MECA NI QUE L yc ée F.B UISS ON PTSI MOUVEMENT LIBRE D UN OSCILLATEUR HARMONIQUE Dans ce chapitre, nous allons étudier les petits ouveents d un systèe physique autour d une position d équilibre stable, ce problèe se pose dans de nobreuses branches de la physique : En écanique : étude du ouveent d une asse liée à une ressort, étude du ouveent d un pendule siple En électrocinétique : étude de l évolution de la charge d un condensateur dans un circuit série RLC En chiie : étude des vibrations d une olécule diatoique, odélisation des liaisons interatoiques dans un solide cristallin cf figure ci-dessous En optique : étude de l interaction des électrons avec un chap électrique odèle de l électron élastiqueent lié Cette liste n est bien sur pas exhaustive. L étude de ces divers systèes physiques conduit a un traiteent athéatique identique. En effet, leur évolution teporelle est régie par une équation différentielle du second ordre à coefficient constant. Dans ce chapitre, on travaillera dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Les systèes physiques étudiés seront décrits par un seul degré de liberté. Par exeple, une asse liée à un RLC par la charge du condensateur q t etc ressort est décrite par sa position x t, un pendule siple est décrit par un angle! t, un circuit
I Oscillateur haronique. Equation du ouveent On considère une particule de asse qui est souise à une force conservative. On travaille à un degré de liberté c est-à-dire à une diension. L application du principe fondaental de la dynaique sur un axe Ox donne : d x t x dep F x!. dt dx On prend pour position d équilibre x x eq. Quand l équilibre est stable, on a! d E p x >. " dx x x eq On va effectuer un développeent liité de E p x au voisinage de la position d équilibre x eq ce qui donne : E p x E p x eq + x! x eq " de p x dx x x eq + x! x eq " d E p x +..., dx x x eq E p x! E p x eq Approxiation parabolique autour de la position d équilibre Energie potentielle réelle x x x eq " ce qui donne au voisinage de la position d équilibre, en notant k! d E p x >, dx x x eq E p x E p x eq + x! x eq k. On obtient une énergie potentielle de fore parabolique autour de la position d équilibre coe le ontre le schéa ci-dessus. Au voisinage de l équilibre, la force qui dérive de cette énergie est de la fore F x!kx! x eq qui est analogue à l expression de la force de rappel élastique d un ressort. L équation différentielle du ouveent s écrit : d xt dt!kx! x eq. Il est judicieux pour se siplifier la tache de prendre x eq ce qui est identique à faire le changeent de variable X x! x eq avec X x.
On obtient au final : Au voisinage de la position d équilibre xeq : Equation différentielle du ouveent: d x dt +! x avec! " k Force de rappel: F k x! est hoogène à une pulsation. L équation différentielle du second ordre que l on a rencontré pour la preière fois dans le cadre d une asse liée à un ressort peut décrire l évolution de nobreux systèes physiques pour peu que cette évolution reste proche de la situation d équilibre. 3
La figure ci-dessous ontre différents systèes physiques décrits par l équation. Bien sur, à chaque fois x représente une grandeur physique différente et! s exprie de façon différente en fonction des grandeurs physiques du problèe. Mais dans tout les cas, on a un phénoène physique oscillatoire en l absence d aortisseent.. Exeple du pendule siple Dans cet exeple, notre objectif est de ontrer que l équation différentielle qui décrit l oscillation d un pendule siple, sans frotteent et pour de petits angles, est l équation. Pour trouver l équation du ouveent, nous pouvons utiliser le principe fondaental de la dynaique èe loi de Newton, le théorèe de l énergie écanique et nous verrons plus tard que l on peut utiliser le théorèe du oent cinétique. Nous allons utiliser ici une approche énergétique. Le schéa ci-dessous décrit le pendule siple. O y!! M!" g Si on se contente d écrire cos! ", on a E p!"!!" u T! " " u!!"! u z r x!" g E p E p E c!"!" T car T!" g! au déplaceent. g! cos" avec E p ". v "!! E E c + E p. On ne va considérer que les faibles oscillations autour de!. Si on fait un développeent liité, on a cos! "! dans ce cas E p! ce qui est absurde..!" g g!. Toutes les forces qui interviennent sont conservatives donc le théorèe de l énergie écanique et nous dit que E constante, soit de dt, ce qui donne!! +! g!!!. On obtient donc l équation différentielle du ouveent suivante, après siplification par!! + "! avec " g! et T! g. : 4
.3 Résolution On a déjà résolution l équation différentielle d x dt +! x dans le cours de cinéatique. Nous allons rappeler les résultats obtenus. La solution est de la fore : x t X cos! t + " X aplitude " phase à lorigine et T! période Si à l instant initial, x t x et v t v on a tan! " v et X x x " + v!. Il est aussi possible d écrire x t A cos! t + B sin! t ou A et B sont deux nouvelles constantes que l on déterine à partir des conditions initiales vous pouvez faire cela en exercice. On rearque que dans notre cas, c est-à-dire les oscillations de petites aplitudes, T ne dépend pas de l aplitude X, on parle d isochronise. Cela n est plus vrai dans le cas général, c est-à-dire pour des oscillations d aplitudes quelconques..4 Etude énergétique a Energie écanique Si l on prend coe origine de l énergie potentielle E p x E E c + E p! " x, on a + kx. Coe x t X cos! t + ", v t!x " sin " t +, ce qui donne : E X! sin! t + " + k X cos! t + ". Si l on utilise le fait que X! k X et que sin! t + " + cos! t + " on peut écrire finaleent : E E c + E p k X 5
a Equipartition de l énergie potentielle et de l énergie cinétique D après l équation, l énergie écanique est une constante du ouveent, on dit que le systèe est conservatif il n y a que des forces conservatives qui interviennent. Il n y a aucune dissipation d énergie étant donné que l on n a pris en copte aucune force de frotteent. Il y a donc un échange peranent entre l énergie cinétique et l énergie potentielle au cours de l évolution du systèe coe cela est illustré sur la figure du paragraphe - et sur la figure cidessous A correspond à l aplitude que l on a notée X, U est l énergie potentielle et K l énergie cinétique. A un instant t on a : E p t k X cos! t + " et E c t k X sin! t + ". On cherche à calculer la valeur oyenne au cours du teps de l énergie potentielle et de l énergie cinétique. On définie f li!t "!t en athéatiques la oyenne teporelle f t dt de façon générale et par f!t et E c t période T. Dans notre cas E p t T f d une fonction f t par t +T! f t dt si la fonction est périodique de t sont périodiques de période T!. Il est facile de " ontrer que : sin! t + " cos! t + " et cos! t + " + cos! t + ". On obtient ainsi : Ec E p E k X 4 On constate qu il y a en oyenne sur une période équipartition entre l énergie cinétique et l énergie potentielle. 6
II Oscillations libres d un oscillateur aorti. Oscillateur libre aorti par frotteent fluide Pour se rapprocher de la réalité, il faut tenir copte des pertes d énergie provoquées par les diverses forces de frotteent. Nous allons odéliser ces dernières par une force de frotteent!! "! fluide du type f fluide!h v!h x i on travaille à une diension, h étant une constante. Les deux figures ci-dessous illustrent de façon qualitative la différence de coporteent entre un systèe physique asse+ressort ou l on ne tient pas cote des frotteents et le êe systèe lorsque ces dernières sont prises en copte. L équation du ouveent sur l axe Ox devient par application du principe fondaental de la dynaique x!k x! h x. Nous allons réécrire cette équation sous trois fores dites canoniques que l on rencontre habituelleent. En effet, l équation canonique s écrit de façon identique quel que soit le doaine physique auquel elle s applique. De plus l écriture sous fore canonique peret de faire apparaître des grandeurs physiques caractéristiques du problèe étudié. On écrira donc : x+ x + " x, couple!, "!! " x +! x + " x, couple!," x+! Q x +! x, couple!,q! " k pulsation propre,! " teps de relaxation h facteur daortisseent Q! " facteur de qualité sans diension 7
. Solution de l équation différentielle équation d évolution Dans la suite de ce chapitre, nous allons écrire l équation différentielle sous la fore canonique x+! Q x +! x 3 que nous allons chercher à résoudre. Il s agit d une équation différentielle de second ordre à coefficients constants. Avant toutes choses, lorsque Q! ", on retrouve l équation. C est toujours le tere devant x qui traduit l aortisseent. On cherche une solution de la fore e r t que l on réinjecte dans l équation 3. On arrive à l équation caractéristique de la fore r +! Q r +!. Il s agit à présent d une équation algébrique. Dans le cas général, r adet deux solutions r et r qui sont coplexes ou réelles, ce qui donne: x t A e r t + A e r t, où A et A sont des constantes coplexes conjuguées car x t doit être réelle que l on déterine à partir des conditions initiales du problèe..3 Régie d évolution La nature physique d évolution de x t va dépendre du facteur de qualité Q donc de l aortisseent du systèe. En effet selon la valeur de Q, le nature des racines r et r sera différente. a Régie pseudo périodique : Q > Si Q > alors! < ". Soit! le discriinant de l équation caractéristique :! " Q 4" " Q 4 <. On pose! "! avec! la pseudo-pulsation. 4! " " 4 * 4 " 4" <! " Q! j" On obtient : r!! j" et finaleent : r! + j" x t e!"t A e! jt + A e jt. 8
On sait que cos!t e j!t + e " j!t et sin!t e j!t " e " j!t j ce qui peret de réécrire la solution sous les fores équivalentes suivantes : x t e!"t! A cos t " C e!"t cos t + décroissante exponentielle de laplitude. lenergie du systèe décroit + B sin t facteur oscillant à la pseudo-pulsation A, B, C et! sont des constantes réelles que l on déterine à partir des conditions initiales position initiale x et vitesse initiale v. enveloppe Ce!"t Le systèe oscille, ais sans être périodique à cause de l aortisseent, jusquà son retour à la position d équilibre x. On a un ouveent pseudo-périodique de pseudo-période : T! " T * " T Q *. a Régie apériodique : Q < Si Q < alors! > ". On pose! "! avec! la pseudo-pulsation.! 4" > On obtient : r!"! r!" + et finaleent : e!"t A e!t + A e t x t!" teres pureent exponentiels 9
A et A sont des constantes réelles que l on déterine à partir des conditions initiales position initiale x et vitesse initiale v. Le retour à l équilibre du systèe se fait sans osciller car l aortisseent est devenu trop iportant. a Régie critique: Q Si Q alors! ".! 4 ". On peut écrire x +! x +! x soit d dt t xte!. xte! t est donc une fonction affine du teps xte! t a + bt ce qui donne : xt a + bt e!" t a et b sont des constantes réelles que l on déterine à partir des conditions initiales position initiale x et vitesse initiale v. Le retour à l équilibre du systèe se fait là encore sans osciller car l aortisseent est devenu trop iportant. Il s agit du cas où le retour à l équilibre est le plus rapide. III Etude énergétique de l oscillateur aorti 3. Puissance des forces de frotteent On repart de l équation différentielle du ouveent sous sa fore initiale: x+ h x + k x. On ultiplie par v x, ce qui donne après réarrangeent : d dt! v + kx hv. "! " Energie écanique On reconnaît entre crochets l expression de l énergie écanique et globaleent le théorèe de l énergie écanique :
de dt!hv f fluide v <.! " puissance des forces non-conservatives L énergie écanique décroît au cours du teps à cause de la puissance de la force de frotteent fluide qui est négative. Nous verrons en therodynaique ce qu il advient de l énergie qui disparaît. 3. Régie pseudo-périodique Notre objectif dans cette partie est de donner une signification physique concrète du facteur de qualité. Nous allons nous placer en régie pseudo-périodique. On a C e!"t cos t +. Entre deux élongations, espacées d une dei pseudo-période T! ", x t x t +T e!"t e!.! est appelé décréent logarithique. C est une grandeur expérientale qui caractérise les pseudo-oscillations,! "T T! " ln x t x t +T T Q. Pour Q >! < " Q * +,, on obtient : Ainsi la esure expérientale de!, peret d accéder au facteur de qualité du systèe étudié. On regarde à présent la décroissance de l énergie écanique du systèe entre deux élongations. axiales pour lesquelles la vitesse s annule, x t et x t +T Pour x t! E k x t. Pour x t +T,! E + "E k x t +T avec "E <. On peut écrire! E + "E k x t! " E x t +T x t! " e soit encore!e e " " <. E Si le systèe est faibleent aorti, on peut dire que! << ou Q >>. Dans ce cas! " Q car T! T. Ainsi!E! " E " Q car e " "" " si - << et finaleent : Q! E "E On peut dire que le facteur de qualité Q représente la perte d énergie relative du systèe par pseudo-période. Plus le facteur de qualité est grand, oins le systèe perd de l énergie oins il est aorti et inverseent.