Mouemen balisique d un projecile. Influence de la råsisance de l air Eudier le mouemen d un poin maåriel dans un champ de pesaneur uniforme. u, en nåliean dans un premier emps le freinae aårodnamique (råsisance de l air). Les condiions iniiales qui dåfinissen ce problçme de ir balisique son : r, (cos. sin i. k) aec.. DÅerminer les Åquaions (), (), () du mouemen e la naure de la rajecoire La relaion fondamenale de la dnamique (RFD) pour un obje poncuel s'écri: m. a F Soi: m. a. k en projean cee équaion ecorielle sur les 3 aes, il ien 3 équaions: d ma => m soi md. [] d ma => m soi md. [] ma d => m soi md. [3] Les équaions [], [] e [3] son des équaions différenielles à ariables séparées qui peuen êre inérées membre à membre. Le emps arie de à, les condiions iniiales (=) de la iesse son:.cos, e.sin md cos => m cos m soi.cos md => m soi sin md m => m m.sin m( ) soi.sin Sur O la iesse du projecile rese consane. Elle rese nulle sur O. Le mouemen sur O es un mouemen uniformémen accélérée..cos d =>. cos => d.cos. []
d => =>. d [5].sin d =>.sin => d..sin. [6] Les équaions [], [5] e [6] son des équaions différenielles à ariables séparées qui peuen êre inérées membre à membre. Si le emps arie de à, les condiions iniiales (=) de la posiion son: d.cos =>.cos.( ) =>.cos. [7] d => ( ) => [8] d.sin =>. ².sin. =>. ².sin. [9] Les équaions [7], [8] e [9] son les équaions paramériques (ou équaions horaires) du mouemen du projecile. L'équaion de la rajecoire es obenue en éliminan le emps enre les équaions [7] e [9]: [7] =>.cos par subsiuion de dans [9], il ien: ( )² sin. (.cos )² cos c'es l'équaion d'une parabole.. Eprimer la poråe X(α) du ir. Pour déerminer la porée il a soluions: Le calcul le plus simple es de chercher les aleurs de qui corresponden à =. L'équaion du mouemen sur [9] peu s'écrire: (..sin ) Cee équaion a racines (=) l'une pour = [dépar du projecile],.sin l'aure pour [aerrissae du projecile au poin P] La porée es la aleur de qui correspond à l'insan de l'aerrissae du projecile. La porée es obenue en reporan cee aleur du emps dans l'équaion [7]: X.cos.sin []
Remarque: Pour dåerminer X on peu aussi calculer le emps pendan lequel le projecile a une iesse ascendane ( ). Comme.sin =>.sin..sin La phase aårienne dure fois ce emps (X dans [7]) d ou:.cos. 3. DÅerminer la aleur qui rend X(α) maimum pour une iesse iniiale donnåe ainsi que la aleur X de ce maimum. La porée es une foncion de α. Pour déerminer le maimum de la porée il fau connaîre sa ariaion en foncion de α: dx d (cos ² sin ² ) dx dx Pour [, ] si [, [, d d si ], ] dx e d si La porée maimale au: X e. Monrer que, pour X<X, un poin du plan = peu Ñre aein de deu faöons don on pråcisera commen les inclinaisons e Ü. La porée son disposåes ÅomÅriquemen par rappor X.cos.sin [] a la même aleur pour une aleur de l'anle de ir e son complémen ( ). Les direcions e son smérique par rappor à la direcion du ir correspondan à la porée maimale. 5. On reprend le problçme pråcåden, en supposan dåsormais que le poin maåriel es en plus soumis Ü la råsisance de l air, modålisåe par une force: F m. DÅerminer Ü noueau les Åquaions du mouemen. La relaion fondamenale de la dnamique deien : ma F. u m En projean cee équaion ecorielle sur les 3 aes, il ien 3 équaions: d d => [] ma m m aåro 3
d => ma m m d [] d ma m m => [3] Les Äquaions [] e [] son des Äquaions diffärenielles Å ariables säparäes qui peuen Çre inäräes membre Å membre. Si le emps arie de Å, les condiions iniiales (=) de la iesse son:.cos e d =>.cos La iesse sur däcroi eponeniellemen [] d =>. e ln ln.cos ( ) =>.cos. e => Ces Äquaions donnen aisämen les Äquaions horaires sur e : d [].cos. e => d.cos. e d [] => soi.cos ( e ) L'Äquaion [3] es une Äquaion diffärenielle du premier ordre aec un second membre consan. Rappel : La soluion ÅnÅrale d une Åquaion diffårenielle du premier ordre aec un second membre consan es Åale Ü la soluion ÅnÅrale de l'åquaion sans second membre plus une soluion pariculiçre de l'åquaion aec second membre. d d L'Äquaion sans second membre => ordre Å ariable säparäe de la mçme forme que les Äquaions [] e []. d par analoie aec [] => A. e Une soluion pariculiére de l Äquaion diffärenielle D ou la soluion ÄnÄrale de [3]: A. e d es une Äquaion du premier es: A =, la iesse es:.sin d oö.sin A soi (.sin ). e
d Cee Äquaion s'äcri: (.sin ). e soi d (.sin ). e.. Cee Äquaion diffärenielle du premier ordre Å ariables säparäes peu Çre inäräe membre Å membre: d (.sin ) e soi: (.sin ) ( e ) ( ) soi Applicaion numérique λ λ λ -λ =- + (.sinα+ )(-e ) Comparaison de rajecoires balisiques aec e sans effe aärodnamique., 6m/s, = 9.8 m/sà λ=. s.6. Y.8..5.5.5 3 X Fiure: Trajecoires d'un projecile soumis à l'accéléraion de la pesaneur e subissan (en rose)ou non (en bleu) une force de freinae aérodnamique. Remarque : Il es fréquen de rouer dans des eercices des forces de freinae aérodnamiques de la forme F aéro m. Ce pe de force représene asse bien le phénomène à basse iesse. Dès que la iesse es supérieure à 5 ou 6 m/s, il es nécessaire de prendre une représenaion de la forme: Faéro kà. Dans ce cas les équaions différenielles qui en résulen n'on énéralemen pas de soluion analique. 5
Remarque : Pour opimiser le lancer de poids cerains prennen la aleur de = 5á comme råfårence. En fai "la poussåe du bras" qui ÅnÇre dåpend aussi de ce anle mais es maimale pour une aleur proche de α = á. La performance opimale nåcessie un compromis enre ces aleurs d anle. Il es de l'ordre de á. 6