EVALUATION PARTIELLEMENT SEQUENTIELLE DES OPTIONS A BARRIERE

EVALUATION PARTIELLEMENT SEQUENTIELLE DES OPTIONS A BARRIERE Jean-Clae AUGROS Professer à l'isfa Université Clae Bernar Lyon I Bât 0 ISFA 43, B novembre 98 69622 Villerbanne CEDEX Michaël MORENO Allocataire Moniter Université Clae Bernar Lyon I Bât 0 ISFA 43, B novembre 98 69622 Villerbanne CEDEX Version Provisoire Le 29 janvier 999 Résmé : Malgré les avancées es à Ritchken (995) et Chek et Vorst (996), l'évalation es options à barrières à l aie arborescences présente encore es ifficltés et n est envisageable qe por les options à simple o oble barrières. La méthoe proposée, qalifiée e partiellement séqentielle, convient por la majorité es types 'options à barrières et particlièrement por celles où la o les barrières sont proches prix initial e l'actif risqé. Elle présente l'avantage e ne pas nécessiter ajstement nombre e périoes e iscrétisation, e permettre la prise en compte e plsiers barrières et e ne pas moifier le treillis trinomial e base. Abstract : Thanks to Chek an Vorst (996), valing barrier option in a lattice oesn t remain ifficlt when the barrier is near from the initial vale of the risky asset. However their metho can t fit more than 2 barriers. To give a response, we introce a partially seqential approach. Very sefl for the option incling one or more barriers near from the initial asset price option, it has the pecliarity to give nnecessary the ajstment of the nmber of time steps. Mots clés : Approche séqentielle, arbre trinomial, barrière, option. keywors : Barrier, Option, Seqential Approach, Trinomial Lattice.

Evalation es options à barrière selon ne approche partiellement séqentielle Les options à barrière sont es options ont la valer est conitionnée par l évoltion, penant ler rée e vie, prix sos-jacent par rapport à n o plsiers seils. Il en existe iverses sortes comme, par exemple, les options à barrières ésactivantes "ot" (la valer e l'option s'annle si le cors sos-jacent franchit la barrière à la hasse (option e type p) o à la baisse (option e type own)), les options à barrières activantes "in" (le payoff e l'option est nl si le cors sos-jacent ne franchit pas la barrière), les options à barrières otsie (la valer e l'option est conitionnée par ne barrière portant sr n atre actif), les roll options (il s'agit 'option à oble barrières own o p, ont le prix 'exercice est moifié qan la première barrière e type activante est atteinte, et ont la secone barrière est e type ésactivante), les cappe options (options ont le payoff est plafonné par ne o plsiers barrières). A cors e ces ernières années, le volme es échanges sr ce type e contrat a consiérablement agmenté, le nombre e lots échangés passant e 23 $bn en 992 à 204 $bn en 996 (Cf Hans Hs 997). L existence ne barrière a le pls sovent por conséqence e réire le risqe vener e l option. Assi la valer ne option à barrière est elle généralement infériere à celle ne option classiqe, o option vanille, éqivalente. Ainsi, par exemple, il est possible e écomposer ne option vanille en la somme e ex options eropéennes otées e la même barrière, la première étant e type in, la secone e type ot. La première méthoe évalation ne option à barrière a été éveloppée en temps contin par Merton (973). La formle fermée proposée permet l'évalation n call own an ot. Reiner et Rbinstein (99) evaient pls tar compléter la panoplie es formles analytiqes évalation options à barrière permettant évaler tot à la fois les options activantes o ésactivantes, e type p comme e type own. D atres approches en temps contin ont notamment été proposées par Heynen et Kat (994 options à barrière partielle), par Knimoto et Ikea (992) ainsi qe par Geman et Yor (996) por évaler les options à oble barrières. Le recors à es méthoes iscrètes a rapiement été envisagé afin e prenre en compte le caractère éventellement américain es options à barrière ainsi qe le versement non contin n iviene. Boyle et La (994) ont montré q'ne tilisation naï ve moèle binomial e Cox, Ross et Rbinstein (CRR - 979) était inaaptée et ne onnait pas lie à ne convergence rapie prix ne option. Il ressort également es travax e ces erniers aters qe, selon le nivea e la barrière, o en présence ne barrière non constante, il est sovent nécessaire, por obtenir ne évalation correcte, 'accroître consiérablement le nombre e pas e iscrétisation ce qi ren les temps e calcls pe aaptés ax besoins es praticiens. Comme l'a montré Ritchken (994), l arbre trinomial 'évoltion e l'actif risqé, introit par Boyle en 988, présente n avantage par rapport a moèle binomial en onnant n egré e liberté spplémentaire tile por l évalation es options à barrière. Dans ce cas, la possibilité e positionner l'n es niveax e prix e l'arbre e l'actif risqé sr la valer e la barrière garantit le respect e la istribtion mathématiqe prix e l'option, atorisant ne convergence satisfaisante. Totefois, il existe n nombre e périoes e périoes minimm en eçà qel la méthoe n'est pas applicable. Ce phénomène se rencontre lorsqe la barrière est proche prix initial e l'actif risqé. Por résore cette ifficlté, Chek et Vorst (996) ont proposé e écaler le treillis trinomial e l'actif risqé à l aie n terme mltiplicatif afin qe l'n es niveax e prix e l'arbre correspone à la valer e la barrière.

Bien qe permettant l'évalation e nombrex types 'options, cette approche est cepenant pe aaptée lorsqe pls e ex barrières conitionnent le prix e l'option. Cet article a por objectif e proposer ne amélioration e l évalation en temps iscret es options à barrière. Il est oronné e la façon sivante : ne première section permet e préciser les limites es méthoes iscrètes précéentes. Dans ne secone section, ne novelle approche, qalifiée e partiellement séqentielle, est proposée. Cette méthoe repose sr le sectionnement es périoes e iscrétisation en plsiers sos périoes, le nombre e barrières prises en compte n'étant alors pls limité et le nombre e périoes e iscrétisation emerant inépenant nivea es barrières. I. Evalation es options à barrière selon les approches trinomiales Le principe et les limites es trois approches e Boyle, e Ritchken et e Chek et Vorst por l'évalation es options à barrière sont sccessivement analysées. A. Le moèle trinomial e Boyle Le moèle évalation ne option sr n actif risqé e Boyle est proche e celi e CRR. Totefois, le choix n processs iscret trinomial, pltôt qe binomial, onne n egré e liberté spplémentaire. A la ifférence moèle e CRR qi sppose n marché complet, celi e Boyle consière n marché incomplet. Néanmoins, la convergence mathématiqe e l approche trinomiale est assrée. L évalation prix ne option par cette méthoe est généralement pls précise qe celle obtene avec le moèle binomial, por n nombre e périoes e iscrétisation ivisé par ex. Les hypothèses moèle sont les sivantes : H : le marché est sans friction. Il n'y a ni taxe, ni coût e transaction, ni restriction sr les ventes à écovert. Les titres sont parfaitement ivisibles ; H2 : le tax 'intérêt r, exprimé en renement annel contin, est spposé constant ; H3 : Il est spposé q en temps contin, le prix, S, e l actif est représenté par n processs brownien géométriqe éfini, ans l nivers risqe netre, par l éqation e iffsion sivante : S = r t +σ Ẑ, S où σ ésigne la volatilité renement e l actif et où Ẑ est n brownien stanar; H4 : l intervalle e gestion est ivisé en N périoes e longer t ientiqe. Les transactions ont lie niqement a ébt e chaqe périoe ; H5 : Le processs évoltion prix e l actif est assimilé, en temps iscret, à n processs trinomial selon leqel ce prix varie, a cors e chaqe périoe, en fonction e trois irections : hasse, stagnation et baisse. En cas e hasse, le prix e l'actif est mltiplié par n coefficient ; en cas e baisse, le prix est mltiplié par n coefficient ; en cas e stagnation, le prix reste inchangé. Les coefficients mltiplicatifs sont spposés constants ce qi garantit la recombinaison e l'arbre. L approche éveloppée par Boyle pet être représentée, ans l nivers risqe netre, par le schéma sivant : 2

Noe père Nœs fils Probabilités e transition S p S S p 2 S p 3 Le système permettant e calcler les probabilités processs trinomial por n nœ qelconqe e l arbre est le sivant : respect e l'espérance e la istribtion contine lognormale prix e l actif : p S + p 2 S + p 3 S = SM respect e la variance : p (S² ²-S²M²) + p 2 (S²-S²M²) + p 3 (S² ²-S²M²) = S² V Somme es probabilités égale à. 2 2 = et V = M [ exp( σ t) ] où M exp( r t) La résoltion système conit à : ( V + M ² M ) ( M ) ( )( ² ) p = p2 = p p3 p 3 = 3 ( V + M ² M ) ² ( M ) ( )( ² ) L'ensemble es contraintes ne permet pas tojors obtenir n système e probabilités cohérent por ne périoe onnée. Boyle, qi sppose ne volatilité renement e l actif constante, propose e moifier les coefficients mltiplicatifs et e CRR e la façon sivante : = exp ( λσ t ) et =, où la valer e λ est aaptée e telle sorte qe le système e probabilités obten reste cohérent qelle qe soit la périoe consiérée. L éte menée par Boyle montre qe la valer λ=,2 permet généralement 'obtenir es probabilités sensiblement égales, ce qi accroît la vitesse e convergence e la méthoe. L'évalation e l'actif optionnel est réalisée e manière classiqe ans l'nivers risqe netre par actalisation es flx espérés. Une application simple moèle e Boyle por l'évalation es options à barrières pose éviemment les mêmes problèmes e convergence qe le moèle e CRR et exige le pls sovent ne réction importante pas e calcl comme le sggère le graphiqe sivant. 3

Données initiales : S = 00, Prix 'exercice = 00, σ=25 %, Barrière = 90, r = 5 %. 2 Convergence prix 'n Call Down & Ot à l'aie 'n arbre trinomial non ajsté Prix 0 9 8 0 60 0 60 20 260 30 360 40 460 Nombre e périoes Arbre trinomial Merton B. Le moèle trinomial e Ritchken (995) L'évalation es options à barrière par ne méthoe arborescente nécessite, por es raisons e vitesse e convergence, 'aapter la constrction e l'arbre es prix e l'actif en fonction nivea e la barrière. En fait, il sffit e positionner n nivea e prix e l'arbre, exactement sr la valer e la barrière por qe la istribtion mathématiqe prix e l'option soit respectée. En conséqence, l'emploi 'n arbre binomial est inaapté a problème étié pisq'il est nécessaire 'agir sr la rée es périoes e iscrétisation et onc sr le nombre e pas e iscrétisation 2. Le egré e liberté spplémentaire û à l'tilisation 'n arbre trinomial permet 'ajster très facilement l'arbre e sorte à faire coï ncier l'n es niveax e prix treillis avec la barrière. A l'aie paramètre λ, Ritchken réalise cette conition. Les niveax prix e l'actif a sein e l'arbre sont onnés par : S. e 0 kλσ où k est n entier relatif compris 3 N N entre Ent et Ent. 2 2 Afin qe l'n es niveax e prix corresponent a nivea B e la barrière, il fat et il N N sffit q il existe n entier relatif k, non nl et compris entre Ent et Ent tel qe : 2 2 kλσ t B B = S0. e o encore k = ln λσ t S0 Spposons λ préfixé et éterminons la valer e k comme étant égale a pls petit B entier non nl précéent le réel ln. Il n'existe alors q'ne sele et niqe valer λσ t S 0 e λ vérifiant l'éqation précéente. Cette valer est celle retene par Ritchken. La limite moèle e Ritchken apparaît lorsqe le nivea e la barrière est proche prix initial e l'actif. Dans ce cas, en essos n certain nombre e pas, il n'existe pas forcément 'entier k strictement positif en valer absole permettant 'ajster le paramètre λ. t 4

Par exemple, ans les conitions sivantes : S = 00, barrière = 99.5, σ = 20 %, τ = an, n minimm e 593 périoes est nécessaire. Sos les mêmes hypothèses, mais por ne barrière égale à 99.9, la méthoe nécessite a moins 3996 périoes. Selon Ritchken, si l on excepte les cas où la barrière se site à n nivea proche cors initial e l action, l'évalation est stable et la méthoe converge rapiement. Totefois, n atre problème, û à l éloignement éventel e la barrière par rapport a nivea initial e l'action, n a pas été relevé par Ritchken. Celi ci pet être mis en évience à l aie es figres ci essos. Figre Figre 2 Dans le cas e la figre, la barrière est pe prise en compte ans l'évalation e l'option. Il alors est préférable, comme c est le cas ans la figre 2, 'agmenter la valer e λ e telle sorte qe le nombre e nœs concernés par la barrière soit pls important. Ainsi constrit, le nombre e nœs e l'arbre intégrant l'information relative à la barrière est pls élevé. La éformation e l arbre oit être telle q n nombre sffisant e périoes e iscrétisation soient concernées par la barrière. Désignons par α le porcentage nombre e périoes por lesqelles la barrière est atteinte. La sensibilité e la méthoe par rapport à ce paramètre est à présent illstrée par la comparaison es résltats obtens par la formle fermée e Merton et par le moèle e Ritchken por ifférentes valers e α. Le cas étié est celi n call own an ot. La figre 3 représente l écart relatif entre les ex types évalation por plsiers niveax e la barrière et por ifférentes valers paramètres α. 5

Données initiales : S = 00, σ = 25%, r = 5%, Nombre e périoes initial : 00 Effet porcentage alpha sr la convergence moèle e Ritchken Différence relative 0.08% 0.06% 0.04% 0.02% 0.00% 89% 90% 9% 92% 93% 94% 95% 96% 97% 98% 99% 00% Porcentage Alpha Barrière = 75 Barrière = 78 Barrière = 85 Figre 3 Les résltats montrent qe les prix obtens sont atant pls précis qe le coefficient α est proche e 00 %. Cepenant, la recherche ne valer élevée e ce coefficient pet conire éventellement à agmenter le nombre total e périoes. C. Le moèle e Chek et Vorst Por ne périoe onnée, pltôt qe e moifier les points les pls proches e la barrière 4, Chek et Vorst (CV 996) mltiplient totes les valers possibles prix e l'action par n terme mltiplicatif e telle sorte qe l'n es niveax treillis es prix e l'action coï ncie avec la valer e la barrière en cette ate. La figre ci essos illstre le type 'arbre trinomial q'ils obtiennent : barrière Figre 4 En fait, cette méthoe ne permet pas tojors obtenir n système cohérent e probabilités. Chek et Vorst jstifient cette sitation en évoqant le lien établi par Hll et White (93) entre l'arbre trinomial et la grille e résoltion e l'éqation ax érivées partielles. Or la présence e probabilité négative ans n arbre trinomial inclant ne barrière pet inire es aberrations sr les prix. 6

Afin illstrer ce type anomalie, on consière, sos l'hypothèse 'n tax 'intérêt nl 5, l évalation 'n call p an ot et celle e l'option vanille "éqivalente" à l aie n schéma trinomial à ne périoe. Probabilités Call Vanille Call p an ot p = -0.5 00 F 0 F p 2 = 0.75 90 F 90 F p 3 = 0.75 80 F 80 F Résltats : Call = -0.5 00 + 0.75 90 + 0.75 80 = 77.5 Call p ot = -0.5 0 + 0.75 90 + 0.75 80 = 27.5 Cet exemple conit a résltat abérant selon leqel le prix call p an ot est spérier a prix call vanille éqivalent. La présence e probabilités négatives pet également engenrer es prix 'option négatifs. Des anomalies similaires pevent être observées lorsqe les barrières sont spposées activantes. Par aillers, lorsqe la valer e la barrière est très proche prix initial e l'actif risqé ler méthoe ne permet pas e respecter la istribtion mathématiqe prix e l'option. II. Evalation partiellement séqentielle es options à barrière Les principales ifficltés rencontrées lors e l'évalation es options à barrière résltent étachement e ivienes e l'actif sos-jacent et e la proximité éventelle e la barrière cors initial e l'action. L'approche séqentielle pet être tilement tilisée por résore ces ifficltés. Conne epis les travax 'Evnine (983), pis généralisée par Agros et Moreno (998), cette approche consiste à écomposer chaqe périoe e temps en plsiers sos périoes. Elle est envisagée ici ans le contexte es options à barrière. A. Constrction e l'arbre 'évoltion sos-jacent Le principe e la méthoe consiste à écomposer partiellement chaqe périoe, e rée t, en ex sos périoes, e rées respectives δ et δ 2, pis à ajster la rée δ e façon à caler le prix e l actif à la fin e la première sos périoe sr le nivea e la barrière, et ce sans moifier la rée totale t e la périoe. Les hypothèses H à H3 posées précéemment ans l'éte moèle e Boyle sont reprises ici. En otre, trois novelles hypothèses, H4', H5' et H6', sont retenes : H4' : La rée e vie e l option à évaler est ivisée en N périoes e longer t ientiqe. Selon le prix e l'actif risqé et nivea e la barrière, chaqe périoe pet être sbivisée en ex sos périoes, non forcément ientiqes, ont les rées respectives épenent nivea e la barrière. Les transactions ont lie niqement a ébt e chaqe sos périoe ; H5' : La barrière est spposée constante a cors e chaqe périoe ; H6' : L'arbre 'évoltion prix e l'actif est constrit en ex étapes. Dans n premier temps, l'arbre es prix est ientiqe à celi e Boyle. Dans n secon temps, la barrière est intégrée ans l'arbre. Si por ne périoe et n prix e l actif onnés, la barrière ne franchit pas le treillis o bien si le prix e l'actif a nœ père o à l n es nœs terminax est égal à celi e la barrière, le schéma trinomial n est pas moifié. 7

Sinon, la périoe est écomposée en ex sos périoes. La rée e la première sos périoe est éterminée par le lie e rencontre entre la barrière et la branche hate o basse e l'arbre. La rée e la secone sos périoe est égale à la ifférence entre la rée totale e la périoe et la rée e la première sos périoe. Les prix e l'actif à l isse e la première sos périoe épenent e la rée e cette sos périoe. On note (i) le coefficient e hasse et (i) le coefficient e baisse e la première sos périoe e la i ème périoe. A cors e la secone sos périoe, les movements prix e l'actif pevent avoir lie selon trois irections : hasse, baisse et ne troisième irection épenant nœ consiéré et nivea e la barrière. Le principe e constrction e l'arbre a cors e la secone sos périoe pet être schématisé ans les ex cas sivants : er cas : la barrière franchit la branche basse 2 ème cas : la barrière franchit la branche hate Figre 5 Figre 6 Par la site, le schéma séqentiel est introit à l'intérier e l'arbre trinomial comme le montre la figre sivante ans le cas 'ne barrière type own an ot : Figre 7 Il est par conséqent sffisant e restreinre la escription e la méthoe ans n care monopérioiqe. 8

B. Evalation ans n care monopérioiqe Les nef coefficients mltiplicatifs prix e l'actif risqé intervenant a cors e la secone sos périoe sont repérés selon n triplet. Le premier terme e ce triplet ésigne la branche schéma trinomial principal traversée par la barrière. La lettre b fait référence à la branche basse, tanis qe la lettre fait référence à la branche hate. Le secon terme triplet, tojors égal à 2, rappelle qe le coefficient mltiplicatif intervient a cors e la secone sos périoe. Enfin, le ernier terme triplet pet prenre les valers, m o et ésigne respectivement ne évoltion à la hasse, ne évoltion interméiaire o ne évoltion à la baisse prix e l'actif. a) Le cas ne barrière e type own Un calcl simple permet 'obtenir la rée δ e la première sos périoe : B S0 δ = t S0 ( ) Les coefficients e hasse et e baisse a cors e la première sos périoe pevent être éterminés sans avoir recors à es calcls géométriqes. En effet, afin e faire coï ncier l'n es niveax e prix treillis avec la barrière, il sffit e poser : S0 = = B Tot assi facilement, les coefficients e hasse et e baisse a cors e la secone sos périoe sont éits à partir es coefficients et et en fonction es valers finales es prix e l'actif risqé schéma trinomial principal : S0 S B 0 2 b, 2, = = m 2 S0 b,, = = b, 2, = = S0 S 0 S0 S B 0 b, 2, m = = m 2 = = S b,, m b, 2, m = = S S 0 b, 2, = S0 0 S B = m = B 0 0 b, 2, = b, 2, = = S0 b) Le cas ne barrière e type p En raison e la symétrie problème, l'ensemble es paramètres est aisément éctible cas précéent. Ainsi, la rée δ e la première sos périoe est égale à : B S0 δ = t S0 ( ) Remarqons qe les coefficients e hasse et e baisse a cors e la première sos périoe sont ientiqes à cex premier cas : S0 = = B S 0 9

En revanche, les coefficients mltiplicatifs a cors e la secone sos périoe oivent être recalclés : h, 2, = b, 2, m h, 2, = h, 2, = mb, 2, h, 2,m = b, 2, m h, 2,m = h, 2, m = 2 h, 2, = m h, 2, = b, 2, h, 2, = b, 2, c) Système général e probabilités A présent, il reste à résore le système général e probabilités régissant l'évoltion e l'actif risqé ans l'nivers risqe netre. Les coefficients e hasse, e baisse et e tenance moyenne sont respectivement notés h, b et m. θ ésigne la rée e la sos périoe. Le système e probabilités s'écrit : p S h + p2 S m + p3 S b = SM p (S² h² - S²M²) + p2 (S²m² - S²M²) + p p + p2 + p3 = 2 2 M = et = M [ expσ ( θ ) ] où exp( rθ ) V. La résoltion système conit à : p M m p3 = h m ( b m) p2 = p p3 C. Extensions imméiates 3 (S² b² - S²M²) = S² V p 3 V + M ² = m² ( M m)( h + m) ( b m)( b h) Dans certains cas, plsiers egrés e liberté spplémentaires pevent s avérer inispensables. Cex ci pevent être facilement obtens lors e la constrction schéma séqentiel. Ainsi, pltôt qe la rée e la première sos périoe soit éterminée par le point e rencontre entre la trajectoire linéaire prix e l'actif et la barrière, il est possible e choisir les coefficients mltiplicatifs a cors e la première sos périoe en fonction e la rée sohaitée. Le schéma ci-essos illstre cette possibilité. Figre 8 Dans le cas présent où la barrière est e type own, le schéma ci esss montre qe les coefficients interméiaires e hasse et e tenance moyenne pevent être calibrés atrement qe ans le cas stanar éveloppé précéemment. Le coefficient e baisse est, qant à li, éterminé par la rée sohaitée e la première sos périoe. Trois egrés e liberté sont onc aisément obtens, ce qi onne la possibilité e contrôler a moins trois es oze 0

probabilités schéma 6. Afin 'obtenir n qatrième egré e liberté, la valer paramètre λ porrait assi être moifiée. On note m le coefficient mltiplicatif e tenance moyenne prix e l'actif risqé a cors e la première sos périoe. Les coefficients e hasse et e baisse a cors e la secone sos périoe sont obtens irectement : b, 2, = / m b, 2, = / b, 2, = / b, 2, m = / m m b, 2, m = / m b, 2, m = / m b, 2, = / m b, 2, = b, 2, = / Enfin, à l'aie principe e l'interpolation, le principe e la méthoe séqentielle pet être éten qel qe soit l'arbre trinomial principal. barrière S nœ interpolé Cet exemple illstre l'inépenance e la méthoe séqentielle avec l'arbre trinomial sos-jacent. Ce egré e liberté pet s'avérer tile ès lors qe l'on sohaite intégrer la srface e volatilité (Cf Derman, Kani et Chriss 996). Les tests nmériqes ont montré qe por évaler es options à barrière e type own an ot les valers es paramètres sivants : 2 3 3 B = m = = S0 assrent ne convergence très satisfaisante 7. D. Le cas es options à mltiple barrières Options à oble barrière ésactivante Il est spposé, ans n premier temps, qe les ex barrières ne prennent pas place ans le même schéma trinomial. Dans ce cas, por évaler les options à oble barrière, il sffit 'introire ex schémas séqentiels à l'intérier e l'arbre a cors e la même périoe. Exemple :

Figre 2 Les ex schémas ne sont généralement pas symétriqes. Les sbivisions temps ne sont pas les mêmes. C'est la raison por laqelle il n'est pas possible 'introire simltanément les ex barrières à l'intérier même schéma, excepté lorsqe les barrières sont totes les ex ésactivantes. En effet, ans ce cas, en ajotant ne troisième sos périoe, l'évalation evient possible comme le sggère la figre sivante : Figre 3 Comme précéemment, plsiers egrés e liberté pevent être tilement tilisés por l'évalation. Généralisation en présence e plsiers barrières Nos envisageons ici le cas es options ont la valer est conitionnée par pls e ex barrières. On pet spposer, par exemple, q'ne option ne s'active q'après certaines variations sos-jacent mais qi se ésactive si ces variations sont trop importantes. La figre ci-essos schématise ce type 'option : 2

Barrière Up an Ot Barrière Up an In S Barrière Down an In Barrière Down an Ot Ce type 'option est très facilement évalé avec la méthoe partiellement séqentielle pisq'il sffit 'intégrer le nombre nécessaire e schémas partiellement séqentiels a cors e chaqe périoe (,2,3 o 4 schémas selon le nombre e barrières traversées par le treillis es prix e l'actif). E. Le cas es options américaines à barrière activante En 995, Reimer et Sanmann énoncent n algorithme permettant e résore le problème élicat e l'évalation es options américaines à barrière activante. Cet algorithme écrit por n arbre binomial est facilement éten a cas es arbres trinomiax e Ritchken et e CV ainsi q à celi es arbres partiellement séqentiel. Cette ernière approche oit cepenant être légèrement aaptée. Por ne barrière e type ésactivante, la valer es nœs tochant la barrière est nlle. Les valers finales por ce type e nœ ne nécessitent acn calcl. A contraire, por ne barrière activante, il est nécessaire e connaître ces valers. Il sffit alors e prolonger le nivea e la barrière jsq'à l'échéance et e calcler par inction arrière l'ensemble es prix 'option corresponant à ce nivea e prix e l'actif. Ainsi, mis à part le cas simple où la barrière est spposée constante, il pet être introit ans le treillis e l'arbre n ensemble e nivea e prix qi prolonge ne barrière partielle sans en avoir l'effet. Une atre méthoe consisterait à calcler cette valer finale à partir es trois noes fils nœ père le pls proche. Barrières partielles activantes Figre 4 F. Simlations La figre ci-essos présente les écarts relatifs obtens entre la formle fermée e Merton et la méthoe séqentielle por n call own an ot et por 00, 200, 500 et 000 périoes e iscrétisation 3

Données initiales : S=K=00, Barrière = 70 à 99,99 (calcl tos les 0,0), τ = an, r = 5% et σ = 20 % Ecart relatif entre la formle fermée e Merton et l'évalation partiellement séqentielle Ecart relatif % 0.03% 0.02% 0.0% 0.00% -0.0% -0.02% -0.03% -0.04% 70 75 80 85 90 95 Barrière 00 périoes 200 périoes 500 périoes 000 périoes Figre 9 Por n nombre onné e périoes, les corbes amettent es maximms (o minimms) locax por es valers e la barrière très proches n nivea e l arbre es prix e l actif risqé. Ce phénomène est û à la présence e probabilités négatives (cf. spra). L évalation reste cepenant très efficace (écart relatif maximm por 00 périoes inférier à 0.04 %), et ce même por ne barrière très proche (99.99) prix initial e l'actif (00). Sans le recors ax egrés e liberté spplémentaires, ce phénomène est largement amplifié et l évalation n est pas tojors possible. Par aillers, il est évient qe la sensibilité moèle par rapport a paramètre λ est spériere à celle observée por le moèle e Boyle. Données initiales : S=K=00, Barrière = 95, τ = an, r = 5% et σ = 20 % Ecart relatif en fonction nombre e périoes Ecart relatif Nombre e Périoes 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 0.00% -0.02% -0.04% -0.06% -0.08% -0.0% -0.2% -0.4% Figre 0 Nmériqement, même por n nombre e périoes très faible (0 par exemple), la méthoe conit à es résltats satisfaisants (inférier à 0,3 % ans l'exemple). A l'instar moèle e Ritchken, l évalation prix e l option est atant pls précise qe le nombre e périoes concernées par le franchissement e la barrière est élevé. Le tablea sivant compare l ensemble es résltats obtens et pbliés par CV (mis entre parenthèses) à cex obtens avec notre approche. La valer paramètre λ est la même qe celle choisie par CV. 4

Données initiales : S = 00, K = 00, τ = 0.5 an, r = 0 %, σ = 20 %, λ = Barrières Nombre e Périoes 95.0 99.5 99.9 0 5.7292 (5.7498) 0.7943 (.0934) 0.48 (0.5080) 50 5.792 (5.796) 0.8005 (0.8268) 0.647 (0.205) 00 5.776 (5.79) 0.8008 (0.8090) 0.647 (0.780) 500 5.766 (5.768) 0.800 (0.804) 0.648 (0.659) 000 5.764 (5.768) 0.80 (0.80) 0.648 (0.652) 5000 5.763 (5.764) 0.80 (0.80) 0.648 (0.648) 0000 5.763 (5.763) 0.80 (0.80) 0.648 (0.648) Formle Fermée 5.763 0.80 0.648 L approche partiellement séqentielle apparaît pls stable. En otre, la vitesse e convergence est spériere à celle observée avec le moèle e CV. La ifférence s'accroît avec le rapprochement nivea e la barrière à celi prix initial e l'actif risqé. Le tablea sivant présente les résltats obtens ans le cas 'n pt p an ot. Barrières Nombre e Périoes 05 00.5 00. 0 2.0525 0.262 0.0532 50 2.0538 0.266 0.0533 00 2.0538 0.267 0.0533 000 2.0539 0.267 0.0533 5000 2.0539 0.267 0.0533 Formle Fermée 2.0539 0.267 0.0533 La stabilité et la vitesse e convergence e la méthoe por les pts e type p an ot sont similaires à celles observées por les calls own an ot. Généralement, n très petit nombre e périoes (environ 0) est nécessaire por obtenir ne estimation infériere à %. Par constrction, l'évalation par les moèles arborescents est pls sensible por les options type call p an ot et pt own an ot (Cf Annexe). Le graphiqe sivant compare, por es pts own an ot et por ifférentes valers e la barrière, les écarts relatifs entre les résltats fornis par la formle fermée et cex onnés par le moèle e Ritchken et par l approche partiellement séqentielle. 2 2π 5

Données Initiales : S = 00, K = 00, r = 0%, σ = 20 %, τ = an, Nombre e périoes : 200 Comparaison e la convergence es moèles e Ritchken et Partiellement Séqentiel 30% Ecarts Relatifs 20% 0% 0% -0% 89 90 9 92 93 94 95 96 97 98 Barrière Down Ritchken Arbre Séqentiel Figre Dans ce cas, on vérifie encore qe l'approche partiellement séqentielle engenre en général ne meillere approximation qe celle obtene par la méthoe e Ritchken (environ 95% es prix calclés por ce test). L'illstration e la méthoe est à présent porsivie à l aie es résltats pbliés par CV (mis entre parenthèses) ans le cas 'n call oble knock ot. Données initiales : S = 00, K = 00, τ = 0.5 an, r = 0 %, σ = 20%, Barrière Down : 95 Barrière UP Nombre 0 25 50 e Périoes 0 0.066 (0.0096).8269 (.885) 5.4772 (5.3795) 50 0.0279 (0.0269) 2.0007 (.9926) 5.3428 (5.327) 00 0.0309 (0.0297) 2.0290 (2.034) 5.390 (5.379) 500 0.039 (0.036) 2.034 (2.0296) 5.346 (5.332) 000 0.0320 (0.039) 2.032 (2.034) 5.330 (5.32) 5000 0.032 (0.032) 2.0334 (2.0330) 5.38 (5.37) 0000 0.032 (0.032) 2.0332 (2.033) 5.37 (5.36) Les résltats sont pls ifficilement comparables pisqe cette fois la valer paramètre λ moèle e CV épen e la valer es paramètres e l'option. Ce n'est pas le cas por l'approche partiellement séqentielle por laqelle la valer paramètre λ a été maintene à 2π. Totefois, il est visible qe les résltats sont proches et qe por es 2 valers es barrières proches prix initial e l'actif risqé, l'approche séqentielle converge pls rapiement. 6

CONCLUSION Le écopage temps en périoes pis en plsiers sos périoes, mis en œvre ans la méthoe partiellement séqentielle, permet e respecter la istribtion mathématiqe prix e l option. En conséqence, l n es principax avantages e cette méthoe est û a fait q'ne barrière pet coper le treillis es prix à n importe qel nivea et à n'importe instant, notamment a cors e la première périoe ce qe ne permet pas les approches e Ritchken et e CV. De pls, la méthoe partiellement séqentielle présente l atot e permettre l'évalation prix es options à ne o plsiers barrières sans nécessiter n qelconqe ajstement schéma trinomial sos-jacent ce qi pet s'avérer tile lors e l'éventelle prise en compte e la srface e volatilité renement prix e l'actif risqé. ANNEXE Dans le care es call p & ot (resp. pt own & ot), le nombre e valers non nlles e l'option à l'échéance est fonction prix 'exercice et e la barrière. Généralement, les options traitées sont à la monnaie et por n nivea e barrière relativement pe éloigné prix initial e l'actif risqé. En conséqence, l'évalation prix e l'option par inction arrière ne épenra qe 'n nombre très limité e valers finales non nlles. Les arbres 'évoltion sivants illstrent ce phénomène et évoilent la case e la ifférence e convergence es approches par arborescence por l'évalation 'n call own & ot et por celle 'n call p & ot. Données Initiales : S = K = 00; volatilité : 20%; matrité : an; r : 5%; N : 7 périoes; λ = Barrière Hate : 20; Barrière Basse : 80. Arbre 'évoltion prix e l'actif risqé 94.0 76.55 76.55 60.59 60.59 60.59 46.08 46.08 46.08 46.08 32.87 32.87 32.87 32.87 32.87 20.86 20.86 20.86 20.86 20.86 20.86 09.94 09.94 09.94 09.94 09.94 09.94 09.94 00.00 00.00 00.00 00.00 00.00 00.00 00.00 00.00 90.96 90.96 90.96 90.96 90.96 90.96 90.96 82.74 82.74 82.74 82.74 82.74 82.74 75.26 75.26 75.26 75.26 75.26 68.46 68.46 68.46 68.46 62.27 62.27 62.27 56.64 56.64 5.52 2 2π. 7

Arbre 'évoltion prix call p & ot 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.69 0.86..50 2.25 3.50 9.94 0.93.09.30.57.96 2.40 3.4 0.00.04.4.23.23.7 0.00 0.00 0.66 0.56 0.40 0.00 0.00 0.00 0.4 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Arbre 'évoltion prix call own & ot 94.0 77.26 76.55 62.0 6.3 60.59 48.20 47.50 46.79 46.08 35.76 34.99 34.29 33.58 32.87 25.09 24.5 23.22 22.28 2.57 20.86 6.6 5.59 4.52 3.36 2.6 0.65 9.94 0.4 9.47 8.47 7.39 6.22 4.85 3.4 0.00 4.65 3.84 2.98 2.07.7 0.00 0.00.32 0.85 0.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Ces arbres e prix mettent bien en évience le nombre important e valers nlles présent ans l'arbre e prix call p & ot ce qi affecte la vitesse e convergence e la méthoe. L'évalation est facilement étene ans le cas 'ne strctre e volatilité éterministe. 2 Dans ler article, Boyle et Hoon analysent les problèmes e convergence e l'approche binomiale. Ils montrent qe sel n ajstement nombre e périoes permet 'obtenir es résltats convenables, à moins e choisir n nombre e périoes extrêmement élevé. 3 i Ent ésigne la partie entière i. 4 Ritchken propose en complément e sa méthoe e ne moifier, sos certaines conitions, qe le nœ hat por ne barrière p o qe le nœ bas por ne barrière own afin e faire coïncier le prix sos-jacent avec la valer e la barrière. Cette méthoe permet 'évaler les options à barrières non constantes. 5 Un tax 'intérêt positif arait p être consiéré sans acne ifficlté. 6 Si l'on compte en tot 2 probabilités por le schéma séqentiel, ans le cas es barrières ésactivantes trois 'entre elles, corresponant à la séqence trinomiale nœ tochant la barrière en fin e première sos périoe, sont intiles. 8

7 Les rées es sos périoes n'ont pas fait l'objet 'ajstement spécifiqe. Un raisonnement symétriqe a été appliqé por les options e type p an ot. REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES AUGROS J. C. et MORENO M., "Evalation séqentielle 'n actif contingent à plsiers actifs risqés", Séminaire AFFI, 4 écembre 998. BOYLE P.P., "A Lattice Framework for Option Pricing with two State Variables", Jornal of Financial an Qantitative Analysis, Vol 23, n, March 988, p - 2. BOYLE P. et HOON LAU S., "Bmping Up Against the Barrier with the Binomial Metho", The Jornal of Derivatives, smmer 994. CHEUK T. et VORST T., "Complex Barrier Options", The Jornal of Derivatives, fall 996. CHEUK T. et VORST T., "Shot Floors", Docment téléchargé sr Internet : http://www.netexposre.co.k/reg/isses/2/chek_vorst/inex.html. 2 novembre 997. COX J., ROSS S. et RUBINSTEIN M., "Option Pricing : A Simplifie Approach", Jornal of Financial Economics, Vol 7, 979, p 229-264. DANA R.-A. et JEANBLANC-PICQUE M., "Marchés Financiers en Temps Contin Valorisation et Eqilibre", Economica, 998, 2 ème éition. DERMAN E., KANI I. et CHRISS N., "Implie Trinomial Trees of the Volatility Smile", The Jornal of Derivatives, smmer 996, Vol 3, n 4. EVNINE J.J., "Three Essays in the Use of Option Pricing Theory", Thèse, Université e Californie, Berkeley, 983. FORSYTH P, VETZAL K et ZVAN R, "PDE Methos for Pricing Barrier Options", Docment téléchargé sr Internet, Université e Waterloo, Centre for Avances Sties in Finance, Jillet 997. GEMAN H. et YOR M., "Pricing an Heging Doble-Barrier Options : A Probabilistic Approach", Mathematical Finance, 996, Vol 6, p 365-378. HEYNEN P. et KAT H., "Crossing Barrier", Risk, 994, Jin, p 46-5. HEYNEN P. et KAT H., "Partial Barrier Options", Jornal of Financial Engineering, 994, Vol 3, p 253-274. HSU H., "Srprise Parties", Risk, october 997, Vol 0, p27-29. HULL J., "Options, Ftres an Other Derivatives", Prentice Hall International Eition, 3 r Eition. KUNIMOTO N. et IKEDA M., "Pricing Options with Crve Bonaries", Mathematical Finance, 992, Vol 2, p275-298. MERTON R., "Theory of Rational Option Pricing", Bell Jornal of Economics an Management Science, Vol 4, p 4-83. PARZEN E, "Moern Probability Theory an Its Applications", Wiley Pblications In Statistics, 9 ème éition, mars 967. REIMER M. et SANDMANN K., "A iscrete Time Approach for Eropean an American Barrier Options", Docment téléchargé sr Internet, Université e Bonn, épartement e statistiqe, Mars 995. RICH D., "The Mathematical Fonations of Barrier Option-Pricing Theory", Avances in Ftres an Options Research, 994, Vol 7, p 267-3. RITCHKEN P., "On Pricing Barrier Options", The Jornal of Derivatives, Winter 995, p 9-28. REINER E. et RUBINSTEIN M., "Breaking Down the Barriers", Risk, September 99, p 28-35. TIAN Y., "A Moifie Lattice Approach to Option Pricing", Jornal of Ftres Markets, vol 3, n 5, août 993, p 563-577. 9