Dérivées et intégrales non entières

que "non entière". Dérivées et intégrales non entières. Notations. Outils Robert Janin La terminologie est plutôt "fractionnaire" On notera f (k) ou k x k f la érivée orre k e la fonction f et nous pourrons abuser e la notation f (x) à la place e f (:) ou e f. partie entière u réel. On pourra noter aussi [f] la istribution associée à une fonction localement intégrable. Y échelon e Heavisie, istribution e Dirac. (x) R t x exp ( t) ; x >, la fonction gamma Euler. La fonction gamma se prolonge sur C holomorphe ailleurs que sur les entiers négatifs. B (x; y) R tx ( t) y ; x; y >, la fonction béta Euler On rappelle que 8x Cn f; ; ; :::g ; (x + ) x (x) En particulier (n) (n )! Certaines ientités peuvent être utiles. (z) ( z) sin (z) et avec z puis p p On rappelle aussi pour la fonction béta Euler 8x; 8y; Re x > ; Re y > ; B (x; y) Pour f; ; ; :::g, on pose (x) (y) (x + y) Y (x) () x Y (x) ; Y Y; Y On notera en n l exponentielle e Mittag-Le er x k E (x) (k + )

. Intégration non entière par convolution. L approche communément pratiquée est celle e Riemann-Liouville. Elle part e la formule e Cauchy t ::: f () (n )! t Notons, la notation D n pouvant s avérer piégeuse: J n f (t) (n )! t (t ) n f () (t ) n f () ; n N Les fonctions J n f ; m ; sont causales, J n f (t) ; 8t. En supposant la fonction f causale, en particulier f (), on peut convenir que J f (t) f (t). On a alors 8m; n N; J n J m J m+n On peut étenre imméiatement la formule intégrale à une puissance non entière ; Re() > par J f (t) () t (t ) f () Y f (t) Moyennant cette extension, on a J f (t) f (t) 8; R + ; J J J + La é nition, avec Re() >, est valie pour une classe e fonctions notée C par Miller-Ross [M R:]: f est continue par morceaux sur ]; +[ f C, f est localement intégrable sur [; +[ La classe C inclut les puissances x Y (x) où >, ainsi que les fonctions e la forme ' (x) x (x) Y (x) où est analytique et >. Selon Kilbas [K] l opérateur J (Re > )est continu pour la norme e L p (; b) ; p kj fk p b Re Re () () kfk p La transformée e Laplace e l intégrale est L (J f) (s) L (Y ) (s) L (f) (s)

onc On a 8k ; ; ::: : En e et, comme k > L (J f) s L (f) (s) k x k (J f) (x) J k f (x) Exemples intégrales k x k (J f) (x) k x k (Y f) (x) k x k Y f (x) Y k f (x) J k f (x) Intégrale e Riemann-Liouville, pour > non entier. * f (x) x Y (x) ; > Posant t xu J f (x) () J f (x) Cas particulier: k N () x t (x t) (xt) x ( u) xu x+ () B ( + ; ) ( + ) ( + + ) x+ J Y (x) k! ( + k + ) xn+ ** f (x) exp xy (x). On a exp x P terme à terme, il vient J (exp x) ( + k + ) J (() n ) (x) (x) k k! : En intégrant ( + k + ) (x)k+a On n obtient pas exactement une exponentielle, lorsque n est pas un entier. (a) Remarque. On a J x k (k + ) x k (k + )

La solution e l équation J f (x) x k est f (x) (k + ) (k + ) xk Miller-Ross [M R] établissent une formule e Leibniz pour les intégrales non entières: Théorème.On suppose f continue sur [; ] et g analytique en tout point a [; ]. Alors, pour tout > J k (f:g) (x) k x k g (x) J +k (f) (x) où l on note k ( ) ::: ( k + ) k! Remarque. L origine e l intégration peut être remplacée par c [ ; x[ s il est besoin. Il faurait alors noter cj x f () x c (x t) f (t) Pour c, c est le schéma e Liouville. Pour c R,c < x, c est le schéma e Riemann-Liouville. Il n y a clairement pas e relation e Chasles. Pour éviter alourir la notation, nous garerons partout c.. Approche complexe es intégrales non entières. Soit f (z) une fonction analytique ans un ouvert A u plan complexe et une courbe régulière C autour u point z ans A: On a 8n N ; n n! f () f (z) zn i n+ ( z) On peut étenre formellement l égalité à es puissances non entières, y compris es puissances complexes: Cn f ; ; :::g :D ( + ) f () f (z) i + ( z) Le point z est alors un point e branchement. On va montrer que si Re <, on retrouve l intégrale non entière introuite au paragraphe précéent. C C 4

Que evient la formule ans le cas où z x R. Evaluons, pour x > f () L ( x) + sur le contour L ; L ; où c < x éventuellement c. Sur on pren la étermination Log ( x) ln r + i; r > ; < < ( x) exp ( ) (ln r + i) r onc f () + ( x) r Re Pour Re <, on a onc lim r! Sur L on a, en prenant t Re f () c + ( x) L f () + ( x) x r + exp f x + re i f (t) exp [( + ) (ln jt exp ( + ) i 5 c x r i ( + ) xj) + i] f (t) (x t) +

et sur L L f () + exp ( + ) i ( x) x c r f (t) (x t) + La limite quan r ten vers est onc [exp ( + ) i exp ( + ) i] x c f (t) + i sin ( + ) (x t) On a onc, pour une boucle C autour e x ne rencontrant pas ft < xg f () x f (t) + i sin ( + ) + ( x) (x t) C onc, en utilisant la relation (z) ( z) sin(z) ( + ) f () sin ( + ) x f (t) i + ( + ) C ( x) c (x t) ( + ) x f (t) ( + ) ( ) + c (x t) x f (t) ( ) + (x t) Pour c < x, et < on retrouve onc J f (x). c c x c + Une érivée orre négatif ans le champ complexe est onc une intégration orre opposé. 4. Dérivée. Approche par la transformée e Fourier. Pour f L (R) la transformée e Fourier est é nie par Ff (!) f (x) exp ( i!x) :x La transformation se prolonge à L (R) par un isomorphisme. L inverse est onné par la formule f (x) p:p: +T lim exp (i!x) Ff (!)! F [Ff] T! T Et si f est érivable et f L (R) : Ff (!) i!ff (!) Formule qui s éten, moyennant les hypothèses intégrabilité u moule carré, à un orre entier n Ff (n) (!) (i!) n Ff (!) f (t) (x t) + 6

Il est naturel e é nir, ans le omaine fréquenciel, une érivée orre non entier par la formule c est à ire FD f (!) (i!) Ff (!) D f F [(i!) Ff (!)] Pour >, la fonction à inverser n est pas le prouit e eux transformées e Fourier car! ne ten pas vers zéro quan! ten vers l in ni (Riemann-Lebesgue). Mais on a au moins eux manières (équivalentes ici) e procéer et onc (i!) Ff (!) (i!) + h i (i!) + Ff (!) " # (i!) Ff (!) (i!) + Ff (!) + (i!) F [(i!) Ff] (x) F et (i!) +! Y + f (+) (x) ( + ) F [(i!) Ff] (x) + x + F " ( + ) x F [(i!) + Ff (!)] (x t) + f (t) + (i!) + + x x +! Ff # (x t) f (t) Remarque. La méthoe est plus généralement utilisée pour é nir un opérateur pseuoi érentiel D ans R N. On é nit la transformée e Fourier e f R N par Ff () exp i < ; x > f (x) x; F b f (x) R N () N exp i < ; x > f b () R N Lorsque le secon membre est é ni, on pose Df (x) () N (x; ) exp i < ; x > Ff () R n 7

le noyau étant appelé le symbole e l opérateur. Dans le cas présent e la érivation non entière D D on a N. (x; ) (i) Le laplacien fractionnaire ( ) où (; ] est é ni par ce qui onne ( ) u (x) F fkk Fu ()g ( ) u (x) c N; N+ y u (x) u (y) R N kx yk l intégrale étant prise en valeur principale. La constante c N; épen e la imension e l espace et e l orre. 5. Dérivée. Approche par la transformation e Laplace et les istributions. L état (t) à l instant t R un système physique, causal, linéaire et stationnaire résultant e l entrée E (s) s t est représenté par une convolution (t) t (t s) E (s) s où est une fonction ou une istribution à support ans R +, appelée réponse impulsionnelle. La transformation e Laplace transforme cette relation e convolution en prouit e fonctions ans le omaine fréquentiel. La transformation est bijective, son inverse étant onnée par la formule e Bromwich-Wagner. Pour une fonction causale (nulle sur exponentielle, on rappelle Par exemple On a 8s C; Re s > f : Lf (s) 8s C; Re s > f : L + ; ]) e croissance au plus exp ( 8 > : Re (s) > L (Y ) (s) s f (s) x plus généralement m L x m f (s) s m L (f) (s) s m L (f) (s) 8 + m m exp ( sx) f (x) x sx) f (x) x sl (f) (s) f (+) x s m k k x k f (+) sm L (f) (s) s m k k x k f (+) m s k m k x m k f (+)

t L f (s) L (f) (s) s et pour le prouit e convolution f g (x) R + f (t) g (x t) quan il est é ni, comme ans L. par exemple, pour > 8s > f ; g : L (f g) (s) L (f) (s) L (g) (s) 8s > f : L (J f) (s) L (Y f) L (Y ) (s) L (f) (s) L (f) (s) s Pour les istributions à support ans R + ; U D+ (R), telle qu il existe u R véri ant exp ( u x) :U x S+ (R), istribution tempérée, la transformée e Laplace T U est é nie par Si U [f], on a bien Re s > u ; T U (s) < U; exp ( sx) > T [f] (s) L (f) (s) On a, pour la érivation es istributions notée D : Re s > u ; T DU (s) < DU; exp sx > s < U; exp sx > st U (s) Re s > u ; T Dn U (s) < Dn U; exp sx > s n T U (s) Remarquer que si T est une istribution régulière [fy ], alors T f Y + f f Y + f (+). On retrouve L (f ) st (s) f (+) sl (f) (s) f (+) Le prouit e convolution U V lorsqu il est valie, comme ans les istributions tempérées T UV (s) T U (s) T V (s) Comme on l a fait avec la transformation e Fourier, On peut poser, pour la érivation, notée D ( > ) non entière une istribution U D U (x) L [s LU (s)] Comme >, s n est pas une transformée e Laplace. On fait apparaître un prouit e convolution en posant, puisque + > s LU (s) s + s + LU (s) L D + Y + 9 i U L h + Y + U

où, l algèbre e convolution étant commutative: D + Y + Y + + Pour < < ; D DY. Quelle est cette istribution? Soit ' D < DY ; ' > < Y ; ' > lim "! ( ) + ( ) lim "! ' (t) t Y (t) ( ) + " ' (t) t ' (") " + ( ) lim "! ' (") ( ) " + ( ) Donc Y p:f: t ( ) Y (t). + " + " ' (t) t a+ ' (t) ta+ < + ' (t) t ' (") + ( ) lim ' (t) "! " + " ta+ ( ) p:f: Y; ' > t+ Pour U [f], explicitons les eux écritures possibles e la érivation orre D f (x) + x Y + f (x) ( + ) D+ (x t) f (t) ou si f est continue ainsi que ses érivées sur [; x] D f (x) Y + + f (x) Y + 4 + f + f (k) (+) + ( + ) x k 5 (x t) + f (t) + + On remarquera que, ans la sommation, le terme inice k est une istribution régulière: f () Y (x) ( + ) x i f (k) (+) h k Y +

6. Dérivée au sens e Riemann-Liouville et au sens e Caputo. Ces eux é nitions corresponent à l orre ans lequel on opère intégration non entière et érivation entière au sens es fonctions. (a) Approche "à gauche" e Riemann-Liouville ( h m R i DRLf t f() (t) m (m ) avec m (t ) + m m f (t) pout m m < < m L approche consiste à ériver m fois J m f. Cela suppose f causale et ses érivées existent jusqu à l orre m +. La érivée e Riemann-Liouville est la plus utilisée. Nous la noterons D. D f (x) D f (x) ( + ) ( + ) + x x + x (x t) f (t) (x t) + f (t) + + Il faut noter aussi que la érivée orre une constante causale C n est pas nulle D CY C x ( ) i. Transformée e Laplace. Calculons L (D f). On a D f (t) + g (t) où g (t) + J + f (t) Y + f (t). L (g) (s) L Y + (s) L (f) (s) s L (f) (s) L (D + f) (s) L g s + L (g) (s) + s L (f) (s) s L (f) (s) s L (f) (s) s k k x +k s k g ( k) (+) k Y + f (+) s k k k Y [ k]+ +k f (+) s k D k f (+) On voit tout e suite la i culté e onner une valeur signi ante aux conitions initiales sur les érivées fractionnaires. k (k + ) x k f (+)

ii. Exemples D t Y (t) x t B ; Y (x) + Y (x) (x t) Y (x) Calcul e D x Y (x). Pour > ;on a: p Y (x) u ( u) u D x Y + J + x Y (x) + ( + ) x + x + ( + + ) x ++ Y (x) ( + ) ( + + ) ( + + ) ( + ) ::: ( + ) x Y (x) iii. Noyau e l opérateur D onc ( + ) ( + ) x Y (x) D f (x), + x + h J +, J + f (x) c k x k, f (x), f (x) j i f (x) (k + ) (k + ) c kx k + ( j + ) c j x j ( j) D f (x), f (x) k x k où k (k ; ; ::: ) est une constante arbitraire. iv. Inverse. Dans le cas es érivées entières Jf (x) f (x) x, J x f (x) f (x) f () : L opérateur D est l inverse à gauche e l opérateur J pour les fonctions f qui sont + fois érivables. D J f (x) + + J x + J f (x) + x + J + f (x) f (x)

L opérateur D n est pas l inverse à roite e J. Passons par la trans formée e Laplace L [J D f] (s) s L [D f] (s) 4s s L (f) (s) onc L (f) (s) J D f (x) f (x) s k D k f (+) 5 s k D k f (+) x k ( k) D k f (+) Les propriétés suivantes ont un intérêt ans les calculs : *Si > >, alors pour f L p D J f J f p:p: en e et D est l inverse à gauche e J onc D J f D J J f J f ** Si D f et D +k f existent, alors [K] k x k D f (x) D +k f (x) (b) Approche "à roite" e Caputo. On permute les opérations intégration non entière et e érivation entière avec es fonctions su samment régulières D Cf (t) ( R t (m ) m m f() pour m < < m (t ) + m m f (t) pout m m On voit que la érivée une constante est nulle. i. Relation e D C avec D. D f (x) ( + ) DCf (x) + x (x t) + f (t) + + x +k k ( + k + ) x k f (+) x +k k ( + k + ) x k f (+)

ou encore DCf (x) D 4f (x) [a] k x k f (+) k! x k 5 On voit que les eux opérateurs coincient sur f si f (+) f (+) ::: f (+) x ii. Transformée e Laplace Pour la transformée e Laplace, les choses sont plus favorables car les conitions initiales ont un sens physique L (DCf) (s) + + L J x f (s) s (+ + (+ s ) 4s + L (f) (s) s L (f) (s) s k k x k f (+) s k ) L k x f f (+) 5 x k (s) iii. Exemples. *f (t) t Y (t). Par transformation e Laplace L D C t (s) s L t (s) s t s t s s p s onc D C t p Y (t) **Calcul e DC x Y J + + x. Il est nécessaire avoir, x + sauf si est un entier >, c est à ire >. En e et, il y a un problème avec l intégrabilité en. Dans ce cas alors f (x) x Y f (+) f (+) ::: f (+) x D C x Y D x Y Pour m entier, on a, avec m ( + ) ( + ) x D Ct m t + t m + ( + ) (t ) 4

***f (t) E ( (t) ) P (t)k ( )k (k+). Ce calcul sera utile pour l écriture es solutions es équations i érentielles. D CE ( (t) ) k ( ) k D C (t)k ( + k) k ( ) k D C (t)k ( + k) k ( ) k k (k + ) ( + k) (k + ) tk k 4 k ( ) k (k + ) [(t) ] k ( ) k (k + ) [(t) ] k 5 posant k l + ans la sommation DCE ( (t) ) 4 ( ) l (l + ) [(t) ] l 5 E ( (t) ) l (t) ) est onc solution e l équation fona- La fonction E ( mentale D Cu + u iv. Noyau e D C. Il est clair, compte tenu e la érivation orre +, que f (x) k x k ) DCf (x) Compte tenu e la relation e DC avec la érivée e Riemann- Liouville DCf (x), D 4f (x) f (k) () x k 5 k!, f (x) où k (k + ; ; ::: ) est arbitraire. v. Inverses f (k) () x k k! k x k 5

Pour >, DC est l inverse à gauche e J. On a DCJ f (x) D 4J f (x) k J f (+) x k x k 5 k! D 4J f (x) f (x) k k x k k x k J f (+) k! k x k 5 (k + ) x k (J f) (+) comme k x k (J f) (x) J k f (x) pour k, on a on éuit k x k J f (+) D CJ f (x) f (x) Remarque. Lorsque C, l opérateur DC est l inverse à gauche e J sous certaines conitions [K] : Si Re () N; Re () > ou si N, alors Si Re () N; Im () 6 D CJ f (x) f (x) D CJ f (x) f (x) J f () ( + ) x+ On a, pour l inversion à roite [K] J D Cf (x) f (x) f (k) () x k k! Remarque. Pour < < on a J D Cf (x) f (x) f () 7. Intégrale et érivée e Liouville. 6

Liouville pren l origine es intégrales en c à es fonctions causales.. On est pas limité J Lf (x) () x (x t) f (t) ; D Lf (x) ( + ) + x x + (x t) f (t) La classe es fonctions intégrables ou érivables pour Liouville oit onc véri er (x t) f (t) ou (x t) f (t) intégrable sur ( ; x]. D un autre côté, le résultat es calculs est plus habituel. Calcul e DL exp x, pour Re > ; Re <, au sens e Liouville. D L exp x x ( ) exp x ( ) exp x + exp t (x t) exp ( u) u u exp x x exp (t x) ( ) (x t) (t x) exp x ( ) ( ) + Pour la étermination jj exp i, CnR par prolongement analytique < <, on obtient pour D L exp x exp x Pour i exp i DL exp i x exp i exp (ix) exp i x + il vient DL sin x sin x + 8. Dérivées à gauche On é nit, pour x < b D b+f (x) On a éviemment > : J b+f (x) () ( + ) b x (t x) f (t) + b x x DC;b+f (x) ( b )+ ( + ) x f (t) (t x) f (+) (t) (t x) D C;b+f (x) D b+f (x) f (k) (b) (b x) (k + ) 7

Comme ces érivées s obtiennent par un changement e variable aéquat, on éuit, avec un certain e ort e calcul, que ces érivées ont les mêmes propriétés que les érivées "à roite".; On a, ans [K], un théorème intégration fractionnaire par parties: Théorème. Soit > ; p ; q et si + + ) p q (a) Si ' L p (; b) et L q (; b) alors p + q + (avec p; q 6 b ' (x) J (x) x b (x) J b ' (x) x (b) Si f J b+ ' où ' Lp et g J où L q alors b f (x) D g (x) x b g (x) D b+f (x) x (les hypothèses f J b+ ' et g J assurent que f (b) et g () ) 9. Approche e Grunwal-Letnikov. On consière e nouveau es fonctions causales. On a En itérant la formule, on obtient n f (x) lim h! h n f (x) lim h! f (x) f (x h) h n ( ) m n m m f (x On é nit la érivée orre CnN par DGLf (x) lim h! h Remarquant que nalement ( ) m ( + ) ( m + ) + m DGLf (x) lim h! h mh) lim h! h n n m ( ) m ( + ) f (x mh) m! ( m + ) ( ) m ( ) ::: ( m + ) ( ) ::: (m ) (m ) ( ) + m 8 (m ) f (x mh) (m + ) ( ) ( ) m (n + ) f (x mh) m! (n m + )

La fonction f étant causale, la somme est en fait nie avec x h termes, mais le nombre augmente iné niment quan h ten vers zéro. En posant h x n DGLf n n (x) lim n! x m (m ) x (m + ) ( ) f m x n On arrête la sommation à n car f (). Remarques. Si l on applique la première é nition e G-L pour, avec 8 < il vient ( ) m ( + ) (m + ) ( m + ) : si m si m si m > DGLf (x) lim [f (x) f (x h)] h! h Si l on applique la secone é nition pour intégrable au sens e Riemann, on a, si f est n D x GLf (x) lim f x n! n m m x n x f (t) J f (x) (a) Exemples. Dérivée e Y (x) ( hn i n DGLY (x) lim n! x Comme on a l ientité [M:R:] m ) (m ) ( ) (m + ) ( ) n m (m + ) (m + + ) (n + ) (n + + ) () () en prenant ; et () ; on éuit n m et comme lim n! n (n ) (n) (m ) ( ) (m + ) (n ) ( ) (n), il vient D GLY (x) x ( ) On retrouve ainsi la érivée e Riemann-Liouville. 9

On peut aussi remarquer que x > : D D q q qx GLY (x) ( q) et Dq GL D Y (x) D q La émonstration u résultat suivant est un autre exemple e raisonnement avec GL Théorème: soient q R et n N. Si n x [D q n GLf] et Dq+n GL f existent, alors n x n [Dq GLf] Dq+n GL f Démonstration. Pour simpli er les écritures, on note ici D D GL. Comme q est arbitraire, il su t e traiter le cas n. Soit h N x N ( x h N N ) D q (h N ) q N f (x) lim N! ( q) j D q (h N ) q N f (x h N ) lim N! ( q) j (j q) (j + ) f (x jh N ) (j q) (j + ) f (x h N jh N ) Par hypothèse x [Dq f] existe x [Dq f] (x) lim N! [D q f (x) D q f (x h N )] h N (h N ) q lim N! ( q) 4 ( q) f (x) + N j (j q) (j + ) (j q ) f (x jh N ) 5 (j) On a (j q) (j + ) il vient (j q ) (j) x [Dq f] (x) lim N! lim N! (j q ) j q (j) j (j q ) (q + ) (j + ) h q N N 4 ( q ) f (x) + ( q ) j h q N ( q ) 4+ N j (j q ) (j + ) ( q) ( q ) (j q ) (j + ) (j q ) f (x jh N ) 5 (j + ) f (x jh N ) 5 D q+ f (x)

. Calcul i érentiel. (a) Règle es exposants. Dans le cas classique ( n; m entier) on a J n J m J n+m ; n m m+n. Mais J et ne commutent pas: Jf (x) f (x) ; et Jf (x) f (x) f () Les intégrales non entières commutent, mais les érivées non entières qui composent intégrales et érivées ont e bonnes raisons pour ne pas commuter. Dérivées istributions. Pour la érivation istribution, les choses semblent bien se passer en raison e la commutativité et e l associativité e l algèbre e convolution D D (+) Y + (+) Y + (+) Y + (+) Y + (+) (+) Y + Y + ++ Y ++ En permutant et on voit que D D D D. On peut aussi le voir en passant par Laplace. L D D f (s) s L D f (s) s + L (f) (s) Exemple. E ectuons un calcul irect avec f (t) t ; ; D x Y (x) D J x Y (x) D Y (x) x (x) x B ; Y (x) p Y (x) (x t) t D xy (x) ( u) u u + Y (x) Y (x) Y (x) ( u) u u ( u) u u

D t D J t D xy (x) p D [Y (x) + x] p ( u) u u D D t p D () p p p D Y p:f: Y (x) x DY (x) p:f:y 4 x D (D t Dérivées e Riemann-Liouville. On peut résumer par p p D p (Y ) D J Y D Y p p p DY DY DY DY (x) p:f:y 4 x J J J + J J mais D D 6 D D 6 D + On peut aussi avoir D D 6 D Les situations suivantes sont possibles D D D D 6 D + D D 6 D D D + Exemple. Avec D t D J f (t) t ; ; p D t Y t t (t ) t ( u) u u

D D D t t p ; D ; D D t t 4 t D D t p D p p t 4 t p En règle générale, on a le résultat suivant [LCP ] 4 t x 4 D D f (t) D + f (t) D k f (+) t k ( k ) Expérience. Prenons notre contre exemple ; ; f (t) t D D t x 4 ; D D t ; D + t t 4 D t D f (t) 4 t 4 h D i t t+ p t t h D i t t+ ceci montre l importance es termes complémentaires On a le résultat suivant chez Miller-Ross [MR:] : Théorème. On suppose que la fonction f est e la forme t (t) ; t (ln t) (t) où > et (t) P a kt k avec un rayon e convergence R >. Si on a i. < + et quelconque ou ii. + ; quelconque et a k ; k ; ; ::: Alors, pour (; R), on a 8t (; ] : D (D f (t)) D + f (t) t

L exemple suivant ans [M G] va montrer l importance e l absence e commutativité ans la érivation non entière. Soient ; > avec +. On a D D u (t) f (t) ) u (t) J f (t) + a + a t D D v (t) g (t) ) v (t) J g (t) + b + b t Dw (t) h (t) ) w (t) J h (t) + c où a ; a ; b ; b ; c sont es constantes arbitraires. Véri ons la première égalité. On a D t onc D D J f (t) + a + a t D D J f (t) + a on a D a t ( ) t () onc D D a. Il vient D D J f (t) + a + a t D D J f (t) D D J J f (t) f (t) On voit ici que le troisième cas (entier) introuit une seule constante arbitraire, alors que les cas où interviennent eux érivations fractionnaires en nécessitent eux, bien que +. (b) Formule e Leibniz. Il n y a pas e formule simple e Leibniz. Pour Riemann-Liouville. Chez Olham-Spanier [S], en supposant f et g analytiques On a noté D [f (t) g (t)] k + k D k g (t) D ( + ) (k + ) ( k + ) k f (t). Equations (a) Equations i érentielles avec une érivation non entière i. Méthoe historique avec Riemann-Liouville. Le moèle équation i érentielle non linéaire orre > sur [; +) est e la forme D u (x) f [x; u (x)] ; x > La solution générale e l équation sera e la forme intégrale e Volterra + u (x) J f [x; u (x)] + c k x k 4 k

où les coe cients c k sont arbitraires. La solution cherchée evra satisfaire les conitions initiales D k u (+) u k ; k ; ; ::: ; D u (+) J + u (+) u Par exemple, pour <, on oit avoir conition initiale D u (t) f [t; u (t)] D u (t) j t J u (+) u Ce problème pren la forme D u (t) f [t; u (t)] ; lim t!+ () t u (t) u et se ramène (les solutions e l un sont celles e l autre) à une une équation intégrale e secone espèce e Volterra [K] u (t) u t () + () t (t ) f [; u ()] Dans le cas > le problème e type Cauchy se ramène [K] à u (t) u k ( k) t k + () t (t ) f [; u ()] On a le résultat suivant [K] Théorème. (existence et unicité) Soient > ; G un ouvert e R, et f : (; b] G! R telle que A. 8u G; f (:; u) L (; b) B. 9A > ; 8x (; b]; u ; u G; jf (x; u ) f (x; u )j A ju u j Alors il existe une solution et une seule solution u L (; b) v : v L (; b) ; D v L (; b) u problème e Cauchy D u (x) f [x; u (x)] ; x > D k u (+) u k ; k ; ; ::: ; D u (+) J + u (+) u ii. Avec Caputo. On consière le problème e Cauchy avec conitions initiales incorporées: DCu (t) D @u (t) t tk k! u(k) () A f [t; u (t)] 5

On a vu que D est l inverse à roite e J sur les fonctions nulles en ainsi que leurs érivées jusqu à l orre. l équation i érentielle a onc les mêmes solutions que l équation intégrale e secone espèce u (t) t tk k! u(k) () J [f (t; u (t))] () t (t ) f [; u ()] Théorème. (existence et unicité locale [K]) Soit >, soient u k R, k ; ; ::: et soit U un ouvert connexe e R et (; b)u. Soit f :! R une fonction continue et Lipschtzienne par rapport à la secone variable. Alors, pour tout (t ; y ) ; il existe h > tel que [t h; t + h] (; b) et une fonction unique u (:) : [t h; t + h]! U telle que u (:) C + ([t h; t + h]) u (t ) u ; u (t ) u ; :::u () (t ) u DC u (t) f (t; u (t)) (b) Equations intégrales orre non entier i. Première espèce On a, par Riemann-Liouville J u (x) f (x) x u (t) () f (x) (x t) D J u (x) + + J x + onc J u (x) + x + J + u (x) u (x) u (x) D f (x) ( + ) + x x + f (t) (x t) Passons par la transformée e Laplace. L équation s écrit ans le omaine fréquenciel L (J f) (s) Lu (s) Lf (s) s On peut la résoure e eux manières Lf (s) Lu (s) s Lf (s) s + s + 6

ce qui onne Riemann-Liouville u (x) + x f (t) x + ( + ) (x t) et e la secone manière Lu (s) 4s + Lf (s) s + s k f (k) (+) 5+ s k f (k) (+) ce qui onne Caputo u (x) x + f (t) x + ( + ) (x t) + f (k) () ii. secone espèce. Consiérons, pour (; ) le problème x +k (k + ) u (x) + () x u (t) f (x) (x t) Une conition nécessaire existence est que u () f (). L équation s écrit ( + J ) u (x) f (x) et par Laplace + s Lu (s) Lf (s) + s s Lu (s) s + Lf (s) s s s + Lf (s)+lf (s) Il nous faut inverser une transformée e Laplace. Consiérons l équation fonamentale véri ée plus haut par la fonction E ( (t) ) D Cu + u par transformation e Laplace, il vient s LE ( (t) ) (s) s E () + L (E ( (t) )) (s) où, avec E () : et LE ( (t) ) (s) s s + L E ( (t) ) (s) s s s + 7

On en éuit u (t) f (t) + [E ( (t) )] f (t) (c) Equations i érentielles linéaires orre non entier. La écomposition en éléments simples e la fonction e transfert un système linéaire à coe cients constants fait apparaître en parallèle es composants e eux types On pourra parler aussi e relaxation: u u + q (t) oscillation : u u + q (t). D Cu u (t) + q (t) relaxation fractionnaire si < oscillation fractionnaire si < On consiérera une équation i érentielle orre non entier e la forme: DCu (t) D @u (t) t tk k! u(k) () A u (t) + q (t) Noter qu un problème e Cauchy pour une équation orre (une seule érivation) nécessite + conitions initiales. Ces conitions sont "incorporées" ans D C. Pour la résolution, le plus simple est e passer par la transformation e Laplace: s Lu (s) s k u (k) () Lu (s) + Lq (s) Lu (s) s k ( + s ) u(k) () + Lq (s) + s On a 8k ; ; ::: : + s s k ( + s ) s s k + s L J k E ( t ) s s s + 8 L [E ( t )] (s)

Finalement u (t) u (k) () J k E ( t ) q [E ( t )] (t). Exemple historique: le problème Abel. Cet exemple est traité ans [M R]. L espace est plan est rapporté aux axes Ox; Oy. Le point Q e masse est soumis à la pesenteur! g selon la irection Oy irigée vers le bas u schéma. Le point Q glisse sans frottement le long une courbe C joignant l origine O à un point P e cooronnées (x; y) positives. Le problème est e trouver la forme e la courbe telle que le temps mis par Q pour glisser jusqu à l origine soit le même quel que soit le point e épart. C est le problème e la tautochrone. Mise en équation. Soit s l abscisse curviligne e Q (; ). On a s g (y ) Le sens u mouvement implique s p g (y ) 9

Le temps pour arriver en O est alors T s s p g P O y P O s p y L abscisse s est fonction (inconnue) u paramètre [; y] : s h () h () T p p p J (h ) (y) g y g C est une équation intégrale e première espèce inconnue h (:) r J g h (y) T (y) ont la solution est onnée par h (y) r g D T (y) La fonction h est telle que T soit une constante en y. On sait ériver une constante à l orre p g h T (y) p y L arc (C) étant paramétré par y, on a s y s (y) + onc et comme x y s h (y) s y + Comme x () ; et h (y) p g x y p h (y) x (y) y T p y, il vient s gt x y Posons a sin t avec a gt et arcsin p y a c est à ire y a sin a ( cos ) s y gt x (y) r sin 4a sin t cos t t 4a cos t a + sin

en reparamétrant par, on a onc avec a gt. x a ( + sin ) y a ( cos ). Moélisation fractionnaire en viscoélasticité linéaire. Cette partie e l exposé est tirée e [DGP ]. La loi e comportement un matériau viscoélastique linéaire s écrit (t) t G (t s) " (s) s où ésigne la contrainte et " la éformation. La réponse impulsionnelle G épen u moèle. Pour un matériau initialement au repos (t) G (t) " () + t G (t s) " (s) s. Pour un matériau élastique, la loi e comportement s écrit sous forme e l équation E" où E est le moule élastique Pour le matériau visqueux, l amortisseur, la loi e comportement est i érentielle " où est le moule e viscosité. Le moèle viscoélastique e Maxwell gure sur le schéma suivantla éformation " u moèle est la somme es éformations, elle véri e onc Posant E, on obtient " + E + "

La constante est le temps e relaxation (ou constante e temps), (t) t t s " exp s s Dans la forme classique, la loi e comportement s écrit sous forme une équation i érentielle + b a " + a " où les coe cients a ; a; b sont es paramètres u matériau. On introuit une élément rhéologique fractionnaire ( ) appelé spring-potqui correspon à la loi e comportement ED " ou " E J on retrouve le ressort pour : ED " et l amortisseur pour. On trouvera ans [BE] ; [HB] ; [HP ] es justi cations physiques es moèles fractionnaires.

Le moèle classique est remplacé par le moèle e ener à quatre paramètres ; ; E ; E (E et E sont les moules élastiques relaxé et non relaxé) Véri ons que + D E " + E D " E " + (E E ) " " A où " A est une éformation anélastique (ne reprenant pas la forme initiale après relaxation) moélisée par " A + D " A " + D E " + (E E ) " " A + E D " + (E E ) D " D " A " (E + E E ) (E E ) " A + D " A + D " (E + E E ) E " (E E ) " + E D " E " + E D " L orre e la érivation est une inconnue u moèle a priori. L ienti cation e ce paramètre oit onc se faire expérimentalement. On étuie en pratique le matériau au moyen e la réponse aux entrées périoiques exp (i!t). Prenant la transformée e Fourier ans l équation i érentielle, on obtient F () (!) E (!) F (") (!) E + E (i!) E est le moule complexe élasticité. + (i!) F (") (!) Re E (!) représente la rigiité élastique u matériau, Im E (!) représente la issipation u matériau (!) Re E (!) Im E est le facteur e perte (!)

On voit que lim!! E (!) E et lim!! E (!) E ce qui montre un comportement purement élastique u matériau à très faible et à très haute fréquence. Le comportement viscoélastique se manifeste sur une bane e fréquence bornée. On obtient une estimation e lorsqu on connait les valeurs asymptotiques E et E ainsi que la valeur maximale max u facteur e perte: " arcsin p E E + (E + E ) p!# + max E E max max (E + E ) + (E E ) 4. Dérivées fractionnaires locales. Ces érivées ont été introuites par Kolwankar [KG]. Le but est abor e trouver une érivation à caractère local, ce que n est pas celle e Riemann-Liouville, et pour laquelle une fonction érivable une fois a une érivée fractionnaire nulle pour < <. On complète la notation avec J a; f (x) () x On pose, au point y (a; b) a (x t) f (t) ; D a; f (x) ( ) x x a f (t) (x t) +f (y) lim x!y+ D y; [f (x) f (y)] lim x!y+ ( ) x x y (x t) (f (t) f (y)) f (y) lim x!y Avec on l écrit D y;+ [f (x) f (y)] lim x!y ( ) x y x (t x) (f (y) f (t)) f (y) lim x!y D y; [ (f (x) f (y))] Si nous supposons, pour simpli er, f a ne e pente f x y x (t x) (f (y) f (t)) f x par conséquent f x y x (t x) (y t) (y x) u ( u) u B ( ; ) f : ( ) (y x) f (y) lim x!y ( ) x y x (t x) (f (y) f (t)) 4

En fait, on a ans [BA C] un éveloppement local holérien Théorème. Soit f une fonction continue, telle que f (y) existe pour > ; ; alors avec f (x) f (y) + f (y) ( + ) [ (x y)] + R (x; y) x F (y; t; ) R (x; y) ( (x y t)) ( + ) F (y; (x y) ; ) Dy; [ (f (x) f (y))] (x) y et on a lim x!y R (x; y) ( (x y)) On en éuit imméiatement f (x) ( + ) lim y!x (f (x) f (y)) ( (x y)) Une fonction érivable a onc une érivée orre ; > > ; nulle. [BA C] 44 Divergence échelle et i érentiabilité CRAS t., Serie,p.6-64,() [BE] Beris AN,Ewars BJ (99) On the amissibility criteria for linear viscoelastic kernels. Rheol Acta :55-5 [HB] Heymans N., Bauwens J.C. (994) Fractal rheological moels an fractional i erential equations for viscoelastic behaviour. Rheol Acta :- 9. [HP ] Heymans N., Polubny I. Physical interpretation of initial conitions for fractionnal i erential equations with Riemann-Liouville fractional erivatives. Arxiv:math-ph/58v 9 ec 5 [OS] K.B.Olham-J.Spanier, The Fractional Calculus, Acaemic Press,New York, 974 5

[MR] K.S.Miller an B. Ross,. Fractional i erence calculus, Proc. Intern. Symposium on Univalent Functions, Fractional Calculus ans Their Applications, Nihon University, Koriyama, Japan, May 988; Ellis Horwoo, Chichester, West Sussex, Englan, 989 pp. 9-5.An Introuction to the Fractional Calculus an Fractional Di erential Equations, John Wiley an sons,inc. 99 [LCP ] Y.Li,Y.Q. Chen, I.Polubny. Stability of fractional-orer nonlinear ynamic systems: Lyapunov irect metho an generalize Mittag-Le er stability. Computers an Mathematics with Applications [P ] Polubny I.(999 ) Fractional Di erential Equations. San Diego [DGP ] Acaemic Press, F.Dubois,A.C.Galucio, N. Point. Introuction à la érivation fractionnaire, Théorie et Applications.(8) [SB] Schiessel H., Blumen A (995) Mesoscopic Pictures of the Sol-Gel Transition: Laer Moels an Fractal network. Macromolecules 8: 4-49. [K] A.A.Kilbas,H.M.Srivastava,J.J.Trujillo. Theory an Applications of Fractional Di erential Equations. North Hollan Mathematics stuies 4 [KG] Kolwankar,K.M.,Gangal, A.D. Fractional i erentiation of nowhere i erentiable functions an imension. Chaos 6 55-5 (996) 6