et h l homothétie de centre Ω et de rapport.

Termnale S Nombres Exercces Dvers,QCM, France 00 Qcm, Polynése rempl 005 QCM, N Calédone nov 007 4 QCM d après des sujets de concours GEIPI 5 Basque, ntlles 007 4 6 Basque, ntlles 006 5 7 nd degré et barycentre, ntlles 00 5 8 nd degré, Polynése 996 5 9 nd degré, Inde, 996 6 0 Pett exo de base 7 Cours, C étrangers 006 8 Classque, La Réunon 006 8 Transformaton? 9 4 Equaton 9 5 Cercles 9 6 Rotaton 9 7 Carrés, rotatons et algnement 0 8 Système+parallélogramme, ntlles remplt 0070 9 Barycentre, lgne de nveau 0 Barycentre + lgne de nveau, Polynése 004 ème degré, barycentre, lgne de nveau ème degré, rotaton, Pondcherry 00 ème degré+rotaton, France 007 4 Orthocentre, C étrangers 007 5 Produt scalare 4 6 Forme algébrque & trgo de p/ - 4 7 Forme algébrque & trgo de p/ - 4 8 Forme algébrque & trgo de p/ - 5 9 p/ 4, France remplt 007 5 0 Equaton du second degré - 5 Equaton du second degré - 6 Médatrce - 6 Médatrce - 6 4 Sute géométrque 6 5 Sute arthmétco-géométrque, se 007 7 6 Sute de carrés, se 000 7 7 Inverson 8 8 Inverson, ntlles 005 8 9 Inverson, mérque du Sud 005 9 40 Homographe, Polynése sept 006 9 4 Homographe+ROC, se 006 9 4 Homographe 0 4 Homographe 44 Homographe, N Calédone 996 45 Homographe 4, m du Sud 00 46 Homographe+cercles, France 00 47 Homographe, La Réunon 004 48 Carré 49 Rotaton et homothéte 50 Homothétes 5 Rotaton-translaton 4 5 Rotatons, Pars 996 4 5 Quadrlatère et trangles, N Calédone 004 4 54 ème degré+hyperbole, m du Nord 004 5 55 Conjugué, Centres étrangers 004 5 56 Transformatons + ROC, Pondcherry 007 6 57 Transform+médatrce, C étrangers 005 6 58 Transformaton non lnéare, Lban 007 7 59 f()= +, N Calédone 00 8 60 f()=, Polynése 004 8 6 Napoléon, ntlles 004 9 6 f()= 4+6, Polynése 004 9 6 Projecton orthogonale, m du Sud 00 0 64 f(m)=mmb, ntlles 00 65 Hyperbole+rotaton, Polynése rempl 005 66 Conque 67 Sprale 68 Courbe paramétrée+conque (prog 985) 69 Hyperbole et complexes 70 Bssectrce (recherche) 4 7 Brapport 4 7 Trangles équlatéraux, m du Sud 99 5 7 Produt de dstances, C étrangers 99 5 74 Logarthme complexe, EFREI 00 5 Dvers,QCM, France 00 5 ponts Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal drect ( O ; u, v) On consdère les ponts et Ω d affxes respectves : a= + + et ω = + On appelle r la rotaton de centre Ω et d angle et h l homothéte de centre Ω et de rapport Placer sur une fgure les ponts et Ω, l mage B du pont par r, l mage C du pont B par r et l mage D du pont par h On note b, c et d les affxes respectves des ponts B, C et D Le tableau c-dessous content une sute de 8 affrmatons, dont chacune débute dans la premère colonne et s achève sur la même lgne colonne, colonne ou colonne 4 Termnale S F Laroche

Le canddat dot se prononcer sur chacune de ces affrmatons Pour cela l dot remplr le tableau de la feulle annexe, en fasant fgurer dans chacune des cases la menton VRI ou FUX (en toutes lettres) a ω = 4 arg( a ω) = Ω = ( v, C) arg 5 6 4 ω = ( ) 5 b d = a d 6 Le pont D est : ( ω ) ( ) 47 6 6 v, CΩ a+ b+ c a+ b+ c b l mage de Ω par la translaton de vecteur Ω l mage de Ω par l homothéte de centre et de rapport l mage de Ω par la rotaton de centre B et d angle 6 Réponses Réponses Réponses 4 Réponses 5 Réponses 6 Réponses nnexe Qcm, Polynése rempl 005 ponts Pour chacune des questons, une seule des tros propostons est exacte Le canddat ndquera sur la cope le numéro de la queston et la lettre correspondant à la réponse chose ucune justfcaton n est demandée Une réponse exacte rapporte pont ; une réponse nexacte enlève 0,5 pont ; l absence de réponse est comptée 0 pont S le total est négatf, la note est ramenée à éro Dans tout l exercce, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v) Le pont M est stué sur le cercle de centre ( ; 5) et de rayon Son affxe vérfe : a Termnale S F Laroche + 5 = ; b + 5 = ; c + 5 = On consdère tros ponts, B et C d affxes respectves a, b et c, deux à deux dstncts et tels que le trangle BC n est pas équlatéral Le pont M est un pont dont l affxe est telle que les nombres complexes b et c sont magnares purs c a b a a M est le centre du cercle crconscrt au trangle BC ; b M appartent aux cercles de damètres respectfs [C] et [D] ; c M est l orthocentre du trangle BC Sot et B les ponts d affxes respectves + et 5 + 4, et C un pont du cercle de damètre [B] On appelle G l sobarycentre des ponts, B et C et on note G son affxe a G 5, 5 = ; b 6 G ( + ) = (4+ ) ; c G (+, 5 ) = (4+ )

QCM, N Calédone nov 007 4 ponts Pour chaque queston, une seule des tros propostons est exacte Le canddat ndquera sur la cope le numéro de la queston et la lettre correspondant à la réponse chose ucune justfcaton n est demandée Une réponse exacte rapporte 0,5 pont ; une réponse nexacte enlève 0,5 pont ; l absence de réponse est comptée 0 pont S le total est négatf, la note est ramenée à éro Le plan complexe est mun d un repère orthonormé drect d orgne O Une soluton de l équaton + = 9+ est : a b c + Sot un nombre complexe ; + est égal à : a + b c + + Sot un nombre complexe non nul d argument θ Un argument de est : a + θ b + θ c θ 4 Sot n un enter naturel Le complexe ( ) n + est un magnare pur s et seulement s : a n = b n = 6k +, avec k relatf c n = 6k avec k relatf 5 Soent et B deux ponts d affxe respectve et l ensemble des ponts M d affxe vérfant = + est : a la drote (B) b le cercle de damètre [B] 6 Sot le pont d affxe c la drote perpendculare à (B) passant par O L ensemble des ponts M d affxe = x+ y vérfant + = 4 a pour équaton : a y x = + b ( ) x + y = 5 c = + 5e θ avec θ réel 7 Soent et B les ponts d affxes respectves 4 et L affxe du pont C tel que le trangle BC sot socèle avec ( B, C) = est : a 4 b c 7+ 4 8 L ensemble des solutons dans C de l équaton = est : a { } b L ensemble vde c { ; + } 4 QCM d après des sujets de concours GEIPI Dans chaque queston sont proposées pluseurs réponses, chacune de ces réponses pouvant être vrae ou fausse Il n y a pas forcément une seule bonne réponse pour chaque queston Donner pour chaque queston les réponses vraes et les réponses fausses Chaque résultat exact rapportera des ponts, chaque résultat nexact entraînera une pénalté Une absence de réponse ne sera pas consdérée comme un résultat nexact S le total des ponts, pour une queston est négatf, ce total sera ramené à 0 Pour tous nombres complexes et non nuls, on a : a + b S = alors Termnale S F Laroche Re( ) =

c S = ' alors = ou = d + ' = + ' On consdère les complexes a= et b= + a ab= e b Il exste un enter n non nul tel que a n est un réel c Il exste un enter n non nul tel que a n et b n sont tous deux des enters d Le pont d affxe a est l mage du pont B d affxe b par une rotaton de centre O e θ Pour tout réel θ de [0 ; [ on pose Z( θ ) = + lors : a Z( ) = e b Pour tout θ de [0 ; [, Z ( θ ) = Z ( θ ) θ e c Pour tout θ de [0 ; [, Z( θ ) est réel d L ensemble des ponts Mθ ( ) d affxe Zθ ( ) est un cercle de rayon 4 Sot a un réel de ] ; e[ et (E) l équaton d nconnue : e dont les affxes sont les solutons de (E) lors : a Les ponts M et N sont symétrques par rapport à l axe des abscsses b Les ponts M et N sont stués sur le cercle de centre O et de rayon c Il n exste aucune valeur de a telle que M et N sont symétrques par rapport à O d S est le pont d affxe, on a M < 5 Basque, ntlles 007 ln a+ = 0 On appelle M et N les ponts 5 ponts ( O ; u, v) est un repère orthonormal drect du plan complexe Sot le pont d affxe + = + u pont M d affxe, on assoce le pont M d affxe telle que ' ( ) On pose = x+ y et ' = x' + y' avec x, y, x et y réels a Démontrer les égaltés suvantes : x' = ( x+ y) et y' ( x y) à la drote (O) = + En dédure que le pont M appartent b Détermner l ensemble des ponts M du plan tels que M =M c Démontrer que pour tout pont M du plan les vecteurs MM' et O sont orthogonaux Sot r la rotaton de centre O et d angle M est le pont d affxe mage de M par r, M le pont d affxe =, M le pont d affxe tel que le quadrlatère OM M M sot un parallélogramme a Dans cette queston unquement M a pour affxe 4 +, placer les ponts M, M, M, M b Exprmer en foncton de, pus en foncton de c OM M M est-l un losange? Justfer d Vérfer que ' = En dédure que MM' = OM Démontrer que les ponts M, M, M et M appartennent à un même cercle de centre O s et seulement s MM' = OM Donner alors la mesure en radans de l angle géométrque M' OM Termnale S 4 F Laroche

6 Basque, ntlles 006 5 ponts Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v), on consdère les ponts d affxe a, a R ; B d affxe b +, b R ; C mage de B dans la rotaton de centre et d angle a Détermner une relaton entre a et b pour que le pont C appartenne à l axe ( O ; v ) b Exprmer alors l affxe du pont C en foncton de a Dans cette queston, on pose a= et b = 0 On consdère les ponts C d affxe c = et D d affxe d = + a Quelle est la nature du trangle BC? b Calculer le quotent d a ; que peut-on en dédure pour le trangle CD? c a c Détermner l affxe du pont E mage de D dans la rotaton de centre et d angle d Détermner l affxe du pont F mage de D dans la translaton de vecteur C e Détermner la nature du trangle BEF 7 nd degré et barycentre, ntlles 00 Le plan est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v) Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes l équaton d nconnue : Termnale S 5 F Laroche + 8 + 64= 0 On consdère les ponts et B qu ont pour affxes respectves les nombres complexes a= 4 4 et b= 4 + 4 Calculer les dstances O, OB et B En dédure la nature du trangle OB On désgne par C le pont d affxe c= + et par D son mage par la rotaton de centre O et d angle Détermner l affxe d du pont D 4 On appelle G le barycentre des ponts pondérés (O ; ), (D ; ) et (B ; ) a Montrer que le pont G a pour affxe g= 4 + 6 b Placer les ponts, B, C, D et G sur une fgure (unté graphque : cm) c Démontrer que le quadrlatère OBGD est un parallélogramme 5 a Justfer l égalté c g = + a g b En dédure une mesure en radans de l angle ( G, GC) Que peut-on en dédure concernant la nature du trangle GC? 8 nd degré, Polynése 996 Parte Sot P le polynôme défn sur C par: Résoudre dans C l'équaton P() = 0 GC, ans que la valeur du rapport G P( ) = + + 4 Écrre les solutons sous forme trgonométrque Parte B

Le plan est rapporté à un repère orthonormal drect (unté 4 cm) Soent, B et C les ponts d'affxes respectves a =, b= + et c= Placer les ponts, B et C sur une fgure Sot a b Z= c b a Interpréter géométrquement le module et un argument de Z b Écrre Z sous forme algébrque et sous forme trgonométrque c En dédure la nature du trangle BC ans qu'une mesure, en radans, de l'angle ( BC, B) Calculer l'are du trangle BC en centmètres carrés 9 nd degré, Inde, 996 a Démonstraton de cours : Etuder la résoluton dans C de l équaton réels avec a non nul b Résoudre l équaton postve a + b+ c= 0, a, b, c étant tros + 4= 0 On appellera et les solutons, ayant sa parte réelle Dans le plan complexe mun d un repère othonormal ( O, u, v) c Donner la forme exponentelle de et pus celle de d affxe ( + ), M d affxe ( ) et d affxe = d unté cm, on consdère les ponts M a Détermner l affxe du pont M mage de M par l homothéte h de centre et de rapport b Détermner l affxe 4 du pont M 4 mage de M par la rotaton r de centre O et d angle c Représenter les ponts O,, M, M, M, M 4 d Calculer Que peut-on en conclure? 4 Termnale S 6 F Laroche

0 Pett exo de base j O Sur la fgure c-dessus placer les ponts suvants : Termnale S 7 F Laroche 4 ( + ), B( ), C(+ ), D( ), E(+ ), F( + ), G( ), H( e ), K( e ) 4 4 Lre sur la fgure le module et l argument de chacun des complexes correspondants Fare le calcul pour B, D, G, H 4 Détermner la forme algébrque et la forme exponentelle des conjugués de B, D, G, H 5 Calculer ( ) ( ) ( ) 5 6 C,, ( ) ( ) 4 E K H 6 Calculer les complexes E et B E ; détermner leurs modules Calculer module et son argument, en dédure l angle des vecteurs E et EB B E E, détermner son 7 On fat une rotaton de centre O et d angle sur les ponts E, et B S E, et B sont leurs mages, quelles sont les affxes de ces tros ponts Que vaut alors 8 On veut construre un trangle rectangle socèle BM dont l hypothénuse est [B] Lre sur la fgure les affxes possbles des ponts M Donner une méthode pour trouver les ponts M, l applquer ' B' E' E'?

9 Soent =, = et =, calculer,,,,,, a = 5 Sot C le cercle de centre et de rayon Sot C le cercle de centre et de rayon Sot r la rotaton de centre O et d angle + Termnale S 8 F Laroche + et b = ( ) 0 Sot f la transformaton du plan qu à M d affxe assoce M d affxe tel que : = 4 + 6 Détermner l unque pont nvarant de f et en dédure la nature et les éléments caractérstque de f Cours, C étrangers 006 4 ponts Parte : resttuton organsée de connassances Prérequs : On rappelle les deux résultats suvants : () S est un nombre complexe non nul, on a l équvalence suvante : ( cosθ snθ ) = r = r + arg = θ à près r 0 ( ) cos a+ b = cos acos b sn asn b () Pour tous nombres réels a et b : sn( a+ b) = sn acos b+ sn bcos a Soent et deux nombres complexes non nuls Démontrer les relatons : Parte B = et arg( ) arg( ) arg( ) = + à près Pour chaque proposton, ndquer s elle est vrae ou fausse et proposer une démonstraton pour la réponse ndquée Dans le cas d une proposton fausse, la démonstraton consstera à fournr un contre-exemple Une réponse sans démonstraton ne rapporte pas de pont On rappelle que s est un nombre complexe, désgne le conjugué de et désgne le module de S = +, alors 4 est un nombre réel S + = 0, alors = 0 S + = 0, alors = ou = 4 S = et s + =, alors = 0 Classque, La Réunon 006 5 ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v) L unté graphque est cm On désgne par le nombre complexe demodule et d argument complétera au fur et à mesure des questons Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes l équaton algébrque Résoudre dans C l équaton + On réalsera une fgure que l on 4 = Écrre la soluton sous forme + 4= 0 Écrre les solutons sous forme exponentelle Soent, B, et D les ponts du plan complexe d affxes respectves : a =, b = 4, a = et d = + Quelle est la nature du trangle ODB? 4 Soent E et F les ponts d affxes respectves e= et f = + Quelle est la nature du quadrlatère OEF?

a On désgne par E l mage par la rotaton r du pont E Calculer l affxe e du pont E b Démontrer que le pont E est un pont du cercle C c Vérfer que : e d ( )( e d) = + En dédure que les ponts E, E et D sont algnés 6 Sot D l mage du pont D par la rotaton r Démontrer que le trangle EE D est rectangle Transformaton? tout nombre complexe on assoce le nombre complexe égal à f( ) = (( + 4) + 5 ) Calculer f(), f() et f( 4) f( ) Exprmer ' = à l ade de et de + En dédure que est réel pour tout complexe 4 Equaton Sot (E) l équaton complexe : 0 + = 6 Démontrer que = x + y avec x et y réels est soluton de (E) s et seulement s : x x y + = 0 (x ) y= 0 En dédure la résoluton de l équaton (E) dans C 5 Cercles Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal drect ( O ; u, v), unté graphque 4 cm, on consdère les ponts, B et C d'affxes respectves a, b, et c telles que : a =, b = +, c = + = a On note Γ le cercle de damètre [B] a Placer sur une fgure les ponts, B, C et le cercle Γ b Mettre les nombres complexes a, b et c sous forme trgonométrque c Sot r la rotaton de centre O telle que r () = B Détermner l'angle de r et le pont r (B), mage de B par r d Détermner l'mage Γ du cercle Γ par r ; placer Γ ' sur la fgure On consdère un nombre θ dans ]0 ; [ dstnct de ; on note M le pont d'affxe = + e θ On désgne par M' l'mage de M par r, et on appelle ' l'affxe de M' a Montrer que M est un pont de Γ dstnct de et de B b Exprmer ' en foncton de Calculer en foncton de θ les affxes u et u' des vecteurs BM et θ c Etablr la relaton u= u' tan Termnale S 9 F Laroche BM' d Prouver que les ponts B, M et M' sont algnés Placer sur la fgure un pont M et son transformé M' 6 Rotaton Dans le plan complexe P mun d'un repère orthonormal ( O ; u, v), (unté graphque : cm), on note B et C les ponts d'affxes respectves et Sot R la transformaton du plan P qu, à tout pont M d'affxe, assoce le pont M d'affxe telle e que ' = Placer les ponts B et C dans le plan P et donner l'écrture de leurs affxes respectves sous la forme exponentelle ( re θ <<Unknown HTML Tag>>)

Précser la nature et les éléments caractérstques de la transformaton R Détermner, sous la forme exponentelle, les affxes des mages respectves B et C par la transformaton R des ponts B et C Placer B et C dans le plan P Que peut-on dre du pont B? Que peut-on dre des ponts B et C relatvement à l'axe des abscsses? 4 a En utlsant les ponts B et C, détermner et construre l'ensemble D des ponts M d'affxe telle que + = b Détermner l'mage D par la transformaton R de l'ensemble D 7 Carrés, rotatons et algnement Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal drect (O ; u, v) On consdère tros ponts dstncts, B et C d'affxes respectves a, b et c a Interpréter géométrquement l'argument du quotent c a b a b Montrer que, B et C sont algnés s et seulement s c a est un nombre réel b a Placer sur une fgure (unté graphque : cm) les ponts, B et C d'affxes respectves a =, b =, c = 4+ Montrer, à l'ade de la proprété précédente, que les ponts, B et C sont algnés On consdère les ponts, B, C,, B, C tels que les quadrlatères O, OB B B, OC C C soent des carrés drects a Tracer les carrés O, OB B B, OC C C b Donner les affxes a et b des ponts et B pus les affxes a et b des ponts et B c À l'ade de la rotaton de centre O et d'angle, calculer l'affxe c de C à l'ade de c d En dédure que les ponts, B et C sont algnés 4 a Détermner le réel a tel que le barycentre du système {(O, a), (C, ), (C, )} sot C (Rappel : le barycentre G du système (, α ), B, β ), est tel que α G+ β BG+ = 0 ) b Calculer l'affxe c de C c Montrer que les ponts, B, C sont algnés 8 Système+parallélogramme, ntlles remplt 007 5 ponts Parte ( ) α + = + Détermner le complexe α tel que α = 4+ Pour tout nombre complexe, on pose f( ) = ( + ) + ( 4+ ) Montrer que ( ) la forme ( α )( α ) En dédure les solutons (sous forme algébrque) de l équaton ( ) 0 Parte B Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( O ; u, v), unté graphque 5 cm f s écrt sous f = On consdère les ponts et B d affxes respectves a= + et b= + Placer et B dans le repère et compléter la fgure au fur et à mesure Termnale S 0 F Laroche

Montrer que b= a, en dédure que le trangle OB est un trangle socèle rectangle tel que ( O, OB) = On consdère le pont C d affxe un trangle socèle rectangle tel que ( OC, OD) Termnale S F Laroche c= + Détermner l affxe du pont D tel que le trangle OCD sot = On pourra conjecturer l affxe de D à l ade de la fgure pour trater la queston suvante Sot M le mleu du segment [BC] On appelle D Prouver que OM = D 4 Donner une mesure en radans de ( D, OM) 5 Prouver que OM= D OM et 6 On appelle J, K et L les mleux respectfs des segments [CD], [D] et [B] et les affxes respectves des vecteurs OM D On admet que le quadrlatère JKLM est un parallélogramme ; démontrer que c est un carré 9 Barycentre, lgne de nveau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect (O ; u, v) ; on prend comme unté graphque cm a Donner l écrture algébrque du nombre complexe de module et dont un argument est b Résoudre dans C l équaton = 4 On donnera la soluton sous forme algébrque On désgne par I, et B les ponts d affxe respectves, et + a Fare une fgure que l on complétera au cours de l exercce b Calculer l affxe Z C du pont C mage par de la symétre de centre I c Ecrre sous forme algébrque le nombre complexe nombre ; ans qu une nterprétaton géométrque C B B En dédure le module et un argument de ce d Sot D le pont d affxe Z D telle que D C = B, montrer que BCD est un carré Pour tout pont M du plan, on consdère le vecteur M+ MB+ MC+ MD a Exprmer le vecteur M+ MB+ MC+ MD en foncton du vecteur MI b Montrer que le pont K défn par K+ KB+ KC+ KD= B est le mleu du segment [D] c Détermner l ensemble Γ des ponts M du plan tel que : M+ MB+ MC+ MD = B Construre Γ 0 Barycentre + lgne de nveau, Polynése 004 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O ; u, v) Unté graphque : cm On désgne par, B et I les ponts d affxes respectves : = +, B = et I = a Fare une fgure que l on complétera au cours de l exercce b Écrre sous forme algébrque le nombre complexe trangle IB? I Z= I B Que peut-on en dédure sur la nature du

c Calculer l affxe C du pont C mage de I par l homothéte de centre et de rapport d Sot D le barycentre du système {(, ) ; (B, ) ; (C, )} ; calculer l affxe D du pont D e Montrer que BCD est un carré Détermner et construre l ensemble Γ des ponts M du plan tels que : M MB+ MC = M+ MC On consdère l ensemble Γ des ponts M du plan tels que : M MB+ MC = 4 5 a Montrer que B appartent à Γ b Détermner et construre l ensemble Γ ème degré, barycentre, lgne de nveau On consdère dans C l'équaton d'nconnue Z : (E) a Vérfer que 8 est soluton de cette équaton Z Z + 48Z 8= 0 Détermner les nombres réels α, β, γ tels que, pour tout complexe Z, Z Z + 48Z 8 = ( Z 8)( α Z + β Z+ γ ) b Résoudre l'équaton (E) ( O ; u, v) est un repère orthonormal drect du plan orenté, l'unté graphque est cm On consdère les ponts, B, C d'affxes respectves a =, b= +, c= 8 a Calculer le module de a (noté a ) et son argument θ Placer les tros ponts, B et C b Calculer le complexe trangle BC a c q=, détermner son module et son argument θ En dédure la nature du b c c Détermner le barycentre D des ponts pondérés (, a ), (B, b ), (C, c ) Placer D d Détermner l'ensemble E des ponts M du plan tels que : M+ MB+ MC = M+ MB MC Tracer E ème degré, rotaton, Pondcherry 00 Premère parte On consdère dans l ensemble des nombres complexes, l équaton suvante : (E) + 6 = 0 Montrer que est soluton de (E), pus que (E) peut s écrre sous la forme : ( )(a + b + c) = 0, où a, b et c sont tros réels que l on détermnera En dédure les solutons de l équaton (E) sous forme algébrque, pus sous forme exponentelle Deuxème parte Le plan complexe est mun d un repère orthonormal ( O ;, j ) Placer les ponts, B et D d affxes respectves =, B = et D = + Calculer l affxe C du pont C tel que BCD sot un parallélogramme Placer C Sot E l mage de C par la rotaton de centre B et d angle D et d angle a Calculer les affxes des ponts E et F, notées E et F b Placer les ponts E et F et F l mage de C par la rotaton de centre Termnale S F Laroche

4 a Vérfer que : Termnale S F Laroche F E = b En dédure la nature du trangle EF 5 Sot I le mleu de [EF] Détermner l mage du trangle EB par la rotaton de centre I et d angle ème degré+rotaton, France 007 5 ponts Parte On consdère l équaton : (E) ( ) ( ) 4+ + + 4 = 0 où est un nombre complexe Démontrer que le nombre complexe est soluton de cette équaton Détermner les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe on at : En dédure les solutons de l équaton (E) ( 4 ) ( 4 ) ( )( ) + + + = a + b+ c Parte B Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect ( O ; u, v), on désgne par, B et C les ponts d affxes respectves, + et Sot r la rotaton de centre B et d angle 4 Détermner l affxe du pont, mage du pont par la rotaton r Démontrer que les ponts, B et C sont algnés et détermner l écrture complexe de l homothéte de centre B qu transforme C en 4 Orthocentre, C étrangers 007 5 ponts I Resttuton organsée de connassances Démontrer qu un nombre complexe est magnare pur s et seulement s = Démontrer qu un nombre complexe est réel s et seulement s = Démontrer que pour tout nombre complexe, on a l égalté : = Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé drect ( O ; u, v) orthonormé drect On se propose de démontrer, à l ade des nombres complexes, que tout trangle de sommets, B, C, deux à deux dstncts, d affxes respectve a, b, c, et dont le centre du cercle crconscrt est stué à l orgne O, a pour orthocentre le pont H d affxe a +b +c II Étude d un cas partculer On pose : a = +, b = +, c= 5 5 Vérfer que O est le centre du cercle crconscrt au trangle BC Placer les ponts, B, C et le pont H d affxe a + b + c, pus vérfer graphquement que le pont H est l orthocentre du trangle BC III Étude du cas general BC est un trangle dont O est le centre du cercle crconscrt, et a, b, c sont les affxes respectves des ponts, B, C Justfer le fat que O est le centre du cercle crconscrt au trangle BC s et seulement s : aa= bb = cc On pose w= bc bc a En utlsant la caractérsaton d un nombre magnare pur étable dans le I, démontrer que w est magnare pur

b Verfer l égalté : ( b+ c)( b c ) = w et justfer que : Termnale S 4 F Laroche b+ c w = b c b c c En dédure que le nombre complexe b + c est magnare pur b c Sot H le pont d affxe a + b + c a Exprmer en foncton de a, b et c les affxes des vecteurs H et CB b Prouver que ( CB, H) = + k, k Z (On admet de même que ( C, BH) = + k, k Z c Que représente le pont H pour le trangle BC? 5 Produt scalare Le plan est mun d'un repère orthonormal drect ( O ; u, v) (unté graphque cm) et sont deux nombres complexes et on pose : ϕ (, ') = ' + ' et ' désgnent les conjugués respectfs de et Calculer : ϕ (, ) ; ϕ ( +, + ), ϕ ( +, + ), ϕ e Montrer que pour tout couple (, ) le nombre ϕ (, ) est réel 6 a On pose = x + y et = x + y ; x, y, x, y réels Calculer ϕ (, ) en foncton de x, x, y, y b Détermner l'ensemble D des ponts M d'affxe tels que ϕ (, + ) = Dessner D a On pose = re θ et et cos(θ θ ) b Exprmer ϕ (, ') en foncton de r, e ' ' = r' e θ ; θ et θ réels, r et r réels postfs Calculer ϕ (, ) en foncton de r, r c Détermner l'ensemble C des ponts M d'affxe tels que ϕ (, ') = d Dessner C dans le repère( O ; u, v) Que peut-on dre de la poston relatve de C et D? Justfer la réponse 6 Forme algébrque & trgo de p/ - Dans le plan rapporté au repère orthonormal drect (O ; u, v) on consdère les ponts, B et C d'affxes respectves : Z 6 =, ZB =, Z a Écrre Z C sous forme algébrque C Z = Z B b Détermner le module et un argument de Z et de Z B c Écrre Z C sous forme trgonométrque ; en dédure les valeurs exactes de Sot I le pont d'affxe Z I = a Quelle est la nature du trangle OIB? cos et de sn b Détermner les mages de I et B dans la rotaton de centre O et d'angle En dédure la nature du trangle OC 7 Forme algébrque & trgo de p/ - 6 Sot les nombres complexes : = et = a Mettre sous forme trgonométrque, et Z=

6 + 6 b En dédure que cos = et sn = 4 4 c On consdère l équaton d nconnue réelle x : ( ) x ( ) 6 + cos + 6 sn x= Résoudre cette équaton dans R et placer les ponts mages des solutons sur le cercle trgonométrque 8 Forme algébrque & trgo de p/ - Le plan complexe P est rapporté à un repere orthonormal ( O ;, j ) et C d'affxes respectves = +, = et = (+ ) + C a Calculer le module et un argument du nombre complexe W = b En dédure la nature du trangle BC a Écrre le nombre complexe B B C sous forme algébrque On consdère dans P les ponts, B b Écrre les nombres et B sous forme trgonométrque En dédure la forme trgonométrque de c À l'ade des deux questons précédentes donner les valeurs exactes de cos et sn B B B 9 p/ 4, France remplt 007 5 ponts Sot les nombres complexes : = + 6, = + et Écrre Z sous forme algébrque Donner les modules et arguments de, et Z Z= En dédure cos et sn 4 Le plan est mun d un repère orthonormal ; on prendra cm comme unté graphque On désgne par, B et C les ponts d affxes respectves, et Z Placer le pont B, pus placer les ponts et C en utlsant la règle et le compas (on lassera les trats de constructon apparents) 5 Écrre sous forme algébrque le nombre complexe 0 Equaton du second degré - 007 Z On désgne par P le plan complexe Unté graphque : cm Résoudre l équaton d nconnue complexe : + 4= 0 On notera la soluton dont la parte magnare est postve et l autre Donner le module et l argument de chacun des nombres,, Ecrre sous forme algébrque et On consdère dans le plan les ponts (+ ), B( ), C( + ) et D( ) a Représenter les ponts, B, C et D dans le plan P Quelle est la nature du quadrlatère BCD? b Montrer que les ponts O, et D d une part et les ponts O, B et C d autre part sont algnés Quel est le pont d ntersecton des dagonales de BCD? c Quelles sont les affxes des vecteurs B et C? Montrer que les drotes B et C sont perpendculares, Termnale S 5 F Laroche

Equaton du second degré - α étant un nombre réel appartenant à l'ntervalle [0 ; ] et un nombre complexe, on consdère le polynôme P(), défn par : P( ) = ( sn α) + ( sn α) a Calculer P() b En dédure l'exstence de tros réels a, b, c tels que P( ) = ( )( a + b+ c ) Détermner a, b et c c Résoudre, dans C, l'équaton P() = 0 On consdère tros nombres complexes : = ; = snα + cosα ; = snα cosα Détermner le module et un argument de chacun de ces nombres complexes, et Médatrce - Le plan complexe (P) est rapporté au repère orthonormal( O ; u, v) Sot (D) l'ensemble des ponts M de (P) d'affxe vérfant () : = + En écrvant = x + y, montrer par le calcul que (D) est une drote dont on donnera une équaton On se propose dans cette queston de vérfer le résultat du Sot le pont d'affxe et B le pont d'affxe + a Placer et B dans le repère ( O ; u, v) b En nterprétant géométrquement la relaton () à l'ade des ponts et B, re-démontrer que (D) est une drote Tracer (D) c Retrouver alors par le calcul l'équaton de (D) obtenue au Médatrce - Le plan complexe est mun d'un repère orthonormal drect ( O ; u, v ), unté graphque : cm Placer les ponts B et D d'affxes respectves B = +, D = On complètera la fgure dans les questons suvantes Montrer que le trangle ODB est un trangle équlatéral Sot E le pont d'affxe = e E a Le pont est l'mage de E par la rotaton r de centre O et d'angle Détermner l'affxe du pont et vérfer que est le mleu du segment [OB] b Le pont C est l'mage de E par la translaton t de vecteur 4 Calculer C B et détermner un argument de ce nombre complexe v Détermner l'affxe C du pont C 5 Dédure des questons précédentes que la drote (CD) est la médatrce du segment [OB] 4 Sute géométrque On désgne par M n le pont du plan complexe d affxe n défne par: n n n = e = (cos n + sn n ) où n est un nombre enter naturel et où M 0 est le pont d affxe 0 = Détermner les valeurs de n pour lesquelles n est réel Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal( O ; u, v ) (unté = 8 cm) a Représenter dans P les ponts M0, M, M, M, M 4 n Termnale S 6 F Laroche

b Calculer en foncton de n les longueurs des tros côtés du trangle OMn M n + Montrer que ce trangle est rectangle On consdère la sute ( an ) n Ν défne par an = n+ n a Montrer que la sute ( a n) est une sute géométrque dont on précsera le premer terme et la rason b Calculer l Termnale S 7 F Laroche k= n n = ak Détermner la lmte de n k= 0 l quand n tend vers + 4 a Calculer en foncton de n l are b n du trangle OMn M n + b Calculer k= n n = bk Détermner la lmte de n s k= 0 5 Sute arthmétco-géométrque, se 007 b quand n tend vers + 5 ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v) L unté graphque est 4 cm Sot λ un nombre complexe non nul et dfférent de On défnt, pour tout enter naturel n, la sute ( n ) 0 = 0 de nombres complexes par : n+ = λ n + On note M n le pont d affxe n Calcul de n en foncton de n et de λ a Vérfer les égaltés : = + ; ( λ λ ) = ; ( λ ) b Démontrer que, pour tout enter n postf ou nul : Étude du cas λ = a Montrer que 4 = 0 = + + b Pour tout enter naturel n, exprmer n+ en foncton de n n n λ = λ c Montrer que M n+ est l mage de M n par une rotaton dont on précsera le centre et l angle d Représenter les ponts M 0,M, M, M et M 4 dans le repère ( O ; u, v) Caractérsaton de certanes sutes ( n ) k a On suppose qu l exste un enter naturel k tel que λ = Démontrer que, pour tout enter naturel n, on a l égalté : n+k = n b Récproquement, monter que s l exste un enter naturel k tel que, pour tout enter naturel n on at l égalté n+k = n alors : λ = 6 Sute de carrés, se 000 k 5 ponts Dans le plan complexe (P)mun d un repère orthonormé drect ( O ; u, v), d unté cm, on consdère les ponts, B, C et D d affxes respectves : = ; B = ; C = + et D = + Placer sur une fgure les ponts, B, C et D a Interpréter géométrquement le module et l argument du complexe b Calculer le complexe C D B c Que pouve-vous conclure concernant les segments [C] et [BD]? C D B

a Quelle est la nature du quadrlatère BCD? Justfer b Calculer l are s 0 du quadrlatère BCD 4 a Placer sur la fgure précédente les ponts, B, C et D tels que D = B = B C, où les ponts et B appartennent à [DC], le quadrlatère B C D étant un carré stué àl extéreur du quadrlatère BCD b Tracer le carré B C D et détermner son are s 5 a On contnue par le même procédé : un carré n B n C n D n étant détermné, on consdère les ponts n+, B n+, C n+ et D n+ tels que Dn n+ = n+ Bn+ = Bn+ Cn où les ponts n+ et B n+ appartennent à [D n C n ], le quadrlatère n+ B n+ C n+ D n+ étant un carré stué à l extéreur du carré n B n C n D n Tracer le carré B C D b Sot s n l are du carré n B n C n D n Exprmer s n+ en foncton de s n, pus de n En dédure s n, en foncton de n c Détermner, en foncton de n, l are S n de la fgure obtenue par la juxtaposton du quadrlatère BCD et des carrés B C D, B C D, et n B n C n D n d La sute (s n ) est-elle convergente? Précser sa lmte s elle exste 7 Inverson Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal drect(o ; u, v ) L'unté graphque est 4 cm À tout pont M d'affxe non nulle, on assoce le pont M d'affxe telle que ' = nombre complexe conjugué de a Détermner une relaton entre les arguments de et de b En dédure que les ponts O, M et M sont algnés Démontrer que ' + = ( ), où désgne le On nomme et B les ponts d'affxes respectves et On désgne par C le cercle de centre contenant le pont O et par C * le cercle C prvé du pont O On suppose dans cette queston que le pont M appartent à C * a Justfer l'égalté : = Démontrer que ' + = ' Interpréter géométrquement cette égalté b Dédure de ce qu précède une constructon géométrque du pont M à partr du pont M 4 Le pont M étant un pont du plan, d'affxe non réelle, on nomme M son symétrque par rapport à l'axe des réels ' + ' + a Calculer en foncton de Exprmer alors l'argument de en foncton de l'angle ( M, M B ) ' ' b Comparer les angles ( M, M B) et ( M, MB ) c Démontrer que M appartent au cercle crconscrt au trangle MB 8 Inverson, ntlles 005 5 ponts ( O ; u, v) est un repère orthonormal du plan P Sot le pont d affxe ; sot B le pont d affxe Sot F l applcaton de P prvé de O dans P qu à tout pont M d affxe dstnct de O assoce le pont M = F(M) d affxe ' = a Sot E le pont d affxe e ; on appelle E son mage par F Détermner l affxe de E sous forme exponentelle, pus sous forme algébrque b On note C le cercle de centre O et de rayon Détermner l mage de C par l applcaton F Termnale S 8 F Laroche

a Sot K le pont d affxe Termnale S 9 F Laroche e 5 6 et K l mage de K par F Calculer l affxe de K b Sot C le cercle de centre O et de rayon Détermner l mage de C par l applcaton F On désgne par R un pont d affxe rayon a Montrer que + e θ où θ ] ; [ ' + = En dédure que : ' + = ' b S on consdère mantenant les ponts d affxe stuées sur une drote On pourra utlser le résultat du a 9 Inverson, mérque du Sud 005 + R appartent au cercle C de centre et de + e θ, θ ] ; [ +, montrer que leurs mages sont 5 ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v) Unté graphque cm Sot f l applcaton qu à tout pont M du plan d affxe non nulle assoce le pont M d affxe telle que 4 ' =, où désgne le nombre complexe conjugué de Détermner l ensemble des ponts nvarants par f Détermner l ensemble des ponts dont l mage par l applcaton f est le pont J d affxe Sot α un nombre complexe non nul Démontrer que le pont d affxe α admet un antécédent unque par f, dont on précsera l affxe OM, OM ' Interpréter géométrquement ce résultat 4 a Donner une mesure de l angle ( ) b Exprmer ' en foncton de S r désgne un réel strctement postf, en dédure l mage par f du cercle de centre O et de rayon r c Chosr un pont P du plan complexe non stué sur les axes de coordonnées et tel que OP =, et construre géométrquement son mage P par f 5 On consdère le cercle C, de centre J et de rayon Montrer que l mage par f de tout pont de C, dstnct de O, appartent à la drote D d équaton x = 40 Homographe, Polynése sept 006 4 ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v) On pose a =, b = 5 et c = 5+ On désgne par, B et C les ponts d affxes respectves a, b et c Sot M un pont d affxe du plan, dstnct des ponts et B a Montrer que BC est un trangle rectangle socèle b Donner une nterprétaton géométrque de l argument du nombre complexe c Détermner alors l ensemble des ponts M d affxe tels que négatf Sot Γ le cercle crconscrt au trangle BC et Ω le pont d affxe a Donner l écrture complexe de la rotaton r de centre Ω et d angle 5+ sot un nombre réel strctement 5+ b Détermner l mage Γ de Γ par la rotaton r Détermner une équaton paramétrque de Γ 4 Homographe+ROC, se 006 4 ponts

Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O ; u, v) (unté graphque : cm) On rappelle que pour tout vecteur w non nul, d affxe, on a : = w et arg = ( u, w) à k près Parte : resttuton organsée de connassances Prérequs : On sat que s et sont deux nombres complexes non nuls, alors : ( ) Soent et deux nombres complexes non nuls Démontrer que : arg = arg arg Parte B Termnale S 0 F Laroche arg = arg + arg On note et B les ponts d affxes respectves et On note f l applcaton qu, à tout pont M du plan, + d affxe, dstnct de, assoce le pont M d affxe telle que : = + Étude de quelques cas partculers a Démontrer que f admet deux ponts nvarants J et K appartenant au cercle de damètre [B] Placer ces ponts sur le dessn b On note C le pont d affxe c = + Démontrer que le pont C, mage de C par f, appartent à l axe des abscsses Pour tout pont M du plan dstnct de et B, démontrer que arg = ( M, MB) + à k près Étude de deux ensembles de ponts a Détermner l ensemble des ponts M d affxe tels que sot un nombre complexe magnare pur b Sot M d affxe un pont du cerce de damètre [B] prvé des ponts et B À quel ensemble appartent le pont M? 4 Homographe Dans le plan complexe P, mun d'un repère orthonormal drect ( O ; u, v), on consdère les ponts, B, C et D d'affxes respectves : =, B = 4, C = 4 +, D = a Placer les ponts, B, C et D sur une fgure, qu sera peu à peu complétée On prendra pour unté graphque cm b Précser la nature du trangle BC On désgne par F l'applcaton qu, à tout pont M de P, d'affxe et dstnct de, assoce le pont M (4+ ) d'affxe ' = + a Détermner les mages de B et C par F b Détermner l'ensemble E des ponts d'affxe tels que ' = Construre E a Montrer que, pour tout nombre complexe dstnct de, on a : ( ) ( + ) = 4 4 b En dédure que s M est sur un cercle de centre et de rayon r, M est sur un cercle dont on précsera le centre et le rayon c De même montrer que s M est sur une drote passant par, alors M est sur une drote passant par D Varante orgnelle a Montrer que, pour tout nombre complexe dstnct de, on a : ( )( + ) = 4 4 b Montrer que, pour tout pont M, dstnct de, et dont l'mage par F est notée M, on a : M ' D DM ' M= 4 5 ( u, DM ') + ( u, M) = (mod ) 4

4 Homographe Sot un plan P rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v) On note le pont d'affxe et B celu d'affxe M le pont d'affxe et M' le pont d'affxe ' Sot f l'applcaton du plan complexe défne par : Sot un complexe dfférent de Termnale S F Laroche f( ) = ' = + a On désgne par r et θ le module et un argument de Interpréter géométrquement r et θ b Montrer que (' + )( ) = c On désgne par r' et θ le module et un argument de ' + Interpréter géométrquement r' et θ Sot (C) le cercle de centre et de rayon Montrer que s M appartent à (C), son mage M' par f appartent à un cercle (C') de centre B dont on donnera le rayon Sot T le pont d'affxe + + a Calculer l'affxe de T ; en dédure que T appartent au cercle (C) u, T Tracer le cercle (unté cm) et placer T b Détermner une mesure en radans de l'angle ( ) c En utlsant les questons précédentes, construre l'mage T' de T par f 44 Homographe, N Calédone 996 tout complexe dfférent de on assoce le complexe Calculer f( + ) Détermner le complexe tel que f( ) = + 4+ f( ) = + On appelle x et y la parte réelle et la parte magnare de détermner en foncton de x et y la parte réelle X et la parte magnare Y de f( ) 4 Dans le plan complexe, on appelle le pont d affxe, B le pont d affxe et M le pont d affxe M Montrer que f( ) = MB Donner une nterprétaton de arg( f( )) à l ade de l angle ( MB, M) 45 Homographe 4, m du Sud 00 Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v) on appelle et B les ponts d affxes respectves et À tout pont M d affxe, dfférent de, on assoce le pont N d affxe et 4 M d affxe tel que ' = Calculer et ' lorsque = 5 pus lorsque = + a Interpréter géométrquement et b Montrer que, pour tout dstnct de, ' = En dédure une nformaton sur la poston de M Détermner l ensemble E des ponts M d affxe ( ) tels que M = B 4 On note Z et Z M les affxes respectves des vecteurs M et BM Montrer que, pour tout pont M BM Z M dstnct de et n appartenant pas E, le quotent est un nombre réel Interpréter géométrquement Z ce résultat BM

5 Un pont M dstnct de, n appartenant pas E, étant donné, proposer une méthode géométrque pour construre le pont M On llustrera par une fgure 46 Homographe+cercles, France 00 5 ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v) d unté graphque 4 cm On note et B les ponts d affxes respectves et À tout pont M, dstnct de et d affxe, est assocé le pont M ( )( ) d affxe Z défne par : Z= a Calculer l affxe du pont C assocé au pont C d affxe b Placer les ponts, B et C Sot = x +y où x et y désgnent deux nombres réels a Montrer l égalté : ( x ) + ( y ) x y ( ) ( ) + Z= x + y x + y b Détermner l ensemble E des ponts M d affxe telle que Z sot réel c Détermner l ensemble F des ponts M d affxe telle que Re(Z) sot négatf ou nul a Écrre le nombre complexe ( ) sous forme trgonométrque b Sot M un pont d affxe, dstnct de et de B Montrer que Z est un réel non nul s et seulement s l exste un enter relatf k tel que ( M, MB) = + k 4 c En dédure l ensemble des ponts M vérfant ( M, MB) = + k 4 d Détermner l ensemble des ponts M vérfant ( M, MB) = + k 4 47 Homographe, La Réunon 004 5 ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v) ; désgne le nombre complexe de module et d argument Soent les ponts, B et C d affxes respectves, + et + Sot f l applcaton qu, à tout pont M du plan dfférent de, d affxe, assoce le pont M du plan d affxe + tel que : ' = a Détermner les mages de B et de C par l applcaton f b Montrer que, pour tout nombre complexe dfférent de, on a la relaton ( )( ) ' = c Sot D le pont d affxe + Placer les ponts, B, C et D sur une fgure (unté graphque 4 cm) Dédure de la queston précédente une constructon du pont D mage du pont D par l applcaton f Sot R un nombre réel strctement postf Quelle est l mage par l applcaton f du cercle de centre et de rayon R? a Montrer que, s l affxe du pont M est un magnare pur dfférent de, alors l affxe du pont M est un magnare pur Que sgnfe ce résultat pour l mage par l applcaton f de l axe magnare prvé du pont? b Sot la drote passant par le pont et de vecteur drecteur u Détermner l mage de la drote prvée du pont par l applcaton f Termnale S F Laroche

48 Carré Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O ;, j ), on consdère le pont M d'affxe M =+m (où m est un nombre réel) et le carré MNPQ de centre O et tel que N sot l'mage de M par la rotaton de centre O et d'angle de mesure a Détermner, en foncton de m les affxes N, P, Q des ponts N, P et Q b Représenter le carré MNPQ dans le cas partculer où le pont M a pour affxe + M étant le pont d'affxe M = + m, on note I le mleu du segment [MN] et J le mleu du segment [NP] d'affxes respectves I et J Calculer le nombre complexe Termnale S F Laroche w= M Q I J Donner l'nterprétaton géométrque du module et de l'argument de w, et explquer, par un rasonnement géométrque, le résultat obtenu Sot le pont d'affxe a Calculer l'affxe Z du vecteur I Calculer le module de Z, pus, en dstnguant les cas m < et m >, détermner un argument de Z b En dédure l'ensemble décrt par le pont I quand M décrt la drote D d'équaton x = Représenter 49 Rotaton et homothéte Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé drect ( O ; u, v) ayant comme unté graphque cm a Résoudre dans C l équaton : + 4= 0 b On pose a= + et b=, exprmer a et b sous forme exponentelle c Placer (a) et B(b) dans le repère précédent a Sot r la rotaton de centre O et d angle Donner l expresson complexe de r, pus détermner l mage de par cette rotaton (On exprmera a sous forme algébrque et exponentelle) Placer dans le repère précédent b Sot h l homothéte de centre O et de rapport Donner l expresson complexe de h, pus détermner l mage B de B par cette homothéte (On exprmera b' sous forme algébrque et exponentelle) Placer B dans le repère précédent 50 Homothétes On consdère deux cercles (C) et (C ) de centres respectfs O et O et de rayons respectfs r et r, tangents extéreurement en, de damètres respectfs [B] et [ ] Sot M un pont quelconque de (C), dstnct de et B, et M le pont de (C ) tel que le trangle MM sot rectangle en (on prendra pour la fgure r = cm) a Détermner en justfant les réponses : - le rapport de l homothéte h de centre qu transforme (C) en (C ) - le centre I de l homothéte h, dstncte de h qu transforme (C) en (C ) Placer I sur la fgure b On note M = h (M) Montrer que M est le pont de (C ) damétralement opposé à M Détermner h (M) et en dédure que la drote (MM ) passe par un pont fxe lorsque M décrt le cercle (C) prvé des ponts et B Sot Ω le mleu de [MM ] Montrer que Ω appartent à un cercle fxe dont on donnera le centre et le rayon

On consdère le repère orthonormé drect du plan complexe consttué par O et les vecteurs O et OC (orthogonal à O, et de longueur, on consdère donc que r = ) Sot M d affxe un pont de (C) On a donc θ θ = e, [0, ] a Calculer en foncton de les affxes des ponts M pus M En dédure l affxe de I b Vérfer que θ θ θ e + e + e = e e e θ θ θ pour tout θ Montrer que l angle ( M, M') est drot 5 Rotaton-translaton Dans le plan orenté, on consdère un trangle BC tel que B = C et ( B, C) = ( ) Soent I, J et K les mleux respectfs de [BC], [C] et [B] B On appelle R la rotaton de centre I et d angle, T la J I translaton de vecteur BC et on pose f = R o T et g = T o R Détermner l mage de K par f et l mage de J par g Précser la nature et les éléments caractérstques de f et g Détermner la nature de la transformaton g o f Chercher l mage de par cette transformaton et caractérser alors g o f Sot M un pont du plan, M l mage de M par f et M l mage de M par g Détermner g o f (M ) Quelle est la nature du quadrlatère CM M? 4 On chost le repère ( ; B, C) Détermner les affxes des ponts I, J et K Donner l expresson complexe de f et celle de g Détermner les affxes de C et M M Conclure 5 Rotatons, Pars 996 Dans le plan orenté on consdère un trangle socèle BC tel que B = C et ( B, C) Termnale S 4 F Laroche tel que le trangle CI sot rectangle socèle avec ( C, CI) = O Pour la fgure que l on complétera au fur et à mesure de l exercce, on prendra B = 5 cm K = Sot I le pont 4 On appelle r la rotaton de centre qu transforme B en C et r C la rotaton de centre C et d angle On pose f = r C o r a Détermner les mages par f de et B b Démontrer que f est une rotaton dont on précsera l angle et le centre O Placer O c Quelle est la nature du quadrlatère CBO? Sot s la smltude de centre O qu transforme en C On appelle C l mage de C par s, H le mleu du segment [BC] et H son mage par s a Donner une mesure de l angle de s Montrer que C appartent à (O) b Donner l mage par s du segment [O] et montrer que H est le mleu de [OB] c Montrer que (C H ) est perpendculare à (OB) En dédure que C est le centre du cercle crconscrt au trangle OCB 5 Quadrlatère et trangles, N Calédone 004 4 ponts

Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O ; u, v) B, D = α[ ] CD, CB = β[ ], 0< α <, 0< β < On consdère le quadrlatère BCD tel que : ( ), ( ) On construt les trangles équlatéraux DCP, DQ, BM et BCN tels que : ( DC, DP) = [ ], ( D, DQ) = [ ] B, BM =, ( ) [ ], ( BC, BN) = [ ] Sot a, b, c et d les affxes respectves des ponts, B, C et D, m, n, p et q les affxes respectves des ponts M, N, P et Q Démontrer les relatons suvantes : = ( ) +, n= e ( c b) + b, p= e ( c d) + d, ( ) m e a b b En utlsant les relatons précédentes : a Démontrer que MNPQ est un parallélogrammme b Démontrer que l on a : ( C, QP) = [ ], C = QP, ( NP, BD) = [ ] q= e a d + d et NP = BD Démontrer que MNPQ est un carré s, et seulement s, les dagonales [C] et [BD] du quadrlatère BCD vérfent : C = BD et ( C, BD) = [ ] 6 54 ème degré+hyperbole, m du Nord 004 5 ponts Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O ; u, v) On veut résoudre dans C l équaton (E) : + 4 + 8 = 0 a Détermner deux réels a et b tels que l équaton (E) s écrve : ( )( + a + b) = 0 b Résoudre (E) On note (H) l ensemble des ponts M du plan complexe d affxe vérfant : 4= 4 a On note x et y les partes réelle et magnare de l affxe d un pont M Montrer que : M appartent à (H) s et seulement s x y = 4 b Soent, B et C les ponts d affxes respectves, 5, + 5 Vérfer que, B et C appartennent à (H) Sot r la rotaton de centre O et d angle 4 a Détermner les affxes de, B et C, mages respectves de, B et C par la rotaton r (on donnera ces affxes sous la forme algébrque) b On note M l mage par r du pont M d affxe On note l affxe de M Les partes réelle et magnare de sont notées x et y, celles de sont notées x et y On note (H ) l ensemble des ponts du plan dont l antécédent par r est un pont de (H) - Exprmer x et y en foncton de x et y - En utlsant la queston a prouver que : M appartent à (H ) s et seulement s x y = 4 Fare une fgure sur laquelle on placera les ponts, B, C,, B, C, la courbe (H ), pus la courbe (H) 55 Conjugué, Centres étrangers 004 4 ponts Le plan est mun d un repère orthonormal drect ( O ; u, v), unté graphque : cm On appelle le pont d affxe À tout pont M du plan d affxe, on assoce le pont M d affxe ' = + On consdère le pont B d affxe b = Termnale S 5 F Laroche

Détermner la forme algébrque des affxes a et b des ponts et B assocés respectvement aux ponts et B Placer ces ponts sur le dessn Montrer que s M appartent à la drote ( ) d équaton y = alors M appartent auss à ( ) Démontrer que pour tout pont M d affxe, ' + = + ; nterpréte géométrquement cette égalté 4 Pour tout pont M dstnct de on appelle θ un argument de + u ; M a Justfer que θ est une mesure de l angle ( ) b Démontrer que ( )( ' ) Termnale S 6 F Laroche + + est un réel négatf ou nul c En dédure un argument de + en foncton de θ d Que peut-on en dédure pour les dem-drotes [M) et [M )? 5 En utlsant les résultats précédents, proposer une constructon géométrque du pont M assocé au pont M 56 Transformatons + ROC, Pondcherry 007 5 ponts Dans cette queston l est demandé au canddat d exposer des connassances Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( O ; u, v) Sot R la rotaton du plan de centre Ω, d affxe ω et d angle de mesure θ L mage par R d un pont du plan est donc défne de la manère suvante : - R( Ω ) =Ω ; - pour tout pont M du plan, dstnct de Ω, l mage M de M est défne par Ω M' =Ω M et M Ω, Ω M ' = θ ( ) [ ] On rappelle que pour des ponts et B d affxes respectves a et b, B= b a et u, B = arg b a ( ) ( )[ ] Queston : montrer que les affxes et d un pont quelconque M du plan et de son mage M par la θ rotaton R sont lées par la relaton ' ω e ( ω) = On consdère les ponts I et B d affxes respectves = + et = + Sot R la rotaton de centre B et d angle de mesure a Donner l écrture complexe de R b Sot l mage de I par R Calculer l affxe de c Montrer que O, et B sont sur un même cercle de centre I En dédure que OB est un trangle rectangle O, OB en Donner une mesure de l angle ( ) d En dédure une mesure de l angle ( u, O) Sot T la translaton de vecteur IO a Calculer l affxe ' de b Quelle est la nature du quadrlatère OI? c Montrer que est un argument de On pose ' T( ) ' 57 Transform+médatrce, C étrangers 005 5 ponts I = B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v), unté graphque 8 cm On appelle le pont d affxe et B le pont d affxe On appelle E l ensemble des ponts du plan dstncts de, O et B À tout pont M d affxe appartenant à E, on assoce le pont N d affxe Prouver que les ponts M, N et P sont deux à deux dstncts Termnale S 7 F Laroche et le pont P d affxe On se propose dans cette queston de détermner l ensemble C des ponts M appartenant à E tels que le trangle MNP sot rectangle en P a En utlsant le théorème de Pythagore, démontrer que MNP est rectangle en P s et seulement s b Démontrer que c En dédure l ensemble C cherché + + = + + = équvaut à + + = 4 Sot M un pont de E et son affxe, on désgne par r le module de et α l argument de, α ] ; ] + a Démontrer que l ensemble F des ponts M de E tels que l affxe de P sot un réel strctement postf est la réunon de tros dem-drotes (éventuellement prvées de ponts) b Représenter les ensembles C et F dans le repère ( O ; u, v) c Détermner les affxes des ponts M de E tels que le trangle MNP sot rectangle en P, l affxe de P étant un réel strctement postf 58 Transformaton non lnéare, Lban 007 5 ponts Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O ; u, v) On consdère l applcaton f qu à tout pont M d affxe non nulle assoce le pont M = f(m) d affxe tel que : ' = ( ) Le cercle C, de centre O et de rayon, est représenté sur la fgure, donnée en annexe, que l on complétera au fur et à mesure des questons Pour complexe non nul, on note r e α Montrer que ' ( ) = re α =, r étant lemodule de et α un argument de Détermner l affxe a du pont, mage par f du pont d affxe a = Sot B le pont d affxe b= + a Écrre b sous forme exponentelle b Détermner l affxe b du pont B, mage du pont B par f 4 Placer, B, et B sur la fgure 5 a Détermner l ensemble E des ponts M du plan prvé du pont O dont l mage par f est O b Représenter E sur la fgure 6 Montrer que le cercle C est l ensemble des ponts M du plan dstncts de O tels que f(m) =M 7 Pour cette queston, M est un pont du plan, dstnct de O, n appartenant pas au cercle C On appelle I le mleu du segment [MM ] où M est l mage de M par f a Montrer que I appartent à C b Montrer que I appartent à la dem-drote [OM) c Sur la fgure donnée en annexe est placé un pont nommé M Construre le pont M, mage par f du pont M

y M j O x x 59 f()= +, N Calédone 00 5 ponts On se place dans le plan complexe mun d un repère orthonormal ( O ; u, v) On consdère la transformaton ponctuelle f qu, à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe défne par : = + Détermner les antécédents du pont O Exste-t-l des ponts nvarants par f? S ou, précser leurs affxes respectves Montrer que deux ponts symétrques par rapport à O ont la même mage Que peut-on dre des mages de deux ponts symétrques par rapport à l axe des abscsses? 4 Sot le pont d affxe = ( + ) Détermner l affxe du pont mage de par f pus prouver que les ponts O, et sont algnés 5 Sot θ un nombre réel appartenant à l ntervalle [0 ; [ et N le pont d affxe a Montrer que N appartent au cercle (Γ ) de centre O et de rayon b Lorsque θ vare, montrer que N, mage du pont N par f reste sur un cercle dont on précsera le centre et le rayon ON = cosθ ON En dédure que les ponts O, N et N sont algnés c Vérfer que ( ) d Explquer la constructon du pont N 60 f()=, Polynése 004 5 ponts Le plan est mun d un repère orthonormal drect ( O ; u, v) On prendra cm pour unté graphque Pour tout pont M d affxe on consdère les ponts M et M d affxes respectves ' = et a Détermner les ponts M pour lesquels M '' Termnale S 8 F Laroche = M b Détermner les ponts M pour lesquels M '' = M ' e θ '' =

Montrer qu l exste exactement deux ponts M et M dont les mages M, M, M, M appartennent à l axe des ordonnées Montrer que leurs affxes sont conjuguées On pose = x+ y où x et y sont des nombres réels a Exprmer sous forme algébrque le nombre complexe '' ' b En dédure l ensemble E des ponts M du plan pour lesquels les ponts M, M et M sont algnés Représenter E graphquement et en couleur 4 On pose = e θ où θ 0 ; a Détermner l ensemble Γ des ponts M d affxe ans défns et chacun des ensembles Γ et Γ des ponts M et M assocés à M b Représenter Γ, Γ et Γ sur la fgure précédente c Dans cette queston θ = Placer le pont M obtenu pour cette valeur de θ, et les ponts M, M 6 assocés Montrer que le trangle M M M est rectangle Est-l socèle? 6 Napoléon, ntlles 004 5 ponts Dans le plan orenté mun d un repère orthonormal drect, on consdère BC un trangle drect sur lequel on construt extéreurement tros trangles équlatéraux BC, CB et BC On consdère respectvement les ponts P, Q et R, centres de gravté respectfs des trangles BC, CB et BC On note a, b, c, a, b, c, p, q et r les affxes respectves des ponts, B, C,, B, C, P, Q et R a Tradure, avec les affxes des ponts concernés, que C est l mage de dans une rotaton d angle de mesure dont on précsera le centre b Montrer que a + b + c = a + b + c En dédure que p + q + r = a + b + c En dédure que les trangles BC, B C et PQR ont même centre de gravté 4 Montrer que : (q p) = (b c)+(c a )+(a b) On admettra que, de même : (r p) = (a c) + (b a ) + (c b) 5 Justfer les égaltés suvantes : a c e ( b' c) ; b a' e ( c a' ) ; c' b e ( a b) 6 Dédure des questons 4 et 5 que le trangle PQR est équlatéral = = = B' Q P C' C R B ' 6 f()= 4+6, Polynése 004 Le plan est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v) On désgne par et B les ponts d affxes respectves et On fera un dessn (unté graphque : cm) qu sera complété selon les ndcatons de l énoncé On désgne par f l applcaton du plan qu, à tout pont M d affxe, assoce le pont M d affxe défn par l égalté : Termnale S 9 F Laroche ' = 4+ 6 Cette transformaton admet-elle des ponts nvarants?

a Détermner le(s) pont(s) admettant l orgne O comme transformé b On désgne par M et M les ponts d affxes respectves : = + et = Détermner la forme algébrque du complexe, donner son argument et en dédure la nature du trangle OBM c Démontrer, sans nouveau calcul, que les ponts O, B, M et M appartennent à un même cercle (C) que l on précsera et construra Placer les ponts M et M a Vérfer que pour tout pont M du plan d affxe on a : ' = ( ) b On désgne par ( Γ) le cercle de centre et de rayon Justfer que les ponts M du cercle ( Γ ) sont caractérsés par une affxe vérfant : = +, où θ désgne un réel de l ntervalle ] ; ] e θ c Montrer, à l ade des deux questons précédentes, que s M appartent au cercle ( Γ ), alors l affxe de M vérfe : ' e θ = + d En dédure que M est stué sur un cercle ( Γ ') dont on précsera le centre et le rayon Construre e Détermner l angle orenté ( u ; M') en foncton de ( u; M) 4 pplcaton : On appelle D le pont d affxe + 6 d= + ; D est son mage par f a Ecrre sous forme exponentelle le complexe d En dédure que D est stué sur le cercle ( Γ ) b l ade de la queston d donner une mesure de l angle ( u; D') et placer le pont D sur le dessn c Démontrer que le trangle OD est équlatéral 6 Projecton orthogonale, m du Sud 00 Le plan est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v) (unté graphque 4 cm) Sot I le pont d affxe On note (C) le cercle de damètre [OI] et on nomme son centre Ω Parte I : On pose a0 = + et on note 0 son mage Montrer que le pont 0 appartent au cercle C Sot B le pont d affxe b, avec b = +, et B le pont d affxe b telle que b = a 0 b a Calculer b b Démontrer que le trangle OBB est rectangle en B Parte II : Sot a un nombre complexe non nul et dfférent de, et son mage dans le plan complexe À tout pont M d affxe non nulle, on assoce le pont M d affxe telle que = a On se propose de détermner l ensemble des ponts tels que le trangle OMM sot rectangle en M a Interpréter géométrquement arg a a a b Montrer que ( M' O, M' M) = arg + k, k Z a c En dédure que le trangle OMM est rectangle en M s et seulement s appartent au cercle C prvé de O et de I Dans cette queston, M est un pont de l axe des abscsses, dfférent de O On note x son affxe On chost a de manère que sot un pont de C dfférent de I et de O Montrer que le pont M appartent à la drote (O) En dédure que M est le projeté orthogonal de M sur cette drote Γ ' Termnale S 0 F Laroche

64 f(m)=mmb, ntlles 00 Dans le plan complexe rapport au repère orthonormal ( O ; u, v) consdère les ponts et B d affxes respectves = + et centre O et de rayon Donner la forme trgonométrque de et celle de B Dans la sute de l exercce, M désgne un pont de (C ) d affxe Termnale S F Laroche B drect, (unté graphque : 5 cm), on = + On désgne par (C ) le cercle de e α, α [ 0 ; ] On consdère l applcaton f qu tout pont M de (C ), assoce f( M) = M MB a Montrer, pour tout α R, l égalté suvante : b Montrer l égalté suvante : c En dédure l égalté suvante : α e α = e α f( M) = e + e f( M) = + snα 4 + a En utlsant c, montrer qu l exste deux ponts M de (C), dont on donnera les coordonnées, pour lesquels f(m) est mnmal Donner cette valeur mnmale b En utlsant c, montrer qu l exste un seul pont M de (C ), dont on donnera les coordonnées, pour lequel f (M) est maxmal Donner cette valeur maxmale 65 Hyperbole+rotaton, Polynése rempl 005 7 ponts Le plan est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v) (unté graphque : cm) Parte Dans le repère ( O ; u, v), on consdère la courbe H d équaton y x = 6 Montrer que H est la réunon de deux courbes C et C où C est la courbe représentatve de la foncton f défne sur R par précsera α f( x) = x + 6 et où C est l mage de C par une transformaton smple que l on Étuder la foncton f (lmtes aux bornes de l ensemble de défnton et sens de varaton) a Montrer que la drote d équaton y = x est une asymptote de C b Tracer H dans le repère ( O ; u, v) On nomme et B les ponts de la courbe H d abscsses respectves et On consdère le domane D du plan consttué des ponts M(x ; y) vérfant x et x + 6 y 5 Hachurer le domane D et exprmer l are de D à l ade d une ntégrale que l on ne cherchera pas à calculer Parte B On appelle r la rotaton de centre O et d angle 4 a Donner l écrture complexe de r b On désgne par x et y les coordonnées du pont M, mage par r du pont M(x ; y) du plan x' = ( x+ y) Vérfer que Détermner les coordonnées des ponts et B, mages respectves de et B y' = ( x y) par la rotaton r Placer les ponts et B dans le repère ( O ; u, v) Sot H l hyperbole d équaton xy = 8

a Tracer H dans le repère ( O ; u, v) b Montrer que H est l mage de H par la rotaton r Sot D l mage de D par la rotaton r On admet que D est l ensemble des ponts M(x ; y) du plan vérfant x 4 et 8 y 5 x x a Hachurer D b Calculer l are de D exprmée en cm En dédure une valeur approchée à 0 près de l are de D 66 Conque Dans le plan complexe, on consdère l ensemble E des ponts M d affxe tels que a Détermner et construre E ( + ) = ( ) b Détermner et construre l ensemble F des ponts M tels que [ ( + )][ ( )] = 8 c Vérfer qu l exste un pont de E F où les deux courbes ont même tangente 67 Sprale Dans cet exercce on essae de calculer la longueur d une porton de sprale La fgure jonte au sujet sera complétée au fur et à mesure des besons et rendue avec la cope On consdère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O ;, j ) de sorte que le pont at pour affxe a Donner sous forme algébrque et sous forme exponentelle l affxe du pont B du cercle de centre O, de rayon, tel que ( O, OB) = ( ) 4 b Calculer la dstance B à 0 près En consdérant que l arc B du cercle trgonométrque a une longueur de 4, donner alors une valeur approchée de à l ade de la dstance B c Placer sur la fgure le pont M, mage de par la rotaton R de centre O et d angle 8, placer de même les ponts M k tels que M = R( M ) avec k 5 Que peut-on dre de M 6? k+ k 4 e + d On appelle l affxe de M ; montrer que = et vérfer que = + Calculer alors la dstance M à 0 près et donner une nouvelle valeur approchée de On construt mantenant les ponts N k de la manère suvante : N 0 = et pour tout k, k 5, ONk+ = ONk et N k appartent au segment [OM k ] 4 a Placer sur la fgure les pont N k, k 6 Que peut-on dre de N 6? Quelle est la nature de la sute d = ON? Exprmer sous forme trgonométrque l affxe Z k des ponts N k k k b Justfer que les trangles NkON k + sont tous semblables Quelle est la nature de la sute Dk = NkN k +? Donner son expresson en foncton de k et de D 0 ; exprmer en foncton de k et D 0 la somme Sn = D0 + D + + Dn où n est un enter quelconque c Donner une valeur approchée à 0 près de la longueur D0 = N0 N, en dédure une valeur approchée à 0 près de la longueur de la lgne polygonale N0NN N5 N 6 Quelle est la lmte de S n lorsque n tend vers l nfn? Quelle sgnfcaton concrète a cette lmte? Termnale S F Laroche

B O 68 Courbe paramétrée+conque (prog 985) Fgure à compléter Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ;u,v ), unté graphque : cm Étude d'une courbe paramétrée (C) t x = f( t) = + t On consdère la courbe (C) défne paramétrquement par : t y = g( t) = + t a) Étuder conjontement les varatons sur R des fonctons f et g t R b) Précser les ponts de (C) où la tangente est parallèle à l'un des axes de coordonnées c) Précser les ponts d'ntersecton de (C) avec chacun des axes Ox et Oy Donner un vecteur drecteur des tangentes aux ponts obtenus Dessner (C) On se propose de démontrer que la courbe (C) est une parabole, en étudant son mage par une transformaton partculère du plan a) Le plan est assmlé au plan complexe On consdère l'applcaton R qu, à tout pont M du plan d'affxe ( + ), assoce le pont M' d'affxe : ' = Quelle est la nature de R? Détermner ses éléments géométrques b) Calculer en foncton de t l'affxe de M' lorsque M est le pont d'affxe : f(t) + g(t) En dédure l'expresson en foncton de t des coordonnées x' et y' du pont M Écrre une équaton cartésenne de la courbe (C') mage par R de la courbe (C) Représenter (C') sur la même fgure que (C) Pourquo peut-on affrmer que (C) est une parabole? 69 Hyperbole et complexes Le plan complexe est mun d'un repère orthonormal drect ( O ; u, v) On désgne par M, N, P tros ponts dstncts de ce plan d'affxes respectves m, n, p Démontrer que le trangle MNP est rectangle en N s et seulement s le complexe nul p n m n est un réel non Termnale S F Laroche

Dans cette queston, M, N, P sont d'affxes respectves,, 4 a Quelles condtons dot vérfer pour que M, N, P soent dstncts deux à deux? b Démontrer que l'ensemble des ponts M d'affxe = x + y du plan tels que le trangle MNP sot rectangle en N est une conque Γ d'équaton x+ y =, prvée de deux ponts que l'on précsera 4 Termnale S 4 F Laroche Précser la nature de Γ et détermner ses éléments géométrques (sommets, foyers, excentrcté, asymptotes) 4 Représenter Γ et mettre en place sur la fgure les sommets, les foyers et les asymptotes de Γ 70 Bssectrce (recherche) Sot a et b deux nombres réels, on consdère les nombres complexes et ' de module et d'arguments respectfs a et b ( + ') Montrer, en utlsant la forme exponentelle de et ', que ' En dédure que arg [ + '] = (arg [] + arg [']) est un réel postf ou nul On appelle M et M' les mages de et ' dans le plan mun d'un repère orthonormé drect de centre O et N le pont tel que OMNM' sot un parallélogramme Interpréter géométrquement l'égalté précédente à l'ade de ces ponts 7 Brapport Quelques défntons : On dra qu une applcaton f est nvolutve s et seulement s f o f = Id Quatre ponts, B, C et D sont cocyclques s et seulement s ls appartennent au même cercle Γ On montre que quatre ponts, B, C et D sont cocyclques ss ( C, D) ( BC, BD) [ ] sont des angles de drotes ) = (attenton, ce On désgne par P le plan complexe, par Ω le pont d affxe et P =P {Ω} M un pont quelconque de P a pour affxe Pour tout réel non nul m, on désgne par f m l applcaton de P dans P telle que m fm : M( ) M ( )/ = + On suppose m donné Montrer que f m est nvolutve Détermner l ensemble des ponts nvarants par f m Démontrer que pour tout pont M de P, les ponts Ω, M et M sont algnés et que ΩM Ω M = m (produt scalare) Sot m et λ deux réels non nuls Pour tout pont M de P, on désgne par M le pont f m (M) et par M le pont f ( M ') Montrer que M est l mage de M par une transformaton que l on précsera Quelle est la λ nature de cette transformaton? Le nombre m est toujours supposé fxé Sot, B, C, D quatre ponts dstncts de P, d affxes respectves a, b, c et d On appelle brapport de ces quatre ponts, noté (, B, C, D), le nombre complexe ( c a )( d b ) ( c b)( d a) a Démontrer que (, B, C, D) = (C, D,, B) b Démontrer que (, B, C, D) est un nombre réel s et seulement s les ponts, B, C et D sont algnés ou cocyclques c On désgne par, B, C, D les mages respectves des ponts, B, C et D par f m Montrer que (, B, C, D) et (, B, C, D ) sont conjugués 4 Dédure de la queston précédente que, quels que soent les ponts M et N appartenant à P, les ponts M, N, M et N sont algnés ou cocyclques

5 On désgne par une drote ou un cercle du plan P et par son ntersecton avec P Démontrer que l mage de par f m est l ntersecton d une drote ou d un cercle avec P 7 Trangles équlatéraux, m du Sud 99 Dans la fgure c-contre, BC et DEF sont deux trangles équlatéraux drect, BDEG et CDFH sont des parallélogrammes Le but de l exercce est de prouver que le trangle GH est équlatéral F E On appelle a, b, c, d, e, f, g, h les affxes des ponts, B, C, D, E, F, G, H Premère méthode : a Démontrer que c a= e ( b a) b Exprmer (f d) en foncton de (e d) a En dédure l expresson de g et h en foncton b, c, d, e, f H D G b Montrer que h a= e ( g a), conclure Deuxème méthode : C B On appelle R la rotaton de centre D, d angle, t la translaton de vecteur BD, t la translaton de vecteur DC Donner l expresson complexe de R, t, t On appelle T la transformaton T = t R t a Donner l expresson complexe de T, en dédure la nature de T b Détermner T( B ) et le centre de T Détermner enfn ( ) 7 Produt de dstances, C étrangers 99 T G et conclure Dans le plan complexe, on consdère les ponts, B, C, D d affxes respectves,,, Montrer que le pont M d affxe le nombre complexe = est sur le cercle de centre B et de rayon s et seulement s rcosθ = ou r= 0 Montrer que le produt P= M MB MC MD est égal à re θ 4 P= En dédure une condton (portant sur r et θ ) pour que P sot égal à 4 Détermner les ponts M de l axe des réels tels que P est égal à 5 Détermner les ponts M du cercle de centre O, de rayon tels que P est égal à 74 Logarthme complexe, EFREI 00 On note * C l'ensemble des nombres complexes prvé du nombre complexe nul Tout nombre complexe non nul peut s'écrre de façon unque = r(cosθ + sn θ) lorsqu'on suppose que θ vérfe les négaltés θ < et que r>0 Dans cet exercce, on étude l'applcaton F de C * dans C qu assoce à tout nombre complexe non nul = r(cosθ + sn θ ) le nombre complexe Z= ln r+ θ On propose de transformer au moyen de F des régons de * C Termnale S 5 F Laroche

Détermner les mages par F des dem-cercles de centre O, tracés dans * C de rayon R et dont les extrémtés sont placées sur l'axe des magnares aux ponts d'affxes R et R Détermner de même les mages des segments de drote portés par des dem-drotes d'orgne O et dont aucune des extrémtés n'est stuée en O On défnt la régon D lmtée par les dem-drotes (( ) et ( ) d'orgne O telles que ( Ox, ) = θ et ( Ox, ) = θ où on suppose que θ et θ appartennent à ; et vérfent θ> θ et par les deux arcs de cercles ( Γ ) et ( Γ ) de centre O et de rayons a et b entèrement stués dans le secteur lmté par les a b deux dem-drotes précédentes Dessner cette régon qu est donc un «secteur de couronne crculare» Défnr l'mage de la frontère de cette régon qu est donc consttuée de deux arcs de cercles et de deux segments Montrer que l'ntéreur de cette régon D est transformé par F en l'ntéreur d'un rectangle que l'on défnra précsément à l'ade des angles θ et θ et des réels a et b Détermner les condtons lant θ et θ d'une part et a et b d'autre part pour que ce rectangle sot centré en O On pose alors θ = θ et R = a Trouver la relaton entre θ et R pour que ce rectangle devenne un carré de centre O 4 Sot le cercle C qu passe par O et qu est centré au pont d'affxe En utlsant son équaton cartésenne, trouver la relaton fournssant r en foncton de θ pour qu'un pont d'affxe = r(cosθ + sn θ) appartenne à ce cercle On suppose θ ; L'mage par F d'un pont quelconque de C étant défn par son affxe X + Y, détermner X en foncton de Y Étuder les varatons de X en foncton de Y et, en prenant garde à l'échange des coordonnées, dessner la courbe mage de C par F Défnr l'mage par F de la régon D' ntéreure à ce cercle et comprse entre deux arcs de cercle de rayon R et R 5 Sot la parabole (P) d'équaton y = x Détermner la relaton entre θ et r pour qu'un pont d'affxe = r(cosθ + sn θ) appartenne à cette courbe Sot alors la régon D" comprse dans l'ntéreur de cette parabole et entre deux cercles de rayons R et R L'mage d'un pont x + y de la porton de parabole (P) comprse entre les deux arcs de cercle précédents étant désgnée par X + Y, exprmer X en foncton de Y Étuder les varatons de X en foncton de Y et en dédure l'mage de cette porton de la parabole (P) Sans prétendre à la précson, dessner l'allure de l'mage de la régon D" Termnale S 6 F Laroche