Leço 9 Les suites réelles C est ue leço importate qui se prologera e termiale et souvet, il y a u exercice à faire au BAC sur les suites. Il est très importat de bie compredre au début les otatios., 5,8 0,,8? 6 8 5?? Das la première suite, ous avos ue croissace régulière : o ajoute,5 à chaque terme pour obteir le suivat. O dit que la suite est ue suite arithmétique de premier terme, et de raiso,5. Il faut doer u om à cette suite, soit (u ) N par exemple alors o peut écrire : u 0, ; u 5,8 ; u 0, ; u,8 et ous pouvos calculer le terme suivat u 5 9, (,8 +,5). u s appelle le terme de rag mais attetio, c est e fait, le + ième terme car ous commeços à u 0. Das la deuxième suite, ous avos ue croissace irrégulière mais chaque terme est obteu e multipliat le précédet par. O dit que la suite est géométrique de premier terme et de raiso. O dit aussi, que l o a ue croissace expoetielle. Appelos la (v ) N *, e effet, ous pouvos décider de commecer par l idice au lieu de commecer à l idice 0 : v ; v 6 ; v 8 etc. Nous pouvos aussi trouver le terme suivat 5, v 5 6 (5 ). La derière suite est i ue suite arithmétique, i ue suite géométrique mais elle est très célèbre, elle fut étudiée e Italie à la Reaissace, c est ue suite de Fiboacci. Nous remarquos ue loi de formatio particulière, chaque terme est la somme des deux précédets, si ous l appelos (w ) N, alors : w 0, w et ous pouvos écrire w + w + + w pour tout N. Il existe toute sorte de suites, elles décrivet des phéomèes discrets par oppositio aux foctios qui motret des phéomèes souvet cotius. Ue suite peut être par exemple ue suite de mesures effectuées par u scietifique ou bie u relevé périodique d u compte bacaire etc. J ai doé ici pour commecer trois exemples de suites croissates, évidemmet, il existe des suites décroissates : (x ) N *, x, puis puis etc. Il y a deux grads modèles de suites, les suites arithmétiques et les suites géométriques mais la plupart des suites que l o recotre autour de ous sot des suites quelcoques.
Il y a deux faços de décrire ue suite : O peut doer ue relatio e foctio de, e effet ue suite est ue applicatio de N ou d ue partie de N das R. O peut doer ue relatio de récurrece. Exemple : u, +,5 N ou bie u 0, Exemple : v () N * ou bie v u + u +,5 N v + v N * Exemple : La formule directe a été beaucoup plus difficile à trouver, elle fait iterveir le ombre d or. w 5 + 5 5 + 5 5 5 + N et oui! ou bie par récurrece, w + w + + w N (plus simple). + 5 Le ombre d or est ϕ. Exemple : x N * ou bie x x x + N *. x + Le cetre de cette leço est le raisoemet par récurrece. C est u raisoemet qui se déroule e trois parties : Premièremet, o vérifie pour les premières valeurs de la propriété que l o veut démotrer, puis o admet cette propriété au rag et il faut la démotrer au rag + (O dit que la propriété est alors héréditaire), efi, o fait la sythèse des deux premières parties e disat, la propriété est vraie aux premiers rags, elle est héréditaire doc elle est toujours vraie pour tout N ou apparteat à ue partie de N. Faisos u exemple. Démotrer par récurrece que : + + +..+ a) (), vraie. + () 9, 9 vraie. ( + ) N * + + () 9 6 + 8 + 7 6, 6 vraie.
b) Hypothèse de récurrece, o admet que : (H) + + +..+ ( + ) Démotros la formule au rag suivat :, Nous allos utiliser (H) l hypothèse de récurrece. + + +..+ + (+) [ + + +..+ ] + (+) ( + ) + (+) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ( + ) ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( + ) ceci motre bie la même formule au rag + c est-à-dire e remplaçat par +. c) La formule état vraie au début pour les premières valeurs de et héréditaire, o peut dire qu elle est vraie pour tout N *. Pour les suites arithmétiques et géométriques, il y a quatre formules à bie coaître. Suites arithmétiques Théorème Soit ue suite arithmétique (u ) N alors : u u 0 + r, r R (r est la raiso de la suite). Remarques a) La défiitio géérale par récurrece s écrira u + état u réel cou ( N). u + r avec u 0 le premier terme b) Attetio, si la suite commece à u, c est-à-dire si N *, alors la formule chage, elle deviet u u + ( ) r. Théorème La somme des termes d ue suite arithmétique de premier terme u 0 et de raiso r sera doée par la formule suivate : i S i 0 u u 0 + u +..+ u i ( + )( u0 + u ) O remarquera que + idique qu il y a + termes das la somme et évidemmet selo l esemble pris pour les idices, N * ou 0, 0 u etier quelcoque, la formule chage. Suites géométriques Théorème Soit ue suite géométrique (u ) N alors : u de la suite). u 0 ( q ), q R (q est appelé aussi la raiso Remarques
a) La défiitio géérale par récurrece s écrira u + état u réel cou ( N). q u avec u 0 le premier terme b) Attetio, si la suite commece à u, c est-à-dire si N *, alors la formule chage, elle deviet u u (q). Théorème La somme des termes d ue suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q sera doée par la formule suivate : i S + q u i u 0 + u +..+ u u0 si q i 0 q S (+)u 0 si q Ici aussi, + idique le ombre de termes de la somme et la formule est à adaptée selo l idice de départ. Efi, ous chercheros das les exercices, le ses de variatios ou les limites de u ou de la somme S quad ted vers +. Passos à la derière fiche.
Lycée Elève : Classe : Fiche Leço 9 Les suites Première ES Exercice Soit la suite (u ) N défiie par u 0 0 et u + Démotrer par récurrece que u + N. u pour tout N. Exercice Soit ue suite (v ) N défiie par v + 5. Démotrer que cette suite est arithmétique. Doer so ses de variatios. Doer lim v quad ted vers +. Doer S e foctio de puis sa limite quad ted vers +. Exercice Soit (w ) N *, défiie par w. Démotrer que cette suite est géométrique. Même questio que das l exercice. Doer ue représetatio e escalier ou colimaço de cette suite. Exercice Existe-t-il ue suite arithmétique (u ) N telle que u 5 et S 5 0? Exercice 5 Existe-t-il ue suite géométrique (u ) N telle que u 5 6 et u 7? Exercice 6 Ue persoe dépose à la baque ue somme de 000. Chaque semaie, elle dépese 0 % de cette somme mais e fi de semaie, elle reverse 0 sur so compte. O appelle (u ) N, la suite des réels doat le motat de so compte à la fi de chaque semaie. O pose doc u 0 000. a) Calculer u, u puis doer u + e foctio de u. b) Cette suite est-elle arithmétique? géométrique? c) O pose v u 600, N. Démotrer que cette suite est géométrique. E déduire v e foctio de puis u e foctio de. d) Doer alors u 0 puis la limite de u quad ted +.
Exercice 7 Ue balle est lacée vers le sol d ue hauteur de m et rebodit chaque fois au de la hauteur atteite. O appelle h la hauteur e cm au ième rebod. O posera doc h 0 00. a) Doer h, h et h e cm. b) Caractériser la suite (h ) puis doer h e foctio de e cm. c) La balle a u diamètre de 5cm, o cosidère qu elle arrête de rebodir pour roule lorsque la hauteur du rebod est iférieure à 5cm. Détermier le ombre de rebods effectués par cette balle. Exercice d approfodissemet Exercice Calculer + + 5 6 etc. E distiguat le cas où le derier ombre est pair et celui ou le derier ombre sera impair. Exercice O cosidère ue suite arithmétique (U ) N de premier terme et de raiso. O défiit ue suite ( v ) N telle que : v ( ) U Quelle est la ature de la suite (v )? Caractériser ces deux suites. Ces deux suites sot-elles covergetes? Exercice Soit x,87878787. Motrer que ce réel peut s écrire x + L où L est la limite quad ted vers + de S, S état la somme des + termes d ue suite géométrique de premier terme 0,87 et de raiso q que l o détermiera. Doer alors S e foctio de puis chercher sa limite quad ted vers +. Motrer que ceci doe ue ouvelle écriture de x.
Correctio Exercice u 0 0 et u + u pour tout N. Attetio, o e sait pas si u pourra predre la valeur ce qui poserait u problème de calcul, mais supposos pour l istat que u est différet de pour tout etier. Nous voulos motrer par récurrece que u a) Vérifios pour les premiers rags + N. 0 0, o a u 0 0 et la formule doe 0 doc vraie. 0 +, o a u et la formule doe. u0 0 +, o a u u et la formule doe. b) Supposos que u + au rag et calculos u + : + u + u + + + + Nous avos la même formule au rag + que celle du rag. c) Sythèse : la formule état vraie pour les premières valeurs et héréditaire, o peut dire qu elle est vraie pour tout ombre etier. O peut regarder maiteat la coditio de calcul apparue au départ et costater que pour tout N, o a u. O peut aussi doer la limite de u quad ted vers + : lim u lim (Rapport des termes de plus haut degré) + + + Exercice Calculos les premiers termes. C est à faire à chaque exercice pour observer ce qui se passe. v 0 (0) + 5 5 ; v () + 5 6, 5 ; v () + 5 8. O peut alors démotrer que la suite est arithmétique e effet : N v + v ( + ) + 5 + 5 r.
La raiso de la suite est et so premier terme est 5. Théorème Pour étudier le ses de variatios d ue suite (u ) N, o étudie le sige de v + v. (E fait il s agit du taux d accroissemet v + v ( + ) v v + ). Si v + v > 0, pour tout, la suite est strictemet croissate. Si v + v < 0, pour tout, la suite est strictemet décroissate. Si v + v 0, pour tout, la suite est costate. Das le cas des suites arithmétiques, c est très simple, le ses de variatios déped de la raiso r. Ici r > 0 doc la suite (v ) est strictemet croissate. lim v lim + 5 +. Cette suite est divergete. + + Nous pouvos remarquer que la foctio associée à la formule directe de la suite est ue foctio affie (f(x) x + 5 ). Les poits de la représetatio graphique serot doc aligés. Calculos maiteat S S ( + ) 5 + ( + )(v 0 + v ) + 5 ( + ) 0 + S ( + ) 5 + N. Vérifios cette formule avec la somme des trois premiers termes. v 0 + v + v 5 + 6,5 + 8 9,5 S ( + ) 5 + () 6, 5 9,5. lim S lim + Exercice w avec N *. Ici aussi, calculos les trois premiers termes. w (le premier terme); w 0 ; w 8 ; etc. 9
Les choses s éclairet, il faut démotrer que la suite est géométrique de raiso q et de premier terme. O peut faire w w + car o sait que pour tout de N *, w 0. w w + + +. Nous obteos ue autre faço d écrire w, w w (q). Ses de variatios w + w Cette quatité est égative pour tout de N *. La suite est doc strictemet décroissate. Théorème Si q <, alors lim q 0 quad ted vers + Si q >, alors q ted alors vers + ou a pas de limite. Ici lim 0. La suite est covergete vers 0. + Calculos S qui comporte ici termes car ous avos commecé à w. S q q w 6 6 +. Vous pouvez vérifier avec S w + w comme précédemmet. Das ce cas là, la limite de la somme S sera 6 quad ted vers +. Si ous représetos das u repère classique, les poits e serot pas aligés mais, o peut faire u autre type de représetatio e utilisat la relatio de récurrece w w +. Pour cela, o utilise u repère orthoormal, et o trace y x aisi que la droite d équatio y x.
y y x w y (/)x 0 Etc w w x Le pricipe est simple, sur les deux axes, ous auros les termes de la suite. Nous commeços sur l axe horizotal e plaçat w 0 puis, e allat sur la droite y x, ous faisos agir la relatio de récurrece et ous obteos doc sur l axe vertical w. La droite d équatio y x permet de reporter sur l axe horizotal le terme u puis ous recommeços le procédé. Ce graphique motre bie que la limite de la suite est 0. Exercice Nous avos e fait u système à résoudre. Nous cherchos ue suite arithmétique de premier terme u 0 et de raiso r telle que : u 5 u 0 + 5r S 5 0 u 0 + 5r 6u 0 + 5r 0 u 0 + 5r u 0 9 soit u 0 6(u0 + (u0 + 5r)) 0 ceci se simplifie et doe : (L) (L), Nous gardos la première lige et faisos LL. 6 La première lige doe alors r : + 5r r. 5 Il existe bie ue suite arithmétique répodat aux coditios posées. u 0 et r 6. Soit u 5 6 avec N. 5
Vérificatio u 0 ; u 6 9 ; u ; u 5 5 5 ; u 5 9 et u 5. 5 Nous avos bie u 5 et S 5 u 0 + u + u + u + u + u 5 0. Exercice 5 Nous cherchos doc ue suite géométrique telle que : u 5 6 u 0 (q) 5 6 (L) u 7 u 0 (q) 7 (L) Nous savos que u 0 0 et q 0 sio ous aurios pas les valeurs doées pour u 5 et u 7. Nous pouvos garder la lige et effectuer L/L. u 0 (q) 5 6 (q) soit (q) 6 Nous avos deux solutios : q ou q. 6 Si q alors u0 9 et si q 5 Nous avos doc deux solutios. alors u 0 9. (u ) N : 9 ; 96 ; 8 ; ; ; 6 ; ; ou (u ) N : 9 ; 96 ; 8 ; ; ; 6 ; ;. Remarque : la deuxième suite est i croissate, i décroissate, elle est alterée. Les deux suites sot covergetes vers 0. Exercice 6 a) u 0 000 u (000 0,8 ) + 0 90 (Il dépese 0 % doc il lui reste 80 % de la somme u 0 soit u 0 0, 8, puis il verse 0 ) u (90 0,8) + 0 856 Soit u la somme sur le compte au bout de la ième semaie, alors : u + (u 0,8) + 0 0,8 u + 0. b) Cette suite est i arithmétique, (90 000 80 et 856 90 6 80) i géométrique ( 90 856 0,9 et 0,9 0, 9 ). 000 90
Cette catégorie de suite de la forme u + au + b, a R * et b R * sera vue e Termiale, o les appelle suite arithmético-géométrique. c) Calculos les premiers termes de v : v 0 u 0 600 000 600 00 v u 600 90 600 0 v 856 600 56. Nous remarquos que v 0,8v 0 et v 0,8v. Démotros que la suite est géométrique de premier terme 00 et de raiso q 0,8. Pour cela calculos : v + u + 600 0,8u + 0 600 0,8u 80 0,8(u 600) et doc v + 0,8v. Nous auros doc : v 00(0,8) pour tout N. Nous pouvos alors doer u : u v + 600 soit u 00(0,8) + 600. d) u 0 00(0,8) 0 + 600 6,95 la limite de u quad ted vers + sera 600 e effet lim (0,8) 0. + Exercice 7 a) h 0 00. h h0 50; h h,5 et h h 8,75. b) (h ) est ue suite géométrique de premier terme 00 et de raiso q c est-à-dire q 0,75. h 00(0,75), pour tout N. c) Nous devos faire ue iéquatio, ous cherchos N tel que : 00(0,75) < 5 Cette iéquatio se fait avec les logarithmes que l o appred e termiale mais e S, o peut la traiter par tâtoemets. Si 0, 00(0,75) 0,6, poussos plus loi. Si 0, 00(0,75) 0 0,6, ous sommes allés trop loi. Si 5, 00(0,75) 5,67, c est ecore trop loi. Si, 00(0,75) 6,, ous sommes tout prés. Si, 00(0,75),75. Doc après le ième rebod, la balle roule. Exercice d approfodissemet Exercice + + 5 6..? Si ous ous arrêtos sur u ombre pair (), ous avos à calculer : + + 5 6 +..+ ( ). soit ( + + 5 +..+ ( )) ( + + 6 +.+ ). Appelos (u ) N, la première suite c est-à-dire celle des ombres impairs, premier terme et raiso, c est ue suite arithmétique doc :
u +, N. La somme à calculer est doc S car le derier terme est. Nous ( + ( )) auros S. (Nous avos e tout termes). Appelos (v ) N, la deuxième suite c est celle des ombres pairs, elle a pour premier terme v 0 et comme raiso doc v +, N. ( + ) Ici aussi, o calcule S ( + ). Coclusio, si l expressio à calculer se termie par u ombre pair alors le résultat sera : ( + ). Vérificatio : si, ous devos calculer + + 5 6, cela doit doer 9 et la formule doe bie. Remarque : ous pouvios aller plus vite e remarquat que : + + 5 6 +..+ ( ) ( ) + ( ) +....+[( ) ()], soit fois doc. Si ous ous arrêtos sur u ombre impair ( + ), ous avos à calculer : + + 5 6 +..+ ( ) + ( + ) cela peut s écrire : ( + + 5 6 +..+ ( ) ) + ( + ) et e utilisat le résultat précédet, ous auros : + + + Coclusio Si l expressio à calculer se termie par u ombre impair alors le résultat sera +. Vérificatio : si, ous devos calculer + + 5 6 + 7, et das ce cas cela doe 6 et + doe aussi. Exercice Nous avos U + avec N. Simplifios l écriture de v, v ( ) U ( ) + ( ) ( ) ce qui doe v ( )( ), ous recoaissos ue suite géométrique de premier terme et de raiso q. (Vérificatio, u 0 ; u ; u 5 et doc v 0 ( ) ; v ( ) 8 ; v ( ) 5. La suite (v ) est géométrique, de premier terme et de raiso q ). Caractérisos rapidemet ces deux suites : (U ) est croissate (r ), elle est divergete vers +. (v ) décroissate et diverge vers. Exercice x,87878787. ; x + 0,878787..doc L 0,878787. Posos u 0 0,87 puis, u 0,0087 etc. pour obteir par additio L. (u ) est ue suite géométrique, de premier terme 0,87 et de raiso q 0,0 (e effet 0,0087 0,87 0,0 puis, 0,000087 0, 0087 0,0 etc.). Nous pouvos doer u, u 0,87(0,0) pour tout N.
L lim S quad ted vers +. Calculos S + + q (0,0) S u0 0,87 q 0,0 lim (0,0) + 0 et doc L + 0,87 0,99 ( 0,0) 87 9 99 + ( ) 0,87 0,99 9 95 x + L +. Nous trouvos ici l écriture de,878787 comme le quotiet de deux etiers, cela est ormal car,878787 est u ombre ratioel(q) et ous savos que tout ombre ratioel peut s écrire comme le quotiet de deux etiers de Z. (Si x Q alors x b a avec a Z et b Z * ). Il y a ue démostratio célèbre qui permet d aller plus vite pour trouver la ouvelle écriture de x. x,878787.. 00 x 87,8787.. O effectue 00 x x 85 e effet toute la partie décimale disparaît. 85 95 00 x x 99 x et doc 99x 85 doc x. 99 Voilà l aspect magique des mathématiques, e deux opératios, o a u résultat, qui par ue autre méthode a demadé plusieurs liges de calculs et de raisoemet. Pour les suites géométriques, ous avos parlé de croissace expoetielle, ceci se retrouve souvet autour de ous. Par exemple, la croissace d u virus das le corps, ou bie le développemet d ue épidémie ou plus simplemet, si o veut piéger u de ces parets lors d u de ses aiversaires, o lui dit : voici u damier de sur, je te demade de mettre das la première case et de doubler à chaque fois jusqu à la derière case, tu me doeras alors la somme obteue. Si le paret e questio répod imprudemmet oui, ce est pas grad chose, il a tord!. u 0, ous avos 6 cases doc u 5 das la derière case, il s agit d ue suite géométrique et u (). Cela doe au total : u 5 () 5 98 0! et oui c est cela ue croissace expoetielle. Pour l augmetatio de la pollutio, o parle souvet de croissace expoetielle, voilà pourquoi les scietifiques tiret la soette d alarme. A l iverse, das ue décroissace expoetielle, les gradeurs cocerées dimiuet de mois e mois vite (Voir le problème de la hauteur de la balle).