Primitives et intégrles 19 mrs 14 Introduction Chercher une primitive et clculer une intégrle n est ps tout à fit l même chose. Une primitive d une fonction f, c est une fonction F qui, lorsqu on l dérive, nous donne f, c est-à-dire que F =f. On pourrit ussi dire que c est l opértion inverse de l dérivtion. En prtique, on écrir : F (y) = f(x)dx où y est l vrible de l fonction F, et x est l vrible d intégrtion. L intégrle d une fonction f entre les bornes et b est un nombre I qui correspond à l ire sous l courbe de l fonction f sur l intervlle [, b]. On peut clculer ce nombre en trouvnt une primitive F de f. On lors I = F (b) F (). En prtique, on écrir : I = où x est l vrible d intégrtion. f(x)dx Remrque : L vrible d intégrtion x ne peut ps être remplcée pr un nombre. Elle prcourt tout l intervlle [, b] lorsqu on clcule une intégrle. On l ppelle vrible muette. Elle reste figée à l intérieur de l intégrle. Recherche de primitive. Soit f une fonction. Il n existe ps qu une seule primitive F pour f, c est pour cel que l on dit que l on cherche une primitive de f. En fit, les primitives de f sont toutes égles à une constnte près. Pr exemple, pour l fonction f(y) = y, toute primitive s écrit F (y) = y +cste. Pour trouver une primitive non évidente, on v utiliser les mêmes techniques que pour clculer une intégrle (voir prtie suivnte), cr on peut écrire une primitive F de f de l fçon suivnte : F (y) = y 1 f(x)dx
où est un nombre fixé qui doit être dns le domine de définition de f. Ce nombre peu d importnce, puisqu il fer pprître une constnte, et que F est définie à une constnte près (c est une primitive). Voici un exemple : F (y) = y x dx = [x ] y = y 8 donc toute primitive de f(y) = y s écrit bien F (y) = y +cste. Clcul d intégrles. On veut clculer : I = f(x)dx. Pour clculer l intégrle, si l on trouve une primitive de f, c est terminé. Mis héls, ce n est ps toujours si fcile. Il existe essentiellement méthodes principles pour clculer des intégrles : l forme composée, l intégrtion pr prties, le chngement de vribles, le pssge ux complexes et l décomposition en éléments simples. Il rrive souvent que l on doive mélnger ces techniques. Comme vu ci-vnt, ces méthodes peuvent être utilisée pour trouver une primitive de f. Voici ces méthodes détillées (et comment svoir que l on doit utiliser telle ou telle méthode) : L forme composée. Il rrive que f s écrive sous l forme h g h où g et h sont des fonctions. Si l on sit fcilement trouver une primitive G de g, c est ggné. En effet, G h est une primitive de h g h et lors I = G(h(b)) G(h()). Voici deux exemples : 1) Avec f(x) = x (1 + x ) 4 et =, b = 1. On bien f = h g h vec g(x) = x 4 et h(x) = 1 + x cr h (x) = x. On trouve isément G(x) = x une primitive de g. Donc G(h(x)) = (1+x ) est une primitive de f. Ainsi : [ (1 + x x (1 + x ) 4 ) dx = = 1 = 1. ) Avec f(x) = x 1+x cos(ln(1 + x )) et =, b = 1. On bien f = h g h vec g(x) = cos(x) et h(x) = ln(1 + x ) cr h (x) = x 1+x. On trouve isément G(x) = sin(x) une primitive de g. Donc G(h(x)) = sin(ln(1 + x )) est une primitive de f. Ainsi : x 1 + x cos(ln(1 + x ))dx = [ sin(ln(1 + x )) = sin(ln()) sin(ln(1)) = sin(ln()).
L intégrtion pr prties. Il rrive que f s écrive sous l forme gh où g et h sont des fonctions. On peut lors utiliser l formule d intégrtion pr prties : g(x)h (x)dx = [g(x)h(x)] b g (x)h(x)dx. Il n est ps toujours intéressnt d utiliser l intégrtion pr prties. En effet, l formule nous donne une nouvelle intégrle à clculer. Il fut donc que l intégrle de g h soit plus fcile à clculer que gh. C est le cs pr exemple qund g est un polynôme et h (x) = exp(cx + d), h (x) = cos(cx + d), h (x) = sin(cx + d), h (x) = ch(cx + d) ou h (x) = sh(cx + d), Pr exemple : [ x sin(x 1) x cos(x 1)dx = [ x sin(x 1) = = sin(6) + cos(6) sin(x 1) dx [ cos(x 1) + cos( 1). Il est importnt de préciser que l on doit souvent effectuer plusieurs intégrtions pr prties successives (utnt que le degré du polynôme que l on dérive, pr exemple). Le chngement de vribles. Pour réécrire plus simplement l intégrle, on peut effectuer un chngement de vribles. L sitution clssique où cel intervient est lorsque l on une fonction rc ou rg, comme rctn, rccos, rcsin, rgth, rgch, rgsh. Dns ce cs, on effectue le chngement de vrible correspondnt à l fonction, comme u = rctn(x). Voici un exemple : 1) Avec f(x) = rccos(x) et = 1, b = 1. On effectue le chngement de vribles suivnt : { u = rccos(x) x = cos(u). Il est importnt d écrire le chngement inverse (x = cos(u)) pour pouvoir clculer dx en fonction de du. Pour cel, on dérive l fonction de u (ici cos) et on trouve dx = sin(u)du. On remplce lors dx pr cette nouvelle vleur dns l intégrle, de même pour rccos(x) qui est remplcé pr u. Attention, les nouvelles bornes sont rccos( 1) = π et rccos(1) =. rccos(x)dx = u sin(u)du = π π u sin(u)du
où on chngé le signe de l intégrle en chngent l ordre des bornes d intégrtion. Attention, on vérifie bien qu il n y plus du tout de x dns l nouvelle intégrle. On peut finir le clcul en utilisnt une intégrtion pr prties (voir prtie précédente). Le pssge ux complexes. Il rrive que f s écrive sous l forme exp(cx + d) cos(kx+l) ou bien exp(cx+ d) sin(kx + l). Dns ce cs, il fut psser en complexes, c est-à-dire trnsformer le cos (ou le sin) en prtie réelle (ou imginire) d une exponentielle complexe. Pour cel, rien ne vut un exemple : Avec f(x) = exp(x + ) cos(x) et =, b = π. On écrit cos(x) = Re(exp(xi)). Or exp(x + ) étnt toujours un nombre réel, on peut le fire rentrer à l intérieur de l prtie réelle pour obtenir que exp(x + ) cos(x) = Re(exp(x + + xi)). Et enfin, l intégrle d une prtie réelle est l prtie réelle de l intégrle. Donc : ( ) exp(x + ) cos(x)dx = Re exp(x + + xi)dx. On peut clculer l intégrle dns l prtie réelle de mnière clssique, en utilisnt le fit que l dérivée de x + + xi est 1 + i : [ exp(x + + xi) exp(x + + xi)dx = 1 + i = exp( π + + iπ) 1 + i ] π exp( π + ) 1 + i = exp( π + ) 1 (exp(iπ) 1) 1 + i = exp( π + ) 1 i ( 1 1) (1 + i)(1 i) = exp( π + )1 i 1 et l prtie réelle de ce dernier résultt est clirement exp( π +). Donc : exp(x + ) cos(x)dx = exp( π + ). En remplçnt cos pr sin, et en remplçnt lors l prtie réelle pr l prtie imginire, l méthode est exctement l même. L décomposition en éléments simples. Lorsque f est une frction rtionnelle ne pouvnt ps être gérée pr l méthode de l forme composée, et que le numérteur n est ps l dérivée du dénominteur (cr sinon le logrithme du dénominteur est une primitive), on 4
doit recourir à l décomposition en éléments simples (voir TD précédent). Attention, il fut utiliser l décomposition en éléments simples sur R!!! En effet, on ne veut ps se retrouver vec des logrithmes de nombres complexes... Une fois l décomposition effectuée, il ne reste qu à intégrer chque termes. Voici un exemple : x Avec f(x) = (x 1) (x +1) simples nous donne : et =, b =. Une décomposition en éléments x (x 1) (x + 1) = 1 ( 1 x 1 + 1 (x 1) x ) x + 1 et donc une primitive de f est : ( 1 ln(x 1) 1 x 1 1 ) ln(x + 1). On peut lors clculer l intégrle : x [ 1 (x 1) (x + 1) dx = Résumé. x 1 1 )] ln(x + 1) ( ln(x 1) 1 = 1 (ln() 1 1 ) ln(1) 1 (ln(1) 11 1 ) ln() = 1 (ln() 1 1 ln() 1 ) ln() + 1 (1 + 1 ) ln() = 1 4 + 1 4 ln(). Dns quelle sitution suis-je? (listes non exhustives) Forme composée : g h g Intégrtion pr prties : polynôme exponentielle (ou cosinus, sinus, hyperboliques ou non) Chngement de vribles : fonction commençnt pr rc ou rg Pssge en complexes : exp(cx + d) cos(kx + l) ou exp(cx + d) sin(kx + l) Décomposition en éléments simples : frction rtionnelle ne pouvnt ps être gérée pr l méthode de l forme composée et dont le numérteur n est ps l dérivée du dénominteur