Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace E-mail: richardchoulet@waadoo.fr Received April 4, 000. Revised December 8, 000 Abstract This paper studies irratioality of values take by the fuctios T q defied by T q z= + =0 z /q +/, ad E q such that + E q z= =0 z / k= qk, where q Q ad q >.. Itroductio et pla Soit q C, q >. O pose 0 q =et q = q q si ; de plus o ote q!=0 q.. q qui est le q-aalogue de!, avec la covetio tout au log de cet article que le produit sur u esemble vide d idice est égal à et que la somme sur u esemble vide d idices est ulle, ce qui est cohéret avec 0 q =. Nous ous itéressos à la foctio de Tschakaloff T q : T q z = + =0 à la foctio E q : E q z = + =0 z k= qk ; z q +/ le véritable q-aalogue de l expoetielle e q vérifie e q z = + =0 z q! = E qq z. La foctio de Tschakaloff T q et la foctio E q sot des foctios etières sur C; pour ces foctios, ous démotreros des résultats portat sur des valeurs prises par celles-ci aux élémets o uls d u corps de ombres K. Plusieurs auteurs se sot itéressés à cette questio; l u des premiers résultats est dû à L. Tschakaloff [9: Théorème T: Soit α Q. O suppose que γ> 3+ 5. Alors T q α est irratioel. Keywords: Irratioality, q-aalog. MSC000: J7. et
Choulet Rappelos la défiitio de γ : Soit q Q tel que q > ; o pose q = a b avec b N, a Z et a et b premiers etre eux. Le réel γ>, est défii, lorsque b, par l a = γ l b; le cas b = sigifie q Z et o pred alors γ =+. Le théorème cité ci-dessus, est étedu par P. Budschuh au cas d u corps quadratique imagiaire [5. D. Duverey [7, [8 démotre esuite que les ombres T q q = + =0 q et T q = e sot pas irratioels quadratiques pour q Z. + q +/ =0 J.P. Bézivi gééralise des résultats précédets das [3. L article est orgaisé de la faço qui suit: La Partie présete l itroductio et le pla. Das la Partie, ous doos des rappels et les otatios utilisées. La Partie 3 doe des résultats d irratioalité relatifs à T q α, E q α pour α K.. Rappels et otatios.. Quelques rappels Soit K u corps de ombres de degré oté d. Pour toute place v de K, o ote K v et Q v, les complétés de K et Q pour la place v et d v =[K v : Q v. Les valeurs absolues sot ormalisées e imposat que la restrictio de v à Q soit la valeur absolue usuelle si v est ue place ifiie et si v est ue place fiie au-dessus du ombre ratioel p, que p v = p. Pour α de K, o a la formule du produit: = w α w d/d w.. Pour ue place v de K et q Q tels que q v,opose µ v = w, q w > d w l q w d v l q v.. Rappelos efi que pour f etière, o ote f R = Max z R fz.
Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 3.. Notatios et pricipe des démostratios Soit K u corps de ombres, v ue place de K et q Q tel que q v >. Nous otos F q la foctio qui suivat le cas est T q ou E q e posat F q z = N a qz ; c est ue foctio etière sur C v. Notre but est de démotrer, sous des hypothèses adéquates, que pour α K, o a F q α / K. Pour cela o raisoe par l absurde; o peut doc trouver λ et µ de K tels que: λf q α+µ =0. O défiit alors la foctio Φ, etière das C v par Φz =λf q αz+µ avec Φ = 0. O défiit égalemet la suite u e posat Φz = N u a qz aisi que la foctio etière ψ et la suite v par: ψz = Φz z = N v a qz. Nous allos établir que la suite v est ue suite récurrete liéaire, e étudiat la suite des détermiats de Kroecker défiie par v 0 v... v v v... v + K =....... v v +... v E effet, o sait que [ page 69, si K est ul à partir d u certai rag, alors v est ue suite récurrete liéaire. Nous motreros alors que le fait que v soit récurrete liéaire permet d aboutir à ue cotradictio. L idée de travailler directemet sur le détermiat K, qui apparaît das [3, est reprise ici et améliorée partiellemet: - améliorée parce qu o peut l utiliser pour d autres foctios que T q ici E q et pour d autres travaux par exemple études de K-idépedace liéaire, - partiellemet puisqu elle se révèle mois fie das le cas T q. 3. Résultats d irratioalité Cette partie propose d examier l irratioalité des images par chacue des foctios evisagées, d u élémet α o ul d u corps de ombres avec des hypothèses e portat que sur l élémet q de Q. 3.. Eocés des résultats Théorème 3. Soit q Q, K u corps de ombres et v ue place de K telle que q v >. Soit d autre part α K. O suppose µ v < 8 ; alors T qα / K.
4 Choulet E particulier, das le cas où K = Q, o obtiet les deux corollaires: Corollaire 3. O suppose q Q et q >. Soit α Q. Lorsque γ> 8 7, alors T qα / Q. Corollaire 3. O suppose q Q et q >. Soit K ue extesio quadratique de Q et α K. Si o a γ> 4 3 alors T qα / K. Ces résultats amélioret ceux de J.P. Bézivi das [3. E effet das le Corollaire 3., la coditio γ> 8 7 est plus fie que γ>8 5.Demême das le Corollaire 3. améliore γ>4. γ> 4 3 D autre part le Corollaire 3. implique que sous les hypothèses idiquées, T q α est pas algébrique de degré d. E particulier ous avos obteu T q q / Q c est-à-dire / Q, q et est pas algébrique de degré d. Le premier résultat cité était cou pour q Z. Efi ue questio ouverte aturelle est de savoir si ces résultats demeuret vrais sous la coditio γ>. Nous doos maiteat les résultats relatifs à la foctio E q ou ce qui reviet au même à e q. E raiso du produit ifii défiissat E q, qui est: E q z = + p= + z q p et qui proviet de la relatio foctioelle E q qz = + ze q z, il y a ue restrictio aturelle sur les valeurs de α. Théorème 3. Soit q Q, K u corps de ombres, v ue place de K telle que q v >. O suppose que α K,α/ q N et que µ v < ; alors E q α / K. Das le cas particulier K = Q et e preat pour place v la place ifiie de Q, o obtiet le résultat suivat: Corollaire 3.3 Soit q Q, q >, α Q et α/ q N. Lorsque γ>, alors E q α / Q. Ce corollaire améliore u peu le résultat cité par P. Budschuh das [6 page 8 qui obteait alors γ> 7 3. Là ecore ue questio aturelle ouverte est de savoir si les résultats demeuret vrais si γ>.
Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 5 3.. Lemmes techiques Das ces lemmes, o a cosidéré ue place v de Q. Lemme 3. Soiet q Q q v, m N, N, δ>0, γ>0 et ω = If q v, q v. Soiet θ ue foctio etière telle que pour tout R>>, l θ v R δ l R l + Ol R, 3. ω et g ue foctio etière vérifiat pour tout R>> g v R γr m g v Rω+γR θ v R, 3. alors l g v R Maxm, δ l l R + Ol R. 3.3 ω Démostratio. Par récurrece immédiate das 3. o a, pour tout N : g v R γ N R Nm ω NN m/ g v Rω N l R l ω N + γ γ k R +km ω k+kk m/ θ v Rω k. O pred R assez grad et o choisit de predre N tel que Rω N <Rω N, i.e. N< l R +. Ceci motre que la foctio R g l v Rω N est borée; d autre ω part la foctio x R mx ω mxx / est maximale e x 0 = l R + l. Il e résulte ω que ce premier terme a so logarithme boré par m l R l ω de la somme qui utilise N cette somme, où N = l R l ω + Ol R. Le deuxième terme est majoré par N multiplié par le plus grad terme de + O. E utilisat la foctio défiie sur [0, N par [ xx x + mxlr + x + m l ω + δ l l R + x l ω + x l γ, ω qui correspod au logarithme épérie du terme gééral o obtiet que le deuxième terme de la somme a so logarithme épérie iférieur à δ l R + Ol R. Le résultat l ω 3.3 e découle alors. Lemme 3. Soiet a C, b C,l N,α,..., α l des complexes o uls. O défiit la foctio θ par le produit ifii: θz = k 0 l { zω k aω k z } +. 3.4 α i b i=
6 Choulet Pour l =0, o coviet que: θz = k 0 + aωk z b. La foctio θ est ue foctio etière et o a pour R>>: l θ v R l + ɛ a l l R + Ol R 3.5 ω où l o a posé ɛ x =0ou selo que x est ul ou pas. Démostratio. Comme 0 < ω <, o voit facilemet que θ est ue foctio etière; o a clairemet la relatio θωz = θz a + b z l i= z α i d où résulte l existece d ue costate γ>0 telle que pour R>> o ait: θ v R γr l+ɛ a θ v ωr. Nous sommes ici das u cas particulier du Lemme 3. pour lequel g est remplacée par θ, θ par0etm = l + ɛ a, d où 3.5. Lemme 3.3 Soiet a, b, c, des ombres complexes tels que bc 0,q Q et Q ue foctio ratioelle régulière e 0, dot ous otos les pôles α,..., α l. O pose Q = P P. Si Q est ue foctio polyôme, o pred l =0et o supprime les termes das les produits ifiis qui suivet. Soit ψ ue foctio méromorphe das tout C sas pôle à l origie, vérifiat l équatio foctioelle: Nous avos les résultats az + b ψz =cz ψqz+qz. 3.6 i pour q v < et a 0, les pôles de ψ sot das l esemble { α i q k,k 0, i=,..., l, b aq h,h 0 } ; pour a =0, ils sot das { α i α i b aq k,k 0, i=,..., l }. Supposos q k pour tout k Z. Soit la foctio etière θ défiie par le produit ifii: θz = i, k + aqk z b alors la foctio g = ψθ est etière et vérifie l estimatio: qk z α i, 3.7 l g v R l + l q v l R + Ol R; 3.8
Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 7 ii pour q v >, les pôles de ψ sot das l esemble {α i q k+,k 0, i=,..., l}. Soit θ la foctio etière défiie par le produit ifii: θz = i, k z α i q k+. 3.9 Alors la foctio g = ψθ est ue foctio etière qui vérifie l estimatio: l g v R l l q v l R + Ol R. 3.0 Démostratio. Cosidéros tout d abord q v <. Par récurrece das 3.6 o obtiet aisémet pour tout N 0: soit ecore N ψz aq k z + b = ψq N N+ z cq k z + N Qq k z k cq m z m= N a b N+ ψz b qk z + =cz N+ q NN+/ ψq N+ z + N m=k+ N Qq k zb N k cz k q kk / aq m z + b 3. N m=k+ a b qm z +. La covergece des produits ifiis et le fait que ψ soit borée au voisiage de zéro doe: ψz a b qk z + = b cz kq Qq k kk / z b m=k+ a b qm z +. Les pôles de ψ sot doc des α i avec k 0eti {,,..., l} qui provieet de q k Qq k z et des b où k 0 das le cas où a est pas ul; lorsque a est ul, seule la aq k première famille iterviet. La foctio g = θ ψ est etière et vérifie: az + b gz θz gqz = cz θz + az b l i= z α i + Qz soit ecore gz = b cz l i= z α i gqz+ θzqz az + b.
8 Choulet O déduit qu existe γ > 0 tel que pour tout R assez grad, o ait avec = Max 0, d P d P ɛ a : Le Lemme 3. appliqué à g doe g v R γr l+ g v R q v +γr θ v R. l g v R Maxl + ɛ a,l+ l l R + Ol R, ω d où lerésultat aocé 3.8. Examios maiteat le cas q v >. Remplaçat z par 3., o obtiet soit ecore ψz N c q k+ z = ψ z N q N+ N cz N+ q ψz = ψ z N N+N+/ q N+ N z Q q k+ z Q q k+ a q k+ z + b N m=k+ a q k+ z + b c q m+ z cz N k z q N+ k m= das la relatio a q m z + b k q N+N+/ k+k+/ m= a q m z + b. Les pôles de ψ sot doc des α i q k+ pour k 0. O défiit alors θ par 3.9. La foctio etière θ satisfait le Lemme 3. de sorte que: l θ v R l l q v l R + Ol R. Cosidéros g = θ ψ; la foctio g est etière et vérifie: c z gz q θz = a z g z q + b q z θ z Q q q ou ecore c z q gz = a z l q + b z z z g θzq. qα i q q i= Doc existe γ>0 tel que pour R>>0, o ait avec m = Max 0, d P d P : g v R γr l+ɛ a g v R q v + γr m θ v R.
Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 9 Le Lemme 3. appliqué à g doe c est-à-dire la formule 3.0. l g v R Maxl, l + ɛ a l l R + Ol R ω Lemme 3.4 Soit fz = N w z ue série etière de rayo de covergece R 0. O suppose que f = φ φ avec: i φ est ue foctio etière pour laquelle existe δ>0 : l φ v R δ l R + Ol R, pour tout R>>; ii φ est défii par φ z = = z a avec la suite a v N croissate et vérifiat l a v = β+ β où β>0 et β N est borée. O cosidère la suite des détermiats de Kroecker K costruite sur la suite w cofer.. Alors pour βδ 3 4,oa pour 3 4 <βδ 3, viet [ δβ 3β K v exp 3 + O 6 3. [ 4δβ 9β K v exp 3 + O 4 3.3 pour 3 <βδ,oa [ K v exp 3 6δ 3 + O. 3.4 Démostratio. Pour m 0, soit la foctio f m telle que: f m z = m k= z fz = + a m m b h,m z h fz. h= f m a pour pôles les a h où h m +;f m z s écrit aussi f m z = φ z + k=m+ z a k = + m b h,m z h h= k 0 w k z k = h 0 w m,h z h, où w m, = mim, h=0 b h,m w h. Il est commode pour alléger les otatios d itroduire l opérateur L m de C N vers lui-même défii par: L m w N = wm, N. Par abus de lagage, ce qu o devrait oter L m w N sera écrit L m w.
0 Choulet Nous avos défii L m w comme état le coefficiet de z das le développemet de f m z dot les pôles sot les a h avec h m +. Preos R< a m+ v. Das D0,R, f m a pas de pôle et est holomorphe, doc d après l iégalité de Cauchy: L m w v f m v R R. Examios la majoratio de L m w v ;de f m z = + k=m+ φ z z a k viet d où Or pour z v = R, f m v R = Max z v =R f m v R Mi z v =R φ z v z v a k m+ φ v R k m+ z. v a + k=m+ z a k v + k=m+ z v a k v + k=m+ R. expβk + β k La suite β état borée existe u réel c strictemet positif tel que pour tout o ait c β c doc + k=m+ z a k v + k=m+ R = expβk c h R expβm + h c ou ecore + k=m+ z v a k h R expβm c. expβh R Il est loisible d imposer expβm c exp β c est-à-dire de predre R expβm+ c ; la seule chose qu o doive assurer est que R< a m+ v. Or R R = a m+ v expβm ++β m+ expβm + c expβm ++β m+ = exp c β m+ <. R état aisi choisi, le déomiateur de f m v R est doc mioré par h exp β expβh qui est u réel strictemet positif idépedat de m et de R. Il est aisi prouvé qu existe u réel c > 0 tel que f m v R c φ v R. Soit alors u réel c 3 vérifiat c 3 c +l β. Preos R = expβm c 3 ; o a bie R expβm c exp c 3 exp c expβ l = eβ.
Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières D autre part φ vérifiat i, existe u réel c 4 tel que: Reveos alors à L m w v : L m w v f m v R R l φ v R δl R + c 4 l R. c φ v R R exp { δβm c 3 βm c 3 +c 4 βm c 3 +lc } Lm w v exp { δβ m βm + c 3 + βmc 4 δc 3 +δc 3 c 3 c 4 +lc }. Pour m, il existe c 5 > 0 telle que: Aisi, pour m : c 3 + βmc 4 δc 3 +δc 3 c 3 c 4 +lc c 5. L m w v expδβ m βm + c 5. 3.5 O choisit pour chaque etier k {0,,,..., } u etier m k k. Or ous avos e faisat des combiaisos liéaires sur les coloes du détermiat K : Doc: w 0 L m w... L m w w L m w... L m w + K =....... w L m w +... L m w K v σ S + L mσi w i+σi v où S + désige l esemble des permutatios de {0,,,..., }. Ue première idée cosiste à se doer le réel θ, 0 < θ etθ < 3 βδ ; cosidéros la suite [θk k N et preos m k =[θk. O a bie m k k. Comme m k = θk + γ k où <γ k 0, o obtiet: L mσi w i+σi v exp {δβ θσi+γ σi } β i + σi θσi+γσi + c5 i + σi [ L mσi w i+σi v exp δβ θ βθ i βθ iσi+o. Le miimum de U σ = iσi pour σ de S + est obteu avec la bijectio σ telle que σ i = i. E effet il suffit de démotrer que le miimum est obteu pour ue
Choulet permutatio strictemet décroissate. Soit 0 i 0 <j 0,etσ réalisat le miimum. Soit alors σ qui vérifie σi =σ i pour tout i qui est i i 0 i j 0, σi 0 =σ j 0 et σj 0 =σ i 0. Écrivat que U σ U σ, o obtiet i 0 j 0 σ j 0 σ i 0 0cequi a pour coséquece que: σ j 0 <σ i 0 et aisi σ est strictemet décroissate et le résultat aocé a lieu. Le miimum cosidéré est doc Il e résulte que { δβ θ 3βθ K v exp 6 } 3 + O. i i = 3 6 + O. δβ θ 3βθ état miimal pour θ = 3 3 4βδ, qui est bie strictemet iférieur à βδ et que l o souhaite iférieur à, o obtiet doc les deux situatios qui suivet. Lorsque βδ 3 4 pour θ = 3 4βδ viet [ K v exp 3 6δ 3 + O et lorsque βδ < 3 4 pour θ = viet [ δβ 3β K v exp 3 + O. 6 La deuxième idée cosiste, e partat de 3.5: L m w v exp { δβ m βm + c 5 }. à majorer δβ m σi i + σi βm σi + c 5 i + σi idépedammet de σ S + avec, pour tout i, m i i. Cela reviet à maximiser δβ m i i + σiβm i = βsσ puisque la somme restate est c 5 + doc u O. Choisissos m i = i pour 0 i [ et mi = [ [ pour <i. O obtiet: [ { S σ = βδi i iσi } { + βδ [ [ } i + σi [ i= S σ =βδ 3 4 + βδ3 8 33 6 S σ = 8δβ 3 + O R σ 48 + [ iσi [ i= [ + σi+o
Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 3 où R σ = { [ iσi+[ [ i= + σi}. Soit σ 0 S + telle que R σ R σ0 pour tout σ S +. Cosidéros i 0 <j 0 [ et σ défiie par σk =σ0 k pour k distict de i 0 et j 0,etσi 0 =σ 0 j 0 aisi que σj 0 =σ 0 i 0. La coditio R σ R σ0 s écrit i 0 σ 0 j 0 +j 0 σ 0 i 0 i 0 σ 0 i 0 +j 0 σ 0 j 0 de sorte que σ 0 i 0 >σ 0 j 0. Maiteat, supposos que j 0 > [ >i0.lamême méthode doe: i 0 σ 0 j 0 + [ σ0 i 0 i 0 σ 0 i 0 + [ σ0 j 0 soit ecore σ 0 i 0 >σ 0 j 0. Il résulte doc que tous les élémets de l image par σ 0 de [ [ +, sot strictemet iférieures aux images par σ 0 de celles de [0, [. Or σ0 est décroissate sur [0, [ doc la restrictio de σ0 à[0, [ est défiie par σ0 i = i et sa restrictio à[ [ [ +, est ue bijectio vers [0,. Il e résulte d ailleurs que [ + σ 0i = 8 + O. De ce qui précède ous déduisos doc que: i= [ R σ i i+ 3 6 + O R σ 7 48 3 + O. La somme S σ vérifie doc aisi: { 8βδ S σ 7 } 3 + O 48 48 S σ 4βδ 9 3 + O. 4 La comparaiso des réels β4βδ 9 4 et 3 6δ permet de coclure comme cela a été aocé. 3.3. Démostratios des théorèmes Pour démotrer ces résultats, ous allos d abord établir des lemmes qui vot faciliter l expositio. O s itéresse ici à ue valeur absolue q v qu o ote pour simplifier q pour laquelle q >. O repred toutes les otatios itroduites das le.. Par ailleurs o rappelle que Φz =λf q αz+µ = 0 a qu z avec F q z = 0 a qz et u 0 = λ + µ, u = λα. Lemme 3.5 Pour tout R>>, l Φ R l R + Ol R. 3.6 l q
4 Choulet Démostratio. Il est commode d itroduire φ telle que φz = c qz 0 où, suivat les cas cités: c q = q +/, c q = Cette foctio satisfait respectivemet à: k= q k. φ q z =+zφz 3.7 φ q z =+zφz. 3.8 L applicatio du Lemme 3. à φ e remarquat que 3.7 et 3.8 coduiset à ue même iégalité: R φ R R φ q qui doe La remarque l φ R l R + Ol R. l q Φ R c u R µ + λ φ α R 0 fourit alors 3.6. O rappelle tout d abord que ous avios posé Φz = 0 a qu z, ψz = Φz z = a qv z, 0 Φz = 0 u z, ψz = 0 v z et pour ce qui cocere cette étude, e fait Φz =µ + λ αz. ψ est etière puisque Φ l est et Φ = 0. Lemme 3.6 La foctio ψ a u rayo de covergece o ul et est méromorphe das C. Démostratio. Pour R>> il est clair que ψr Φ R R l ψ R l R + Ol R. l q doc, d après le Lemme 3.5: Pour établir que le rayo de covergece est o ul, o utilise l iégalité de Cauchy à l ordre et la majoratio du Lemme avec R = q. Le rayo de covergece de
Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 5 0 v z état o ul, so rayo de méromorphie M est doc o ul; prouvos que M =+. A cet effet ous allos d abord établir le lie foctioel etre Φ et ψ. Das le cas de la foctio de Tschakaloff, v 0 = u 0 et pour tout 0 v + = q + v + u + d où: ψz =qz ψqz+ Φz, 3.9 puis z ψ = z q ψz+ Φ z. 3.0 q Das le cas de la foctio q-expoetielle,v 0 = u 0 et pour tout 0 v + = q + v + u + d où: + z ψz =qz ψqz+ Φz, 3. puis + z z ψ = z q q ψz+ Φ z. 3. q Das chacu des cas ci-dessus Φz =µ + λ αz. Si M était fii, o aurait ue cotradictio car le rayo de méromorphie de Φ est ifii et celui de ψ z q est strictemet plus grad que M puisque q >. Lemme 3.7 Les pôles de ψ sot des α q où 0 et ψ est le quotiet g θ de deux foctios etières telles que θz = k 0 α z et l g R δ l R + Ol R où δ>0 q k pour R>>. Démostratio. Le Lemme 3.3 appliqué avec a =0,b =,c = q, l =etα = α pour T q et a =,b =,c = q, l =etα = α pour E q fourit le même résultat: δ = l q. Démostratio des théorèmes Nous allos détailler la démostratio das le cas de la foctio T q et sigaler les poits à modifier pour E q ; ous utilisos ue méthode développée par J.P. Bézivi das [3. Pour cela, supposat que K 0, o va former le logarithme épérie de w K w d w /d et e particulier examier le coefficiet de 3 das u développemet asymptotique de cette quatité. Sous les coditios du théorème, ce coefficiet état strictemet égatif, viet doc lim + l w K w d w /d = ce qui cotredit.. La suite v est doc ue suite récurrete liéaire et la démostratio s achève de maière assez similaire à celle de J.P. Bézivi. Faisos le bila de ce qui est acquis.
6 Choulet Pour ue place v telle que q v >, ous avos obteu, à l aide du Lemme 3.4 pour la foctio T q les résultats: δ = l q v et β =l q v qui fourisset { K v exp } 3 l q v 3 + O. Ce résultat est mois bo que celui obteu à l aide d ue méthode particulière par J.P. Bézivi Lemme.3 de [3 sous la forme que ous adoptos das tout ce qui suit { K v exp } l q v 3 + O. Soit ue place w v telle que q w >, oté ecore pour ce qui suit q >. O a l expressio de v à l aide des u k suivate: v = a q u k a k q 3.3 avec la valeur a k q = q. Il existe doc ue costate M kk+/ w idépedate de pour laquelle o a immédiatemet: v M w q +/. 3.4 O déduit e reveat aux otatios iitiales que: K w exp 3 3 l q w +O. 3.5 Avec ue place w telle que q w =, o obtiet K w = exp { O }. 3.6 Reste la situatio d ue place w pour laquelle q w <. Évidemmet T q est pas défiie mais la défiitio des suites u, v etk par les récurreces utilisées à plusieurs reprises reste valable et ψ et Φ sot défiies. Remarquos d abord que 0 u z ayat u rayo de covergece o ul, il e est de même pour 0 v z puisque, à partir d u certai rag 0 : v w c v w + u w où c > 0 est fixé. Ceci permet par récurrece de motrer qu à partir d u certai rag: v w c c 3. 0 v z a doc u rayo de méromorphie M o ul; d après 3.9 et 3. M e saurait être das R + doc M =+. Ceci permet d après le Lemme 3.3 de trouver
Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 7 aisi pour T q : δ =. Le calcul du β du Lemme 3.4 e pose pas de problème l q w puisque a = q α pour lequel l a w = l q w +l α doc β =l q w. Appliquos le Lemme 3.4 à la foctio étudiée. Avec δ = l q doe: { K exp 5 4 3 l } q + O. et β =l q cela Supposos K 0. O a alors = w K d w/d. Preos le logarithme épérie: 0= d [ d v l K v + w, q w >, w v + w, q w < d w l K w d w l K w + w, q w = doc compte teu des majoratios obteues précédemmet, o a: 0 d [ ad v l q v + b + c w, q w >, w v w, q w < Ici o a : a =, b = 3 et c = 5 4. Comme q dw/d = w d w l q w d w l K w d w l q w 3 + O. 3.7 o obtiet: d w l q w = d w l q w w, q w < w, q w > doc le coefficiet de d 3 das l iégalité ci-dessus s écrit: { } τ = ad v l q v + b d w l q w d v l q v { + c w, q w > w, q w > d w l q w } τ =a bd v l q v +b c w, q w > d w l q w. Sous la coditio τ<0, il est doc clair que le coefficiet de 3 est strictemet égatif et que l o obtiet ue cotradictio pour assez grad; ceci prouve que K =0à partir d u certai rag. La suite v 0 est doc ue suite récurrete liéaire: o peut doc écrire v = s i= P iɛ i,où les ɛ i sot des élémets disticts et o uls
8 Choulet de C, ragés par module croissat, et les P i des polyômes o uls. De la relatio v + = q + v + u +,odéduit doc s i= P i +ɛ + i = s qp i qɛ i + λα +. i= O peut supposer que ɛ s est e module l u des plus grads ɛ i. Par suite, qɛ s est de module strictemet supérieur à ceux des ɛ i. Das la situatio où λ =0, l impossibilité d ue telle égalité est immédiate. Lorsque λ 0, il est impossible que le terme qɛ s apparaisse avec u coefficiet o ul das le membre de droite de l égalité précédete; e effet ɛ s est e module l u des plus grads ɛ i doc qɛ s est de module strictemet supérieur à ceux des ɛ i. Aisi qɛ s état distict des qɛ i pour i s, o déduit que qɛ s = α et que qp s +λα =0. L égalité s écrit alors: s s P i +ɛ + i = qp i qɛ i. i= Ceci est impossible, puisqu il y a das les deux membres u ombre différet de termes de la forme P ɛ, et que la décompositio d ue suite récurrete liéaire comme somme de tels termes avec les ɛ disticts, est uique; cette cotradictio achève doc la démostratio. Cette étude achève la démostratio du Théorèmes 3.; reste doc les corollaires qui s obtieet aisémet d après les remarques qui vot suivre. Reveos [ sur ue coditio suffisate pour avoir τ < 0. Comme: τ = d v l q v a b+b cµv avec a b<0etb c>0, ue coditio suffisate est i= µ v < b a b c. 3.8 Nous obteos ici: µ v < 8. E ce qui cocere les Corollaires 3. et 3., il suffit de remarquer que, lorsque K = Q, α Q et q >, o a d v =et q v = q. D autre part, preat q = q q avec q,q =, les places w distictes de v pour lesquelles q w > sot défiies par les valeurs absolues p-adiques où p premier divise q de sorte que d w =et w v, q w > Aisi, das ce cas: d w l q w = p premier, p divise q l q p =l q. µ v = d v l q v + w v, q w > d w l q w d v l q v = γ γ. La coditio 3.8 est doc équivalete à γ γ < 8 soit γ> 8 7.
Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 9 E ce cocere le Corollaire 3., c est le résultat: pour q Q et q > oa µ v γ γ γ voir [3 page 4, qui permet d écrire que la coditio γ < 8 équivaut à γ> 4 3. E ce qui cocere E q, pour ue place v telle que q v > ous avos les résultats δ = l q v et β =l q v qui fourisset { K v exp } 3 l q v 3 + O. Pour ue place w v la relatio 3.3 avec a k q = aisi que u k 0 = λ + µ, p= qp u = λα doe v q +/ k= + u k q k q kk+/ k. p= q p Ceci assure la même coclusio 3. d après la covergece des séries et produit ifii qui apparaisset. Aisi δ =. L iégalité 3.5 e résulte. l q w Avec ue place w telle que q w =, o obtiet ecore l estimatio 3.6. Pour ue place w telle que q w <, o trouve δ = l q w relatio 3.7 deveat θz = k 0 αq k z +q k z pour le Lemme 3.3. La où α 0, doit être écrite sous la forme z a avec a croissate pour appliquer le Lemme 3.4. O doit distiguer α w =ou o, et das chaque cas, o obtiet β = l q w. Résultet alors: { K w exp } 6 3 l + O q w puis 3.7 avec a = 3, b = 3 et c = 6. Le raisoemet se termie comme pour T q avec la restrictio α/ q N qui apparaît. Le corollaire résulte alors de l applicatio umérique de 3.8. Remerciemets. L auteur remercie vivemet le Referee pour la lecture attetive de so article.
0 Choulet Bibliographie. Y. Amice, Les ombres p-adiques, Collectio SUP: Le Mathématicie, No. 4, Presses Uiversitaires de Frace, Paris, 975.. J.P. Bézivi, Idépedace liéaire des valeurs des solutios trascedates de certaies équatios foctioelles, Mauscripta Math. 6 988, 03 9. 3. J.P. Bézivi, Sur les propriétés arithmétiques d ue foctio etière, Math. Nachr. 90 998, 3 4. 4. P. Budschuh, Quelques résultats arithmétiques sur les foctios Thêta de Jacobi, Publicatios mathématiques, Paris VI, Problèmes Diophaties 64 983 984, 5. 5. P. Budschuh, Verschärfug eies arithmetisches Satzes vo Tschakaloff, Portugal. Math. 33 974, 7. 6. P. Budschuh, Ei Satz über gaze Fuktioe ud Irratioalitätsaussage, Ivet. Math. 9 969/970, 75 84. 7. D. Duverey, Propriétés arithmétiques d ue série liée aux foctios Thêta, Acta Arith. 64 993, 75 87. 8. D. Duverey, Sommes de deux carrés et irratioalité de valeurs de foxtios Thêta, C.R. Acad. Sci. Sér. I Math. 30 995, 04 044. 9. L. Tschakaloff, Arithmetische Eigeschafte des uedliche Reihe + =0 a +/ x,i,math. A. 80 9, 6 74; II, Math. A. 84 9, 00 4.