Uiversité du Québec à Motréal Départemet de mathématiques Corrigé MAT 080 MÉTHODES STATISTIQUES EAMEN INTRA AUTOMNE 003 Date : Samedi 1 er ovembre 003, de 14h00 à 17h00 Nom : Préom : Code permaet : Groupe: INSTRUCTIONS 1. Predre grad soi de e pas désassembler les feuilles du préset cahier (7 pages + tables + formulaire), qui doit être remis e etier. Seuls l'aee, le formulaire et les tables peuvet être détachés du cahier et ot pas à être retourés.. Par mesure de précautio, iscrire lisiblemet votre om au haut de chacue des pages à 7. 3. Les solutios doivet être rédigées das les espaces prévus. Ne pas égliger d epliquer clairemet votre démarche, de doer les détails de vos calculs et d idetifier clairemet les variables cosidérées. 4. Si l espace est isuffisat, idiquer clairemet au correcteur que la solutio se poursuit au verso de la page. 5. Tout tete de référece (mauel, otes de cours, otes persoelles, etc.) est iterdit. Tout cas de plagiat ou de fraude sera soumis au Comité de disciplie. 6. Vous trouverez à la fi de ce cahier deu feuilles blaches, pour fis de calculbrouillo. 7. L usage d ue calculatrice est autorisé. 8. L'étudiat doit préseter sa carte d'étudiat (avec photo) lors de la remise de so cahier et siger la feuille de présece. Grille à l usage du correcteur 1 3 4 5 6 /15 /5 /5 /15 /10 /13 Note fiale /100
NOM...Page Questio 1 [10 + + 3 pts] O pred ote du ombre de bureau das les 5 services d ue petite compagie. Voici les résultats : 1 4 6 1-a) Détermier la variace de ces doées 1+ + + 4+ 6 y = = 3 5 (1 3) + ( 3) + ( 3) + (4 3) + (6 3) 4+ 1+ 1+ 1+ 9 16 σ = = = = 3, 5 5 5 1-b) Détermier la variace corrigée de ces doées 16 s = = 4 4 1-c) Quelle est la médiae de ces doées? Variace = 3, Variace corrigée = 4 Médiae = Problème [10 + 10 + 5 pts] Voici la distributio du ombre d'efats Y das ue populatio de méages: y Nombre d'efats (y) 0 1 3 4 Total Fréquece 0,55 0, 0,05 0,1 0,1 1 -a) Détermier la moyee arithmétique y de Y = 0(0,55) + 1(0,) + (0,05) + 3(0,1) + 4(0,1) = 1 -b) Détermier la variace σ y de Y y = 1 σ y = (0-1) (0,55) + (1-1) (0,) + (-1) (0,05) + (3-1) (0,1) + (4-1) (0,1) = 1,9 -c) Détermier la médiae de Y σ y = 1,9 Médiae = 0
NOM...Page 3 Problème 3 [15 + 10 pts] U grad lot de pièces électroiques cotiet 0 % de pièces défectueuses. 3-a) Quelle est la probabilité qu u échatillo de 1 pièces cotiee eactemet pièces défectueuses? Soit le ombre de pièces défectueuses das l échatillo. Alors ~ B(1 ; 0,). 1 (0, ) (0,8) = 66(0,04)(0,8) = 0, 834678 P( = ) = ( ) 10 10 Probabilité = 0,834678 3-b) Quelle est la probabilité qu u échatillo de 1 pièces cotiee au mois pièces défectueuses? P( ) = 1 - P( 1) = 1- {P( = 0) + P( = 1)} 1 ( ) + 1 ( ) (0, ) (0,8) (0, ) (0,8) 0 1 = 1-{ 0 1 1 11 } = 1-{0,068719 + 0,06158} = 1-0,7488 178 00 178 P(le café déborde) = P( > 00) = P > = P Z > 11 11 11 Probabilité = 0,751 Problème 4 [15 pts] Ue distributrice à café verse ue quatité de café das chaque tasse, où ~ N(178 ; 11 ). Le café déborde lorsque le motat versé est supérieur à 00 ml. Quelle est la probabilité que le café déborde? = P(Z > ) = 0,08 Probabilité = 0,08
NOM...Page 4 Problème 5 [10 pts] Das chacu des uméros suivats, o décrit ue epériece et deu variables aléatoires, et Y. Dites si et Y sot idépedates ou o. a) O tire au hasard u échatillo de méages das ue rue, sas remise : Le reveu du premier méage Y : Le reveu du deuième méage b) O tire au hasard u échatillo de méages das ue rue, avec remise : Le reveu du premier méage Y : Le reveu du deuième méage c) O tire, avec remise, deu pommes das u sac coteat 1 pommes. : Poids de la première pomme Y: Poids moye des deu pommes d) O tire au hasard u échatillo de 5 boulos das u lot, avec remise : Le ombre de boulos défectueu das l échatillo Y : Le ombre de boulos o défectueu das l échatillo Dépedates Dépedates Dépedates Dépedates Idépedates Idépedates Idépedates Idépedates e) Ludi prochai, vous oterez la température au cetre-ville plusieurs fois au courat de la jourée. : La température à 8h00 Y: La température à 8h10 Dépedates Idépedates f) O tire avec remise 100 persoes das ue populatio : Le ombre de femmes das l'échatillo Y: Le ombre d'hommes das l'échatillo Dépedates Idépedates g) O tire au hasard ue compagie das ue liste des compagies de la ville : Le ombre d employés Y : La masse salariale Dépedates Idépedates h) O divise u quartier résidetiel e segmets de rue de 500 mètres de logueur. Esuite o tire au hasard u segmet de rue : Le ombre de propriétés das le segmet de rue Dépedates Y : La superficie moyee des propriétés das le segmet de rue Idépedates i) O tire au hasard ue rue das ue grade ville, puis o tire avec remise deu méages das la rue choisie : Le reveu auel du premier méage Y : Le reveu auel du deuième méage j) Ludi prochai, vous oterez la température das votre jardi : La température das u coi ombragé du jardi Y: La température das u coi esoleillé du jardi Dépedates Dépedates Idépedates Idépedates Problème 6 [13 pts] Pour chacue des variables aléatoires suivates, détermier la variace de a) Das ue usie o fait foctioer 15 machies idetiques. Les machies foctioet idépedammet l'ue de l'autre, et chacue a ue probabilité de 0,1 de tomber e pae e u jour doé. = le ombre de machies qui tombet e pae. ~ B(15 ; 0,1) σ = 15(0,1)(0,88) = 1,584 σ = 1,584 b) Vous tirez ue à ue les vis d u grad lot jusqu au momet où vous tombez sur ue vis de 1 cm. O sait que 0 % des vis das le lot sot de 1 cm. = le ombre de vis que vous aurez tirées quad vous trouverez ue vis de 1 cm. ~ G(0,) σ q 0,8 = = 0 p = (0,) σ = 0
NOM...Page 5 Problème 6 (suite) c) Trois des 10 œufs que vous avez das votre réfrigérateur sot gâtés. Vous faites ue omelette avec des 10 œufs. : ombre d'œufs gâtés das votre omelette. ~ H( ; 3 ; 7) σ 3 7 10 = = 0,37333 10 10 10 1 σ = 0,37333 d) U vedeur par téléphoe décide qu'il termiera sa jourée dès qu'il aura réussi 3 vetes. La probabilité qu'u appel doe lieu à ue vete est 0,1. : ombre d'appels qu'il fera avat de retrer chez lui. 3(0,9) ~ B - (3 ; 0,1) σ = = 74 (0,1) σ = 74 e) O observe les arrivées au service d urgece d u hôpital u ludi après-midi. O sait que les ludis après-midi il y a e moyee 80 arrivées durat la période de 14:00 à 17:00 = le ombre d arrivées u ludi de 15:00 à 15:09 80(9) ~ P(λ) où λ = = 4 σ = λ = 4 3(60) σ = 4 f) O demade à u sujet de goûter 1 biscuits, dot 7 faits au beurre (les 5 autres sot faits à la margarie), et d idetifier les 7 biscuits au beurre. E fait il e perçoit aucue différece et choisit au hasard 7 biscuits, qu il dit être au beurre. = le ombre de biscuits au beurre correctemet idetifiés. 7 7 5 1 7 ~ H(7 ; 7; 5) σ = = 0,7734 1 1 1 1 σ = 0,7734
NOM...Page 6 Problème 6 (suite) g) U eame objectif compred 5 questios, avec u choi de 5 réposes à chaque questio. U étudiat répod tout à fait au hasard. = le ombre de boes réposes. ~ B(5 ; 1/5) σ 14 = 5 = 4 55 σ = 4 h) Le poids des prues d u grad lot est ue variable de moyee 65 g et d écart-type 0,4 g. = le poids de 1 prues tirées au hasard est ue somme, = 1 + + + 1 où chaque termes i est de variace (0,4) = 0,16. Doc σ = 0,16 + 0,16 + + 0,16 = 1(0,16) = 1,9 σ = 1,9 i) Le poids des prues d u grad lot est ue variable de moyee 65 g et d écart-type 0,4 g. = la moyee du poids des prues das u paquet de 1 prues. = + +... + 1 1 1 1 1(0,16) σ = Var() = Var( + +... + ) = = 0,01333 1 1 (1) 144 * j) Le ombre d'erreurs das ue page est ue variable de loi de Poisso de moyee λ = 0,5. = le ombre de pages sas erreur parmi les 100 premières pages. ~ B(100 ; p) où p = e -0,5. Doc σ = 100(e -0,5 )(1-e -0,5 ) = 3,865 σ = 0,01333 σ = 3,865 * Boi
NOM...Page 7 Problème 6 (suite) * k) Vous achetez 5 boîtes coteat chacue 4 vis. Toutes les vis provieet d'u très grad lot das lequel 10 % des vis sot défectueuses. = le ombre de boîtes das lesquelles il y a mois de vis défectueuses ( ) 0 4 ~ B(5 ; p) où p = P(ue boîte cotiet mois de vis défectueuses) = 4 (0,1) (0,9) + 0 4 1 3 ( ) (0,1) (0,9) 1 = 0,9477. Doc σ = 5p(1-p) = 5(0,9477)(1-0,9477) = 0,478355 *l) 115 ~ B(5 ; 1/16) σ = 5 = 0,997 16 16 σ = 0,478355 Ciq couples ouvellemet mariés ot, pour des raisos géétiques, ue probabilité de ¼ d'avoir u efat malade à chaque aissace. Ces couples aurot chacu efats. = le ombre de couples dot les deu efats serot malades σ = 0,997 m) Le pri d ue actio de A et le pri d ue actio de B ot chacu la même espérace mathématique et u écart-type de 10. Les pri des deu actios sot des variables idépedates. = la valeur totale d u portefeuille costitué de 0 actios de A et 30 de B Soit 1 et les pri des deu actios. Alors = 0 1 +30 et doc σ = (0) Var( 1 ) + (30) Var( ) = (400)(100)+(900)(100) = 130 000 σ = 130 000 * Boi
Loi ormale Page 8 Table de la loi ormale Surfaces à gauche du poit z z 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0,01 0,00-4,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-3,90 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-3,80 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001-3,70 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001-3,60 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,000 0,000-3,50 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000-3,40 0,000 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003-3,30 0,0003 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0005 0,0005 0,0005-3,0 0,0005 0,0005 0,0005 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0007 0,0007-3,10 0,0007 0,0007 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0009 0,0009 0,0009 0,0010-3,00 0,0010 0,0010 0,0011 0,0011 0,0011 0,001 0,001 0,0013 0,0013 0,0013 -,90 0,0014 0,0014 0,0015 0,0015 0,0016 0,0016 0,0017 0,0018 0,0018 0,0019 -,80 0,0019 0,000 0,001 0,001 0,00 0,003 0,003 0,004 0,005 0,006 -,70 0,006 0,007 0,008 0,009 0,0030 0,0031 0,003 0,0033 0,0034 0,0035 -,60 0,0036 0,0037 0,0038 0,0039 0,0040 0,0041 0,0043 0,0044 0,0045 0,0047 -,50 0,0048 0,0049 0,0051 0,005 0,0054 0,0055 0,0057 0,0059 0,0060 0,006 -,40 0,0064 0,0066 0,0068 0,0069 0,0071 0,0073 0,0075 0,0078 0,0080 0,008 -,30 0,0084 0,0087 0,0089 0,0091 0,0094 0,0096 0,0099 0,010 0,0104 0,0107 -,0 0,0110 0,0113 0,0116 0,0119 0,01 0,015 0,019 0,013 0,0136 0,0139 -,10 0,0143 0,0146 0,0150 0,0154 0,0158 0,016 0,0166 0,0170 0,0174 0,0179 -,00 0,0183 0,0188 0,019 0,0197 0,00 0,007 0,01 0,017 0,0 0,08-1,90 0,033 0,039 0,044 0,050 0,056 0,06 0,068 0,074 0,081 0,087-1,80 0,094 0,0301 0,0307 0,0314 0,03 0,039 0,0336 0,0344 0,0351 0,0359-1,70 0,0367 0,0375 0,0384 0,039 0,0401 0,0409 0,0418 0,047 0,0436 0,0446-1,60 0,0455 0,0465 0,0475 0,0485 0,0495 0,0505 0,0516 0,056 0,0537 0,0548-1,50 0,0559 0,0571 0,058 0,0594 0,0606 0,0618 0,0630 0,0643 0,0655 0,0668-1,40 0,0681 0,0694 0,0708 0,071 0,0735 0,0749 0,0764 0,0778 0,0793 0,0808-1,30 0,083 0,0838 0,0853 0,0869 0,0885 0,0901 0,0918 0,0934 0,0951 0,0968-1,0 0,0985 0,1003 0,100 0,1038 0,1056 0,1075 0,1093 0,111 0,1131 0,1151-1,10 0,1170 0,1190 0,110 0,130 0,151 0,171 0,19 0,1314 0,1335 0,1357-1,00 0,1379 0,1401 0,143 0,1446 0,1469 0,149 0,1515 0,1539 0,156 0,1587-0,90 0,1611 0,1635 0,1660 0,1685 0,1711 0,1736 0,176 0,1788 0,1814 0,1841-0,80 0,1867 0,1894 0,19 0,1949 0,1977 0,005 0,033 0,061 0,090 0,119-0,70 0,148 0,177 0,06 0,36 0,66 0,96 0,37 0,358 0,389 0,40-0,60 0,451 0,483 0,514 0,546 0,578 0,611 0,643 0,676 0,709 0,743-0,50 0,776 0,810 0,843 0,877 0,91 0,946 0,981 0,3015 0,3050 0,3085-0,40 0,311 0,3156 0,319 0,38 0,364 0,3300 0,3336 0,337 0,3409 0,3446-0,30 0,3483 0,350 0,3557 0,3594 0,363 0,3669 0,3707 0,3745 0,3783 0,381-0,0 0,3859 0,3897 0,3936 0,3974 0,4013 0,405 0,4090 0,419 0,4168 0,407-0,10 0,447 0,486 0,435 0,4364 0,4404 0,4443 0,4483 0,45 0,456 0,460 0,00 0,4641 0,4681 0,471 0,4761 0,4801 0,4840 0,4880 0,490 0,4960 0,5000
Loi ormale Page 9 Table de la loi ormale Surfaces à gauche du poit z z 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,00 0,5000 0,5040 0,5080 0,510 0,5160 0,5199 0,539 0,579 0,5319 0,5359 0,10 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,0 0,5793 0,583 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,6103 0,6141 0,30 0,6179 0,617 0,655 0,693 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,40 0,6554 0,6591 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,50 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,713 0,7157 0,7190 0,74 0,60 0,757 0,791 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,70 0,7580 0,7611 0,764 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,80 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,90 0,8159 0,8186 0,81 0,838 0,864 0,889 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,00 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,861 1,10 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,0 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,9015 1,30 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,916 0,9177 1,40 0,919 0,907 0,9 0,936 0,951 0,965 0,979 0,99 0,9306 0,9319 1,50 0,933 0,9345 0,9357 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,9418 0,949 0,9441 1,60 0,945 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,955 0,9535 0,9545 1,70 0,9554 0,9564 0,9573 0,958 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,965 0,9633 1,80 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,90 0,9713 0,9719 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767,00 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,981 0,9817,10 0,981 0,986 0,9830 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857,0 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890,30 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916,40 0,9918 0,990 0,99 0,995 0,997 0,999 0,9931 0,993 0,9934 0,9936,50 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,995,60 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,996 0,9963 0,9964,70 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,997 0,9973 0,9974,80 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981,90 0,9981 0,998 0,998 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,00 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,10 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,999 0,999 0,999 0,999 0,9993 0,9993 3,0 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,30 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,40 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,50 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,60 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,70 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,80 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,90 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 4,00 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
Formulaire Page 10 1 Moyee arithmétique : y = (1/) y i = 1 i pour ue série de doées et 1 p p y = y i 1 i i = = yf i = 1 i i pour ue distributio Variace : σ 1 = ( y i i y = ) pour ue série de doées et σ p = 1 ( y i i y ) f = i pour ue distributio. Écart-type : racie carrée de la variace. 3 Écart-type corrigé : s = i= ( y ) 1 i y 1 = σ. 1 1 4 Covariace : ( i )( y i i y) = σ y = ; covariace corrigée : s y = i= ( )( 1 i yi y) 1 Formulaire 5 Coefficiet de corrélatio : σy r = σ σ = sy s s y y 6 Coefficiets de la droite des moidres σy s y carrés : b 1 = =, σ s bo = y - b 1. 7 1 σ ˆ y. = s 1 r ; y σ ˆ b1 8 Itervalle de cofiace pour β 1 : b 1 - σ β 1 b 1 + σ ˆ b1 =. σˆ y. 1 s 9 Statistique pour tester l idépedace de r deu variables quatitatives : Z = 1 r 10 Espérace mathématique d ue variable aléatoire : E() = µ = ( ) p. 11 Variace d ue variable aléatoire : Var() = ( ) µ p) (. 1 Lois discrètes Distributio Modalités de Pr( = ) E() Var() Biomiale B( ; p) p (1-p) - p p(1-p) Poisso P(λ) Hypergéométrique H( ; N 1 ; N ) Géométrique G(p) Biomiale égative B - ( ; p) Multiomiale M(; p 1,, p k ) {0, 1,, } ( ) {0, 1,, } 0 N 1 0 - N e λ λ λ λ! ( N 1 N )( ) N ( ) {1,, } pq -1, q = 1-p 1 {, +1, +, } ( 1) i {0, 1,,, },..., p (1-p) - 1 + + + k = ( ) 1 1 1 k p... p k k p, N p = 1 N 1 ˆ b1 N pq N 1, q = 1-p q p p q p E( i ) = p i 13 Soit ~ B( ; p), > 30, p > 5, q > 5. Alors ~ N(p ; pq), approimativemet. p Var( i ) = p i (1-p i )
Brouillo
Brouillo