Termiales S Devoir maiso -A faire pour le jeudi 6 ovembre 0 eercice : probabilités coditioelles et suite Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lacers successifs d ue fléchette. Lorsqu elle atteit la cible à u lacer, la probabilité qu elle atteige la cible au lacer suivat est égale à. Lorsqu elle a maqué la cible à u lacer, la probabilité qu elle maque la cible au lacer suivat est égale à. O suppose qu au premier lacer elle a autat de chaces d atteidre la cible que de la maquer. Pour tout etier aturel strictemet positif, o cosidère les évèemets suivats : A : «Alice atteit la cible au ième coup». B : «Alice rate la cible au ième coup». O pose p = p(a ). Pour les questios. et. o pourra évetuellemet utiliser u arbre podéré.. Détermier p et motrer que p =.. Motrer que, pour tout etier aturel, p p. Pour o pose u p Motrer que la suite (u ) est ue suite géométrique, dot o précisera le premier terme u et la raiso q.. Écrire u puis p e foctio de.. Détermier lim p. eercice : Pour embaucher ses cadres, ue etreprise fait appel à u cabiet de recrutemet. La procédure reteue est la suivate. Le cabiet effectue ue première sélectio de cadidats sur dossier. 0% des dossiers reçus sot validés et trasmis à l'etreprise ; les cadidats aisi sélectioés passet u premier etretie à l'issue du quel 70 % d'etre eu sot reteus. Ces deriers sot covoqués à u ultime etretie avec le directeur des ressources humaies qui recrutera % des cadidats recotrés.. O choisit au hasard le dossier d'u cadidat. O cosidère les évéemets suivats : D : " Le cadidat est reteu sur dossier". E : "Le cadidat est reteu à l'issue du premier etretie". E : "Le cadidat est recruté". Lycée Jay de Beaufort Page
eercice : étude d'ue famille de foctios ratioelles m Pour tout réel m, o cosidère la foctio f m défiie sur R* par : fm( ). O ote C m la courbe représetative de f m das u repère. ) Quelle est la ature de C 0? Justifier votre répose. O suppose par la suite que m 0. ) Détermier les limites de f m au bores de R*. (pour l étude e 0, distiguer les cas m > 0 et m < 0). ) Calculer fm '( ) pour tout réel o ul. E déduire le ses de variatio de f m (distiguer les cas m > 0 et m < 0). ) Dresser le tableau de variatio de f m das le cas où m > 0 puis das le cas où m < 0. ) Suivat les valeurs de m, étudier la positio de la courbe C m par rapport à C 0. eercice : Das u repère orthoormé, A est le poit de coordoées ( ; ). A tout réel >, o associe le poit M de coordoées ( ; 0) et o ote N le poit où la droite (AM) coupe l ae des ordoées. Pour quelle(s) positio (s) du poit M, l aire du triagle OMN est-elle miimale? Lycée Jay de Beaufort Page
Corrigé du : Au premier lacer Alice a autat de chaces d atteidre la cible que de la maquer doc p = /. Les doées du tete sot : pa( A ) pb ( B ) A A B O peut visualiser la situatio avec u arbre complété avec les doées et les déductios. selo la formule des probabilités totales, B A B p = p(a)=p(a A)+p(B A)= Doc p. )Pour, o peut visualiser la situatio avec u arbre partiel p = p(a )= p(a - A )+p(b - A )= p p ( p ) p A- A B B - A B ) Pour tout etier, u =p et doc o a p = u + doc u =p + = p ( u ) u Doc la suite ( u ) est géométrique. Sa raiso est q= / et so premier terme est 7 u p 6 ) lim u u q 7 6 ( ) Doc p lim u 0 car. Comme p = u +, o déduit que Lycée Jay de Beaufort Page
Corrigé du remarque : o peut aussi calculer directemet la probabilité d'être recruté : p( F) p(d E E ) 0, 0, 70, 0, 07 d ' où p(f) p( F) 0, 07 0, 9. a. Chaque dossier traité peut être cosidéré comme ue épreuve de Beroulli avec pour succès "le cadidat est recruté " de probabilité p = 0,07. Ciq dossiers sot traités de faço idetiques et idépedates doc la variable aléatoire X doat le ombre de succès c'est à dire ici le ombre de cadidats recrutés suit ue loi biomiale de paramètres = et = 0,07. b. p(x=) = 0, 07 0,9 0, 09 à 0 près c. X suit ue loi biomiale de paramètres et p = 0,07 O cherche le plus petit etier tel que p(x ) > 0,999 soit ecore p(x=0) > 0,999 > 0,999 0.00 >. Nous verros plus tard das l'aée, commet résoudre rigoureusemet cette équatio e utilisat la foctio l. Das l immédiat, l utilisatio de la calculatrice, ous permet de trouver que : 0.000 0.0009 O e déduit que l iéquatio est vérifiée dès que 96. Il faut doc traiter au mois 96 dossiers pour avoir ue probabilité supérieure à 0,999 de recruter au mois u cadidat. corrigé du : 0. C 0 représete la foctio f 0 défiie par : f ( ). f 0 est ue foctio affie doc C 0 est ue droite.. lim m lim 0 doc lim f ( ) m Lycée Jay de Beaufort Page
lim 0 De même : lim f ( ) m Si m > 0 alors et 0 d où : lim f m( ) et lim f m( ) 0 0 0 Si m < 0 alors et 0 d où : lim f m( ) et lim f m( ) 0 0 0 O peut e déduire que la droite d équatio = 0 est asymptote verticale à C m. f m est ue foctio dérivable sur so esemble de défiitio comme somme de foctios dérivables. ' m ² m fm( ) ² ² Comme ² > 0 sur * ' f ( ) m est du sige de ² m : Si m > 0 alors ² m est u polyôme du secod degré avec deu racies m et - m. f m est doc strictemet croissate sur ] ; - m [ et sur m, et elle est strictemet décroissate sur m,0 et sur 0, m. Si m < 0 alors ² m est toujours positif et f m est strictemet croissate sur ]-; 0[ et sur ]0; +[. Tableau de variatios de f m : Si m > 0 alors - m 0 m + sige de f + 0 0 + ( ) variatios de f m - m - + Si m < 0 alors - 0 + sige de f ( ) variatios de f m - + + + + - m 6. Pour étudier la positio relative de C m et de C 0 o étudie le sige de la différece ( ) ( ) m fm f0. Si m > 0 alors m est du sige de :C m est au dessous de C 0 sur ] ; 0[ et au dessus sur ]0;+[ + Si m < 0 alors m est du sige cotraire de : C m est au dessus de C 0 sur ] ;0[ et au dessous sur ]0;+[ Lycée Jay de Beaufort Page
y C C C - - - - 0 C 0 - - C- - - C- - Quelques courbes C m pour illustrer : Corrigé du ue méthode : L aire du triagle OMN est OM ON Soit le poit B( ; 0) Les triagles MAB et MNO sot e situatio de Thalès OM ON ON Doc soit BM AB O e déduit que ON. D où l aire du triagle OMN qui est OM ON = ( ) f( ) O sait que >. O peut doc étudier la foctio f sur ] ; [ ( ) ² ² ² ² ² f est de type quotiet f '( ) ( )² ( )² ( )² ( )² Pour tout de \{}, (-)² >0 et doc f () a le même sige que le triôme du secod degré ² qui s aule pour 0 et. + y N A 0 B M sige de f ( ) variatios de f 0 + D après le tableau de variatio de f o peut e déduire que l aire du triagle est miimale pour =. Cette aire est alors f() = ( uités d aire) Lycée Jay de Beaufort Page 6
ue autre méthode : O peut calculer l équatio de la droite (AM) E otat m l abscisse de M o a ym ya Coefficiet directeur : M A m. L équatio de (AM) est doc y= ( ) m. m Cette droite coupe l ae des ordoées e N d abscisse 0 doc d ordoée m m m D où ON = avec la otatio iitiale. m D où l aire du triagle OMN qui est OM ON = f( ) ( ) Lycée Jay de Beaufort Page 7