable. Les taux variet costammet et ils peuvet être bas pedat ue certaie période ou très élevé pedat d autres, selo l écoomie. Parfois les ges preet u emprut hypothécaire qu ils peuvet difficilemet rembourser. Lorsque les taux d itérêt augmetet, ils peuvet se retrouver das ue situatio fiacière précaire. Détermie les paiemets mesuels écessaires pour amortir u emprut hypothécaire de 100000 $ pedat 5 as, si le taux d itérêt capitalisé mesuellemet chage selo les coditios suivates: a) 6 % b) 8 % c) 10 % d) 1 % e) 14 % f) 16 % g) 18 % (les taux d itérêt étaiet à ce iveau au début des aées 1980). Tu veux acheter ue voiture de 5 000 $. Tu peux soit écoomiser les 5 000 $ soit faire u emprut de 5 000 $ remboursable mesuellemet. a) Suppose que tu décides de faire des paiemets mesuels fixes das u compte d éparge dot l itérêt auel est de 6 % capitalisé mesuellemet. Quel sera le motat de tes dépôts afi d accumuler 5 000 $ e 5 as? b) Combie d arget au total auras-tu besoi de mettre das le compte afi d e arriver à 5 000 $ e 5 as? c) Suppose que tu décides d empruter 5 000 $ à u taux de 9 % capitalisé mesuellemet. Quel sera le motat du paiemet mesuel si tu veux rembourser 5 000 $ e 5 as? d) Combie d arget au total auras-tu payé pour rembourser les 5 000 $ emprutés de la questio c)? e) Compare les réposes de d) et de b). Quelle différece y a-t-il etre écoomiser à l avace e vue d u achat et empruter de l arget afi d obteir le produit tout de suite? P.45 - Math B30 - Suites et séries
Réposes Exercice 1 1. a) -, 5, 1, 19,... b) 0, 6, 3, 38,... c) -8, -10, -1, -14,... d) 0,5, 0,, -0,1, -0,4,... e) m, 3m-1, 4m-, 5m-3,... f) 1,0, 1, 0,98, 0,96,.... a) c) -5 f) 15 g) 4 h) -0,5 3. a) 3, 16 1 7 b) -4, -1 f), c) -, -7 1 1 d) 3, 7 e) 1 1, 6 3 g) b, a+6b h) -3, 3x-11 9. a) 14 b) 4 c) 5 d) -4 e) -50 f) 310 g) -53i h) 57 4 9. a) 7 b) -47 c) 14 d) 14 e) -37 f) 94 g) 9 h) 3 6 i) 3x+8y j) 5/6 11. a) 1 b) 1 c) 10 d) 11 e) 19 f) 8 1. a) b) 30 c) 44 d) 15 e) 49 f) 8 3 15 e) 30, 4 13. a), 3, f) 7, 36, 45 g) 3x-y, 4x+y b) 6, 9, 1, 15, 18 h) 7a-b, 9a-b, 11a, 13a+b 1 1 c),0, d) 30 18 6 6 18 30,,,,, 7 7 7 7 7 7 P.46 - Math B30 - Suites et séries