Spé ψ 2006-2007 Dvor n 8 OPTQUE Ls capturs ntrférométrqus sont utlsés dans ds domans très varés, tls qu la détcton d flux d radaton, l suv d objts n déplacmnt t lur postonnmnt, l contrôl d la qualté d surfacs d objts, tc... C problèm étud un captur ntrférométrqu d déplacmnt ou d déformaton, basé sur la modulaton d un résau d ntrférncs créé par un lam d ar comprs ntr dux lams d vrr. PRESENTATON DU DSPOSTF L captur st schématsé sur la fgur 1: l st consttuéd dux lams d vrr rctangulars (10cm 12cm), d 2mm d épassur, qu puvnt formr un con d ar ou êtr dsposés parallèlmnt. Sa structur comport ls élémnts prncpaux suvants : l bât prncpal qu srt d bas rgd à l nsmbl ds composants, la tabl d translaton horzontal. Ell assur l contrôl d l épassur d la cavté qu put êtr ajusté ntr 0 mm (ls dux lams sont n contact) t 66 mm, un équrr(e1) vrtcal, soldar d la tabl d translaton. Ell st évdé n son cntr pour lassr passr l fascau lasr d lctur. Ell support la lam d vrr dt d «lctur» qu pourra donc êtr translaté. un équrr (E2) vrtcal, fx, dont l plan st prpndcular à l ax d translaton horzontal d l équrr (E1). Ell st évdé n son cntr (l ntérêt d c trou apparaîtra dans la part.b). Ell support la lam d vrr dt «d ntré» qu put êtr ornté grâc à un dspostf précs t sans ju. En éclarant l captur par un fascau lumnux cohérnt contnu (lasr H-N), parallèl ou dvrgnt, on obsrv ds frangs d ntrférnc rctlgns ou crculars dont ls proprétés sont défns par l épassur optqu d la cavté formé par ls dux lams. Tout déformaton ou déplacmnt d l un ou l autr ds dux lams ntrodut un changmnt dans l épassur d la cavté d ar qu s tradut par la modfcaton spatal du résau d frangs d ntrférncs. Clu-c st nrgstré pérodqumnt par un caméra CCD numérqu assocé à un systèm d acquston t d tratmnt d mags. L suv du mouvmnt d cs frangs prmt l analys tmporll d la répons du captur. Ls dfférnts élémnts qu consttunt c dspostf xpérmntal sont l captur ntrférométrqu qu st dsposé sur un tabl ant-vbraton, l lasr contnu H-N (lasr d lctur, d longuur d ond dans l vd λ = 632 nm t d pussanc P = 6 mw) qu llumn l ntrféromètr t cré l résau d frangs, Fgur 2 : l dspostf xpérmntal l optqu d adaptaton, consttué d lntlls, pour éclarr l plus unformémnt possbl, la cavté sur un surfac d nvron 7 cm 2, Fgur 1 : prncpaux élémnts du captur ntrférométrqu Spé ψ 2006-2007 pag 1/5 Dvor n 8
un lam sm-réfléchssant qu prmt d obsrvr ls ntrférncs, l nsmbl d détcton consttué d un caméra CCD t d son systèm d acquston assocé. Part UTLSATON EN LAME A FACES PARALLELES.1) Modélsaton d l ntrféromètr Dans la sut du problèm on modéls l ntrféromètr par un lam d ar stué ntr dux lams nfnmnt mncs L 1 t L 2 sm-réfléchssants, parallèls t dstants d (fgur 3). r n = 1,5 n = 1,5 Justfr brèvmnt ctt modélsaton. Détrmnr n foncton d n, t, la dfférnc d march δ 2/1 qu présnt, dans un plan prpndcular aux rayons 1 t 2, l rayon réfléch 2 par rapport au rayon réfléch 1. Dans la sut du problèm on n fra plus apparaîtr l ndc n car..2) Cas d un sourc ponctull à dstanc fn L ntrféromètr st éclaré par un sourc ponctull monochromatqu d longuur d ond λ, placé n S sur l ax O 1 x à un dstanc O 1 S = d d la lam. On obsrv ls ntrférncs, par réflxon, sur un écran E placé à un dstanc D d O 1. On suppos qu un écran opaqu P supprm la lumèr drct d S sur E. a) Montrr qu l dspostf st alors équvalnt à dux sourcs ponctulls placés n S 1 t S 2. Détrmnr ls longuurs S 1 O 1 t S 2 O 1. On pos a = S 2 S 1 Donnr l xprsson d a. Qull dstanc D T sépar l écran du mlu d [S 1 S 2 ]? b) Qu obsrv t-on sur l écran? Justfr sans calcul. Ls ntrférncs obtnus par c dspostf sont-lls localsés? c) Sot M un pont d l écran stué à un dstanc ρ du pont O. M rst au vosnag du pont O. Montrr qu l déphasag ϕ 2/1 (ρ) n M d l ond ssu d S 2 par rapport à cll ssu d S 1. put s écrr sous la form du dévloppmnt lmté d ordr 2 n ρ suvant : 2 ρ ϕ2/ 1( ρ) = ϕ2/ 1( 0) 1... 2 F F 2 H G a 2 K J G DT Spé ψ 2006-2007 pag 2/5 Dvor n 8 F G où ϕ 2/1 (0) st l déphasag n O, dont on donnra l xprsson. d) Sot 0 l ntnsté lumnus du fascau ssu d la sourc S 1 (t donc d S 2 ). Établr l xprsson d l ntnsté (ρ) d un pont M d l écran n foncton d 0, a, λ, D T t ρ. ) Donnr l xprsson d l ordr d ntrférnc p 0 au cntr d la fgur. On suppos qu l cntr d la fgur corrspond à un maxmum d lumnosté. Qu put-on n conclur sur p 0? On numérot ls frangs lumnuss à partr d O par l ntr K (valur null au cntr). Exprmr H HG Fgur 3 : modélsaton d l ntrféromètr KJ + KJ 1 2 E M S P ρ O 1 x d O D Fgur 4 : lam d ar t sourc ponctull à dstanc fn
l rayon ρ K du K èm annau lumnux n foncton d a, λ, D T t K. En dédur l xprsson d ρ K+1 /ρ K n foncton d K. f) Applcaton numérqu: on msur sur l écran ρ 1 = 6,6 mm. En dédur ρ 2 t ρ 3. Sachant qu λ = 632 nm, D = 80 cm t d = 20 cm, calculr. Qu pnsz vous d la précson d la msur d? g) Qu obsrv t-on sur l écran s l on augmnt progrssvmnt la tall d la sourc S? Proposr un xplcaton qualtatv du phénomèn..3) Cas d un sourc étndu à dstanc fn L ntrféromètr st éclaré par un sourc étndu monochromatqu d longuur d ond λ. a) Sot un pont d la sourc émttant un rayon lumnux sous un ncdnc. Rapplr l xprsson, n foncton d t, d la dfférnc d march δ 2/1 qu présntnt, dans un plan prpndcular aux rayons 1 t 2, l rayon réfléch 2 par rapport au rayon réfléch 1. b) La dfférnc d march précédnt n dépnd qu d l ncdnc t pas du pont d la sourc. Qu put-on n conclur sur la localsaton ds frangs d ntrférncs? La largur d la sourc ntrvnt-ll sur l contrast? Qu détrmn t-ll? c) Donnr l xprsson d l ntnsté () obtnu à l nfn dans la drcton n foncton d, t 0 l ntnsté lumnus qu l on aurat sur l écran s sul la lam L 1 état présnt..4) Obsrvaton avc un caméra CCD. L ntrféromètr, modélsé par un lam d ar, st éclaré par l lasr d lctur. Grâc à la lam sm-réfléchssant t à la camra CCD, on nrgstr la fgur d ntrférnc. La caméra st réglé pour qu l plan d obsrvaton (captur CCD) sot confondu avc l plan focal mag d l objctf d la caméra assmlé à un lntll convrgnt d focal f = 50 mm. a) Sot M un pont du captur CCD. On pos ρ = FM. Détrmnr, n foncton d ρ, t f l xprsson d la dfférnc d march δ 2/1 ntr ls rayons réfléchs d typ 2 t 1 convrgant n M (on ffctura, n ls justfant, ls approxmatons usulls). Far un schéma ds lams (L 1, L 2 t sm-transparnt), d l objctf t du captur CCD n ndquant précsémnt ls angls. b) Donnr l xprsson d l ordr d ntrférnc p 0 au cntr d la fgur. On suppos qu l cntr d la fgur corrspond à un maxmum d lumnosté. On numérot ls frangs lumnuss à partr d F par l ntr K (valur null au cntr). Exprmr l rayon ρ K du K èm annau lumnux n foncton d f, K t p 0. c) On assml l captur CCD à un carré formé d pxls carrés jontfs. Sot l la longuur du côté d un pxl. Ls damètrs ds annaux sont détrmnés n analysant l profl suvant un ax horzontal passant par l cntr du systèm d frangs. Sot N K l nombr d pxls corrspondant au damètr d K du K èm annau. Détrmnr l xprsson d l épassur d la cavté n foncton d λ, K, f, N K, t l. d) Applcaton numérqu. f = 50 mm t l = 23 µm. Pour K = 1, on msur N 1 = 28 pxls. Calculr. Spé ψ 2006-2007 pag 3/5 Dvor n 8 1 2 K J Fgur 5 : lam d ar t sourc étndu à dstanc fn Fgur 6 : nrgstrmnt d la fgur d ntrférnc
) La détrmnaton précédnt d rpos donc sur la msur d N 1. Estmr l ncrttud absolu sur N 1 t n dédur un ncadrmnt d. Conclur. Part UTLSATON EN CON D AR On rappll qu on n tnt pas compt ds changmnts d phas par réflxon. On s propos d amélorr la méthod précédnt. Pour cla on règl l ntrféromètr n con d ar..a - ntrférncs produts par un con d ar.a.1) On éclar un con d ar sous ncdnc quas normal. Rprodur t complétr la fgur 7 n traçant ls rayons lumnux ntrférant. En dédur la surfac d localsaton ds ntrférncs dans l cas d un sourc ponctull, pus étndu. On utls d nouvau l montag d la quston.4 (fgur 6). L ntrféromètr form un con d ar t l lasr d lctur fournt un éclarag sous ncdnc quas normal. On suppos qu ls frangs sont vsbls (ntr autrs) sur la lam d ntré La caméra st réglé pour formr l mag d un part d ctt lam d ntré sur l captur CCD. L grandssmnt st égal à 1 n valur absolu. On adopt donc ls mêms coordonnés sur la lam d ntré t sur l captur CCD..A.2) Sont (x, y) ls coordonnés d un pont M du captur (t donc d la lam d ntré). Donnr l xprsson d la dfférnc d march δ 2/1 n foncton d (x, y). En dédur l xprsson d l ntnsté (x, y) au pont M n foncton d (x, y), λ t 0 ntnsté maxmal..a.3) Détrmnr, n foncton d λ, (x, y), 0 t d un ntr m, l xprsson ds épassurs (x, y) possbls pour un pont M(x, y) où l ntnsté st (x, y)..b - Méthod d suv ds nvaux d grs D après la part, l obsrvaton ds frangs d ntrférncs rnsgn sur l épassur optqu d la cavté formé par ls dux lams. La fgur d ntrférnc st nrgstré pérodqumnt par un caméra CCD numérqu assocé à un systèm d acquston t d tratmnt d mags. La déformaton d la cavté optqu st obtnu par l acton d un duxèm fascau lasr (longuur d ond 800 nm) sur la lam d vrr d ntré rvêtu d un couch d gélatn, d un épassur d 6 µm nvron, qu absorb l énrg lumnus d xctaton déposé. L échauffmnt local qu n résult provoqu un déformaton mécanqu t donc un varaton d l épassur d la cavté. Pour chaqu pont M(x, y) d la lam d ntré, la détrmnaton xpérmntal ds varatons d (x, y) comport dux étaps : l xtracton du sgnal ntrférométrqu : on xplot ls mags nrgstrés pérodqumnt pour suvr l évoluton du nvau d grs d un pxl d la fgur d ntrférnc. On obtnt ans un courb dscrétsé qu rprésnt la varaton d l ntnsté du pxl sélctonné n foncton du tmps. (fgur 8) l tratmnt du sgnal ntrférométrqu : on convrtt l ntnsté nrgstré n déplacmnt..b.1) Décrr qualtatvmnt l mouvmnt d la lam avant, pndant t après l xctaton. Dédur d la fgur 8 l mouvmnt ds frangs au pont M consdéré (on précsra n partculr l nombr d frangs déflant dans chaqu phas). Fgur 7 : ntrféromètr réglé n con d ar Fgur 8 : varaton d l ntnsté du pxl sélctonné n foncton du tmps Spé ψ 2006-2007 pag 4/5 Dvor n 8
En dédur ls nstants t DEBUT t t FN, d début t fn d xctaton d la lam..b.2) Pour smplfr, on suppos qu l pont étudé corrspond à un ntnsté null lorsqu la lam st au rpos. a) Montrr qu, pour t [t DEBUT ; 400 ms], l déplacmnt d la lam st donné par: L N M F HG O KJ Q P λ 1 2 ( x, y) = arcos 1 1 4 π b) Détrmnr l xprsson d pour t [400 ms, 500 ms]..b.3) Détrmnr l xprsson d pour t [t DEBUT, t FN ]; on pourra ntrodur un ntr N 1 corrspondant au nombr d frangs ayant déjà déflé dpus l début d l xctaton t dstngur dux cas: st localmnt un foncton crossant, ou décrossant, du tmps..b.4) Rprndr la quston précédnt pour t > t FN ; on pourra ntrodur dux ntrs : N 1MAX, valur maxmum d N 1, t N 2 corrspondant au nombr d frangs ayant déjà déflé dpus la fn d l xctaton. On dstngura dux cas : st localmnt un foncton crossant, ou décrossant, du tmps..b.5) Grâc aux xprssons précédnts, on put tracr la varaton d l épassur d la cavté n foncton du tmps. L tracé c-contr (fgur 9) donn l déplacmnt d la lam n foncton du tmps. Détrmnr graphqumnt l déplacmnt maxmal d MAX d la lam au pont M consdéré. Qull rlaton put-on écrr ntr d MAX t MAX? Valdr ls xprssons précédnts d n détrmnant graphqumnt grâc à la fgur 8 un duxèm valur d d MAX. Ctt méthod donn ls varatons d épassur pour ls dfférnts ponts d la lam à dfférnts nstants. l st alors possbl d crér un anmaton d la déformaton. La fgur 10 rprésnt, à un nstant donné, l aspct d la déformaton local d la lam sut à un xctaton ponctull t cntré. 0 Fgur 9 : déplacmnt d la lam n foncton du tmps Fgur 10: déformaton local d la lam Spé ψ 2006-2007 pag 5/5 Dvor n 8