Termiale ES Exercices sur les suites arithmético-géométriques - Corrigés Exercice : u 0 et, pour tout N, u + u ) u u 0 u u u ( ) u 5 u u ( 5) 0 u u 4 u ( ) 6 u 4 9 a) Pour tout N, v, doc v + + ( u ) u 6(u ) v La suite (v ) est doc géométrique de raiso b) Pour tout N, v avec v 0 Doc v soit v + ) Pour tout N, v v + Doc pour tout N, u v +, soit u + + 4) O sait que lim ( )+ car > (Théorème 9 du cours) + D'après les propriétés sur les limites vues das le cours, lim + car <0 ( voir limite de a u lorsque a<0 et lim u + ) + (Voir limite de u +b lorsque (u ) a pour limite et b R) et doc lim Comme pour tout N, u + + +, lim u Exercice : a) u 0 0 Pour tout N, u + u et v Doc pour tout N, v + + (u ) (u )v (v ) est doc ue suite géométrique de raiso b) u 0 500 et, pour tout N, u + 0,95 u +00 et v 000 Doc v + + 00(0,95u +00) 0000,95u 9000,95 ( u 900 0,95) 0,95(u 000)0,95v (v ) est doc ue suite géométrique de raiso 0,95 Exercice : u 0 5 et pour tout N, u + u +4 ) u u 0+4 5+4,5+4 u 6,5 ou u 5 + 8, u u u +4 6,5+4,5+4 u 7,5 ou u +4 4 + 6 4 u u +4 7,5+4,65+4 u 7,65 ou u 9 9 4 4 8 + 8 u 4 u +4 7,65+4,85+4 u 47,85 ou u 4 6 6 +4 8 6 + 64 6 u 9 4 u 6 8 u 4 5 6 a) Pour tout N, v 8, doc v + + 8 ( u +4 ) 8 u 4 (u 8) v (v ) est doc ue suite géométrique de raiso b) v 0 85 8 Termiale ES Corrigés des exercices sur les suites arithmético-géométriques Page /5
Comme (v ) est ue suite géométrique de raiso, pour tout, v v 0 ( ( Pour tout N, v ) a) Pour tout N, v 8 doc v +8, soit u v +8 Comme, pour tout N, v, u +8 ou u 8 b) u 0 8 08 04 8 04 04 04 89 04 04 u 0 889 04 4) Trasformos l'écriture du terme gééral u de la suite (u ) afi de détermier sa limite u 8 8 8 lim + ( D'après les propriétés sur les limites : lim + ( 0 et lim 8 + ( ( 8 0 car 0< < et d'après le théorème 9 du cours 8 08, doc lim u 8 + Exercice 4 : u 0 et pour tout N, u + +5 ) u +5 ( +5 u u u +5 ( )+5 +5 u u u +5 +56+5 u u 4 u +5 +5+5 u 4 8 a) Pour tout N, v +a, doc v + + +a(u +5)+a soit v + u +5+a b) Pour démotrer cette égalité, o va partir du secod membre : v +5 a, et o va essayer de prouver qu'il est égal à l'expressio u +5+a trouvée au a) Pour tout N, v +5 a(u +a)+5 a car v +a pour tout Doc v +5 a + a+5 a +5+a, expressio égale à v + d'après le a) Coclusio : pour tout N, v + v +5 a c) (v ) sera géométrique s'il existe u réel q tel que, pour tout N, v + qv Comme pour tout N, v + v +5 a, (v ) sera géométrique si 5 a0 5a 5 a (v ) sera géométrique si a 5 ou ecore a,5 ) a) a 5 doc pour tout N, v + v +5 5 v +5 5 soit v + v (v ) est doc ue suite géométrique de raiso So terme iitial est v 0 + 5 + 5 4 + 5 Doc pour tout N, v, pour tout N, v ou v qui est ue écriture plus pratique pour calculer ue limite Termiale ES Corrigés des exercices sur les suites arithmético-géométriques Page /5
b) Pour tout N, v + 5 doc u v 5 doc u 5 ou u 5 (O pourrait calculer la limite de (u ) avec la première expressio : + ) c) u 0 0 5 59049 5 59044 u 0 95 Exercice 5 : u 0 et pour tout N, u + u +6 ) u u 0 +6 +6 u 0 u u +6 0+6 u 6 u u +6 6+6 u 6 u 4 u +6 ( 6)+6 u 4 8 Pour tout N, v +a a) Doc pour tout N, v + + +a, soit v + u +6+a b) Pour tout N, v +6+a (u +a)+6+ a u a+6+a u +6+a Comme u +6+av + d'après le a), pour tout N, v + v +6+ a c) (v ) sera géométrique si et seulemet si il existe u réel q tel que, pour tout N, v + q v Comme v + v +6+a, il faut que 6+a0 et o a alors q 6+a0 a 6 a (v ) sera géométrique si a ) a a) (v ) est doc ue suite géométrique de raiso (puisque pour tout, v + v ) So terme iitial est v 0 Pour tout N, v ( ( soit v ( b) Pour tout N, v doc u v + doc u ( + c) u 5 ( 5 + 768+, u 5 766 Exercice 6 : u 0 et, pour tout N, u + u +5 ) u u +5 0 ( +5+5 u 6 u u +5 6+45 8+5 u 7 u u +5 7+5,5+5 u,5 a) Pour tout N, v 0, doc v + + 0 ( u +5 ) 0 u +5 (u 0) Doc pour tout N, v + v (v ) est doc ue suite géométrique de raiso b) Pour tout N, v ( Doc pour tout N, v ( avec v 0 0 0 ou v ( ) ( ) ( ) v ( ) ( ) ( ) + Termiale ES Corrigés des exercices sur les suites arithmético-géométriques Page /5
c) S ' +v + +v ( 0 +( ( 0 S ' (( + ( + ( + + ( ) Comme 0 et, S ' ( + ( + v ( )+ (Je e pese pas que ce calcul soit requis e L et ES) ( S ' O peut garder cette expressio ou essayer de cotiuer à la simplifier : +( ( + +( ( (Formule du cours : théorème 0) ( ( ) + + ( ( 8 ) + ( 8+8 S ' 8+8 ( )+ 8+8 ( ) ( ) 8 4 ( ) + Gardos S ' 8+8 ( + ) a) Pour tout N, v 0 u v +0 et v ( Doc pour tout N, u ( +0 ou u 0 ( b) Comme pour tout N, u v +0, S +u +u + +u (v 0 +0)+(v +0)+(v +0)+ +(v +0) S +v +v + +v +(+) 0 car il y a + termes du type (v k +0) das la somme ci-dessus S S ' +0(+), doc S 8+8 ( + S 8 ( + +0 + +0(+)8 ( + 8+0+0 c) Avec les premiers termes déjà calculés : S +u +u +u +6+7+,5 S,5 Avec la formule du ) b) S 8 ( 4+0 +8 + 8 4 6 + S,5 O obtiet bie le même résultat Exercice 7 : (Voir graphique page suivate) Exercice 8 : u 0 et, pour tout N, u + u +4 ) u u 0 +4 +4 6 u u +4 8 +4 6 + u u u +4 8 8 u 8 9 +4 u 8 Termiale ES Corrigés des exercices sur les suites arithmético-géométriques Page 4/5
Graphique de l'exercice 7 : Graphique de l'exercice 8 : a) b) Voir graphique ci-dessus c) E regardat la costructio, o imagie que les poits de coordoées (u ; f (u )) vot se rapprocher du poit d'itersectio etre les droites d et, qui a pour coordoées (4;4) Il semblerait que lim u 4 + u +4 u +4 u 8 ) a) Pour tout ℕ, v 4, doc v ++ 4 4 (u 4) Doc pour tout ℕ, v + v (v ) est doc ue suite géométrique de raiso So premier terme est v 0u0 4 4, v 0 b) Pour tout ℕ, v, soit v ou ecore v c) Pour tout ℕ, v 4 doc u v +4, soit u +4 soit u 4 d) Comme 0< <, lim 0 D'après les propriétés sur les limites vues das le cours, lim 0 + (Voir limite de a u lorsque a est u réel et (u ) a pour limite 0) D'après les propriétés sur les limites vues das le cours, lim 4 4+04 + O a bie lim u 4, comme o l'avait cojecturé à partir du graphique Termiale ES Corrigés des exercices sur les suites arithmético-géométriques Page 5/5