Lycée Féelo Saite-Marie Termiales ES Aée 01-013 Mathématiques Décembre 01 Durée : 3 heures BAC blac N 1 La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte u total de 5 exercices. Les élèves e suivat pas l eseigemet de spécialité traiterot les exercices 1,, 3 et 4. Les élèves suivat l eseigemet de spécialité traiterot les exercices 1,, 3 et 5. EXERCICE 1 (4 poits) Commu à tous les cadidats. Résoudre les équatios et iéquatios suivates : a. x3 3 6 x3 0 e e e e e x3 3 6 e e e x 3 0 doc x = 3/ et S 3 0.5 pt b. e e 1 e e 3x 4 3x4 0 e e 3x 4 1 3x 4 0 doc x = 4/3 et 4 S 3 0.5 pt c. x e la fct exp est strictemet positive S = 0.5 pt d. x x x x e e e e e 4 1 4 1 1 x4 x1 e e e x 4 x 1 1 x 4 x 1 1 x 9x 4 1 0 81 4 57 9 57 9 57 x1 ou x 4 4 9 57 9 57 S, 4 4 1pt e. e e 0 e e x 3x5 x 3x5 x 3x5 e e x x 0 3 5 doc x > 7 et S 7, 0.75 pt f. e 1 e e e 3x 3x 0 3x 1 3x 0 doc x > /3 et S, 3 0.75 pt 1-10
Lycée Féelo Saite-Marie Termiales ES Aée 01-013 BAC blac N 1 Mathématiques EXERCICE (6 poits) Podichéry jui 01 Commu à tous les cadidats. Partie A O cosidère la foctio f défiie sur [ 1,5 ; 10] par : f x 4x 5 e x 3 O ote (C) la courbe représetative de la foctio f das u repère orthogoal. O ote f la foctio dérivée de la foctio f sur l itervalle [ 1,5 ; 10]. / 1. a. Démotrer que pour tout réel x de [ 1,5 ; 10], o a : 4 8 5 b. Étudier le sige de la foctio f sur l itervalle [ 1,5 ; 10].. Dresser le tableau de variatio de la foctio f. f x x x e x 3. Justifier que l équatio f (x) = 3 admet deux solutios et das l itervalle [ 1,5 ; 10]. Doer ue valeur approchée de et à 10 près. 4. Proposer u réglage de la feêtre graphique de votre calculatrice permettat de visualiser de la foctio f ; c'est-à-dire défiir X mi; X max ; Ymi et Y max. 1.a. x 4 5 3 / x 8 4 51 / x 4 8 5 f x x e f x x e x e f x x x e x 0.75 pt 1. b. la fct exp est strictemet positive sur IR ; doc le sige de f (x) déped du sige de (4x²- 8x-5) Etudios le sige de 4x²- 8x-5 64 80 144 1 et x1 Si x1,5; 0,5 et 8 1 5 8 1 4,5 et x 0,5 8 8 8 x,5;10 ; f est positive Si x 0,5;,5 alors f est égative. 0.5 pt. tableau de variatios x 1,5 0,5,5 10 f (x) + 0 0 + f (x) f(-0.5) f(10) f(-1.5) f(.5) f ( 1.5) = 14,9 ; f ( 0.5) = 9,59 ; f (.5) =1,36 et f (10) =,98 0,5 pt - 10
Lycée Féelo Saite-Marie Termiales ES Aée 01-013 BAC blac N 1 Mathématiques 3. si x1,5; 0,5 la fct f est dérivable doc cotiue et strictemet croissate et 3 f 1,5 ; f 0,5 d après le corollaire du théorème des valeurs itermédiaires l équatio f(x) = 3 a ue uique solutio das l itervalle 1,5; 0,5. 0,5 pt x la fct f est cotiue et strictemet décroissate et 3f,5 ; f 0,5 Si 0,5;,5 d après le corollaire du théorème des valeurs itermédiaires l équatio f(x) = 3 a ue ique solutio das l itervalle 0,5;,5. 0,5 pt si x,5;10 la fct f est cotiue et strictemet croissate et admet f(10) comme maximum et f(10) < 3 doc l équatio f(x) = 3 a pas de solutio. 0,5 pt Doc sur 1,5;10 l équatio f(x) = 3 admet deux solutios. 1,1 et 1,11 0,5 pt 4. Propositio réglage feêtre Xmi 1,5 et Xmax 10 et Ymi 15 et Ymax 10 0,5 pt Partie B Ue etreprise produit de la peiture qu elle ved esuite. Toute la productio est vedue. Le coût moye uitaire de cette productio peut être modélisé par la foctio f de la partie A : pour x hectolitres de peiture fabriqués (avec x [0,5 ; 8]), le ombre f (x) désige le coût moye uitaire de productio par hectolitre de peiture, exprimé e cetaies d euros (o rappelle qu u hectolitre est égal à 100 litres). Das la suite de l exercice, o utilise ce modèle. O pourra utiliser les résultats de la partie A. Chaque répose sera justifiée. 1. Détermier le coût moye uitaire de productio e euros, arrodi à l euro près, pour ue productio de 500 litres de peiture.. a. Combie de litres de peiture l etreprise doit-elle produire pour miimiser le coût moye uitaire de productio? Quel est alors ce coût, arrodi à l euro près? b. Le prix de vete d u hectolitre de peiture est fixé à 100euros. À l aide de la questio précédete, détermier si l etreprise peut réaliser des bééfices. 3. Le prix de vete d u hectolitre de peiture est fixé à 300 euros. O appelle seuil de retabilité la quatité à partir de laquelle la productio est retable, c est-à-dire qu elle permet à l etreprise de réaliser u bééfice. Quel est le seuil de retabilité pour cette etreprise? 1. Le cout moye uitaire pour ue productio de 500 litres, détermios f(5) f 5 4 5 5 e 3 ; f 5 5 5 95e 3 et f 5,359 Le cout moye uitaire pour ue productio de 500 litres est de 36. 0,5 pt 3-10
Lycée Féelo Saite-Marie Termiales ES Aée 01-013 BAC blac N 1 Mathématiques.a. E utilisat la questio de la partie A, f admet u miimum f (,5). Il faut produire 50 litres de peiture et le cout est de 136. 0,5 pt.b. Comme le cout moye uitaire admet u miimum de 136, si le prix de vete est de 100, l etreprise e réalisera pas de bééfice. 0,5 pt 3.Pour détermier le seuil de retabilité, il faut résoudre l équatio f(x) = 3, d après la questio 3 de la partie A, il faut produire 11 litres 0,5 pt EXERCICE 3 (5 poits) Commu à tous les cadidats. À l occasio d u festival culturel, ue agece de voyages propose trois types de trasport pour permettre à chaque cliet de se redre das la ville orgaisatrice afi d assister à la cérémoie d ouverture. Les trois moyes de trasport proposés sot l avio, le trai ou le car. À chacu des cliets qui achètet u billet de trasport, l agece propose de souscrire ue assurace multirisque qui permet, sous certaies coditios, ue idemisatio e cas de retard ou de vol de bagages. Ue equête motre que 55 % des cliets choisisset l avio, que 40% choisisset le trai et que les autres choisisset le car. De plus, parmi les cliets ayat choisi l avio, 0% ot souscrit l assurace multirisque ; ils sot 8% à choisir cette assurace parmi ceux qui ot choisi le voyage e trai et seulemet 4% parmi ceux qui ot choisi le car. O pred au hasard le dossier d u cliet qui se redra à la cérémoie d ouverture du festival, chaque dossier ayat la même probabilité d être choisi. O ote : A l évèemet : «Le cliet a acheté u billet d avio» ; T l évèemet : «Le cliet a acheté u billet de trai» ; C l évèemet : «Le cliet a acheté u billet de car» ; S l évèemet : «Le cliet a souscrit ue assurace multirisque»et S so évèemet cotraire. 1. Costruire u arbre podéré décrivat la situatio.. Calculer la probabilité que le dossier choisi soit celui d u cliet qui voyagera e trai et qui a souscrit ue assurace multirisque. O doera la valeur exacte de cette probabilité. 3. Motrer que la probabilité de l évèemet S est égale à 0,144. 4. O pred u dossier au hasard parmi les cliets ayat pas souscrit ue assurace multirisque. Calculer la probabilité que ce dossier soit celui d u cliet voyageat e trai. Le résultat sera doé arrodi au millième. 4-10
Lycée Féelo Saite-Marie Termiales ES Aée 01-013 BAC blac N 1 Mathématiques 5. Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio. O choisit trois dossiers au hasard, idépedammet les us des autres. Calculer la probabilité, arrodie au millième, qu au mois deux des dossiers coceret u cliet ayat souscrit l assurace multirisque. 1. 0,0 S p( C ) = 1 p(a) p(t) = 0,05 A 0,55 0,8 S p S p S 0,40 0,08 S T A 1 0,8 0,05 0,9 S p S p S C 0,04 S 0,96 S p S p S T C A 1 0,9 1pt T 1 0,96. Probabilité que le dossier soit celui d u voyageur e trai et qu il est souscrit l assurace. p T S p T p S T S 0,4 0,08 0,03 p T 1pt 3. Probabilité de S Les évéemets A ; T et C formet ue partitio de l uivers ; p(s) est ue probabilité totale. p S p AS p T S p C S ps 0,55 0, 0,03 0,05 0,04 ps 0,144 1.5pt 4. S l évéemet : «le dossier est celui d u cliet ayat pris l assurace» est cosidéré comme l évéemet succès d ue épreuve de Beroulli de paramètre 0,144. O répète 3 fois cette épreuve de faço idetique et idépedate. Soit X la variable aléatoire qui compte le ombre de cliet achetat l appareil photo e promotio. X suit la loi biomiale B(3 ; 0,144). Loi de probabilité o demadé sur cet exercice ; o voulait que le calcul suivat : p X p X p X 3 1.5pt p X 30,144 1 0,144 0,144 3 p X 0,056 C 5-10
Lycée Féelo Saite-Marie Termiales ES Aée 01-013 BAC blac N 1 Mathématiques EXERCICE 4 (5 poits) Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité uiquemet. U cetre aéré, ouvert tous les mercredis après-midi à partir du 1er septembre, propose aux efats de s iscrire chaque semaie à ue activité. L ue de ces activités est la atatio. Ue étude effectuée sur l aée scolaire 009/010 motre que d ue semaie sur l autre 5% des efats e se réiscrivet pas à la atatio, alors que das le même temps 10 ouveaux efats s y iscrivet. Le directeur se base sur les résultats de l aée scolaire 009/010 pour prévoir l évolutio des iscriptios pour l aée scolaire 010/011. La première semaie de l aée scolaire 010/011, 80 efats se sot iscrits à la atatio. O ote u 0 le ombre iitial d efats iscrits à la atatio, aisi u0 80. Pour tout etier aturel, o ote u le ombre d efats iscrits à la atatio au bout de semaies. 1. Motrer que u1 86.. Pour tout etier aturel, exprimer u 1 e foctio de u. 3. Pour tout etier aturel, o pose a u 00.Motrer que la suite a est ue suite géométrique dot o précisera la raiso et le premier terme. Pour tout etier aturel, exprimer a e foctio de. E déduire que, pour tout etier aturel, o a u 00 10 0,95. Les questios suivates peuvet être traitées idépedammet les ues des autres. 4. Motrer que pour tout etier aturel, o a u 1 6 0,95 u. E déduire que le ombre d iscriptios à la atatio augmete toutes les semaies. 5. Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio. Après combie de semaies, le cotexte restat le même, le ombre d efats iscrits à la piscie dépassera-t-il 150? 1. u1 u 5 0 u0 10 et u1 0,95u0 10 d où u1 0,9580 10 86 0,5pt 100. si u est le ombre d efats iscrits au cetre aéré e 010 + et si u 1 est le ombre d efats iscrits au cetre aéré e 010 + (+1) o a : 5 u 1 u u 10 100 et u 1 0,95u 10 0,5pt a 00 3. O pose u 6-10
Lycée Féelo Saite-Marie Termiales ES Aée 01-013 BAC blac N 1 Mathématiques a a a a 1 1 1 1 1 u 00 0,95u 00 0,95 a 00 00 0,95a La suite a est ue suite géométrique de raiso 0,95 et de premier terme a 0 ; a0 u0 00 10 0.5pt Doc a 10 0,95 et e remplaçat u 00 10 0,95 0.5pt 4. Détermios la différece u 1 u u 1pt 1 1 u 00 10 0,95 00 10 0,95 u 1 u 10 0,95 0,95 1 u 1 6 0,95 u 0,5pt 6 0,95 0 doc 0et u 1 u u 1 u ; la suite d iscrites augmete toutes les semaies. 5. Il faut trouver le plus petit etier tel que u 150 u 150 00 10 0,95 150 u 150 00 150 10 0,95 50 u 150 0,95 avec la calculatrice o trouve 18 10 u est strictemet croissate, le ombre 0,5pt 1pt EXERCICE 5 (5 poits) Spécialité uiquemet Les parties A et B sot idépedates. Partie A 1. O doe les matrices : a b A b 9 7 4 et 3a 4 B 4 a 5 7 a b Détermier a et b de telle sorte que l o ait A. O doe les matrices : B. 7-10
Lycée Féelo Saite-Marie Termiales ES Aée 01-013 BAC blac N 1 Mathématiques a b C 3 3 b et 1 D a b 5a Détermier a et b de telle sorte que les matrices C et D soiet iverses l ue de l autre. 3. C est la retrée! Adèle, Bejami, Clothilde et Victor vot s acheter esemble quelques fouritures scolaires. Adèle achète 4 cahiers, classeurs et 5 stylos. Bejami achète 6 cahiers et stylos. Clothilde achète 1 cahier et 4 stylos. Victor achète 1 classeur et 5 stylos. Les cahiers, classeurs et stylos sot vedus aux prix uitaires hors taxes de, respectivemet, 1,5,,3 et 1,7. Le taux de TVA applicable sur ces produits est de 7%. E précisat clairemet les matrices utilisées, doer u calcul matriciel permettat de détermier le motat total TTC dépesé pour l achat de l esemble de ces fouritures. 1. Deux matrices sot égales si tous leurs coefficiets sot égaux a 3a b b 4 7 7 a A=B et doc A=B b 4 b 9 a 5 4 a b. Deux matrices sot iverses si CxD = I 0,75pt a b1 a b a b 5a 31 3 ba b 3 3 b5a CD et I= 1 0 0 1 3a b 1 a 4b 10a 0 C D I 6 15a 5ab 1 3 3a 6b ab b 0 et doc a = 1 et b = 0,75pt 3. O pose F le matrice des fouritures et P celle des prix 4 5 1,5 6 0 F et P 1 0 4,3 de plus il faut appliquer ue TVA de 7% 1,7 0 1 5 Soit C ue matrice permettat de détermier le motat total dépesé 8-10
Lycée Féelo Saite-Marie Termiales ES Aée 01-013 BAC blac N 1 Mathématiques C = F x1,07p soit C = 1,07 x F.P cette écriture vaut 0.75pt, calcul suivat o demadé : 1, 07 41,5,3 51, 7 0, 437 1,07 6 1,5 1,7 C 13, 68 d où C 1,07 11,5 41,7 8,881 1,07 1,3 51,7 11,556 U 1 1 1 1 La dépese totale C x U = (0,473 + 13,68 + 8,881 + 11,556) = (54,178) La dépese totale est de 54,18. Partie B O cosidère le graphe G ci-dessous. A B C E F D 1. a. Détermier l ordre du graphe G. b. Doer la défiitio d u graphe complet puis détermier u sous-graphe complet d ordre 3.. Doer la matrice d adjacece M associée au graphe G (les sommets serot pris das l ordre alphabétique). 3. a. O doe deux matrices N et T. G 9-10
Lycée Féelo Saite-Marie Termiales ES Aée 01-013 BAC blac N 1 Mathématiques 0 5 3 4 6 1 5 6 4 3 8 4 3 6 4 8 5 7 3 N 4 4 8 6 8 9 6 6 3 5 8 4 10 6 8 7 9 10 6 3 1 4 3 6 6 3 T 0 5 3 4 6 5 6 4 3 8 4 3 6 4 8 5 7 3 4 4 8 8 9 6 6 3 5 8 4 10 6 6 7 9 10 6 3 1 4 3 6 6 3 3 ue des deux matrices N ou T est la matrice M. Sas calculs, idiquer quelle est matrice 3 M e justifiat votre répose. b. Combie de chaies de logueur 3 y a-t-il etre les sommets B et D? c. Détermier ces chaies. 1.a. G est u graphe d ordre 7, il est formé de sept sommets 0,5pt 1.b. U sous graphe complet est ue liste de sommets, dot deux sommets quelcoque sot reliés par ue arête ou adjacets. Sous graphe d ordre 3 : B ;C ;F par exemple 0,5pt 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0. M 0 0 1 0 1 1 1 0,75pt 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 3.a. La matrice T est pas symétrique, (le coefficiet de la première lige derière coloe 3 est ; et celui de la derière lige première coloe est 1) elle e peut doc pas être M. 3 La matrice N est doc M. 0,5pt 3. b. Etre les sommets B et D (le coefficiet de ème lige 4 ème coloe de la matrice N est 4) ; il y a doc 4 chaies de logueur 3 allat de B à D. 0,5pt 3.c. Les chaies de logueur trois : B C F D B F C D 0,5pt B A E D B F E D 10-10