26 hpitre IV Eqution d Euler-Lgrnge On s intéresse dns cette prtie ux problèmes de l forme suivnte : Sur l ensemble des fonctions y 1 ([,b]) (muni de l norme 1 ) telles que y() = A et y(b) = B, trouver les extrémles (c est à dire les points sttionnires. Ne ps confondre vec les extremums) de l fonctionnelle F(x,y(x),y (x))dx Avec F une fonction 1 sur R 3. Ici l ensemble des vritions dmissibles ser noté H = { h 1 ([,b]) h() = h(b) = 0 } et cet espce des vritions est bien un espce vectoriel. On pourr donc utiliser le théorème 9 L idée de ce chpitre est d exprimer l condition sur l vrition de Gteux du theoreme 9 pour rriver à une eqution en y. ette éqution ser générlement une éqution différentielle non-linéire du second ordre comme on v le voir. IV.1. Nottions. L fonction F est une fonction de trois vribles réelles. On ppliquer le plus souvent cette fonction à des triplets de l forme (x,y(x),y (x)), donc pr un leger bus de nottion on noter les trois vribles de l fonctions pr (x,y,y ). Les dérivées prtielles selon les trois vribles s écriront donc : x, Exemple : On prends l fonctionnelle y, y (y(x)+xy (x)+y (x) 2 )dx L fonction F est donc F(x,y,y ) = y +xy +y 2. Ses dérivées prtielles sont : x = 0+y +0 = y, y = 1+0+0 = 1, y = 0+x+2y Pour clculer les dérivées prtielles de F, on prendr bien grde à considérer que x, y et y sont des vribles indépendntes. D utre prt lorsque y est effectivement une fonction de S, on peut considérer l fonction x F(x,y(x),y (x))
qui est une fonction d une seule vrible réelle. On peut donc prendre s dérivée pr rpport à x. Pour ne ps confondre l dérivée de cette fonction vec l dérivée prtielle de F pr rpport à x, on noter bien l dérivée vec un d droit. En reprennt l exemple ci-dessus, pour un y S fixé, on d dx F(x,y(x),y (x)) = d ( y(x)+xy (x)+y (x) 2) = y (x)+y (x)+xy (x)+2y (x)y (x) = 2y +xy +2y y. dx Ici, pour encore simplifier les nottions, on noter souvent d dx F(x,y(x),y (x)) = d dx F(x,y,y ). Il fut être ttentif : d dx F(x,y,y ) x (x,y,y ) On peut ppliquer le même risonnement ux dérivées prtielles de F. On pourr donc écrire (toujours en reprennt l exemple ci-dessus) d = d dx y dx (x+2y (x)) = 1+2y (x) IV.2. Lemmes fondmentux du clcul des vritions. Prenons une fonction y S et une vrition h H et t R. L vrition de Gteux de l fonctionnelle J est donnée pr l limite qund t 0 de l expression suivnte J[y +th] J[y] t = (F(x,y(x)+th(x),y (x)+th (x)) F(x,y(x),y (x))) dx. t Pour un x [,b] fixé on pose z = (x,y(x),y (x)) et k = (0,h(x),h (x)) de telle sorte que (F(x,y(x)+th(x),y (x)+th (x)) F(x,y(x),y (x))) = F(z +tk) F(z) L fonction F étnt 1, on en déduit : F(z +tk) F(z) lim = df z (k) t 0 t On peut ussi exprimer l différentielle en fonction des dérivées prtielles df z (k) = 0+ (z) h(x)+ y y (z) h (x) F(z +tk) F(z) Lconvergencequndttendvers0delfonction est uniforme(puisqu on t est sur un segment [, b] vec des fonctions continues.) On peut donc intervertir l limite et l intégrle sns problèmes. On en déduit que : J[y +th] J[y] δj y [h] = lim = t 0 t ( y (x,y,y ) h(x)+ ) ) h (x) dx y (x,y,y 27
28 Nous voulons mintennt exprimer l condition δj y [h] = 0 pour tout h H comme une condition sur y uniquement (où h n interviendrit plus). On besoin des lemmes suivnts. Lemme IV.2.1. Soit α 0 ([,b]). Supposons h H, lors α(x) = 0 pour tout x [,b]. α(x)h(x)dx = 0 Proof. Supposons les hypothèses du lemme vérifiées et risonnons pr l bsurde. Supposons qu il existe c (,b) tel que α(c) > 0 (ou < 0). Alors pr continuité de α, il existe [x 1,x 2 ] [,b] tel que α(x) > 0 sur tout l intervlle [x 1,x 2 ]. Posons mintennt l fonction { ((x x1 )(x h(x) = 2 x)) 2 si x [x 1,x 2 ] 0 sinon ette fonction h est bien un élément de H (l continuité de l dérivée se vérifie fcilement). On lors x2 α(x)h(x)dx = α(x)h(x)dx > 0 x 1 puisque c est l intégrle d une fonction positive non identiquement nulle. ontrdiction. Lemme IV.2.2. Soit α 0 ([,b]). Supposons h H, lors α(x) = c pour tout x [,b]. Proof. Posons c = 1 b Posons h(x) = x α(x)dx de sorte que α(x)h (x)dx = 0 (α(x) c)dx = 0 (α(t) c)dt. On nturellement que h H. On lors (α(x) c)h (x)dx = Et d utre prt : (α(x) c)h (x)dx = α(x)h (x)dx c(h(b) h()) = 0 on en déduit que pour tout x [,b], α(x) c = 0. (α(x) c) 2 dx
29 Lemme IV.2.3. Soit α,β 0 ([,b]). Supposons h H, (α(x)h(x)+β(x)h (x))dx = 0 lors β 1 ([,b]) et β (x) = α(x) pour tout x [,b]. Proof. Posons A(x) = x clsse 1 sur [,b]. En intégrnt pr prtie on obtient α(t)dt, l primitive de α s nnulnt en. L fonction A est de α(x)h(x)dx = [A(x)h(x)] On en déduit que pour tout h H, on A(x)h (x)dx = ( A(x)+β(x))h (x)dx = 0 A(x)h (x)dx En utilisnt le lemme IV.2.2 on en déduit qu il existe c tel que β(x) A(x) = c pour tout x [,b]. Donc β(x) = A(x)+c est de clsse 1 et on β (x) = α(x) pour tout x [,b]. IV.3. Eqution d Euler-Lgrnge. On peut mintennt exprimer l condition pour une fonction y d être un point sttionnire de l fonctionnelle J. Supposons que y est un point sttionnire pour J, lors ( h H, y (x,y(x),y (x)) h(x)+ ) (x)) h (x) dx = 0 y (x,y(x),y On en déduit que l fonction x y (x,y(x),y (x)) est de clsse 1 sur [,b], et que pour tout x [,b] y (x,y(x),y (x)) = d (x)) dx y (x,y(x),y On peut simplifier l écriture en écrivnt simplement l éqution sous l forme y d = 0 dx y Théorème 10. Si y est une extrémle de J lors y stisfit l éqution y d = 0 dx y ppelée Eqution d Euler-Lgrnge
30 L éqution d Euler-Lgrnge est une éqution fonctionnelle qui implique y, y et églement y. est donc en générl une éqution différentielle du second ordre à coefficients non constnts. Mettons tout ç en prtique Exemples et Exercices On définit l fonctionnelle suivnte : 1 0 (y 2 y 2 +2xy)dx sur l espce S = { y 1 ([,b]) y(0) = 0,y(1) = 0 } Le clcul des dérivées prtielles nous donne y = 2x 2y, = 2y d, = 2y y dx y L éqution d Euler-Lgrnge est donc : 2x 2y 2y = 0 est une éqution différentielle linéire du deuxième ordre vec second membre. On résout d bord l éqution homogène y +y = 0 Les solutions de l éqution homogène sont de l forme y H (x) = λcos(x)+µsin(x), λ,µ R Une solution prticulière se trouve fcilement pr idetifiction : y p (x) = x est solution de l éqution. On donc l forme générle des solutions de l éqution sous l forme : y(x) = x+λcos(x)+µsin(x) On utilise les conditions u bord pour obtenir y(0) = 0 = λ, y(1) = 0 = 1+µsin(1) L unique solution de l éqution d Euler-Lgrnge est donc y(x) = x sin(x) sin(1) Regrdons mintennt le problème clssique de recherche du plus court chemin entre deux points (0,0) et (1,1). L fonctionnelle donnnt l longueur de l courbe est ici : 1 0 (x) 2 dx
L fonction F(x,y,y ) = 2 est nturellement 1 sur R 3. On sit que les extremums de cette fonctionnelles se trouvent prmi les extrémles. On v donc résoudre l éqution d Euler-Lgrnge pour déterminer les extrémles de J. On clcule : y = 0, y = L éqution d Euler-Lgrnge se réduit donc à : d y dx 2 y 2 = 0 e qui est équivlent à dire qu il existe une constnte c R telle que y 2 = c ette éqution nous dit que l fonction y est elle même constnte, c est à dire qu il existe λ tel que y (x) = λ. On en déduit que les solutions de l éqution d Euler-Lgrnge sont toutes de l forme y(x) = λx+µ, vec λ,µ R Mis d utre prt, on cherche les solutions dns S, on donc λ0+µ = 0 et λ1+µ = 1 On trouve donc que y(x) = x est l seule solution dmissible à l éqution d Euler-Lgrnge. ette résolution ne nous dit ps si y est effectivement un extremum. ependnt si on sit que l fonctionnelle dmet un extremum lors, cet extremum ser forcément l fonction y. Exercices Trouver les points sttionnires des fonctionnelles suivntes : 1 0 π 0 (y 2 +y 2 +4ye x )dx vec les conditions u bord y(0) = 0 et y(1) = 1. (y 2 ky 2 )dx vec les conditions u bord y(0) = y(π) = 0. Discuter selon l vleur du prmètre k R. IV.4. s prticuliers. L éqution d Euler-Lgrnge dns s forme générle est difficile (voire souvent impossible) à résoudre. ependnt, dns certins cs prticuliers, l éqution se simplifie sous une forme quis se résoudr plus fcilement. IV.4.1. F ne dépends ps de y. Dns ce cs l éqution d Euler-Lgrnge se réduit à y = 0 L fonction F ne dépend que de x et y donc s dérivée prtielle églement. L éqution d Euler-Lgrnge est donc une simple éqution lgébrique entre x et y. L résolution de l éqution se fit lors de fçon directe qund c est possible. 31
32 Exemples onsidérons l fonctionnelle L Eqution d Euler-Lgrnge devient lors x+cos(y) = 0, (xy +sin(y))dx L première remrque est que cette éqution n de solutions que si x [ 1,1] puisque le cosinus est borné pr ces vleurs. On en déduit que si l intervlle [,b] n est ps inclus dns [ 1, 1], l fonctionnelle n ps d extremles. Si on est dns le cs [,b] [ 1,1] lors les extremles de J sont de l forme y(x) = rccos( x)+2kπ, vec k Z es fonctions ne peuvent stisfire que certines conditions u bord. Si on doit chercher les extremums reltifs dns S = { y 1 ([,b]) y() = A;y(b) = B } lors l fonctionnelle n d extremums reltifs que si A = rccos( )+2kπ et B = rccos( b)+2kπ. IV.4.2. F ne dépend ps de y. Dns ce cs l éqution d Euler-Lgrnge devient d = 0 dx y Si cette éqution est vérifiée lors il existe une constnte R telle que y = omme dns le cs précédent, c est une simple éqution lgébrique pour déterminer y en fonction de x et de l constnte. est-à-dire qu on peut écrire y = f(x,) Il suffit donc d intégrer cette fonction pour déterminer l forme des extrémles de l fonctionnelle J. Exemple : On considère l fonctionnelle x 2 L éqution d Euler-Lgrnge me dit que pour une extremle y on uen constnte telle que xy 2 = On en déduit fcilement que x pour tout x [,b]. (En prticulier on remrque que si 0 [,b] lors on imméditement = 0 et donc y = 0). Dns le cs où 0, on trouve lors que les extrémles stisfont (u signe près) y = x2 2
Il reste simplement à trouver une primitive de cette fonction. Pour cel on effectue le chngement de vrible x = coshu. Alors x2 2dx = 2 cosh 2sinh(u)du = du = u+k ( x ) = cosh 1 +k Les extremles de l fonctionnelle sont donc de l forme ( x ) y(x) = cosh 1 +k, vec,k R Les constntes et k seront déterminées pr les conditions u bord. IV.4.3. F ne dépend ps de x. A priori, l éqution d Euler-Lgrnge reste une éqution non-linéire du second ordre. Mis le théorème suivnt nous permet de prendre une version plus simple de l éqution Théorème 11. Soit J une fonctionnelle de l forme Alors l fonction H définie pr f(y,y )dx H(y,y ) = y f y f est constnte le long de chque extremle y. En d utre terme les extrémles de J stisfont l éqution y f y f(y,y ) = vec une constnte. On dit que H est une intégrle première pour l éqution différentielle d Euler-Lgrnge. Remrque 12. Plus générlement, lorsque (E) est un système différentiel, on ppelle intégrle première toute fonction qui est constnte le long des solutions de (E). Il rrive souvent que dns les problèmes inspirés de l physique, l quntité H représente une quntité préservée u cours du temps (comme l énergie d un système, son moment cinétique, etc...) L intérêt de cette intégrle première est de remplcer l éqution d Euler-Lgrnge, qui est une éqution différentielle du second ordre, pr une éqution différentielle du premier ordre H(y,y ) =. Exemple Rppelons le problème du ténire. On considère un cble flexible suspendu u sommet de deux mts situées en x = et x = b de huteur A et B respectivement. Quelle v être 33
34 l forme du cble u repos, c est à dire l position qui minimise l energie potentielle du cble. Si le cble suit une courbe y : [0, d] R, l énergie potentielle pour un élément de longueur infinitésiml est mgy(s)ds, où s est l bcisse curviligne du cble, et y(s) représente l huteur du cble à s unité de longueur le long du cble. On donc l énergie potentielle E p [y] = L 0 mgy(s)ds vec L l longueur du cble. Dns l formultion du problème L est inconnu, il fut donc trduirecetteexpressionencoordonnéescrtésiennes. Ondnscecsds = (x)dx ce qui nous donne : E p [y] = mgy(x) (x)dx Le problème est donc équivlent à trouver le minimum de l fonctionnelle donnée pr : y 2 dx L fonction F = y 2 ne dépend ps de x. On définit donc l intégrle première H pr H(y,y ) = y yy y y 2 = 2 2 Les extremles de l fonctionnelle stisfont l éqution y 2 = pour un certin R. Lorsque = 0, l seule solution est y = 0. Lorsque 0 l éqution peut être remplcée pr y y 2 = 1 2 Pour intégrer cette éqution on sépre les vrible en écrivnt y = dy. On rrive lors dx à exprimer dx en fonction de y et dy. dx = dy y2 2 On déjà trouvé une primitive de cette fonction dns un exemple précédent. On donc : ( y ) x = cosh 1 +k e qui nous donne que les extrémles de l fonctionnelle J sont de l forme x k y(x) = cosh