ADAPTATION DE IMPEDANCE 1/13 ème Partie INTRODUCTION Das la première partie de cet article, ous avos itroduit le problème de l'adaptatio des impédaces et rappelé les otios essetielles sur les impédaces et les admittaces. Ce faisat, ous avos vu qu' e plaçat ue réactace e série ou e parallèle avec ue impédace, o pouvait modifier la partie résistive et la partie réactive de cette impédace; ces trasformatios état matérialisées das le pla complexe par des segmets de droite ou des arcs de cercle. Das la ème partie de cet article, ous étudieros plus e détail le problème de l'adaptatio des impédaces. 1. CONDITION D'ADAPTATION DE IMPEDANCE 1.1 RAPPE DU PROBEME O cosidère (figure 1) u géérateur de tesio siusoïdale d'impédace de sortie s = R s + jxs, s = R s + jx s = R + jx Figure 1: géérateur de tesio siusoïdale chargé par ue impédace complexe.
braché sur ue charge d'impédace R + jx atee). O s'itéresse à la relatio qu'il faut avoir etre par le géérateur à la charge soit maximum. /13 = (par exemple, u émetteur raccordé à ue et pour que la puissace fourie 1. IMPEDANCE DE OURCE ET DE CHARGE PUREMENT REITIVE O evisage d'abord le cas où les deux impédaces sot puremet résistives (figure ). s = R s I U s U = R oit U l'amplitude de la tesio à vide du géérateur et U l'amplitude de la tesio aux bores de la charge. a puissace fourie à la charge vaut, I état l'amplitude du courat das la charge: avec Figure : géérateur d'impédace de sortie résistive, chargé par ue résistace pure. 1 R I P = (1) I U R + R = () e facteur 1/ das (1) proviet du fait que l'o travaille ici avec les amplitudes. E remplaçat das (1), I par so expressio, o obtiet: P 1 U = R (3) R + R oit :
3/13 P U R = (4) ( R + R ) i l'o suppose R fixe, le problème est de savoir quelle doit être la valeur à doer à R pour que la puissace P fourie à la charge soit maximum. Remarquos que si R = 0 (court-circuit), P =0; de même, si R = (circuit ouvert), P =0 aussi car I = 0. O a doc bie u maximum pour ue certaie valeur de R o ulle et o ifiie. Mathématiquemet, le problème se résout e calculat la dérivée de P par rapport à R ; la valeur recherchée pour R est celle qui aule cette dérivée. O trouve alors que P est maximum lorsque la résistace de la charge est égale à celle du géérateur. R = R (5) 1,00 P Tot = P + P 0,80 P/PTot 0,60 0,40 0,0 η = P / P Tot P (puissace dissipée das la charge) P (puissace dissipée das la source) 0,00 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 R /R Figure 3: variatio du redemet η = P / P Tot e foctio du rapport R / R ; o voit bie le maximum de P pour R = R (pour les courbes de puissace, P Tot a été ormalisée à 1 W). O voit que la puissace fourie à la charge est maximum lorsque la résistace R de la charge est égale à l'impédace de sortie R du géérateur; das ce cas, la puissace P fourie à la charge est égale à la puissace P dissipée das le géérateur et le redemet vaut alors 50 %. Par exemple, u émetteur de 100 W, d'impédace de sortie égale à 50 Ω, et braché sur ue charge de 50 Ω, dissipe aussi 100 W (e chaleur) das so étage de sortie. a figure 3 motre commet varie le redemet η = P / P Tot e foctio du rapport R / R (P Tot état la puissace totale fourie par le géérateur); la figure motre aussi les courbes de P, P et P Tot (avec P Tot ormalisée à 1 W). a courbe du redemet motre bie que celui-ci 'est pas maximum lorsque la coditio R = R est réalisée; e fait, il e vaut que 50 %. Pour cette raiso, l'adaptatio des impédaces 'est pas toujours réalisée, e particulier, das les systèmes de productio d'éergie.
1.3 IMPEDANCE DE OURCE ET DE CHARGE QUECONQUE 4/13 O evisage maiteat le cas gééral. E se reportat à la figure 1, o voit que la puissace fourie à la charge est ecore la puissace P dissipée das la partie résistive R de la charge (la partie réactive e dissipat pas de puissace). O a doc: Avec 1 R I P = (6) I U U = = (7) ( R + jx ) + ( R + jx ) ( R + R ) + j( X + X ) I et U état les amplitudes complexes (amplitudes réelles et phases) du courat das la charge et de la tesio à vide du géérateur. 'amplitude I du courat vaut: I = ( R + R ) + ( X + X ) U (8) a puissace dissipée das la charge vaut doc: P = 1 R ( R + R ) + ( X + X ) U (9) 'expressio (9) motre que l'o peut maximiser ue première fois la puissace P dissipée das la charge e preat X = -X. O a alors: P U 1 = R (10) ( R ) + R O est alors rameé au cas précédet (l'expressio (10) est idetique à l'expressio (4) du 1 er cas). Par coséquet, pour maximiser la puissace fourie à la charge, il faut réaliser les deux coditios suivates: oit R = R et X = -X (11) = R jx = (1) Il faut doc que l'impédace de la charge soit le complexe cojugué de l'impédace de sortie du géérateur; o parle alors d'adaptatio cojuguée (Rappelos que le complexe cojugué d'u ombre complexe = a + jb est = a jb).
Exemple. 5/13 U émetteur dot l'impédace de sortie est de 50 Ω doit foctioer avec ue atee dot l'impédace vue à travers la lige reliat l'émetteur à l'atee vaut (50 - j100) Ω (figure 4). a fréquece de travail est de 3,65 MHz. O peut doc cosidérer qu'à la fréquece de travail, le système "lige - atee" est équivalet à ue résistace de 50 Ω e série avec ue capacité de 436 pf. O veut assurer u trasfert maximum de puissace vers l'atee. s = 50Ω = (50 j100) Ω Figure 4: émetteur chargé par ue impédace capacitive. s = 50Ω = 4,36 µh X = +100 Ω = (50 j100) Ω Figure 5: la réactace capacitive a été compesée par ue iductace. olutio. Comme l'égalité des parties résistives des impédaces est déjà réalisée, il suffit, puisque l'impédace de sortie de l'émetteur est puremet résistive, d'auler la partie réactive de
6/13 l'impédace de la charge. Pour cela, il faut isérer das le circuit d'alimetatio de l'atee ue iductace dot la réactace à 3,65 MHz vaut +100 Ω ; soit = X /(πf) = 4,36 µh (figure 5) (o suppose ici que l'iductace est parfaite). 1.4 ADAPTATION PAR TRANFORMATEUR orsqu'ue impédace est brachée aux bores du secodaire d'u trasformateur de rapport de trasformatio p / s (figure 6), l'impédace mesurée aux bores du primaire vaut: s p = (13) E exprimat les impédaces sous la forme polaire, o obtiet: ( ) ϕ ϕ ϕ = = = s p s p (14) Cette derière relatio ous motre que le module de est égal au module de multiplié par le carré du rapport de trasformatio s p ; par cotre l'argumet φ 'est pas modifié. Il résulte de cela que le poit représetatif de l'impédace se déplace sur ue droite passat par l'origie (figure 7). p s Figure 6: trasformatio d'ue impédace au moye d'u trasformateur.
7/13 Das ce cas, o peut motrer que la puissace fourie par le géérateur est maximum lorsque les impédaces de source et de charge ot le même module ( = ). X (réactace) Φ 0 R (résistace) Figure 7: trasformatio d'ue impédace par u trasformateur (o a supposé ici u rapport p / s < 1).. REEAU D'ADAPTATION DE IMPEDANCE Das la pratique, o a raremet affaire à des cas aussi simples que celui de l'exemple précédet. E gééral, l'impédace de la charge a ue réactace o ulle et ue résistace différete de celle du géérateur. Das ce cas, il faut alors effectuer ue trasformatio de l'impédace de la charge, par des mises e série et/ou parallèle avec cette charge, de réactaces coveablemet choisies; c'est le rôle du réseau d'adaptatio des impédaces, e particulier, du coupleur d'atee das le cas d'u émetteur (figure 8)..1 CA GENERA D'ue maière géérale, le réseau d'adaptatio va trasformer l'impédace de la charge e ue impédace qui est complexe cojuguée de celle du géérateur; o aura aisi réalisé l'adaptatio cojuguée. Das le cas particulier d'u émetteur avec ue impédace de sortie puremet résistive (égale à 50 Ω par exemple), l'impédace vue à travers le coupleur d'atee devra aussi être égale à cette résistace pure. Nous avos vu das la première partie de cet article que ce réseau d'adaptatio devait être composé exclusivemet de réactaces, puisque des résistaces itroduiraiet des pertes par effet Joule; e réalité, les réactaces (iductaces ou capacités) e sot pas parfaites et ue partie de la puissace fourie par l'émetteur sera doc perdue e chaleur das le réseau d'adaptatio. Pour la suite de cet article, ous supposeros que les pertes das les réactaces du réseau d'adaptatio sot égligeables.
8/13 e foctioemet du réseau d'adaptatio de la figure 8 peut être représeté graphiquemet das le pla complexe (figure 9). Il faut trasformer de faço à obteir ue impédace égale au complexe cojugué de, soit =. a figure 9 motre qu'e partat du poit A (poit R jx s = R s + jx s = R s jx s Réseau d'adaptatio des impédaces = R + jx Figure 8: à travers le réseau d'adaptatio, le géérateur voit ue impédace égale au complexe cojugué de s. représetatif de ), il est possible d'arriver au poit C (poit représetatif de ) par divers chemis (théoriquemet, il e existe ue ifiité). Deux de ces chemis parmi les plus simples sot représetés sur la figure 9. 1 e chemi ABC. E plaçat ue iductace s e série avec, o passe de A à B; esuite, ue capacité C p e parallèle avec l'esemble produit u déplacemet das le ses horlogique sur le cercle de coductace costate passat par B, ce qui ous amèe e C, poit représetatif de. Nous avos ici affaire à u adaptateur e direct de type passe-bas. e chemi AB'C. E plaçat ue iductace p e parallèle avec, o passe de A à B' (déplacemet das le ses ati-horlogique sur le cercle de coductace costate passat par A); esuite, ue capacité C s e série ous amèe e C, poit représetatif de. e circuit obteu costitue u adaptateur e iversé de type passe-haut. E gééral, il faut au mois deux réactaces pour réaliser l'adaptatio; o parle alors de réseau e. O peut utiliser u ombre de réactaces plus élevé; pour trois réactaces, o parle de réseau e T ou e π. a figure 10 illustre ces différetes cofiguratios.
9/13 Réactace s X B' B C p A Chemi ABC 0 R Résistace C s -X C p Chemi AB'C Figure 9: trasformatio d'ue impédace e ue impédace, complexe cojugué de. X X 1 X 1 X Réseau e direct Réseau e iversé X 3 X 1 X X 1 X X 3 Réseau e PI Réseau e T Figure 10: réseaux d'adaptatio d'impédaces à et 3 réactaces.
. COUPEUR D'ANTENNE 10/13 A titre d'applicatio de la théorie que ous veos de voir, cosidéros le cas de la figure 11 das lequel ue atee est reliée par ue lige à u émetteur dot l'impédace de sortie est supposée puremet résistive et égale à R (50 Ω par exemple). 'impédace de l'atee est trasformée par la lige e ue impédace. U coupleur est itercalé etre l'émetteur et la lige pour réaliser l'adaptatio des impédaces. Ce coupleur doit trasformer l'impédace de la charge e ue impédace R puremet résistive. A Coupleur d'atee = R = R ige Atee A Emetteur Figure 11: système lige-atee relié à u émetteur via u coupleur. 'impédace, à priori quelcoque, est représetée sur la figure 1, par le poit A. e poit C, correspodat à ue résistace R, représete l'impédace de sortie de l'émetteur. Ue cofiguratio de coupleur (, T, PI ) est représetée das le pla complexe par u chemi reliat A à C, ce chemi état composé de segmets de droite (réactaces e série) et d'arcs de cercle (réactaces e parallèle). Deux lieux particuliers sot représetés à la figure 1. - a droite de résistace costate R = R. Tous les poits de cette droite correspodet à des impédaces dot la partie résistive est égale à R. Pour ue impédace représetée par le poit B par exemple (et e gééral par des poits au-dessus de l'axe des R), la mise e série d'ue capacité avec cette impédace suffit pour passer au poit C (R ); das le cas des poits de la droite e dessous de l'axe des R (tel que B'), il faudrait utiliser ue iductace. - e cercle de coductace costate G = G = 1/R. Tous les poits de ce cercle correspodet à des impédaces pour lesquelles la coductace (partie réelle de l'admittace correspodate) est égale à 1/R (voir 1 ère partie de cet article). Pour ue impédace représetée par le poit D par exemple (et e gééral par des poits du demi-cercle supérieur), la mise e parallèle d'ue capacité avec cette impédace suffira pour arriver au poit C; pour les poits du demi-cercle iférieur (tel que E par exemple), il faudrait utiliser ue iductace.
11/13 Pour reveir maiteat à l'impédace, la figure 1 ous motre deux exemples de trasformatios possibles, doat lieu das ce cas, à des coupleurs e. Réactace D B B" A ( ) A' Droite de résistace costate (R = R ) 0 R C Résistace E Cercle de coductace costate (G = G = 1/R ) D' B' Figure 1: trasformatio par le coupleur d'atee, de l'impédace (poit C). (poit A) e l'impédace R 1 e chemi ABC. E plaçat ue iductace p e parallèle avec, o passe de A à B e suivat das le ses atihorlogique le cercle passat par A; esuite, ue capacité C s e série avec l'esemble produit le déplacemet de B à C (o a affaire ici à u coupleur e iversé passe-haut). e chemi AB'C. E plaçat ue capacité C p e parallèle avec, o passe de A à B' e suivat das le ses horlogique le cercle passat par A; esuite, ue iductace s e série ous amèe e C (o a affaire ici à u coupleur e iversé passe-bas). Ue autre trasformatio possible est représetée par le chemi AA'B"C; elle correspod à u coupleur e T de type passe-haut (capacités das les braches série et iductace das la brache parallèle). e chemi AD'DC représete u coupleur e PI de type passe-bas (capacités das les braches parallèles et iductace das le brache série). es schémas correspodat à ces différetes trasformatios sot doés à la figure 13. A la figure 1, le poit A représetatif de l'impédace a été arbitrairemet placé à droite du lieu R =R. D'autres solutios de coupleurs e auraiet été obteues si ce poit A avait été placé à gauche de ce lieu; ue distictio est aussi à faire e foctio de la positio du poit A par rapport au cercle G = G = 1/R (à l'itérieur ou à l'extérieur).
1/13 C R R C P P Chemi ABC Chemi AB'C C 1 C R R C P1 C P P Chemi AA'B"C Chemi AD'DC Figure 13: schémas des coupleurs correspodat aux trasformatios de la figure 1. CONCUION Das la première partie de cet article, ous avos revu les otios importates d'impédace et d'admittace, aisi que les modificatios que subisset les impédaces ou les admittaces lorsqu'o met ue réactace e série ou e parallèle avec elles. Nous avos motré que ces modificatios se traduiset das le pla complexe par des trajectoires rectiliges ou circulaires suivat le cas. Das la secode partie de cet article, ous avos vu commet se réalise l'adaptatio des impédaces, das le cas particulier d'ue charge résistive et das le cas gééral d'ue charge quelcoque. Nous avos esuite étudié quelques réseaux d'adaptatio simples d'ue faço géérale et das le cas plus particulier des coupleurs d'atees. ON5WF ON5WF@UBA.be BIBIOGRAPHIE 1. F. E. Terma, "Electroic ad radio Egieerig", McGraw-Hill 1955.. W.. Everitt & G. E. Aer, "Commuicatio Egieerig", McGraw-Hill 1956.
3. F. de Dieuleveult, "Electroique appliquée aux hautes fréqueces", Duod 1999. 13/13 4. The ARR atea book. 5. G3YNH, "From Trasmitter to Atea", chapt 5: Impedace Matchig, part 1. http://www.g3yh.ifo/zdocs/idex.html.