SUITES NUMERIQUES Le pricipe de récrrece Soit e propositio P dépedat d etier atrel. Por démotrer qe P est raie por tot etier 0, il sffit de motrer qe : La propositio est raie a rag 0 ; por etier qelcoqe ( 0 ) P raie etraîe P + raie. Défiitio : Ue site ( ) admet por ite réel l si et selemet si tot iteralle oert coteat l cotiet tos les termes de la site à partir d certai rag. O ote alors = l. Lorsq e site ( ) admet e ite fiie, o dit q elle est coergete (o q elle coerge). Das le cas cotraire, o dit q elle est diergete. Propriété Limites de sites coergetes selles 0, 0, 0, 0. Pls gééralemet 3 0 où * Propriété Uicité de la ite d e site coergete Si e site coerge alors sa ite est iqe. Propriété Opératio sr les ites de sites coergetes Soiet ( ) et ( ) de sites coergetes de ites respecties l et l. O admet les résltats siats : la site de terme gééral + est coergete et a por ite l + l' ; la site de terme gééral est coergete et a por ite l l' ; la site de terme gééral où est réel est coergete et a por ite l ; si e s ale pas à partir d certai rag et si l' 0 alors la site de terme gééral Propriété Comptabilité aec l ordre Soiet ( ), et ( ).sot de sites coergetes de ites respecties l et l. Si, à partir d certai rag, o a < (o bie ) alors l l. est coergete et a por ite '. Coséqece : Si ( ) est e site croissate et coergete ers l alors, por tot, l Théorème des gedarmes O cosidère trois sites ( ), et (w ). Si ( ) et (w ) sot coergetes ers même réel l et si, à partir d certai rag, w alors ( ) est elle assi coergete ers l. Sites diergetes de ite ifiie Défiitio O dit q e site ( ) admet por ite + si tot iteralle de la forme ] A ; + [ où A est réel, cotiet tos les termes de la site à partir d certai rag. O ote alors = +. De faço aaloge, o dit q e site ( ) admet por ite si tot iteralle de la forme ] ; A [, où A est réel, cotiet tos les termes de la site à partir d certai rag. O ote alors =. Das cas comme das l atre, o dit qe la site est diergete. Propriété Limites de sites diergetes selles,,, 3. Pls gééralemet où * Limite d e somme = l et si = l alors ( + ) = l + l Das le cas où l e a mois des sites a e ite ifiie, les résltats sot doés par le tablea siat : = La ite de la somme + = + + + Forme idétermiée Forme idétermiée l +
Limite d prodit = l et si = l alors ( ) = l l Das le cas où l e a mois des sites a e ite ifiie, les résltats sot doés par le tablea siat : = La ite d prodit = + + + + l ( l > 0) + l ( l < 0) + 0 Forme idétermiée Forme idétermiée Limite d qotiet = = La ite d qotiet + 0 + 0 l (l > 0) l (l < 0) + + + + + l (l > 0) + + l (l < 0) + + 0 0 0 0 ' Comparaiso : Soiet ( ) et ( ) de sites telles qe por tot, * Si = + alors = +. * Si = alors =. Propriété Cas de sites géométriqes Soit q réel. si q > alors q = + si q = alors q = si < q < alors q = 0 si q alors q admet pas de ite. Propriété cas des sites mootoes diergetes Si e site ( ) est croissate et o majorée alors = +. Si e site ( ) est décroissate et o miorée alors =. Théorème Coergece mootoe Si e site est croissate et majorée alors elle est coergete. Si e site est décroissate et miorée alors elle est coergete. Remarqe : ce théorème permet de dire qe la ite eiste, mais e permet pas de détermier cette ite. Propriété : si e site ( ) est défiie par la doée de so premier terme et por tot etier, + = f ( ), si la site coerge ers le réel L et si f et cotie e L alors L et soltio de l éqatio f () =. Remarqe : e spposat la site coergete, cette propriété permet de détermier les alers possibles de la ite. Elle e permet pas de motrer qe la site est coergete. Il se pet qe l éqatio f () = admette plsiers soltios, ce sot les ecadremets obtes précédemmet de la ite L, qi permettet d eclre éetellemet certaies soltios.
Représetatio graphiqe défiie par + = f ( ) Eemple : O cosidère la site mériqe ( ) défiie sr IN par : 0 = 8, et, por tot etier, + = ( ). Das repère orthoormal, tracer, sr l iteralle [0 ; ], la droite d d éqatio y = et la corbe P représetatie de la foctio f : ( ). Utiliser d, et P por costrire sr l ae des abscisses les poits A, A d abscisses respecties et. Il fat tot faire sas calcl, iqemet à la règle : Placer le poit A 0 d abscisse 8 sr l ae des abscisses Le poit B 0 d abscisse 0 de la corbe représetatie de f a por ordoée f ( 0) = Le poit C de la droite d éqatio y =, qi a la même ordoée qe B 0 soit a por abscisse = y = D où la costrctio d poit A d abscisse sr l ae des abscisses 3
LIMITES DE FONCTIONS Limites e + Défiitios : O dit qe f () ted ers l lorsqe ted ers + lorsqe tot iteralle oert coteat l cotiet totes les alers de f () por sffisammet grad. O ote f () = l. O dit qe f () ted ers + lorsqe ted ers + lorsqe tot iteralle d type ] A ; + [ cotiet totes les alers de f () por sffisammet grad. O ote f () = + O dit qe f () ted ers lorsqe ted ers + lorsqe tot iteralle d type ] ; A [ cotiet totes les alers de f () por sffisammet grad. O ote f () =. Même type de défiitios qad ted ers. Propriétés Limites de foctio selle e + 0 et = + et = + où *. 0 où *. Propriétés Limites de foctio selle e = lorsqe est etier atrel impair et = lorsqe est etier atrel pair o l. 0 où *. Défiitios Limites e réel, ite à gache, ite à droite Soit f e foctio défiie sr oisiage de a saf éetellemet e a. O dit qe f () ted ers l lorsqe ted ers a lorsqe tot iteralle oert coteat l cotiet totes les alers de f () por sffisammet proche de a. O ote f () = l. a O dit qe f () ted ers + lorsqe ted ers a lorsqe tot iteralle d type ] A ; + [ cotiet totes les alers de f () por sffisammet proche de a. O ote f () = + a O dit qe f () ted ers lorsqe ted ers a lorsqe tot iteralle d type ] ; A [ cotiet totes les alers de f () por sffisammet proche de a. O ote f () =. a Propriétés Limites de foctio selle e réel 0 Por etier atrel impair, o a 0 0 Por est etier atrel pair, o a 0 0 et 0 0 et 0 0. doc 0 Illstratio graphiqe asymptotes Graphiqemet, o obsere q e droite est asymptote à e corbe lorsqe la corbe se rapproche atat q o le et de la droite. Défiitios asymptote horizotale Soit f e foctio telle qe f () = l (o f () = l) La droite d éqatio y = l est dite droite asymptote à la corbe représetatie de f a oisiage de + (o de ). asymptote erticale Soit f e foctio telle qe f () = + (o f () = ) où a est réel. a a La droite d éqatio =a est dite droite asymptote à la corbe représetatie de f. 4
Propriétés Somme f () = l et si g() = l alors (f () + g()) = l + l Das le cas où l e a mois des foctios a e ite ifiie e α, les résltats sot doés par le tablea siat : La ite de la somme f () + g ( ) g() = a f () = + a + + Forme idétermiée Forme idétermiée l + Propriétés Prodit f () = l et si g() = l alors (f () g()) = l l + Das le cas où l e a mois des foctios a e ite ifiie e α, les résltats sot doés par le tablea siat : La ite d prodit f () g () a f () = a + + + l ( l > 0) + l ( l < 0) + 0 Forme idétermiée Forme idétermiée Propriété qotiet f ( ) a 97 g ( ) a La ite d qotiet + 0 + 0 l (l > 0) l (l < 0) + + + + + l (l > 0) + + l (l < 0) + + 0 0 0 0 Propriétés Limites et iégalités : théorèmes de comparaiso Si f () g() et si g( ) alors f ( ). Si f () g() et si g( ) alors f ( ). Théorème des gedarmes Si g() f () h() et si g( ) h( ) = l alors f ( ) l. 3. Cotiité d e foctio Défiitio Soit f e foctio défiie sr iteralle I coteat réel a. O dit qe f est cotie e a si f () = f (a). a O dit qe f est cotie sr I si elle est cotie e tot réel de I. Propriétés Les foctios polyomiales, ratioelles, racie carrée, aler absole, sis, cosis aisi qe les sommes, prodits, qotiets et composées de telles foctios sot coties sr tot iteralle icls das ler esemble de défiitio. Tote foctio dériable sr iteralle est cotie sr cet iteralle. ' 5
Sites et composée Soiet f e foctio défiie cotie sr iteralle I, ( ) e site de réels apparteat à l iteralle I de terme gééral + = f ( ) Si ( ) coerge alors sa ite est soltio de l éqatio f () =. Théorème des alers itermédiaires Soit f e foctio défiie et cotie sr iteralle iteralle [a ; b] où a < b. Por tot réel compris etre f (a) et f (b), l éqatio f () = admet a mois e soltio sr l iteralle [a ; b]. Théorème Soit f e foctio défiie, cotie et strictemet mootoe sr iteralle iteralle [a ; b] où a < b. Por tot réel compris etre f (a) et f (b), l éqatio f () = admet e iqe soltio sr l iteralle [a ; b]. Remarqe Le théorème est érifié das le cas où f est défiie sr iteralle oert ] a ; b [ o semi-oert [ a ; b [ o ] a ; b ] aec a o b fiis o ifiis. Das ce cas, l éocé des théorèmes est à adapter e cosidérat les ites e a o e b a lie des images de ces réels. Dériatio Formlaire foctio 6 foctio dériée a où a est e costate 0 (où ) (o 0) Soit et de foctios défiies et dériables sr même iteralle I. foctio foctio dériée Somme + + Prodit par réel où est e costate réelle Prodit + ' Ierse ' ' Qotiet Soit est e foctio défiie et dériable sr iteralle I. foctio g foctio dériée de g Remarqes éetelles (où ) e s ale pas sr I si < 0 ' (o 0) e s ale pas sr I ' e s ale pas sr I ' est strictemet positie sr I Das le cas gééral, si est e foctio défiie et dériable sr iteralle I et f e foctio défiie et dériable sr iteralle J tel qe por tot de I, () appartiet à J alors la foctio g défiie par g() = f [()] est dériable sr I et por tot de I, g'() = '( ) f '[()] Défiitio Tagete à e corbe e poit La tagete à C a poit A (a ; f (a)) est la droite passat par A de coefficiet directer f (a). Théorème L'éqatio rédite de la tagete T à C a poit d abscisse a est y = f (a) ( a) + f (a)