Unversté d Orléans UF Scences Lcences de Physque et de Chme ère année ELECTICITE Cours basé sur le manuscrt de M. Pascal Loos Pascal.Loos @ ac-nancy-metz.fr Septembre 4
Chaptre INTODUCTION : nature du courant électrque Dans un grand nombre de substances (conductrces) l'apparton d'une dfférence de potentel provoque le déplacement de charges présentes dans la substance : un courant électrque. On cherche à établr une relaton entre la cause (la dfférence de potentel) et l'effet (le courant). l électron dans la drecton opposée au champ, et ce jusqu à ce que l électron rencontre un on ou un autre électron. Après cette collson, l électron repart dans une drecton quelconque qu est mmédatement corrgée par la force f r. I. Conducton dans un métal I.. Descrpton de l'état du métal Un métal est composé d'ons lourds, pratquement mmobles, et d'électrons qu se déplacent au hasard en se heurtant aux ons. En l absence de dfférence de potentel entre deux ponts d un conducteur métallque (stuaton d équlbre électrostatque), ces électrons «lbres» sont en mouvement désordonné. Dans ce mouvement, dû à l agtaton thermque, les électrons ont des trajectores en lgne brsée correspondant aux chocs contre les ons fxes du métal. D autres matéraux répondent à ce modèle. I.. Phénomène d écoulement de charges Lorsqu une dfférence de potentel extéreure U est applquée entre deux sectons d un conducteur cylndrque placées à une dstance d l une de l autre, elle crée un champ électrque E r d ntensté U/d constante le long du conducteur. Les ons du métal restent en place, mas les électrons lbres sont accélérés dans la drecton opposée au champ sous l acton de la force électrque de Coulomb, r r f = ee. L accélératon, d ampltude ee/m, condut à un accrossement de la vtesse de L effet du champ se superpose donc au mouvement aléatore de chaque électron (qu résulte à la fos de l agtaton thermque et des collsons avec les ons). Cec condut à un déplacement d électrons en moyenne dans la drecton opposée au champ, avec une vtesse moyenne de dérve V der qu est de l ordre de : ~ ee Vder ô, où τ est l ntervalle de temps m moyen entre deux collsons. Cette dérve dans la drecton opposée au champ condut à un écoulement d électrons le long du conducteur, qu est le courant électrque. Les électrons vont dans le sens des potentels crossants (à l opposé du champ électrque). On dt que le courant électrque va dans le sens opposé, celu des potentels décrossants. La vtesse nstantanée d'un électron est de l'ordre de 6 m/s. Sa vtesse moyenne est beaucoup plus fable, de l'ordre de mm/s. Tous les électrons ont le même mouvement d'ensemble, à la même vtesse moyenne : l n'y a pas d'accumulaton de charges dans le volume du conducteur. I.3. Moblté des charges Comme ndqué c-dessus, la vtesse moyenne des électrons est proportonnelle au champ électrque applqué:
Vder =ì µ est une constante, la moblté des électrons, qu dépend de l'état du métal (en partculer de sa température, qu contrôle la valeur du paramètre τ). Elle se mesure en m /V.s. I.4. Comparason entre l'équlbre électrostatque et la conducton Métal à l'équlbre Métal traversé par un courant Porteur de charge Vtesse moyenne nulle Vtesse moyenne fable mas non nulle, dans le sens des potentels crossants E Champ Potentel Nul à l'ntéreur Non nul à l'ntéreur, dans le sens des potentels décrossants (sens du courant) I.5. Densté de courant et ntensté du courant Constant Gradent constant Modèle smplfé de conducteur métallque : conducteur cylndrque homogène ; la conducton se fat dans l'axe du cylndre. conducteur. On peut écrre cette défnton sous la forme : I = dq/ Elle s'exprme en Ampères (C/s). La quantté de charge qu traverse une secton de surface unté du conducteur pendant une seconde est appelée densté de courant. Elle s'exprme par j = I/S. C'est pourquo elle s'exprme en A/m. Elle a une grande utlté pratque, car elle mesure la quantté de courant qu'un matérau peut supporter. II. Lo d'ohm II.. elaton entre vtesse moyenne des électrons et ntensté du courant dq est la charge des électrons qu ont traversé une secton S pendant. Ils se trouvent à une dstance de S nféreure ou égale à V der. Sot n le nombre d'électrons lbres par unté de volume du métal. Alors Par conséquent dq = ne(sv der.) Une dfférence de potentel V V est applquée entre deux sectons drotes du cylndre placées en A et B. Le potentel, constant sur une secton drote quelconque du cylndre est lnéarement décrossant en foncton de la dstance à l extrémté A. Le champ électrque est drgé suvant l'axe, et constant en tout pont du conducteur. La vtesse moyenne des électrons auss. La quantté de charge qu traverse une secton du conducteur pendant une seconde est appelée ntensté du courant dans le I = nesv der et j = nev der II.. elaton entre ntensté du courant et dfférence de potentel En ntrodusant la moblté l vent : I = nesµe Or E est la dfférence de potentel par unté de longueur Donc : 3
Ces deux types d'ons sont frenés par leur nteracton avec les autres molécules présentes dans la soluton, en partculer celles du solvant. C'est l'expresson de la lo d'ohm, en appelant la résstance du conducteur cylndrque envsagé, l étant la longueur du conducteur. III.. Conductvté de la soluton La conductvté électrque de la soluton est : σ = CαNe(µc + µa) s'exprme en ohms, / est la conductance G et s'exprme en Semens. ρ est la résstvté du matérau, ρ s'exprme en ohms.m. /ρ est la conductvté σ, théorquement en ohms (-).m (-), pratquement en ohms (-).cm (-). III. Conducton dans une soluton d'électrolyte III.. Descrpton des phénomènes Cette formule est valable pour un électrolyte comprenant une seule espèce d'ons postfs et une seule d'ons négatfs. C est la concentraton du soluté, α son degré de dssocaton, N le nombre d'avogadro, e la charge élémentare, µc et µa les mobltés des deux types d'ons. La lo d'ohm s'applque. IV. Crcut électrque Un crcut électrque est consttué d éléments passfs tels que ceux décrts c-dessus (conducteurs de résstance non nulle, électrolytes), ou d autres éléments passfs décrts plus bas (condensateurs, bobnes), ans que d éléments actfs (générateurs, amplfcateurs, etc...). Ces éléments sont relés les uns aux autres par des fls de lason parfatement conducteurs (ρ ). ABCDDD4D3 S V est nféreur à V, les charges négatves se drgent vers l'électrode : c'est l'anode, où se drgent les anons. Les catons se drgent vers la cathode, qu se trouve au plus bas potentel. 4
Chaptre LES BASES : notatons, théorèmes généraux Notatons utlsées dans le cours : Sauf précsons, on utlse les notatons conventonnelles suvantes : "mnuscules" : u,, p, : grandeurs fonctons du temps, en remplacement de u(t), (t), p(t), "MAJUSCULES" : U, I, U moy, : grandeurs ndépendantes du temps. "Caractères gras" : E, B, F, : grandeurs r r r vectorelles, en remplacement de E, B, F,... "Caractères soulgnés" : U, I, Z, : grandeurs complexes assocées à des grandeurs snusoïdales. I. Défntons. I.. Courant I..a. Défnton. Un courant électrque est une crculaton de porteurs de charges électrques. L'ntensté du courant électrque est la grandeur qu quantfe le débt de charge en un pont du crcut. dq = (II-) L'orentaton du crcut en ce pont fat que l'ntensté est une grandeur algébrque (avec un sgne). L on décde de l orentaton de manère arbtrare, dans le cas général, mas s possble de manère à faclter la présentaton (vor conventons de fléchage en I.3) Par exemple, pour des fréquences de l'ordre de MHz, la dmenson du crcut dot être très nféreure à 3 m. I.. Tenson ou d.d.p. I..a. Défnton Pour obtenr une crculaton de courant dans un crcut, l faut qu'au mons deux ponts de ce crcut soent à un nstant donné à des potentels dfférents. La noton de potentel, drectement lée à celle de champ électrque, sera explctée en cours d électrostatque. Pour l nstant, dsons que c est une quantté, défne en tout pont du crcut, qu pourra être mposée en certans ponts (source de tenson). C'est une grandeur algébrque. Conventonnellement, on représente la tenson u AB = va vb entre les ponts A et B du crcut par une flèche drgée vers le pont A (la premère des deux lettres A et B). BAu AB I..b. Lo des tensons (lo des malles). La somme des tensons effectuée en parcourant une malle (ensemble d éléments relés bout à bout, pont de départ et d arrvée commun) est nulle. BAu AB Cu BC u CA I..a. Lo des ntenstés (lo des nœuds). La somme de toutes les ntenstés des courants entrant en un pont de lason, appelé nœud, est nulle. En effet v v v u A AB v B + u BC A A = + v B + u v CA C + v = C v A = I..b. A..Q.S. : La lo qu précède ne peut être consdérée comme exacte que dans le cadre de l'approxmaton des régmes quas statonnares (AQS) : c'est à dre dans les cas où le produt de la dmenson du crcut par la fréquence des ntenstés consdérées est très nféreur à la célérté (vtesse) de la lumère. I.3. Dpôle I.3.a. Défnton. Elément d'un crcut électrque comportant deux bornes. Il mpose une relaton entre la tenson u à ses bornes et l'ntensté du courant qu le traverse. La foncton f lant u à : u = f() mposée par le dpôle est appelée caractérstque du 5
dpôle. Par extenson ce terme désgne auss la représentaton graphque de cette foncton. I.3.b. Conventon de fléchage. - Conventon récepteur : BAu AB AB Le courant et la tenson sont fléchés en sens nverse. Cela permet d'obtenr des grandeurs postves pour des dpôles s'opposant à la crculaton du courant. - Conventon générateur : BAu AB BA Le courant et la tenson sont fléchés dans le même sens. Cela permet d'obtenr des grandeurs postves pour des dpôles favorsant la crculaton du courant. I.3.c. Pussance électrque La pussance nstantanée mse en jeu par un dpôle est : p = u (II-) Cette pussance correspond à la pussance consommée lorsque u et sont fléchés selon la conventon récepteur et à la pussance fourne lorsqu'ls sont fléchés avec la conventon générateur. I.4. Vocabulare - Conducteur : fl de lason, - Nœud : connexon de pluseurs fls de lason, - Branche : parte du crcut stuée entre deux nœuds, - Masse : potentel de référence d un crcut, qu n est pas nécessarement la Terre - Terre : potentel de référence d une nstallaton (par exemple salle de TP), lé physquement au sol. II. DIPOLES LINEAIES Ce sont des dpôles pour lesquels la foncton u = f() est une foncton dfférentelle à coeffcents constants Exemples: II.. ésstances. u = A u = A d u = A + B II..a. Equaton caractérstque Pour une résstance on a : u u = (II-3) au cours du temps, tenson et courant sont homothétque (de même forme). II..b. Pussance consommée u p = = (II-4) On constate que cette pussance est à chaque nstant postve : la résstance est un élément dsspatf. II..c. Précauton d'emplo En régme établ, la résstance ne dot pas dssper une certane pussance P max dont la valeur est en général prescrte par le constructeur. On en dédut les valeurs maxmales du courant et de la tenson à ne pas dépasser à l'ade de la formule (I-4). La pussance dsspée l'est sous forme de chaleur, et c'est souvent l'augmentaton de température qu est responsable de la destructon du composant. Pour des durées lmtées, l est parfos possble de dépasser cette valeur, mas cela dépend de l'nerte thermque de la résstance. En l'absence d'ndcaton du constructeur, l est hasardeux de tenter sa chance! II..d. Los d'assocaton - En sére : eq = + (II-5) - En parallèle: eq = (II-6) + emarques : - La conductance d'une "résstance" est la grandeur G telle que : G = (II-7) - Un conducteur déal sera supposé avor une résstance nulle : =. 6
- La résstance d'un conducteur non déal de l secton s et de longueur l est : = ρ s (II-8) II.. Source de tenson II..a. Symbole et équaton caractérstque Une source déale de tenson est un dpôle tel que : u u = e TH quelque sot (II-9) Nous ne consdérerons dans ce chaptre que des sources de tensons contnues, e TH sera donc constant et noté E TH II..b. Pussance et précautons On utlse en général pour ces dpôles la conventon générateur, la grandeur p représente alors la pussance fourne : E TH p = u = ETH Cette pussance dot rester nféreure à une valeur maxmale mposée par le constructeur, l s'ensut qu'l exste une valeur maxmale du courant que peut débter cette source de tenson. II..c. Assocatons - En sére : E eq = E + E (II ) - En parallèle : l est nterdt de placer en parallèle deux sources de tensons délvrant des tensons dfférentes. Le courant de crculaton serat en effet nfn. emarques : - Un conducteur parfat dot être consdéré comme une source de tenson nulle c'est à dre mposant : U = quelque sot. - endre passve une source de tenson consste à poser E TH = c'est à dre que l'on transforme la source de tenson en fl (conducteur parfat). Sur le schéma cela consste à supprmer le cercle : II.3. Sources de courant II.3.a. Symbole et équaton caractérstque Une source déale de courant est un dpôle tel que : u = N quelque sot u (II-) Nous ne consdérerons dans ce chaptre que des sources de courants contnus, N sera donc constant et noté I N II.3.b. Pussance maxmale Ces sources de courant sont en général réalsées à l'ade de systèmes électronques et la tenson à leurs bornes est lmtée à une valeur maxmale U max La pussance que peut alors délvrer la source de courant est donc nféreure à : p = u = U max I N II.3.c. Assocatons et précautons - En parallèle : I eq = I + I (II-) - En sére : l est nterdt de placer en sére deux sources de courant délvrant des courants d'ntenstés dfférentes. - Une coupure du crcut dot être consdéré comme une source de courant nul c'est à dre mposant : I = quelque sot u. - Il peut être dangereux d'ouvrr une branche contenant un générateur de courant car cela revent à placer en sére avec elle une source de courant nul. - endre passve une source de courant consste à poser I N = c'est à dre consste à transformer la source de courant en coupure du crcut Sur le schéma cela consste à supprmer le cercle : u II.4. sources lées (ou sources commandées) Il exste des sources de tenson ou de courant dont la caractérstque est mposée par une autre tenson ou un autre courant du crcut. U = k.' ou kv'i = k.' ou kv' 7
Exemple : B I N =. B β La valeur de l'ntensté débtée par la source de courant est mposée par la valeur de B crculant dans une autre branche. Il s'agt alors d'une source de courant commandée en courant. Le modèle équvalent de Thévenn (ou M.E.T.) d'un générateur réel comporte une source de tenson en sére avec un dpôle lnéare : e TH Dpolelnéare En contnu, la source de tenson est une source de tenson contnue et le dpôle lnéare une résstance. E TH r III. METHODE D'ETUDE DES CICUITS III.. Dvseur de tenson, dvseur de courant. III..a. Dvseur de tenson. u 3 u T Le modèle équvalent de Norton (ou M.E.N) d'un générateur réel comporte une source de courant en parallèle avec un dpôle lnéare. En contnu c'est l'assocaton en parallèle d'une source de courant et d'une résstance : ri N Lorsque pluseurs résstances sont en sére, la tenson aux bornes de l'une d'entre elle peut être détermnée par la relaton : u = ut = ut (II-3) + + 3 III..b. Dvseur de courant. 3 T Lorsque pluseurs résstances sont en parallèle, le courant qu traverse l'une d'entre elle peut être calculé par la relaton : G G = T = T = T G + G + G G 3 (II-4) III.. Générateurs réels III..a. Modèles de Thévenn et modèle de Norton d'un générateur réel Beaucoup de générateurs ne peuvent pas être consdérés comme des sources déales. Ils sont alors modélsés (dans un certan domane de fonctonnement et au prx de quelques approxmatons) par l'assocaton d'une source déale et d'un dpôle lnéare. Equvalence des deux modèles : Les résstances r des deux modèles sont les mêmes. Les tros paramètres E TH, I N et r sont lés par la relaton : E = r (II-5) TH I N III..b. Los d'assocatons des générateurs réels. - En sére : On transforme chaque générateur en M.E.T., pus on assoce les sources de tensons entre elles, et les dpôles lnéares entre eux : E r E r équvaut à E + E r + r - En parallèle : On transforme chaque générateur en M.E.N., pus on assoce les sources de courant entre elles, et les dpôles lnéares entre eux : 8
r I r I équvaut à :I + I r + r r r III.3. Théorème de Thévenn et de Norton. Toute porton de crcut comprse entre bornes A et B et qu ne content que des éléments lnéares peut être modélsée par un générateur équvalent de Thévenn ou de Norton. Exemple : E AB r = eq = + emarques : - La relaton (I-9) lant ces tros valeurs, la détermnaton de deux d'entre elles est suffsante pour réalser la modélsaton. - On aurat pu utlser les los d'assocaton des générateurs pour trouver le résultat : Dans l'exemple précédent on peut consdérer qu'l s'agt de générateurs en parallèles : E AB que l'on transforme en modèles de Norton équvalents : AB E III.3.a. Valeur à donner à E TH C'est la même que la valeur de la tenson exstant "à vde" entre A et B, c'est à dre celle que relèverat un voltmètre déal placé entre les bornes A et B. Pour l'exemple précédent on a : ETH = E : dvseur de tenson. + Ce qu condut à : AB E + + III.3.b. Valeur à donner à I N C'est celle de l'ntensté qu crculerat à travers un fl relant les bornes A et B c'est à dre celle mesurée par un ampèremètre déal placé entre A et B. Dans notre exemple on obtent : E ABI N L'ntérêt est que l'on peut remplacer ensute cette porton de crcut par le dpôle équvalent trouvé, ce qu peut faclter la résoluton d'un problème. III.4. Théorème de Mllman. Il permet de trouver le potentel d'un pont du crcut lorsqu'on connaît les autres. X 3 V V 3 V sot : N E I = ; étant court-crcutée. III.3.c. Valeur à donner à r C'est la résstance équvalente à celle du dpôle AB rendu passf, sot pour l'exemple celu de la fgure c-dessous : AB V V V3 + + 3 VX = (II-7) + + 3 La démonstraton est mmédate à l'ade de la modélsaton par un ensemble de 3 générateurs en parallèle : 9
V XMasseV V 3 3 Pour un condensateur on a : Cu+q-q En remplaçant par les modèles de Norton équvalent on obtent : r I r I I 3 r 3 I + I + I 3 Pus on applque la lo d'ohm. III.5. Théorème de superposton. Dans un crcut ne comportant que des éléments lnéares et pluseurs sources, on peut calculer le potentel d'un nœud du crcut (ou le courant dans une branche) en fasant la somme des potentels (ou des courants) obtenus lorsqu'on rend passf tous les sources ndépendantes sauf une. (Il est nécessare de lasser les sources lées). III.6. Consels pour la résoluton des problèmes. - Compter le nombre de nœuds dans le crcut. Par exemple le crcut c dessous ne comporte que nœuds donc une seule tenson, les 3 dpôles sont donc en parallèle : - Affecter le potentel à la masse du montage ou, à défaut de précson à la borne ( ) du générateur délvrant la tenson la plus élevée. - Utlser les los permettant de rédure au maxmum le crcut avec le mnmum de calcul - Vérfer que l'on utlse le dvseur de tenson pour des résstance effectvement en sére c'est à dre traversée par le même courant et le dvseur de courant pour des résstances effectvement en parallèle c'est à dre placées entre les mêmes nœuds. III.7. Condensateurs III.7.a. Equaton caractérstque dq du q = C u = C (II-8) du = C (II-9) l'équaton (I-) montre que la tenson aux bornes du condensateur ne peut pas subr de dscontnuté, cela correspondrat en effet à un courant d'ntensté nfn, donc à une pussance nfne. III.7.b. Pussance consommée L'équaton (I-) condut à : du p = u = C u En utlsant la relaton mathématque suvante : d( u ) du du du = u + u = u (II-) on obtent la relaton (I-) ( u ) d p = C (II-) la pussance nstantanée consommée par un condensateur est lée à la varaton du carré de la tenson à ses bornes : s celu c augmente, le condensateur consomme de la pussance. Mas s le carré de la tenson à ses bornes dmnue alors le condensateur fourn de la pussance au reste du crcut. L'énerge échangée entre nstants t et t f vaut : ( ) W = C u Cf u C (II-) III.7.c. Précauton d'emplo Il ne faut pas dépasser en valeur nstantanée la valeur maxmale de la tenson prescrte par le constructeur. En cas de dépassement, même très bref, on rsque de provoquer un claquage entraînant la destructon du composant. D'autre part les condensateurs électrochmques sont polarsés : une tenson nverse à leurs bornes provoque un dégagement gazeux qu peut condure à une exploson. III.7.d. Los d'assocaton - En parallèle : C eq = C + C (II-3) - En sére: C III.8. Inductances. C C eq = (II-4) C + C
III.8.a. Equaton caractérstque Une nductance L est un dpôle tel que : Lu d u = L (II-5) Cette relaton vent de l'expresson du flux du champ magnétque et de la lo de Faraday qu seront vues en magnétostatque : dφ d Φ = L et u = = L (II-6) L'équaton (I-6) montre que l'ntensté du courant traversant une nductance ne peut pas subr de dscontnuté, cela correspondrat en effet à une tenson nfne à ses bornes, donc à une pussance nfne. III.8.b. Pussance consommée L'équaton (I-6) condut à : d p = u = L En utlsant la même transformaton mathématques que pour le condensateur, on obtent la relaton (I-8) ( ) d p = L (II-7) la pussance nstantanée consommée par une nductance est lée à la varaton du carré de l'ntensté qu la traverse : s celu c augmente, l'nductance consomme de la pussance. Elle en fourn dans le cas contrare. III.8.d. Los d'assocaton - En sére : L eq = L + L (II-9) - En parallèle: L L L eq = (II-3) L + L emarques : - Les los précédentes ne sont valables que pour des nductances non couplées magnétquement. - Les bobnes utlsées comme nductances sont réalsées à l'ade de bobnage de fl de cuvre. La résstance de ces bobnes n'est pas toujours néglgeable ce qu condut à modélser une bobne réelle par l'assocaton en sére d'une nductance déale L et d'une résstance r. Lur d avec : u = L + r (II-3) L'énerge échangée entre nstants t et t f vaut : ( ) W = L Lf L (II-8) III.8.c. Précauton d'emplo Il ne faut pas dépasser en valeur nstantanée la valeur maxmale de l'ntensté prescrte par le constructeur. En cas de dépassement, même très bref, on rsque de "saturer" le crcut magnétque, ce qu provoque une dmnuton brutale de la valeur de l'nductance pouvant entraîner une surntensté.
Chaptre 3 EGIMES VAIABLES PEIODIQUES I. DEFINITIONS. I.. Notatons générales - g ou g(t) : grandeur varable au cours du temps, - <g> = G moy = G = valeur moyenne de la grandeur - _ valeur de crête. - G eff = G (sans ndce) = valeur effcace - U et I valeurs effcaces de tenson ou de courant. - G : nombre complexe pouvant être assocé à une grandeur g(t) foncton snusoïdale du temps. I.. Grandeurs pérodques s g(t) est une foncton pérodque de pérode T et de fréquence f, on peut écrre : g( t) = G + G G sn( ωt + ϕ ) + sn(ωt + ϕ ) +... + G n sn( ωt + ϕ n ) +... ans que : g( t) = G + g a ( t) (III-) avec - π ω = = πf : pulsaton (rd.s - ) T (III- 3) - g a (t) : ondulaton ou composante alternatve de g(t). - La valeur moyenne de g(t) : t + T G = g( t) T t (III-4) (III-) On défn également : - le fondamental de g(t), g ( t) = G sn( ω t + ϕ) (III-5) - l'harmonque de rang n de g(t) : g n ( t) = Gn sn( nω t +ϕ) (III-6) II. PUISSANCE ELECTIQUE EN EGIMES VAIABLES II.. Cas général. Sot p(t) la pussance nstantanée consommée par un dpôle à l nstant t. En régme pérodque on défn par P la pussance moyenne ou pussance actve : t = + T P u (III-7) T t II.. Quelques cas partculers II..a. égmes contnus : P = U. I (III-8) II..b. Une grandeur (u ou ) est contnue. Par exemple la tenson est contnue u = U et l'ntensté est pérodque. On peut écrre : t T + P = U t = U I T ( ) t (III-9) II..c. Cas des nterrupteurs déaux Pour les nterrupteur déaux, quand u alors = et quand alors u =. C'est pourquo à chaque nstant, le produt u. est nul : P =. II.3. Pussance consommée par les dpôles lnéares On a : Ou ben : II.3.a. ésstances ; u = P = T = u T P = T II.3.b. Valeurs effcaces Défnton : On pose I : valeur effcace de (t) la grandeur telle que : I = I T = T T T T u (III-) I est l ntensté du courant contnu qu dssperat la même pussance que (t) à travers une résstance. De la même manère on pose : U = T T u (III-)
emarque : U _ et I _ (démo. = un peu de math.) emarque : u(t) et u(t) ont la même valeur effcace. emarque 3 : La valeur effcace d'une tenson u n est pas forcément égale à Û/ II.3.c. Inductances pures On a vu au chaptre ( III.8.b) que : d p = u = L d'où l'on dédut que l'énerge échangée entre nstants t et t f vaut : ( ) W = L Lf L En régme pérodque la valeur du courant est la même au début et à la fn de la pérode (snon cela n est pas un régme pérodque). On en dédut : ΔW = P = Une nductance ne consomme pas de pussance actve en régme pérodque. emarque : on a fat abstracton de sa résstance nterne! II.3.d. Condensateurs On peut montrer que l on obtent les mêmes équatons que pour l nductance en nversant L et C ans que et u. D où ΔW = C( U f U ) Un condensateur ne consomme pas de pussance actve en régme pérodque. II.4. Pussance apparente et facteur de pussance. II.4.a. Pussance apparente La pussance apparente consommée par un dpôle est défne par : S = U I= Ueff Ieff (III-) C'est produt des valeurs effcaces. L'unté correspondante est le Volt-Ampère (V.A.) et non pas le Watt. C'est une grandeur un peu artfcelle, qu est utle pour le dmensonnement des nstallatons. II.4.b. Facteur de pussance Noté fp, l est défn par le rapport : P fp = (III-3) S Attenton! Pour les régmes pérodques non snusoïdaux, ce n'est pas un cosnus. III. EGIMES SINUSOÏDAUX. Ce sont les régmes ou la tenson et le courant sont tous les deux des fonctons snusoïdales du temps. Lorsqu'une source de tenson snusoïdale almente un crcut ne comportant que des dpôles passfs lnéares, toutes les tensons et toutes les ntenstés sont des fonctons snusoïdales du temps ayant même fréquence. III.. Défntons III..a. Impédances et admttance des dpôles lnéares Dans le cas de régmes snusoïdaux, on note Z le rapport de la valeur effcace de la tenson aux bornes du dpôle par la valeur effcace du courant qu le traverse : U U Z = I I eff = (III-4) Z est appelée mpédance du dpôle, en Ohm. eff Y, l'admttance du dpôle (en Semens), est l'nverse de l'mpédance : Y Z = U I = (III-5) III..b. eprésentaton de Fresnel Cette représentaton condut à une méthode de résoluton des problèmes, d emplo souvent smple, assez pussante, qu l ne faut pas héster à employer. On représente une grandeur snusoïdale de la forme y = a cos (ωt + ϕ) par un vecteur OM tournant autour d un pont fxe O à une vtesse angulare ω, ce vecteur ayant une longueur a et fasant avec l axe polare dt l axe des phases un angle ωt + ϕ. y O a ωt + ϕ Dans le cas du crcut passf lnéare, tous les vecteurs consdérés tournant à la même vtesse angulare, l ensemble de ceux-c, dt constructon de Fresnel, tourne autour de O sans se déformer, auss a-t-on coutume de représenter les vecteurs à l nstant t=.
Prenons l exemple d un crcut C sére almenté par une tenson snusoïdale. u = Û cos ωt On a : u = Û cos ù t = + C t (t') ' Cherchons sous la forme = Î cos(ωt+ϕ) : u = Î cos(ωt+ϕ) et u C = Î Î sn(ωt+ϕ) = cos(ωt+ϕ - π/) ù C ù C u C est en quadrature retard par rapport à u. Il est smple de prendre pour orgne des phases la phase de. La constructon de Fresnel se fat alors de la façon suvante : par un pont O de l axe on mène le vecteur représentant u, pus on lu ajoute vectorellement le vecteur représentant u C. Le vecteur somme représente u. O Î - ϕ Û Pour calculer Î et ϕ à partr de cette représentaton, on utlse les proprétés du trangle rectangle : Î = Û + ( tan( ϕ) = ùc ) Cù On appelle Z = ( + ) l mpédance du ùc crcut. On défnt auss l admttance Y=/Z. Cet exemple se généralse à des crcuts comportant des nductances (dont la ddp aux bornes est en quadrature avance par rapport au courant). Orgne des phases celle de Î C ù et C III..c. Transformatons complexes Nous utlserons le plus souvent les nombres complexes comme outl pour la résoluton des problèmes d'électrocnétque en régme snusoïdal. La représentaton de Fresnel peut être consdérée comme la représentaton dans le plan complexe de quanttés électrques, courants ou tensons, défnes de manère suvante : A une grandeur g(t) foncton snusoïdale du temps et telle que : g(t) = G cos( ω t+ ϕ) (III-6) on fat correspondre un nombre complexe G tel que : - Module de G = G : valeur effcace de la grandeur, - Argument de G = ϕ : phase à l'orgne de la grandeur. On peut alors écrre le nombre complexe G de deux manère : - En coordonnées rectangulares : G = a + j b = G cosϕ + jg sn ϕ (III-7) - En coordonnées polares : G = G ϕ (III-8) emarque : en électrcté, le nombre complexe magnare pur unté est noté j, afn d évter la confuson avec la notaton du courant électrque. Nous le noterons j. Lorsque nous avons beson de fare la somme ou la dfférence de deux grandeurs snusoïdales g (t) et g (t), on utlse les coordonnées rectangulares : ( a + j b) + ( c + jd) = ( a + c) + j(b + d) (III-9) Lorsque nous avons beson de fare la produt ou la dvson de deux grandeurs snusoïdales g (t) et g (t), on utlse les coordonnées polares : [ G ϕ ] [ G ϕ ] = [( G G ) ( ϕ + ϕ )] (III- ) III..d. Impédances et admttances complexes Dans le cas de régmes snusoïdaux on note : u(t) = U cos( ω t+ϕ u) (III-) (t) = I cos( ω t+ϕ ) (III-) respectvement la tenson aux bornes du dpôle et le courant qu le traverse. 3
On défn alors l'mpédance complexe du dpôle par Z, Z étant le rapport de la tenson complexes aux bornes du dpôle par le courant complexe qu le traverse : U U Z = = Z I I ( ϕ u ϕ ) = ϕ (III-3) On défn l'admttance complexe du dpôle par Y le nombre complexe tel que : I I Y = = = u Y Z U U ( ϕ ϕ ) = ϕ Applcaton au cas des dpôle lnéares : Dpôle Z Y ésstances G Inductances L jlω -j / Lω Condensateurs C -j / Cω jcω (III-4) III..e. M.E.T. et M.E.N. en régmes snusoïdal. Les lo du dvseur de courant et du dvseur de tenson ans que les théorèmes de Thévenn, Norton et Mllman peuvent être utlsés en régme snusoïdal à condton d'utlser les nombre complexes mages des courants et des tensons ans que les mpédances complexes. Le modèle de Thévenn d'un ensemble de dpôles lnéares est consttués d'une source de tenson snusoïdale en sére avec une mpédance : E TH Z Le modèle de Norton d'un ensemble de dpôles lnéares est consttué d'une source de courant snusoïdale en parallèle avec une mpédance : YI N III.. Pussances en régmes snusoïdal III..a. Pussance actve et pussance fluctuante. L'expresson de la pussance nstantanée lorsque la tenson et le courant sont des fonctons snusoïdales du temps conduts à : p = UI cos( ω t + ϕ ) cos( ωt + ϕ ) (III-5) u en utlsant la relaton trgonométrque : cos a cos b = [ cos( a + b) + cos( a b) ] (III- 6) on obtent : p = UI cos( ωt + ϕ + ϕ u ) + UI cos( ϕ u ϕ ) (III- 7) Cette expresson est la somme de deux termes : - La pussance fluctuante : le premer terme de la formule (III-7). C'est une grandeur snusoïdale de fréquence f et de valeur moyenne nulle. - La pussance actve : le deuxème terme, qu est d'alleurs égale à la moyenne de p : P = UI cosϕ (III-8) _ correspond au déphasage de la tenson par rapport au courant. III..b. Pussance apparente et facteur de pussance. On rappelle que la pussance apparente consommée par un dpôle est défne par : S = U I = U eff I eff (III-) et le facteur de pussance par : P fp = (III-3) S Dans le cas des régmes snusoïdaux, ce facteur de pussance est égal au cosnus du déphasage de la tenson par rapport à l'ntensté. Les dstrbuteurs pénalsent les gros consommateurs d'électrcté dont le facteur de pussance est nféreur à une certane norme (en France,93 sot tg ϕ >,4). IV. MESUES DE TENSIONS VAIABLES IV.. Voltmètres numérques IV..a. Mesure de la tenson moyenne Schéma de prncpe : uc = k.uikkk - K passant et K bloqué : on charge C pendant une durée constante T nt : la durée 4
d ntégraton (en général ms) avec un courant = k.u (k dépend du calbre chos). - K bloqué, K passant : on mesure la durée Δt nécessare pour décharger C à courant constant = I C dessous nous avons comparé l'évoluton de la tenson aux bornes du condensateur lorsque l'entrée du montage est soumse à une tenson varable u pus à une tenson u :.T nt t. tu C t IV..c. Cas des voltmètres «bas de gamme» Les multpleurs de précson sont des composants coûteux, les apparels bas de gamme utlsent la méthode de mesure suvante : umoyennesortex,entrée Ces apparels ne peuvent mesurer que la valeur effcace de tensons purement snusoïdales : umoyennesorte :x,entrée Δ,637 Uˆ,77 U ˆ = Uˆ Δ La charge totale stockée vaut : ku.t nt ; Cette charge est ensute déstockée à courant constant et vaut donc : I.t ; d où : I u = k T S la tenson est doublée, on constate que la durée de décharge est auss doublée. IV..b. Mesure de la valeur effcace d une tenson Les apparels capables de mesurer la valeur effcace d une tenson de forme quelconque sont dts : voltmètres TMS (True oot Mean Square) ou MS AC+ DC. Prncpe de la mesure : k.u(k.u) Xmoyenne<(k.u) >Valeureffcacevrae nt Δt emarques : - Certans apparels ne mesurent que la valeur effcace de l ondulaton de u : U a. Ils sont dts MS-AC avec AC : alternatng current. Par opposton les voltmètres qu mesure la valeur effcace de la tenson en ncluant sa valeur moyenne sont dts MS AC + DC, avec DC : drect current. - Pour obtenr la valeur effcace vrae avec un voltmètre MS-AC l faut fare le calcul suvant : U = U + U eff moy a IV.. Voltmètres analogques Ben que l on n en fabrque quasment plus, ls sont encore utlsés dans certanes salles de T.P.. Ce sont des apparels dérvés des ampèremètres analogques. IV..a. Voltmètres magnétoélectrques Ils sont repérés par le symbole : En poston contnu ls affchent la valeur moyenne des tensons de forme quelconque. En poston alternatf, ls ndquent la valeur effcace unquement pour les tensons snusoïdales (ls fonctonnent selon le même prncpe que les voltmètres numérques bas de gamme). IV..b. Voltmètres ferromagnétques Ils sont repérés par le symbole : Apparels obsolètes : ls peuvent mesurer la valeur effcace des tensons de forme quelconque, mas leur bande passante est lmtée à quelques centanes de Hz. et leur fable résstance nterne (quelques centanes d ohms) fat qu ls perturbent le montage. Il est donc préférable de ne plus les utlser. IV.3. Lmtatons IV.3.a. Impédance nterne 5
Un voltmètre réel peut être consdéré comme l'assocaton en parallèle d'un voltmètre déal (traversé par un courant nul) et d'une mpédance placée en parallèle : VZ V = tenson est ensute mesurée par un voltmètre ou vsualsée par un osclloscope. Pour en savor plus : Un capteur à effet Hall fourn une tenson proportonnelle au champ magnétque et donc dépendant de l'ntensté. L'mpédance nterne du voltmètre Z V est en général constante pour les voltmètres numérques et foncton du calbre chos pour les voltmètres analogques. IV.3.b. Lmte en bande passante. La gamme de fréquence pour laquelle le voltmètre est utlsable est défne par le constructeur. En dehors de cette plage de fréquence le voltmètre fourn une valeur erronée, le plus souvent nféreure (mas pas systématquement) à la valeur exacte de la tenson (Cf. TP Mesures). Mas les non-lnéartés et les phénomènes d'hystéréss empêchent d'obtenr une mesure très précse dans une large gamme d'ntensté. Auss le montage est modfé : un système électronque (contre réacton) mpose au transformateur c dessous de fonctonner à flux nul, et c'est le courant d'annulaton du flux s qu est convert en tenson à l'ade d'un convertsseur à amplfcateur opératonnel : p s v s u H u p V. AUTES APPAEILS DE MESUES V.. Ampèremètres V..a. Généraltés Les ampèremètres numérques sont consttués de l assocaton d un convertsseur couranttenson et d un voltmètre numérque. On retrouve donc des apparels numérques et des apparels analogques du même type que les voltmètres, avec les mêmes spécfcatons. emarque : les ampèremètres ferromagnétques sont encore utlsables pour mesurer la valeur effcace des courants non snusoïdaux de fréquences ndustrelles. Un ampèremètre réel peut être consdéré comme l'assocaton en sére d'un ampèremètre déal (tenson nulle à ses bornes) et d'une mpédance placée en sére : AZ A u = L'mpédance nterne Z A d'un ampèremètre est en général foncton du calbre. V..b. Sonde à effet Hall Les pnces ampèremétrques à effet Hall se placent autour d un conducteur parcouru par l ntensté à mesurer. Elles permettent de convertr l ntensté de ce courant en une tenson proportonnelle. Le facteur de proportonnalté est ndqué sur l apparel. La v = convertsseur courant-tenson Le rapport de transformaton m est égal à ou, on a : s = /m p. Ce type de capteur est plus coûteux que le shunt et sa sensblté aux champs magnétques extéreures peut nécesster quelques précautons, mas l apporte de nombreux avantages : - La chute de tenson ntrodute dans le montage est très fable : v s étant lmtée à quelques volts la tenson v p est nféreure à quelques mv. - L solaton galvanque entre la mesure et le crcut est un élément apprécable de sécurté. - La bande passante est relatvement large : du contnu à couramment khz (5 khz pour certans modèles), elle est souvent supéreure à celle du voltmètre mesurant la tenson v M. S l'utlsaton de capteur de calbre 5 ka concerne plus l'ndustre qu'une salle de travaux pratques, on trouve dans le commerce des apparels à crcut ouvrable permettant la mesure de courant d'ntensté comprse entre quelques dxèmes d'ampère et quelques centanes d'ampères. Du fat de l'évental des calbres et de leur bande passante, les capteurs à effet Hall sont ntroduts dans un grand nombre d'apparels de mesure : ampèremètres, multmètres, wattmètres, analyseurs de réseau et convertsseurs courant-tenson pour osclloscope. V.. Wattmètres Le wattmètre est mun d un capteur de courant, d un capteur de tenson et d un M s 6
multpleur. Il affche ensute le produt de cette multplcaton. Pour pouvor fonctonner, les deux bornes du capteur de courant dovent être en sére avec le dpôle et les deux bornes du capteur de tenson en parallèle du dpôle dont on mesure la pussance qu l consomme. DFgure V.W I M VxFgure V.3. I V VxFgure V.3.I M Il est nécessare de respecter smultanément les lmtatons des deux capteurs sous pene de destructon de l apparel (par exemple, la pussance consommée par un nterrupteur est très fable ben que le courant qu le traverse ne sot pas néglgeable). Pour en savor plus : Lorsque la valeur de la résstance X est nféreure à une dzane d'ohms l faut mettre en œuvre un câblage qu évte de prendre en compte les dverses résstances de connexon : l s'agt du montage réalsé dans les ohmmètres 4 fls dont le schéma équvalent est représenté c-après : c V.3. Ohmmètres Un générateur de courant mpose une ntensté I M à travers la résstance X pus on mesure la tenson V M apparassant à ses bornes (fgure V.3.). Mas un tel montage ne permet pas de mesurer avec précson des résstances dont la valeur excède quelques kω car le courant dans le voltmètre n'est alors plus néglgeable (la résstance nterne du voltmètre étant couramment égale à MΩ). Le montage est donc complété par un générateur de courant auxlare asserv à la valeur de la tenson mesurée par le voltmètre et chargé de délvrer le courant dans le voltmètre noté I V (fgure V.3.). V I V I M ' c x C et C représentent les résstances des connexons de la résstance X à l'ohmmètre. X étant fable, I V est néglgeable devant I M. La chute de tenson C.I V est donc néglgeable devant X.I M. La chute de tenson C.I M. n'est, quant à elle, pas prse en compte par le voltmètre. 7
Chaptre 4 CICUITS LINEAIES EN EGIME SINUSOIDAL Le régme snusoïdal est un cas partculer des régmes varables. Il est partculèrement mportant pour deux rasons : - C est le régme sous lequel est produte et dstrbuée l énerge électrque. - Tous les régmes pérodques peuvent être décomposés en somme de régmes snusoïdaux. Le théorème de superposton permet d utlser les prncpaux termes de cette décomposton afn de décomposer l étude d un crcut lnéare almenté en régme pérodque quelconque en somme de crcut almenté en régme snusoïdal. Une premère étude des régmes snusoïdaux a été fate au chaptre 3. On rappelle les expressons des mpédances et des admttances complexes des dpôles lnéares : Dpôle Z Y ésstances G Inductances L jlω -j / Lω Condensateurs C -j / Cω jcω I. EPONSE EN FEQUENCE DES CICUITS LINEAIES I.. Foncton de transfert L assocaton de dpôles lnéares dont l mpédance est lée à la fréquence (nductances, condensateurs) permet de réalser des crcuts dont l une au mons des tensons a une valeur qu dépend de la fréquence d exctaton. Ce type de crcut peut se mettre sous la forme d un quadrpôle : T( )V s () = T[V e ()]V e () ω ω On rappelle que la pulsaton ω est lée à la fréquence par la relaton : ω= πf La foncton T(ω) est couramment appelée foncton de transfert du quadrpôle. Il est plus ω ω ω commode d utlser la transformaton complexe et de défnr T(ω) telle que : Vs( ω) T ( ω) = Ve( ω) T(ω) est alors un nombre complexe dont le module et l argument dépendent de la fréquence, donc de la pulsaton. Il est donc entèrement défn par les expressons : - De son module T = f T (ω) - De son argument ϕ = f ϕ (ω) Afn de rendre compte des proprétés du quadrpôle l est habtuel de tracer les deux courbes correspondant aux évolutons de son module et de son argument en foncton de la fréquence. Pour des rasons de commodté on préfère utlser des échelles logarthmques, d où l ntroducton du décbel. I.. Le décbel I..a. Décbel sonore Au son le plus fable perceptble par l orelle humane (l s agt évdemment d une moyenne réalsée sur un «échantllon représentatf») on fat correspondre la valeur de Bel.. La pussance sonore correspondante est notée P ref. = - W. - Un son de pussance. P ref. correspond à Bel sot décbels (db). - Un son de pussance. P ref. correspond à Bel sot db. - Un son de pussance n. P ref. correspond à n Bel sot (.n) db. I..b. Décbel en électrcté. On défnt, comme pour les sons, le gan en pussance d un quadrpôle par G P exprmé en Bel : G Ps P= log Pe Une tenson u applquée aux bornes d une résstance provoque la dsspaton d une pussance : u P= 8
Pour une tenson de référence notée V ref chose arbtrarement, on peut calculer la valeur en décbel d une tenson V à l ade de la relaton : V n V ref V n = V = sot ( ) ref Cette échelle est le plus souvent utlsé pour la quantfcaton du module du gan en tenson d un quadrpôle : Vs GV = log = log T. V Cela revent à consdérer que V ref = V e. emarque : La valeur du gan en tenson d un quadrpôle qu dvse la tenson par (ce qu correspond à une pussance dvsée par ) est égale à : G V = log = 3,3 db - 3 db e I.3. Dagramme de Bode. Il est consttué de deux courbes ; - La courbe de gan où l on trace le gan en foncton du logarthme de la pulsaton (ou de la fréquence). - La courbe de phase où l on trace l argument de T (en radans) en foncton du logarthme de la pulsaton. Proprété mportante : Lorsqu une foncton de transfert T peut s écrre sous la forme du produt de fonctons de transfert T et T alors son dagramme de Bode peut être tracé en fasant la somme des deux dagrammes de Bode de T et T : T = T T logt = logt + logt Arg T = Arg T + Arg T Afn de pouvor exploter la proprèté précédente, nous présentons c-dessous les dagrammes de Bode des fonctons de transfert les plus élémentares (avec ω chos arbtrarement : ω = rad/s) I.3.a. Intégrateur En snusoïdal, on obtent l expresson complexe de l ntégrale d une grandeur en dvsant le nombre complexe mage de cette grandeur par jω : ω T = j ω dont le dagramme de Bode est : 4 - -4 Courbe de gan,e+,e+,e+3,e+4,e+5,e+6 3,4,57, -,57-3,4 Courbe de phase,e+,e+,e+3,e+4,e+5,e+6 On remarque que la courbe de gan est une drote ayant un coeffcent drecteur négatf égal à - db par décade. Ce quadrpôle est nutlsable pour les très basses fréquences. En effet l ntégraton d un grandeur contnue condut à une tenson de sorte qu tend vers l nfn. Comme ces quadrpôles sont le plus souvent réalsés à l ade de montage comportants des amplfcateurs opératonnels, la tenson de sorte est lmtée à une qunzane de volts. Lorsque la tenson de sorte attent cette valeur lmte, on dt que le quadrpôle est saturé. I.3.b. Dérvateur La foncton de transfert d un dérvateur est : jω T = ω On multple le nombre complexe mage de la grandeur par jω. 9
4 Courbe de gan,e+,e+,e+3,e+4,e+5,e+6 Courbe de gan,e+,e+,e+3,e+4,e+5,e+6 4 - - -4-4 3,4 Courbe de phase,e+,e+,e+3,e+4,e+5,e+6 3,4 Courbe de phase,e+,e+,e+3,e+4,e+5,e+6,57,57,, -,57 -,57-3,4 Le coeffcent drecteur est postf et égal à + db par décade. A l nverse du quadrpôle ntégrateur, le dérvateur condut théorquement à une tenson de sorte nfn pour les très hautes fréquences. Les montages ntégrateurs sont donc saturés à partr d une certane valeur de la fréquence d entrée. D autre part ls sont très sensbles aux parastes de fréquences élevées qu ls amplfe consdérablement. La soluton consste à les empêcher de fonctonner au delà d une certane fréquence. I.3.c. Passe bas du premer ordre. Foncton de transfert : Dagramme de Bode : T = jω + ω -3,4 I.3.d. Passe haut du premer ordre n Foncton de transfert : Dagramme de Bode : jω ω T = jω + ω Courbe de gan,e+,e+,e+3,e+4,e+5,e+6 4 - -4
Courbe de phase,e+,e+,e+3,e+4,e+5,e+6 3,4,57, -,57-3,4 Le dagramme de Bode dépend de la valeur de ξ. ou du facteur de qualté Q (cf. Chaptre 4). On rappelle que : Q= ξ Les dagrammes de Bode représentés cdessous correspondent à Q =,5 pour les courbes en trats fns et Q = 5 pour les courbes en trats épas (ω = rd/s) Courbe de gan,e+,e+,e+3,e+4,e+5,e+6 I.3.e. Passe haut du premer ordre n Foncton de transfert : Dagramme de Bode : 4 jω T = + ω Courbe de gan,e+,e+,e+3,e+4,e+5,e+6 - -4-6 Courbe de phase,e+,e+,e+3,e+4,e+5,e+6 3,4,57 -, -4 3,4,57, -,57-3,4 Courbe de phase,e+,e+,e+3,e+4,e+5,e+6 Contrarement au précédent l sature pour les hautes fréquences. -,57-3,4 On remarque qu au-delà de ω, le coeffcent drecteur vaut 4 db par décade, et qu l exste une symétre de la courbe de phase par rapport au pont (ω ; -π/). II. METHODE D ETUDE. A partr d un exemple nous allons développer les méthodes mses en œuvre pour l étude des quadrpôles. II.. Expresson de la foncton de transfert Consdérons le montage représenté à la fgure : I.3.f. Passe bas du second ordre. Foncton de transfert : T = + jξ ω ω ω ω
Cv s v e CFgure Ce montage est équvalent à celu représenté fgure, à condton de poser : Z v s v e Z Fgure Z = j Cω j Z = Cω = j jc ω+ Cω En trat fn, on a tracé la courbe réelle : pour ω= ω, T = 3 On constate que le dagramme asymptotque fourn une approxmaton suffsante de la courbe de gan. Il en n est malheureusement pas de même en ce qu concerne la courbe de phase : la courbe réelle étant relatvement dfférente au vosnage de ω. 3,4,57, Courbe de phase,e+,e+,e+3,e+4,e+5,e+6 -,57 On a alors : Z T = Z + Z en posant = = ( Cω ) + 3 ω j 3 j ω C = Cω ω ω II.. Tracé du dagramme de Bode asymptotque d un quadrpôle. - Pour ω, I.3.b) - Pour ω, + ω jω T : dérvateur (Cf. ω ω : ntégrateur (Cf. jω T I.3.a) D où le dagramme asymptotque : Courbe de gan -3,4 II.3. Détermnaton expérmentale du dagramme de Bode d un quadrpôle. Pour tracer le dagramme de Bode d un quadrpôle, on l almente avec un générateur délvrant une tenson snusoïdale dont la valeur effcace est fxe et dont la fréquence est réglable (fgure 3). v s v e Fgure 3Voe quadrpôle Sondedfférentelle (snécessare) Vo,E+,E+,E+3,E+4,E+5,E+6 4 - -4
Chaptre 5 EGIMES TANSITOIES I. APPELS DU CHAPITE La lo des malles et la lo des nœuds sont applcables aux expressons nstantanées des courants et des tensons. On se lmte à l'étude des crcuts qu ne comportent que des dpôles lnéares : résstances, nductances pures L, condensateurs C et générateurs parfats. Les équatons caractérstques de ces dpôles sont: ésstance : Condensateurs : Inductances : Sources de tenson : (IV-4) u = (V-) du C d u L E = (V-) = (V-3), u = quelque sot Les équatons (V-) et (V-3) mposent : - En contnu (régme "établ"), la dérvée de n'mporte quelle grandeur étant nulle, l'nductance se comporte comme un fl ou un nterrupteur fermé et le condensateur se comporte comme une coupure du crcut ou un nterrupteur ouvert. - L'ntensté qu traverse une nductance ne peut subr de dscontnuté (varer nstantanément). De même la tenson aux bornes d'un condensateur ne peut subr de dscontnuté. II. EGIMES TANSITOIES DU PEMIE ODE. II.. Modfcaton de la charge d'un condensateur à travers une résstance. ECu C u Ku K Fgure II..a. Etat ntal (t < ) L nterrupteur K ouvert mpose =, donc la tenson u C aux bornes du condensateur U C est constante (IV-) et la tenson u aux bornes de la résstance est nulle. La tenson u K aux bornes de l'nterrupteur vaut donc : u K = E U C (V-5) A t =, on ferme l'nterrupteur K (ren n'oblge à poser comme orgne des temps l'nstant de la fermeture de K, mas c'est plus pratque). II..b. état à t = + C'est l'nstant qu sut la fermeture de K. L'nterrupteur étant fermé, on a u K =. La lo des malles mpose : E = u + u K + uc (V-6) La tenson aux bornes du condensateur vaut toujours U C. On obtent alors : u + = E U C (V-7) E U C d'où : + = (V-8) Le crcut subt une brusque dscontnuté de courant qu mpose un début de varaton pour la tenson u C avec un coeffcent drecteur à l'orgne qu vaut : duc + E U = C C (V-9) II..c. A t quelconque. En consdérant (IV-), (IV-) et (IV-6) on obtent : duc E = C + uc (V-) Le produt C, homogène à une durée est appelé constante de temps du crcut. La soluton de l'équaton dfférentelle (V-) s'obtent à l'ade de la soluton générale donnée en annexe (annexe IV-) et en consdérant que : - U C+ = U C - U Cf = E 3
- τ = C On en dédut : u t = exp C ( U C E) E (V-) C + La courbe de la varaton de u c correspond à la courbe type décrte en annexe ( IV-). emarques : - Plus le produt C est grand plus les varatons de u C s'effectuerons lentement. - S le générateur de tenson contnue est remplacé par une source de tenson pérodque e(t), de pérode T et de valeur moyenne E moy, la tenson qu s'établra aux bornes du condensateur sera d'autant plus proche de E moy que τ sera supéreure à T. II.. Etablssement du courant dans un crcut nductf. résstance du crcut on dot éventuellement ajouter la résstance de la bobne et la résstance nterne du générateur. - L'ouverture de l'nterrupteur lorsque le courant est établ est contrare au prncpe qu nterdt la mse en sére de deux sources de courant mposant des courants d'ntenstés dfférentes (Cf. Chaptre, II-5c). Cette ouverture produt une étncelle de rupture aux bornes de l'nterrupteur. III. EGIMES TANSITOIES DU SECOND ODE III.. Cas général. Le crcut étudé est représenté à la fgure 3. Lu L u C Fgure 3u u E C ELu L u KFgure L'étude se mène d'une manère smlare à celle effectuée au paragraphe précédent : - pour t <, u K = E et u = u = = - à t = + : l ne peut pas y avor de dscontnuté pour l'ntensté traversant l'nductance L : u = =, de plus u K = donc on a : u L = E (brusque dscontnuté de la tenson aux bornes de l'nductance). - Pour t >, la lo des malles mpose : L d E u L + u = E + = (V-) La soluton de cette équaton dfférentelle est alors : = avec E t E E t exp + = exp (V-3) L τ L τ =, constante de temps du crcut. emarques : - La résstance à prendre en compte est la résstance totale de la malle : à la L La lo des malles mpose : u E = u + u L + uc En utlsant les équatons caractérstques de ces dpôles on obtent : d L + + u C = u E (V-4) d t en substtuant (I-) Dans (IV-), l vent : uc d duc LC + C + uc = u et en dérvant IV- : d LC d due C + = C E (V-5) + (V-6) Ces grandeurs respectent une équaton dfférentelle du second ordre d'où l'appellaton "régmes transtores du second ordre". III.. Soluton du régme lbre. du E On pose u E = = Cte =. Nous sommes donc amenés à résoudre l'équaton dfférentelle suvante : d x dx d x dx LC + C + x = + + x = d d t t L LC III..a. Notatons usuelles ω : pulsaton propre en rad/s, telle que : 4