Chapitre. La réfleion et les miroirs plans La loi e la réfleion La réfleion est le phénomène qui permet à la lumière e subir un changement e irection à la rencontre une interface principalement ans la irection perpeniculaire à la surface afin e emeurer ans le milieu origine. Une réfleion est spéculaire lorsqu elle répon à la loi e la réfleion ( ' et se comporte alors comme un miroir. Une réfleion est iffuse lorsque la lumière est réfléchie ans ifférentes irections. Un objet qui n est pas une source e lumière se comporte comme un objet réel lorsqu il réfléchi e façon iffuse la lumière provenant e son environnement. Réfleion spéculaire La sphère réfléchie la lumière ambiante comme un miroir. Réfleion iffuse La poussière éposée sur la Lune réfléchie la lumière irectionnelle provenant u Soleil ans toutes les irections. La loi e la réfleion permet évaluer l angle e réfleion ' à partir un angle incience un raon e lumière par rapport à la normale à la surface (perpeniculaire à la surface. Le trajet optique respect le principe e Fermat : où ' ' : Angle e réfleion par rapport à la normale à la surface. : Angle incient par rapport à la normale à la surface Un faisceau parallèle emeure parallèle après une réfleion sur un miroir. Preuve : Consiérons un objet ponctuel qui émet e la lumière ans toutes les irections. Étuions la trajectoire e la lumière qui réfléchie sur une surface plane et qui passe par un point P. Grâce au principe e Fermat, évaluons la trajectoire e la lumière qui minimise le temps e parcours t afin établir un lien entre l angle incience et l angle e réfleion. P Trajectoire hpothétique * Objet ponctuel Surface réfléchissante Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Volume C Page Note e cours réigée par : Simon Vézina
Puisque la lumière voage toujours ans le même milieu, elle se éplace onc à vitesse constante c. À partir es équations u MUA, nous pouvons éterminer la relation suivante entre le temps e parcours t et la istance à parcourir D, car la lumière voage en ligne roite : vt ( D ( ct t ( D D / c + P * D D À partir u théorème e Pthagore, nous pouvons évaluer la istance D à partir e et et la istance D à partir e et : P ( D +, constante D et ( D D +, constante Important : + constante, onc + 0 * Dans le calcul, les variables libres sont et. Ces variables étermineront l enroit où se prouira la réfleion le long u miroir. Appliquons la érivée à l équation u temps e parcours t précéente et égalisons la à zéro afin e trouver la solution qui minimise le temps e parcours : t 0 (Minimiser t D + D 0 c c ( D + D 0 ( + D 0 (Remplacer (Factoriser /c D (Multiplier par c ( D + D + ( D + D 0 D D t c + f f (Différentiel : ( + f, + + + 0 + 0 (Distribuer la érivée ( ( 0 et (Séparer les termes ( 0 Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Volume C Page Note e cours réigée par : Simon Vézina
Lorsqu on recherche la position où se prouit la réfleion sur la surface, il faut faire varier par et par. Étant onné que et se partage un espace constant ( + constante, les variations e ces eu variables sont toujours e sens contraire (si, alors. On peut onc affirmer la relation suivante : + 0 Cette relation nous permet alors obtenir : ( + + ( + ( + + + ( ( + + (Équation précéente (Remplacer (Simplifier (Pthagore : (Dérivée :,,, D + ( ( n f n f ( ( n (Dérivée : n n n f ( + + (Simplifier facteur + + (Multiplier pour retirer énomi. ( ( + + (Mettre au carré + + (Distribution (Soustraire (Appliquer racine (primer en / tan( ( ( tan ( / tan (Solution unique P * Bonne trajectoire (schéma e la bonne trajectoire Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Volume C Page 3 Note e cours réigée par : Simon Vézina
L angle e éviation Lorsqu un raon e lumière subit un changement e irection, il est alors évié e sa trajectoire rectiligne origine par un angle e éviationδ. On l obtient en effectuant la soustraction entre l orientation finale et l orientation initiale : δ φ φ où δ : Angle e éviation un raon (egré ou ra : Orientation finale un raon (egré ou ra : Orientation initiale un raon (egré ou ra ±80 35 35 90 90 45 45 φ 0 L orientation un raon est basée sur le cercle trigonométrique. emple : ( 0 et δ i f δ 45 δ 90 δ 35 δ 80 Situation : Une ouble réfleion. Un raon ont l orientation initiale est φ i 35 est réfléchi par un miroir horizontal, puis par un secon miroir incliné à 5 par rapport au premier (schéma ci-contre. On ésire éterminer (a l angle e éviation total par rapport au raon initial ainsi que (b l orientation finale u raon (après la secone réfleion Évaluons l angle e réfleion ' à partir e la loi e la réfleion et l orientation initiale φ i : (avec angle en valeur absolue ' ' ( 80 90 φ 90 ( 35 (80 o ans triangle ' (Remplacer val. num. ' 55 (Évaluer ' φ 35 ' 55 55 δ 70 φ 35 φ 35 Évaluons l angle e réfleion ' à partir e l orientation u raon après une première réfleion : (avec angle en valeur absolue ' (Loi e la réfleion ' ( 90 β (Angle roit 90 ( φ α ' 80 (80 o ans triangle ' 90 + φ + α (Simplifier ' 90 + 90 ' + (Angle roit ( α ( 55 ' + ( 5 (Simplifier et rempl. ' ' φ 35 55 55 δ Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Volume C Page 4 Note e cours réigée par : Simon Vézina ' 70 φ 35 α φ 35 β δ ' 30 5
Nous pouvons évaluer la éviation u raon incient en effectuant les calculs suivants : δ 80 ' δ 80 ( 55 ( 55 δ 80 ' tot δ 70 δ 80 ( ( δ δ + δ δ δ ( 70 + ( tot δ 30 (a tot φ 35 ' 55 55 δ φ 35 α φ 70 35 ' β δ φ f 95 35 δ tot φ f φ i ( 30 φ f ( 35 φ 95 (b f δ tot 30 La position es images avec réfleion sur un miroir plan La position une image associée à la réfleion sur un miroir plan un objet (réel ou virtuel est située face à l objet e l autre côté u miroir : q p où Convention : Preuve : q : Distance entre l image et le miroir (m p : Distance entre l objet et le miroir (m p > 0 : objet réel p < 0 : objet virtuel p > 0 q < 0 objet réelle image virtuelle miroir q > 0 : image réelle q < 0 : image virtuelle Consiérons un objet situé à une istance p D un miroir. Lançons un ier raon perpeniculairement sur la surface u miroir et un ième à un angle α par rapport à l autre raon. C est eu raons toucherons le miroir séparé par une istance tel que tan ( α D objet réel α q > 0 p < 0 p D image réelle objet virtuelle miroir Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Volume C Page 5 Note e cours réigée par : Simon Vézina
n appliquant la loi e la réfleion, le ier raon est évié un angle δ 80 (revient sur ses pas et le ième sera évié un angle δ 80 α car nous avons les relations égalité suivante entre nos angles : α (angle alterne-interne ' (loi e la réfleion objet réel α ' p D Si l on prolonge u côté virtuel nos eu raons réfléchis, nous trouvons un point intersection à une istance q u miroir ont le croissement fait un angle α par rapport au ier raon. Par une analse e triangle semblable, nous pouvons émontrer que q p : tan ( β tan( ' q q (angle corresponant tan ( q (loi e la réfleion tan ( α (angle alterne-interne ' q objet réel α β (éfinition tangente D q p D q D (Simplifier q p (Remplacer p D q p (Appliquer conven. signe Une réfleion multiple et procéure itérative q D image virtuelle Cette émonstration est effectuée avec un objet réel, mais elle reste valable avec un objet virtuel. Après une réfleion sur un miroir, l image formée evient source un faisceau ivergent et joue le rôle objet pour une secone éviation. L équation précéente s applique seulement si le secon miroir se retrouve ans le champ e réfleion u premier miroir. Double réfleion Réfleion simple miroir objet réel objet réel miroir image virtuelle image virtuelle miroir image virtuelle miroir pas image virtuelle Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Volume C Page 6 Note e cours réigée par : Simon Vézina
Pour trouver l ensemble es images formées à partir un objet réel initial, il faut itérer sur l ensemble es possibilités amissibles e réfleion. Selon la configuration es miroirs, nous pouvons observer un nombre fini ou infini image. Deu miroirs plans ont l angle qui les sépare est inférieur e 60 o. (5 images Boîte avec un miroir au fon et une plaque semi-transparente à l avant. (nombre infini images Situation : Combien images? On place un objet réel entre eu miroirs qui font un angle e entre eu. On ésire représenter la situation sur un schéma en iniquant la position e toutes les images qui se forment. (On peut placer l objet n importe où entre les eu miroirs. M C A M B Les 5 images sont virtuelles D F A : objet réel; B : image e A ans le miroir M C : image e A ans le miroir M D : image e B ans le prolongement u miroir M : image e C ans le miroir M F : image e ans le prolongement u miroir M ou image e D ans le prolongement u miroir M Toutes les autres réfleions se superposent sur les images éjà eistantes (images toutes localisées. La réfleion sous forme vectorielle (complément informatique À l aie une représentation vectorielle un raon, un raon incient v à une normale à la surface N v peut être réorienté ans la irection R v par la loi e la réfleion grâce à l équation suivante : v R + ( N N et raon incient où R v : Orientation u raon réfléchi (vecteur unitaire, R v. v : Orientation u raon incient (vecteur unitaire, v. v N v point e surface où il a réfleion N v : Orientation e la normale à la surface (vecteur unitaire, N v. v : Orientation inverse u raon incient (vecteur unitaire, v. R v raon réfléchi Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Volume C Page 7 Note e cours réigée par : Simon Vézina
Preuve : Consiérons un raon incient orientation (vecteur unitaire se irigeant vers une surface ont la normale est orientée selon le vecteur N v tel qu illustré sur le schéma ci-contre. Évaluons le vecteur réfléchi R v à l aie u vecteur en respectant la loi e la réfleion étant R raon incient cos ( v N v R R v raon réfléchi R v où R représente l angle entre le raon réfléchi et la normale à la surface et représente l angle entre le raon incient inversé et la normale à la surface. point e surface où il a réfleion Puisque la réfleion nécessite inverser la composante u vecteur v orientée selon la normale N v, nous réalisons que cos ( correspon au moule e la composante e v parallèle à N v puisque. n ajoutant eu fois cette contribution ans le sens e la normale N v au vecteur v sous la forme un changement e irection R v, nous obtenons le vecteur R v : R + R R + cos( N (Remplacer R cos( N v R + cos N (Remplacer et N N N ( N v R + N cos( N (Réorganisation v R + ( N N (Remplacer N N cos ( > 0 v v v v Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Volume C Page 8 Note e cours réigée par : Simon Vézina