. Performanes d'un Sysème : Sabilié - Préision - Raidié STBILITE Condiion générale de sabilié Sabilié au sens sri (sysème asymoiquemen sable, sabilié au sens de Lyaunov) Il y a reour à l'équilibre arès disariion de la erurbaion. Il es insable s il n y revien as ou s il s'en éare. Exemle : endule simle ure définiion de la sabilié (au sens large) : enrée bornée orresond une sorie bornée our le sysème. Crière général de sabilié des sysèmes à TC δ () Tems h() y() h() Fréquene H() Y() H() Théorème : (hyohèse de ausalié) TC : Un sysème linéaire à TC es sable si e seulemen si ous les ôles de sa FT on leur arie réelle sriemen négaive. TD : TC TD : z e T (T : ériode d éhanillonnage) Un sysème linéaire à TD es sable si e seulemen si ous les ôles de sa FT on leur module sriemen inférieur à. TR.
Les ôles d'un sysème araérisen sa dynamique (sabilié). Les zéros déerminen sa raidié (hase minimale). Lieu des ôles de la FT e sabilié (sysèmes à TC) Plus les ôles de la FT son éloignés de l'axe imaginaire (ave arie réelle < ), lus le sysème es sable (e raide). Exemle : nd ordre ( ôles) Pôles Modes (régime libre) (RI) Sabilié Ym() y Sable Ym() Re() Re() y Sable Ym() y Juse insable (osillan) Re() Ym() y sauraion Insable Re() Ym() Re() y sauraion Insable Ym() Re() y sauraion Insable Ym() y Juse insable (asaique) Re() TR.
Exemle : 3ème ordre (3 ôles) onsiué d un sous-sysème du er ordre (ôle ) e d un sous-sysème du nd ordre (ôles e ) Im * Re * Crière algébrique de sabilié de Rouh des sysèmes à TC Soi H ( ) N( ) D( ) la FT d'un sysème linéaire oninu ( à TC) Q ( ) : olynôme araérisique de la sabilié Sabilié de H( ) : H() Q ( ) D ( ) H( ) N( ) D( ) Sabilié du Sysème Boulé H ( ) : H() H'() - N( ) H( ) D ( ) N( ) H ( ) H( ) N( ) N( ) D( ) D ( ) Q ( ) N( ) D ( ) TR. 3
n n Q ( ) a a L a a a n > n n Crière de Rouh. Si erains oeffs a i, Q ( ) a des raines à arie réelle Le sysème es don insable (as où au moins un a i < ), ou juse insable (as où au moins un a i ave les aures oeffs ).. Tableau de Rouh On éri n : n - : a n - a n - a n - a n - 3 a n - 4 a n - 5...... n a si n imair ou a si n air a si n air ou a si n imair n - : 3... On alule n - 3 :. B B B 3....... : M M M 3... : N N N 3... : O O O 3... Caluls Pivo : a n : Pivo : :... Pivo : N : On analyse B O a a a a a n n n n 3 n an an 3 NM MN N B a a a a a n n 4 n n 5 n an an 5 3 TR. 4
Théorème Une CNS de sabilié du sysème es que ous les oeffiiens de la ère olonne du ableau de Rouh soien >. Le nombre de hangemens de signe des oeffiiens de la ère olonne es égal au nombre de ôles insables. Cas ariuliers. Il aaraî un dans la ère olonne seulemen : Un oeff. nul dans la ère olonne indique la résene d une (ou des) raine(s) juse insable(s) ou insable(s) de Q ( ) Poursuie de la onsruion du ableau : On remlae ε << e osiif. Si la onsruion du ableau de Rouh fai aaraîre une ligne de sur la ligne i : Un oeff. nul dans la ère olonne indique la résene d une (ou des) raine(s) juse insable(s) ou insable(s) de Q ( ) Poursuie de la onsruion du ableau : i i On forme : ( ) q q L (uissanes de ). i i ( ) r r L (uissanes de ) La ligne de remlaemen i es : i : r r... TR. 5
Exemle : Sabilié du SB (à reour uniaire e omaraeur /-) de BO H( ) en fonion du gain de l amlifiaeur de la BO : H( ) Sysème en Boule Ouvere (BO) : ( 5 ) Sysème en Boule Fermée (BF) : H ( ) 3 5 Polynôme araérisique : Q ( ) 5 3 Tableau de Rouh : 3 : : : : 5 5 Le Sysème Boulé (SB) H ( ) es sable si : < <. TR. 6
Crière de sabilié de Nyquis des sysèmes à TC X() - E() H() Y() X() H'() Y() H( ) H ( ) H( ) Soi : n : le nombre de ôles à arie réelle > de H ( )) n : le nombre de ôles à arie réelle > de H() : le nombre de ours omés algébriquemen dans le sens rigonomérique du lieu de H() auour du oin -. On a : n n' ou enore : n' n Theorème de Nyquis Un Sysème Boulé es sable ( ( n' ) ) si e seulemen si le nombre de ours auour du oin - du lieu de la BO es égal au nombre de ôles à arie réelle > ( n ) de la BO. TR. 7
Exemle : H( ) Im[H()] ( a)( b)( ) - Re[H()] Sysème sable (sens large) en BF ( n ' sable (sens large) en BO, or ii n SB sable ) si sysème Exemle : H( ) Im[H()] ( b)( ) - Re[H()] Sysème insable en BF ( n ' n >, ar n ne eu êre <) TR. 8
Exemle 3 : Im[H()] H ( ) a - Re[H()] Sysème sable (sens large) en BF ( n ' ) si sysème insable en BO ave ôle insable, or ii n Crière du revers (rière simlifié, moins général que le rière de Nyquis) Soi à déerminer si un SB H ( ) de BO H( ) es sable (SB à omaraeur /- : H ( ) H ( ) ) H ( ). On se resrein à des sysèmes sables en BO (au sens large, esà-dire els que n ). On limie le raé du lieu de Nyquis de la BO our resrein à la branhe i ( > ) du onour de Bromwih TR. 9
Crière du revers dans le lan de Nyquis Si lorsqu'on arour le lieu de la BO Hi ( ) dans le sens des ( varie de à ), on laisse sur sa gauhe le oin - lorsqu on se rouve à elle que rg[ H( i )] π, le SB es sable Exemle : H( ) ( a)( b)( ) Im[H()] Im[H()] Im[H()] - Re[H()] Re[H()] - - Re[H()] SB sable SB limie sable SB insable Crière du revers algébrique Soi elle que rg[ H( i )] π.si Hi ( ) < : SB sable.si Hi ( ) : SB limie sable.si Hi ( ) > : SB insable Crière du revers dans le lan de Bode Hi ( ) Hi ( ) Hi ( ) rg[ H( i)] rg[ H( i)] rg[ H( i)] π π π SB sable SB juse sable SB insable ( ) Hi ( ) < Hi Hi ( ) > : ulsaion elle que rg[ H( i )] π TR.
Crière du Revers dans le lan de Blak Hi ( ) Hi ( ) Hi ( ) π rg[ H( i)] π rg[ H( i)] π rg[ H( i)] SB sable SB juse sable SB insable Hi ( ) < Hi ( ) ( ) > : ulsaion elle que rg[ H( i )] π Lieu des Raines (lieu d'evans) Hi FTBO : H N ( ) ( ) D( ) Sabilié de la FTBF : raines de : D( ) N( ) Polynôme araérisique Q() : Q() D(). N() Lorsque le gain varie de à, les raines du olynôme araérisique dériven dans le lan omlexe le lieu des raines. Exemle : BO : H( ) ( a) Polynôme araérisique : Q() ( a) a TR.
Raines de Q() : ( ) : a a 4 a a 4 ( < ) : a i a 4 a i a 4 Im(, ) a 4 -a a Re(, ) Sysème boulé Sable > TR.
Marges de sabilié Marges de sabilié dans le lan de Nyquis Mg' g Im[ Hi ( )] - Mϕ Re[ Hi ( )] erle unié Hi ( ) Soi elle que : rg[ H( i )] π :. Mg log log g log H( i ) g Soi elle que : Hi ( ) :. Mϕ π rg[ H( i )] Marges de sabilié dans le lan de Bode Hi ( ) Mg rg[ H( i)] Mϕ π Soi elle que : rg[ H( i )] π :. Mg H( i ) Soi elle que : Hi ( ) :. Mϕ π rg H i [ ( )] TR. 3
Marges de sabilié dans le lan de Blak Hi ( ) Mϕ π rg[ H( i)] Mg Soi elle que : rg[ H( i )] π :. Mg H( i ) Soi elle que : Hi ( ) :. M rg H i ϕ π [ ( )] Valeurs de Mϕ e Mg assuran une bonne marge de sabilié : Mϕ 45 Mg (valeurs usuelles) baque de Blak Leure de l abaque de Blak X() - T() Y() X() T ( ) Y() T( ) : FTBO T'( ) T( ) T( ) : FTBF Traé BO Ti ( ) (oordonnées reangulaires) baques T ( i ) e rg[ T ( i )](oordonnées urviligne) TR. 4
- 8-9 Ti ( ) - 8-9 6 Ti ( ) rg[ T( i)] 8-3 rg[ T( i)] Exemle : - 8-9 6 8 Ti ( ) -3 M Ti ( ) - 9-45 rg[ T( i)] baques de gain baques de hase - 9-45 M M M, Ti ( ) es el que : baques BF : Ti ( ) rg T( i) 9 T ( i) 3 rg T ( i) 45 TR. 5
Résonane en BF Le onour de l'abaque (en ) que le lieu de la BO Ti ( ) angene, indique la valeur maximale du module du gain de la BF T ( i ) e don le faeur de résonnane Q de la BF e la ulsaion de résonnane r de la BF : Exemle ave une BO résonane :.3 6 8 r r Ti ( ) T rg[ T( i)] Ti ( ) r :ulsaion de résonane (BO) r :ulsaion de résonane (BF) T : gain saique de la BO : T T i our ( ) T : gain saique de la BF : T T ( i ) our : T T T T T ( i ) asse ar un maximum our r Dans e exemle: Q 3 T ve : T : Q. Comme Q m m. Q T ( i ) T 3 BF) si on assimile la BF à un nd ordre., on a : m 4. (amorissemen de la max TR. 6
PRECISION - RPIDITE Exemles - sservissemen de osiion de l objeif d un aareil hoo (auo-fous) Préision y ε H() y - Préision inverse de l'erreur ε () y () y() ε Préision saique erreur saique ε ( ) lim ( ) lim Ε ( ) Préision dynamique erreur dynamique (ransioire) Ex.:réonse indiielle d un SB du nd ordre seudo-osillan y ( ) y() ε( ) Erreur dynamique y ( ) ε( ) Erreur saique La réision si ε () ε () y () y() TR. 7
Préision des Sysèmes sservis Linéaires (SL) Soi le SB de BO H( ) (SB à omaraeur /-) y ε H() y - Erreur ε () y () y() Ε ( ) TL[ ε ( )] H( ) Ε( ) Y ( ) Y( ) Y ( ) ( ) ( ) H( ) Y Y H( ) TL Erreur absolue ε () y () y() Ε( ) Y ( ) H( ) e Erreur relaive ( y () C y ) ε( ) relaive y () y() y () (%) Préision saique ε ε( ) lim ε( ) lim Ε( ) ε lim Y ( ) H( ) Inégraeur (ur) ( ) ossède un inégraeur (ur) si ( ) ( ) ( ) omore n inégraeurs (urs) si ( ) ( ) n TR. 8
Gain en BO e gain en BF BO u () H ( ) y BO () BF ε() y () - H ( ) y BF () H gain saique de BO H gain saique de BF H H H Réonses indiielles non uniaires : BO BF H U y BO () U u() Y H ε Y y () y BF () H ε H H H TR. 9
Préision saique d un Sysème Boulé n nombre d inégraeurs (urs) de la BO H( ) H( ) H n n ( ) Enrée de onsigne onsane ( en éhelon) ε () erreur de osiion ε () ε erreur saique de osiion ε Consigne: éhelon d amliude Y y () Y Γ () de TL Y Y ( ) Ex. : réonse indiielle d un SB du nd ordre seudo-osillan y ( ) y() y Y () ε ε lim Y ( ) H( ) ε lim Y H( ) n : ε Y ave : H lim H( ) : Gain saique de la BO n : ε TR.
Enrée de onsigne en rame ε () erreur de viesse ε v () ε erreur saique de viesse ε v Consigne: rame de ene a y () a Γ () de TL Y a Ex. : réonse d un SB du nd ordre seudo-osillan ( ) y () ε v y() ε lim Y ( ) H( ) ε v lim a H( ) n : ε v n : ε v a v ave : v H lim H( ) n : ε v TR.
Enrée de onsigne en arabole ε () erreur d aéléraion ε a () ε erreur saique d aéléraion ε a b Consigne: arabole (aram. b ) y () Γ () de TL Y b Ex. : réonse d un SB du nd ordre non osillan y () ( ) 3 ε a y() ε lim Y ( ) H( ) ε a lim b H( ) n : ε a n : ε a b a ave : a H lim H( ) n 3 : ε a TR.
Résumé y () (les erreurs saiques uniaires s obiennen our Y a ) b n y () Y Γ () y () a Γ b () y () Γ () ε ε v ε a n ε Y ε ε v ε v ε a ε a n ε ε ε v a v ε v ε a ε a ε ε ε v ε a ε v ε a b a H lim H( ) : Gain saique de la BO H lim H( ) H lim H( ) v a TR. 3
Raidié des sysèmes Raidié e sabilié Exemle (lieu des ôles) : 3ème ordre (3 ôles) sous-sysème du er ordre (ôle ) * sous-sysème du nd ordre (ôles e ) Im Re * Sous-sysème du er ordre gouverné ar le ôle : moins sable e moins raide que le sous-sysème du nd ordre régi ar les ôles e *, ar es siué lus rès de l axe imaginaire. Les ôles dominans ( lens) son siués le lus rès de l axe imaginaire TR. 4
Raidié e sabilié dans le lan de Blak Exemle (lieu de Blak) : Module π Phase BO BO lus raide BF lus sable Raidié d un sysème en BO avane de ems avane de hase déalage vers la droie du lieu de la BO dans le lan de Blak sabilié à la BF TR. 5
Performanes dans le domaine fréqueniel Y ( ) - E() H() Y() Y ( ) H'() Y() Fréquene (Plan de Blak de la BO) Tems (réonse indiielle de la BF) y() y ε y( ) H y π.3 r r 3 3 H 3 π H (BO) H rg H H y( ) H y( ) H 3 y y y() y() y ε y ε 3-6 r y y H ( ) H y y H ( ) H y y H ( ) 3 H 3 y H y H y H 3 ε faible ( H élevé) H H 3 max. ε élevée ( H faible) H 8 H max ε nulle ( H 3 ) 6 H 3 H 3 3 max. TR. 6
On dédui le faeur de résonane de la BF assimilée à un nd ordre : H Q max ( H H ) m m H max en : Q m. 37 : Q m. 44 : Q m. 4 ( m < : régime seudo-osillan) (résonane si Q Q > ( m < 7. )) > Pulsaion de résonane e raidié La ulsaion de résonane r du SB ( de la BF) es obenue à la angene de la BO au onour de l abaque de Blak de gain (du fai que l abaque de gain roî de façon onenrique au fur e à mesure qu on s arohe du oin riique) La ulsaion de résonane r du SB radui sa raidié : lus un SB es raide, lus r es élevée. TR. 7
Raels sur la réonse en BO e en BF Réonse indiielle de la BO Réonse indiielle de la BF H faible : y BO () y BO ( ) H y BF ( ) H' y BF ε () H élevé : y BO ( ) H y BO () ( ) H' y BF y BF ε () H infini (résene d inégraeur ur sans la BO) : y BO ( ) H y BO () H ( ) H' y BF ε H H H ε y BF () TR. 8