Analyse numérique Exercices corrigés

Université Sultan Moulay Slimane 9- Module : Analyse numérique par S. Melliani & L. S. Chadli Analyse numérique Exercices corrigés Interpolation polynômiale Exercice Déterminer le polynôme d interpolation de Lagrange satisfaisant au tableau ci-dessous x 3 5 f(x) 9 87 Rappelons que le polynôme de Lagrange basé sur les points d appui d abscisses x, x,..., x n est de degré n et s écrit : n n x x j P n (x) = f(x k )L k (x) avec L k (x) = x k x j ici les points d appui donnés par : k= x = f(x ) = x = f(x ) = x = 3 f(x ) = 9 x 3 = 5 f(x 3 ) = 87 déterminons donc un polynôme de Lagrange de degré 3, celui-ci s écrit : avec Finalement L (x) = = P 3 (x) = (x x )(x x )(x x 3 ) (x x )(x x )(x x 3 ) (x )(x 3)(x 5) ( )( 3)( 5) = (x )(x 3)(x 5) 3 L (x) = (x x )(x x )(x x 3 ) (x x )(x x )(x x 3 ) = (x )(x )(x 5) (3 )(3 )(3 5) = x(x )(x 5) 3 f(x k )L k (x) k= L (x) = = j=,j k (x x )(x x )(x x 3 ) (x x )(x x )(x x 3 ) (x )(x 3)(x 5) ( )( 3)( 5) = x(x 3)(x 5) (x x )(x x )(x x ) L 3 (x) = (x 3 x )(x 3 x )(x 3 x ) = x(x )(x 3) 3 P 3 (x) = f(x )L (x) + f(x )L (x) + f(x )L (x) + f(x 3 )L 3 (x) = 53 3 x3 7x + 53 3 x Exercice Soit f(x) =. Déterminer le polynôme d interpolation de Lagrange pour les points d appui d abscisses :,, + x,,. Ensuite discuter l erreur d interpolation. Soit f(x) =. Les points d appui sont : + x x = f(x ) = 5 x = f(x ) = x = f(x ) = x 3 = f(x 3 ) = x 4 = f(x 4 ) = 5

Le polynôme de Lagrange est de degré 4. Il s écrit P 4 (x) = 4 f(x k )L k (x) avec L (x) = 4 x(x + )(x )(x ) L (x) = x(x + )(x )(x ) 8 L (x) = 4 (x + )(x + )(x )(x ) L 3(x) = x(x + )(x + )(x ) L 4 (x) = x(x + )(x + )(x ) 4 Finalement, P 4 (x) = f(x )L (x) + f(x )L (x) + f(x )L (x) + f(x 3 )L 3 (x) + f(x 4 )L 4 (x) = x(x + )(x )(x ) x(x + )(x )(x ) + 4 (x + )(x + )(x )(x ) x(x + )(x + )(x ) + x(x + )(x + )(x ) = x4 3 5 x + Calculons l erreur théorique sur cette interpolation. celle-ci est donnée ou point x par : Elle vérifie, E(x) = f(x) P n (x) = γ n+ (x) E(x) γ n+ (x) k= (n + )! M n+ où γ n+ (x) = (n + )! f (n+) (ξ x ) où ξ I = (min x i, max x i ) n (x x k ) M n+ = max f (n+) (t) Comme ici on a 5 points d appui, cette erreur est majorée par : E(x) γ 5 (x) 5! M 5 On a clairement γ 5 (x) = k=(x x k ) = x(x )(x 4). Il reste à calculer M 5 = max t I k= t I f (5) (t). Un calcul assez long donne : f (5) (x) = 4x(3 x + 3x 4 ) ( + x ) de même, on trouve f () (x) = 4 [ x ( + x ) 7 + 5x 3 3x + 3 ]. Ainsi l étude de f (5) donne M 5 =. Finalement, E(x) γ 5 (x) 5! M 5 = x(x )(x 4) = x(x )(x 4) 5 5! Exercice 3 Avec quelle précision peut-on calculer 5 à l aide de l interpolation de Lagrange, si on prend les points : x =, x =, x = 44. Exercice 4. Utiliser la formule d interpolation de Lagrange pour trouver la cubique passant par.4,.5,.7,.8 pour f(x) = sin(x). Même question pour f(x) = tan x Exercice 5 Soit f(x) = + x. Determiner le polynôme P (x) Lagrange basé sur les points d abscisses, et.. Calculer P (.) et P (.9), et comparer aux valeurs exactes. Évaluer l erreur d interpolation en ces deux points.

Exercice Intégration numérique Déterminer par la méthode des trapèzes puis par celle de Simpson π π 3π π x 8 4 8 f(x).3883.777.9388 f(x)dx sur la base du tableau suivant : Ces points d appui sont ceux donnant sin x, comparer alors les résultats obtenus avec la valeur exacte. I = f(x)dx. Soit T l approximation de I par la méthode des trapèzes, le pas h donné par h = x n x n T = h ( ) f(x ) + f(x 4 ) + 3 f(x i ) i= = π ( + + (.3883 +.777 +.9388)) =.987 = π 8. Soit S l approximation de I par la méthode de Simpson. Celle-ci s écrit, S = h 3 (y + y 4 + 4(y + y 3 ) + y ) = π [( + + 4(.38... +.9...) +.77...)] 8 3 =.35 Les points d appui donnés dans cet execice correspondent à la fonction sin x. Et que l approximation de I donnée par la méthode de Simpson est meilleure que celle par les trapèzes, puisque S I =.35 et T I =.884. sin xdx =. On constate donc Exercice 7 On lance une fusée verticalement du sol et l on mesure pendant les premières 8 secondes l accéleration γ : t (en s) 3 4 5 7 8 γ (en m/s ) 3 3.3 33.44 35.47 37.75 4.33 43.9 4.7 5.7 Calcule la vitesse V de la fusée à l instant t = 8 s, par la méthode des trapèzes puis par Simpson. On sait que l acceleration γ est la dérivée de la vitesse V, donc, V (t) = V () + t 8 γ(s)ds V (8) = + γ(s)ds } {{ } I. Calculons I par la méthode des trapèzes. Ici, d après le tableau des valeurs, h =. I = h ( ) γ(x ) + γ(x n ) + n γ(x i ). Calculons I par la méthode de Simpson i= = (3 + 5, 7 + (3, 3 + + 4, 7)) = 389 m/s V (8) = h 3 (γ(x ) + γ(x n ) + 4(γ( ) + γ(x 3 ) + ) + (γ( ) + γ(x 4 ) + )) = (3 + 5, 7 + 4(3, 3 + 35, 47 + ) + (33, 44 + 37, 75 + )) 3 = 387 m/s 3

Exercice 8 Calculer à l aide de la méthode des trapèzes l intégrale I = n =. Soit I = sin x dx sin x dx avec le nombre de points d appui n = 5 puis. n = 5 donc le pas d intégration est h = π. Calculons I par la méthode des trapèzes. 5 I = h ( ) f(x ) + f(x n ) + n f(x i ) i= = π ( + + (sin(π) + sin() + (sin( π 5 ) + sin( π 5 ) + sin( 3π 5 ) + sin( 4π 5 ) )) =.5443. n = donc le pas d intégration est h = π. I = π ( + + (sin(π) + sin() + (sin( π ) + sin( π ) + sin( 3π ) + sin( 4π ) )) =.7338 alors que la valeur exacte est approximativement, 775. Avec ce pas plus petit l approximation numérique est meilleure. Exercice 9 Trouver le nombre n de subdivisions nécessaires de l intervalle d intégration [ π, π], pour évaluer à.5 3 près, grâce à la méthode de Simpson, l intégrale Soit Le pas d intégration est h = b a n π cos x dx I = π cos x dx = π. D autre part l erreur théorique sur la méthode de Simpson est donnée par n (b a) E(h) = h 4 f (4) (ξ) 8 = π 8 (π n )4 cos(ξ) où ξ [a, b], par conséquent, E(h) π 8 (π n )4 Ainsi pour que E(h).5 3 il suffit que n vérifie π π 4 9 n 4.5 3, donc, n 4 π.5 3 9 π4. Ainsi n vérifie n 8. On prendra par exemple n =, car pour la méthode de Simpson, le nombre de subdivisions de l intervalle [a, b] doit toujours être pair. Exercice Soit a x < x < < x n < n n b une partition fixée de l intervalle [a, b]. Montrer qu il existe un unique (n + )-uplet (µ, µ,..., µ n ) de nombres réels tels que b n P (x)dx = µ i P (x i ) Pour tout polynôme P de degré inférieur ou égal à n. a i= 4

n Le polynôme P s écrit dans la base de Lagrange P (x) = L i (x) P (x i ) () n x x i= j avec L i (x) =, puis on intégre () sur [a, b], on obtient : x j= i x j j i b ( b n n ) b n P (x)dx = L i (x)p (x i ) dx = L i (x)dx P (x i ) = µ i P (x i ) a a i= i= Exercice Calculer xdx par la formule des rectangles en décomposant l intervalle d intégration en dix parties. Évaluer l erreur commise. On a =, b = et n =. Le pas de discrétisation h = b a n = =.,,,9 xdx = xdx + xdx + + xdx + xdx On applique la formule des rectangles sur chaque sous intervalle, on obtient, ( ) xdx = h +, +, + +, 8 +, 9, 98 L estimation de l erreur comise par la méthode des rectangles est E h (b a) max f (x) x [a,b] On a f(x) = x et f (x) = 4 donc max x f (x) ce qui implique que E. 4 3 x [,] 4 Exercice a,8. Écrire le polynôme d interpolation de Lagrange P (x) d une fonction f construite sur les points :, 3, 3,. Par intégration du polynôme obtenu, déduire la formule d intégration approchée suivante : f(x)dx 4 f( ) + 3 ( 4 f ) + 3 ( ) 3 4 f + 3 4 f(). On pose x =, x = 3, x = 3, x 3 =. Les polynômes auxiliaires de Lagrange associés sont : L (x) = 9 (x3 x 9 x + 9 ) L (x) = 7 (x3 x x x + 3 ) L (x) = 7 (x3 + x x x 3 ) L 3(x) = 9 (x3 + x 9 x 9 ) l expression du polynôme d interpolation de Lagrange est. on intége le polynôme sur [, ] f(x) P (x) = L (x)f( ) + L (x)f( 3 ) + L (x)f( 3 ) + L 3(x)f(),9 i= f(x)dx P (x)dx L (x)dx f( ) + L (x)dx f( 3 ) + L (x)dx f( 3 ) + L 3 (x)dx f() 4 f( ) + 3 4 f( 3 ) + 3 4 f( 3 ) + 4 f() 5

La résolution de l équation F(x)= Exercice 3 Soit la fonction F (x) = x 3 x, on se propose de trouver les racines réelles de F par la méthode des approximations successives.. Montrer que F possède une seule racine réelle α [, ]. Etudier la convergence des trois méthodes itératives suivantes : x [, ] donné et (a) x n+ = x 3 n ; (b) x n+ = x n Soit l équation F (x) = x 3 x =. Il est clair que F est continue et déivable sur R. On a F () =, F () =, donc F () F () <. D autre part, F (x) = x sur [, ]. Donc, d après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe une seule solution α [, ] telle que F (α) =. (a) Etudions la convergence de la suite x n+ = g (x n ) = x 3 n. Tout d abord, cette suite, si elle converge, conduit bien à une racine de F (x) = car si α est la limite de la suite (x n ), alors α = α 3 donc F (α) = α 3 α Par ailleurs, g (x) = x sur [, ]. Par conséquent, grâce au théorème des accroissements finis, il existe ξ n compris entre x n et x n+ tel que donc g (x n+ ) g (x n ) = g (ξ n ) x n+ x n g (x n+ ) g (x n ) x n+ x n x n x n. n x x Ainsi, cette suite diverge et la méthode est à rejeter. (b) Étudions la convergence de x n+ = g (x n ) = x. Cette méthode, si elle converge conduit vers la racine α de n F (x) dans [, ], car si α est la limite de la suite (x n ), alors α = α donc F (α) = α α = g (x) = 8x (x ) donc 8 < g (x) = 8(x + ) (x ) 3 < 49 En conséquence, on ne peut conclure sur la monotonie de g Exercice 4 On veut résoudre dans R l équation x = g(x) où g(x) = ln x,. a) Montrer qu elle admet une seule racine α, montrer que α I = [, ]. b) Montrer que la méthode itérative : x n+ = g(x n ) diverge. c) on considère alors g (x) = g (g(x)) = x, (remarquer que g existe) montrer que la méthode itérative : x n+ = g (x n ) converge. En posant e n = x n α montrer que e n+ est de signe opposé à e n, que peut-on déduie?. Retrouver α à l aide de la méthode de Newton. Exercice 5 Soit l équation x ( + e x ) = e x ()

. Montrer que cette équation admet une racine unique s dans [, ]. Proposer une itération de point fixe pour l équation (). 3. Montrer, que cette itération converge vers la solution s. 4. Écrire la méthode de Newton pour cette équation en précisant un bon choix de l initialisation x. On pose f(x) = x ( + e x ) e x. On a f() = et f() = f() f(), d après le théorème des valeurs intermédiaires la fonction f admet au moins une racine sur [, ] et puisque f est monotone, cette racine est unique.. On considère l itéation du point fixe suivante : x n+ = g(x n ) = exn + e xn 3. g est contractante car g e x (x) = ( + e x ) et g (x) < x [, ] puisque g est croissante, on a x < = g() g(x) g() = e < alors on a g([, ]) [, ]. + e D après le théoème de convergence du point fixe, notre itéation proposée converge vers la solution de l équation (). 4. La méthode de Newton : x n+ = x n f(xn f (x = x n) n xn(+exn ) e xn +x ne xn Choix de l initialisation x, il doit vérifier la condition f(x ) f (x ) >. On a f(x) = x( + e x ) e x et f (x) = ( + x)e x, on prend par exemple x = Exercice Soit l équation ln(x) = x. Montrer que cette équation admet une solution unique α dans l intervalle [, ]. Étudier l itération et montrer que cette itération converge vers α. x donné x n+ = ln (x n ) 3. Montrer que l équation proposée est équivalente à l équation x = e x, et étudier l itération Qu en déduisez-vous? x donné x n+ = e xn 4. Écrire la méthode de Newton pour l équation proposée et proposer un bon choix d initialisation x de cette méthode. Soit la fonction f(x) = ln(x) + x, on considère l équation f(x) =. On a f() = ln() et lim x f(x) =, d après le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins une racine α de l équation f(x) = et puisque f est strictement monotone (coissante) sur ], [, alors la racine α est unique.. posons g(x) = ln(x), on a g (x) = x et g ( ) = donc g n est pas contractante. 3. On a x = ln(x) ln(x) = x x = e x, donc pour x donné, l itération x n+ = ln(x n ) est équivalente à l itération x n+ = e xn. posons h(x) = e x et étudions la fomulation x n+ = h(x n ). Résolution des équations différentielles Exercice 7 Soit le problème de Cauchy suivant { y = y x x y() =. Calculer la solution exacte.. Calculer les valeurs approchées y et y par la méthode d Euler pour h =. et n =. 7

Exercice 8 Soit l équation différentielle à condition initiale y (t) = y(t) + t et y() =. Approcher la solution de cette équation en t = à l aide de la méthode d Euler en subdivisant l intervalle de travail en parties égales. Comparer à la solution exacte. Coorigé : { y (t) = y(t) + t = f(t, y) y() = L intervalle d intégration est [, ]. Remarquons tout d abord que f étant continue et lipschitzienne par rapport à y le problème de Cauchy () admet une solution unique. Méthode d Euler Elle s écrit : y n+ = y n + hf(t n, y n ) = y n + h(t n + y n) = ( + h)y n + ht n On a aussi y() = y =, h =. t = et t n = t + nh = n. D où l approximation en t de y(t), est y = 3.874. Solution exacte de cette équation en appliquant la méthode de la variation de la constante est donnée par : y(t) = t + e t ce qui implique y() = + e = 3.43 Estimation de l erreur : l erreur effectivement commise lors de l application de la méthode d Euler est E = 3.43 3.874 =.5 Exercice 9 Soit l équation différentielle (). Calculer la solution exacte y = f(x, y) = xy, x [, 5] y() =. En appliquant la méthode de Range Kutta d ordre, calculer les valeurs approchées y et y, avec un pas h =.5 8