2. Vecteurs, produit scalaire, distance. 1. Produit scalaire, définitions. On considère l espace n, dans lequel chaque point est identifié par ses coordonnées {x α, { } qui sont 0 α<n}. A un vecteur v correspond un multiplet de nombres réels v, 0 < n ses composantes dans n. Si les composantes v sont des fonctions des coordonnées, c est à dire si les composantes de v dépendent du point de l espace, on dit que v est un champ de vecteurs. Par exemple le champ électrique créé par une distribution de charges est un champ de vecteurs. De même, les vecteurs vitesse attachés à chaque élément de volume infinitésimal d un fluide. Le produit scalaire de deux vecteurs u et v, noté par un point, est une application bilinéaire symétrique de n n dans, c est à dire que le produit scalaire vérifie les propriétés suivantes : u. v = v. u ( u + v). w = u. w + v. w u. ( v + w) = u. v + u. w Nous utiliserons aussi, pour des raisons de commodité, une seconde notation : u. v = ( u, v). La longueur d un vecteur, ou son module, est le produit scalaire de ce dernier avec lui même. Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Etant donné que le produit scalaire est bilinéaire, en termes de composantes il s écrira : u. v n1 n1 = u v g, où les coefficients g sont des nombres réels appelés composantes =0 =0 de la métrique, ou tout simplement métrique. Puisque le produit scalaire est symétrique par définition, on a g = g (il suffit de prendre les vecteurs particuliers ayant toutes les composantes nulles, sauf 1 pour la composante α pour u et 1 pour la composante β pour v ). Désormais nous utiliserons la convention qui consiste à omettre le signe somme, et nous écrirons simplement u. v = u v g qui sous-entend une sommation sur les indices répétés s ils ne sont pas au même niveau, sauf mention explicite. Lorsqu un indice est «en haut» on dit que c est un indice contravariant, lorsqu il est «en bas» on dit qu il est covariant. La sommation implicite n a lieu que sur des indices apparaissant deux fois, mais avec des types différents. Notons que nous n avons pas imposé que la longueur d un vecteur soit positive, pour le moment la métrique est quelconque. Les g peuvent être des fonctions du point de l espace où sont définis les vecteurs u et v. Puisque la matrice g est symétrique, elle peut être diagonalisée, mais, a priori, pas sur tout l espace simultanément. Dans le cas ou les g sont des constantes, la matrice peut être mise sous la forme diagonale. Si la métrique est telle que la longueur de n importe quel vecteur non nul soit strictement positive, on dit que la métrique est définie positive. Ceci implique que si la longueur d un vecteur est nulle ce dernier est un vecteur nul (dont toutes les composantes sont nulles). S il existe des coordonnées telles que la métrique soit à coefficients constants et si elle est définie positive on dit que l espace n est 1
muni d une métrique euclidienne ou que l espace est euclidien, et si la métrique n est pas définie positive, on parle alors d espace pseudo euclidien. Dans la suite une métrique euclidienne ou pseudo euclidienne ramenée à la forme diagonale sera notée et sera supposée de la forme : ( ±1 0 + = * - ) * 0 ±1, - Le signe des valeurs propres de la métrique constitue la signature de la métrique. La signature est un nombre entier égal au nombre de signes plus moins le nombre de signes moins. Par exemple si R 3 est muni d une métrique euclidienne (+++) sa signature vaut 3. Nous allons rencontrer bientôt d autres exemples. Les coefficients g dépendent du système de coordonnées utilisé. L espace peut être euclidien même si la métrique n a pas la forme ci dessus, c est par exemple le cas pour 3 muni de coordonnées sphériques. 2. Distance de deux points. Soient deux points M et M très voisins dans n et de coordonnées respectives x x + dx de coordonnées { } et { }. Nous définirons le vecteur MM { M M = ( x + dx ) x = dx } et nous dirons que la distance entre les points M et M, que nous noterons ds est la longueur de ce vecteur, à savoir : ds 2 = g dx dx Dans le cas où la métrique est, la distance entre deux points M et N quelconques de coordonnées respectives x { } et { y } prend la forme : dist( M, N ) = ( y x )( y x ) 3. Inégalité de Schwarz. Considérons n muni d une métrique définie positive, et soient deux vecteurs u et v. Le module du vecteur w = u + v doit être positif quel que soit λ. Ecrivons cette condition : w 2 = ( u + v ). u + v en λ. Pour qu elle soit toujours satisfaite il faut que son discriminant soit négatif ou nul, c est à dire u. v u v. Comme u + v 2 = u 2 + v 2 + 2 u. v on en déduit u + v u + v. Rappelons les propriétés d une norme : Une norme, ici notée par des barres doubles, est une application d un espace vectoriel dans qui doit satisfaire : ( ) = u 2 + 2 v 2 + 2 u. v 0. Ceci est une équation du deuxième degré 2
x = 0 x = 0 x = x x + y x + y et donc la longueur d un vecteur est une norme seulement si la métrique est définie positive. 4. Courbes et vecteurs tangents. Une courbe est une application de dans n. C est à dire on considère un ensemble de points dont les coordonnées x α sont des fonctions continues d un paramètre t défini dans : { x (t)}. Si les fonctions x α sont dérivables en t, on définit le vecteur tangent à la courbe par ses composantes v = dx / dt. Pour comprendre que cela correspond bien au vecteur tangent il suffit de se rappeler la définition de la dérivée et écrire : x (t + dt) = x (t) + v (t) dt, soit en terme de vecteur M = M + v dt. 5. Exemple : la sphère. Considérons un espace euclidien de dimension n pour lequel la métrique est la matrice identité. On appelle sphère, ou sphère de dimension n-1, l ensemble des points situés à une distance R de l origine des coordonnées, c est à dire satisfaisants la contrainte x 2 = R 2 soit : n1 x x = R 2. =0 On peut généraliser cette définition à un espace pseudo euclidien. Quelle que soit la signature de la métrique nous appellerons «sphère» l ensemble des points situés à une distance donnée d un point fixé. Ainsi pour un espace pseudo euclidien dont la signature de la métrique est (+,+,,+,-), c est à dire dont la métrique diffère du cas euclidien seulement par le terme g n1, n1 qui au lieu de valoir 1 prend la valeur 1, on peut définir une «sphère» dont le centre est l origine des coordonnées, par l ensemble des points tels que x x x n1 x n1 = K. Selon le signe de K on peut considérer deux cas : si K>0 on écrit x x = K + x n1 x n1 et chaque section x n1 = constante est une «vraie» sphère de dimension n-2. Si K<0 alors n2 (x n1 ) 2 = x x + K K, et donc x n1 K et la surface est constituée de deux =0 parties distinctes. La partie x n1 n2 =0 n2 =0 K de la «sphère» est appelée espace hyperbolique de dimension n-1, noté H n-1, et nous reviendrons de nombreuses fois sur cet espace si l on peut dire. Il est facile de montrer que le «rayon», c est à dire le vecteur x, est orthogonal à la surface. En effet, la sphère est la surface définie par la contrainte x x = K, prenons la différentielle de cette expression : dx x + x dx = 0, soit en changeant le nom des indices dans le deuxième terme de gauche (on peut le faire car il s agit d une double somme) 3
2 x dx = 0, ce qui signifie que le vecteur x est perpendiculaire au vecteur de composantes dx, c est à dire au vecteur tangent à la sphère. Ceci est vrai quelle que soit la signature de la métrique, donc pour la sphère S n et pour H n, en prenant, pour exprimer les produits scalaires, les métriques correspondantes. Exercice 1: Montrer que pour H n-1, c est à dire si K<0, l espace formé par l ensemble des vecteurs orthogonaux au rayon est muni d une métrique définie positive. 6. Changements de coordonnées. Un changement de coordonnées est un «re-étiquetage» des points, on attribue au point M un autre multiplet {y α, 0 α<n} pour le repérer. Les nouvelles coordonnées y sont des fonctions des anciennes coordonnées : y (x ). Dans la suite ces fonctions seront toujours supposées continues et suffisamment différentiables. Exemple de changement de coordonnées : Coordonnées cartésiennes et coordonnées sphériques. Soit un espace euclidien à trois dimensions et soient x α des coordonnées cartésiennes orthonormées. Les coordonnées sphériques peuvent être définies par le rayon r, distance à l origine, l angle polaire θ, et l angle azimutal ϕ définis par rapport au repère Oxyz de la figure. x = r sin cos y = r sin sin z = r cos z O y x 4
Il est facile d exprimer les différentielles dx, dy, dz en fonction des dr, d, d. La distance de deux points infiniment voisins est donc : ds 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2 = dr 2 + r 2 (d 2 + sin 2 () d 2 ) où nous avons écrit d x 2 = (dx) 2, etc. 7. Transformations. Une transformation dans un espace ressemble à un changement de coordonnées, dans le sens où on attribue à tous les points de l espace de nouvelles coordonnées y (x ) qui sont des fonctions des précédentes, mais en conservant le système de coordonnées. Par exemple pour une translation, et dans un espace euclidien muni de coordonnées cartésiennes, les coordonnées x { } d un point deviennent x = x + a où les a sont de constantes, mais le système de coordonnées conserve son origine et ses axes. On aurait aussi pu considérer cela comme un changement de coordonnées. Le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques, par exemple, n est pas une transformation au sens où nous l entendons ici. 8. Les rotations. Considérons un espace euclidien ou pseudo euclidien muni de coordonnées d origine O, et soit x la position d un point M par rapport à cette origine : x = OM. Par définition une rotation de centre O est une transformation linéaire qui conserve les distances et qui laisse l origine O invariante. En fait cette définition est insuffisante, elle sera complétée plus loin, mais nous allons néanmoins appeler R cette isométrie. Par hypothèse R satisfait R x 2 = x 2,quel que soit x. Ici nous avons utilisé une notation symbolique, dans laquelle R est un opérateur et R x représente le vecteur transformé de x par R. Propriété : Puisque l isométrie R conserve les distances elle conserve aussi les produits scalaires. En effet considérons un vecteur somme de deux vecteurs x et y. Ecrivons que R conserve les modules : R( x + y). R( x + y) = ( x + y). ( x + y), compte tenu de la linéarité et de la symétrie du produit scalaire et de la linéarité de R on a : (R x + R y). (R x + R y) = R x. R x + R y. R y + 2 R x. R y mais on a : (R x + R y).(r x + R y) = ( x + y).( x + y) = x. x + y. y + 2 x. y or R x. R x = x. x et de même pour y, d où : R x.r y = x. y. Cette relation est vraie pour un espace euclidien ou pseudo euclidien. Une rotation peut être vue comme un changement des axes de coordonnées qui laisse l origine des coordonnées fixe, ou bien comme une transformation. Dans le cas d un espace euclidien à deux dimensions et d un système de coordonnées cartésiennes orthogonales, x et y, une rotation s écrit : 5
x = cos() x sin() y y = sin() x + cos() y x cos(() )sin(() x soit en notation matricielle : y = sin(() cos(() y Considérons un espace de dimension quelconque et de métrique dont la signature est quelconque. Nous allons exprimer la conservation du produit scalaire de deux vecteurs x et y. Nous avons dit que R est une transformation linéaire, nous écrirons donc pour le vecteur transformé de x : x = R. x et de même pour le vecteur y. Pour mieux distinguer les anciennes coordonnées des nouvelles nous utiliserons les lettres µ,ν pour étiqueter les anciennes et les lettres ϕ,τ pour les coordonnées après transformations. On a donc : R.µ y µ R. x = y µ µ x. Avant de poursuivre, rappelons que nous utilisons la convention d omettre le signe de sommation sur les indices s ils sont répétés et à des niveaux différents. Ceux qui ne sont pas familiers avec ces notations peuvent être surpris de voir apparaître x et y avec les mêmes indices dans les deux membres de l équation précédente, et ils ont raison. En fait pour être correct il aurait fallu écrire : R. y R. x = y µ µ x, mais la raison de cette façon de faire va apparaître immédiatement. La relation que nous venons d écrire doit être vraie quels que soient les vecteurs x et y. Nous avons donc la contrainte : R.µ R. = µ Nous pouvons utiliser des notations matricielles avec les conventions suivantes : x est une matrice constituée d une colonne : x =.. x n1 alors, pour les coefficients R., les indices supérieurs représentent les lignes et les indices inférieurs les colonnes. Revenons à la contrainte sur R, nous allons la re-exprimer en considérant l inverse de la matrice de rotation. Pour cela nous allons définir «l inverse» de la métrique par =, où est le symbole de Kronecker qui est tel que = 0 si et = 1 si =. Avec ces conventions on peut écrire : R 1 µ = µ R.. Dans le cas d un espace euclidien cela veut dire que la matrice inverse d une matrice de rotation est la matrice de rotation transposée. Pour terminer cette introduction aux rotations nous allons considérer le produit scalaire (R y, x) (notons que pour des raisons de commodité nous utilisons la seconde notation pour les produits scalaires). Peut on l exprimer en fonction de y? Explicitons le en terme de composantes : (R y, x) = R. µ y µ x et utilisons la contrainte ci dessus pour transformer cette 6
expression en : y µ R 1. µ x = ( y, R + x) où nous avons introduit l opérateur adjoint R + qui dans le cas des rotations vaut R + = R 1... Illustrons ces notions en appliquant ce que nous venons de voir au cas d un espace pseudo euclidien de dimension 2 et de métrique (+,-). Dans ce cas la longueur d un vecteur x est x 2 = ( ) 2 ( ) 2. Il est facile de vérifier qu une rotation de la forme suivante satisfait toutes les contraintes ci-dessus. x 0 = ch() + sh() soit sous forme matricielle : x 1 = sh() + ch() ch(() sh(() = sh(() ch(() Les isométries d un espace qui laissent l origine O invariante forment un groupe. En effet si on applique successivement deux rotations on obtient encore une transformation linéaire qui conserve les modules, puisque chacune des deux isométries conserve les modules. Il existe un élément neutre qui est l application identité (la transformation qui laisse chaque coordonnée inchangée). Le produit de plusieurs rotations est associatif, c est une conséquence de la linéarité. Enfin chaque opération a un inverse, il a été construit ci-dessus. Ce groupe s appelle O(p,q) où p est le nombre de +1 et q le nombre de 1 de. Les symétries par rapport à O, les symétries par rapport à des plans passant par O, satisfont la définition donnée de R au début de cette section, et pourtant ce ne sont pas des rotations. Les rotations préservent l orientation, et doivent donc satisfaire det(r) = +1. Les rotations forment un sous groupe de O(p,q) appelé SO(p,q). L étude des rotations est poursuivie dans l appendice A qui servira à plusieurs reprises tout au long de ces notes. 9. Interprétation des g et méthode de Gramm-Schmidt. Nous avons introduit la métrique comme les coefficients de la forme bilinéaire représentant le produit scalaire de deux vecteurs. Considérons un espace euclidien et deux vecteurs u et v. Leur produit scalaire u. v = u v g peut être interprété de la manière suivante. Ecrivons { e } sont une base de vecteurs tels que e. e = g. Il est toujours possible de construire une telle base de la manière suivante. Donnons nous un repère u = u e et v = v e, où les orthonormé, dans lequel nous allons exprimer les composantes des vecteurs { e }. On peut prendre le premier vecteur aligné sur la première coordonnée : e 0 = (e 0 0,0,...,0), avec e 0 0 = g 00. Le vecteur suivant peut être pris comme e 1 = (e 0 1,e 1 1,0,...,0), et on a les contraintes : e e1 0 = g 01 = e 0 0 e 0 1 00 + e 1 0 e 1 1 11 = e 0 0 e 0 1 00 ; e e1 1 = g 11 = e 0 1 e 0 1 00 + e 1 1 e 1 1 11 Soit un système de deux équations à deux inconnues, que l on résout immédiatement. Nous pouvons poursuivre et écrire e i = (e 0 i,e 1 i,...,e i i,0,...,0) puis écrire les contraintes 7
e i e0 = g 0i,..., e ej i = g ij,..., e ei i = g ii on obtient donc un système de i+1 équations linéaires à i+1 inconnues qui est solvable. On peut donc par itération, étant donnés des coefficients g symétriques, trouver un ensemble de vecteurs { e } tels que : e. e = g. En fait il existe une infinité de solutions. Nous avons choisi un cas particulier où le premier vecteur e «est sur» la première coordonnée, etc, mais toute autre solution déduite de la précédente par rotation est toute aussi valable. Inversement, étant donné un ensemble de vecteurs vecteurs orthonormés h a en posant { e } on peut construire un ensemble de { } à partir de ceux ci. On procédera exactement de la même manière h 0 = e 0 / g 00, puis h 1 = h 1 0 e0 + h 1 1 e1. Les contraintes h 0 h1 = 0, h 1 h1 = 1 fournissent deux équations pour deux inconnues ce qui permet de déterminer h 1. On procède par itération en écrivant h i = h i 0 e0 + h i 1 e1 +... + h i i ei. Les contraintes h i hj = 0, j < i ; h i hi = 1 donnent i+1 équations pour i+1 inconnues et l on peut déterminer le vecteur h i. On peut donc ainsi construire une base orthonormée à partir d un ensemble quelconque de vecteurs. C est la méthode d orthogonalisation de Gramm-Schmidt. 10. Exemple d application des notions précédentes: la relativité. La relativité exprime le fait qu il n y a pas de système de référence privilégié, c est à dire que la description des phénomènes est la même dans tous les repères qui se déplacent les uns par rapport aux autres avec une vitesse relative constante. Prenons des coordonnées cartésiennes orthonormées pour décrire l espace à trois dimensions et désignons le temps par la variable t. D après la relativité, la vitesse de la lumière (notée c) est la même dans tous les repères, on écrit donc que la position x d une information lumineuse émise au temps t 0 au point sera au temps t contrainte par l équation x x 2 0 c 2 (t t 0 ) 2 = 0. On peut considérer cela comme l expression du fait que la longueur du vecteur de composantes { x x 0,t t 0 }, dans un espace pseudo euclidien à quatre dimensions dont la signature est (+++-), est nulle. Cet espace est appelé espace de Minkowski et est noté M 4. Un événement qui se produit au point x au temps t est représenté par un point dans M 4, et réciproquement un point dans M 4 est appelé un événement. Chaque observateur peut choisir des coordonnées cartésiennes avec une métrique diagonale dont les termes diagonaux sont (1,1,1,-c 2 ). Pour passer d un référentiel à un autre on effectue une «rotation» dans M 4. Comme nous l avons vu, une rotation conserve le module, un vecteur de longueur nulle est donc transformé en un vecteur de longueur nulle, ce qui veut dire que la lumière se propage avec la même vitesse dans tous les référentiels. Soient deux observateurs O et O chacun ayant défini un système de coordonnées orthonormées (respectivement Oxyz et O x y z ) et situés à l origine de leur système respectif (c est un choix naturel, car chacun a toujours l impression d être au 8
centre du monde). Supposons en outre que O voit O se déplacer le long de son axe Oz et réciproquement, enfin supposons que chacun ait mis sa montre à zéro lorsqu ils se croisent. La transformation qui fait passer d un système de coordonnées à l autre s écrit d après ce que nous avons vu à la section 8 : z = ch( y) z + sh( y)ct c t = sh( y) z + ch( y)ct x = x y = y le paramètre y s appelle la rapidité. On le relie très simplement à la vitesse relative des deux observateurs de la manière suivante : Si t = 0 et z = 0 alors, conformément à ce que nous avons dit, t = 0 et z = 0, si t = et toujours z = 0, ce qui veut dire que les deux évènements que nous considérons représentent l observateur O à deux instants différents séparés de τ, alors : z = sh( y)c et t = ch( y), et donc pour l observateur O la vitesse de O est v = c th( y). Maintenant il suffit d exprimer ch(y) et sh(y) en fonction de la vitesse v pour retrouver les transformations de Lorenz sous leur forme habituelle. Nous insistons sur le fait que raisonner en termes d événements dans des espaces de Minkowski et de transformations entre référentiels permet d éviter bien des erreurs du genre : le temps se contracte, ah oui, mais lequel des deux temps considérer? etc La distance dans M 4 de deux événements proches ds 2 = d x d x est invariante par rotation (au sens de M 4 ). Soit une particule au repos dans un référentiel donné, c est à dire dont les coordonnées spatiales sont fixes. Dans ce repère ds 2 = c 2 dt 2, et ds représente donc le temps «vécu» par la particule. ds est appelé temps propre. C est évidemment un invariant. Un exemple simple : le temps de vie apparent des particules élémentaires. Certaines particules sont instables, comme par exemple les muons qui constituent une partie du rayonnement cosmique au niveau du sol. Ces particules ont une durée de vie propre de 2,197 10-6 s, c est à dire que statistiquement, si on imagine un grand nombre de ces particules au repos par rapport à nous, il en resterait 1/e du nombre initial après ce temps. Maintenant si ces particules sont en mouvement par rapport à nous, leur durée de vie apparente sera plus grande, par le facteur ch(y), et d autant plus grande que leur vitesse s approchera de celle de la lumière. Ce phénomène est la raison pour laquelle ces muons créés dans la haute atmosphère par collision du rayonnement cosmique primaire avec les atomes de l air parviennent jusqu au sol malgré leur très faible durée de vie. Ce phénomène de «dilatation du temps», pour reprendre le jargon habituel, est pris en compte dans les transports de faisceaux de particules créés avec les accélérateurs de particules. Exercice 2 Montrez que pour deux transformations de Lorenz successives, selon la même direction (par exemple l axe Oz comme ci dessus), les rapidités s additionnent (algébriquement), de la même façon que les angles s ajoutent pour deux rotations autour du même axe. 9
11. Espaces complexes, produit hermitien. On peut généraliser ce que nous avons dit au cas où les coordonnées des points de l espace et où les composantes des vecteurs sont des nombres complexes. Dans ce cas le produit scalaire de deux vecteurs u et v, est une application bilinéaire de n n dans, c est à dire que, comme dans le cas réel, le produit scalaire vérifie les propriétés suivantes : ( u + v). w = u. w + v. w u.( v + w) = u. v + u. w mais cette fois le produit scalaire n est plus symétrique, en utilisant la notation u. v = ( u, v), on impose : ( u, v) = ( v, u) où le symbole étoile désigne la conjugaison complexe. On parle alors de produit Hermitien. Avec ce choix, les modules sont réels, sachant que, comme pour le cas réel, le module d un vecteur est le produit scalaire de ce dernier avec lui même. Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Etant donné que le produit scalaire est bilinéaire, en termes de composantes il s écrira : u. v = n1 =0 n1 (u ) g v, où les coefficients g sont des nombres complexes qui =0 vérifient : ( u, v) = (u ) g v = ( v, u) = ((v ) g u ) u et v, donc : g = g. et ceci quels que soient les vecteurs De la même manière que pour le cas réel, on peut définir la transformation adjointe d une transformation R par : ( u, R v) = (R + u, v) Si R + = R, on dit que R est auto-adjoint, et, si la métrique est du genre(+,+,...,+), on dit que R est hermitique. Réponse aux exercices : Exercice 1. Soit un vecteur y perpendiculaire au rayon x, c est à dire satisfaisant x. y n2 = x i y i x n1 y n1 = 0. Pour simplifier les notations, définissons un vecteur x dans un i=0 espace euclidien à n-1 dimensions qui a pour composantes les n-1 premières composantes de x, on écrit : x = ( x, x n1 ) et de même pour y. D où la contrainte d orthogonalité précédente s écrit : x. y = x. y x n1 y n1 = 0, où le produit scalaire x. y est calculé dans l espace euclidien à n-1 dimensions. La longueur de y devient y. y = y. y y n1 y n1 et celle de x : x. x = x. x x n1 x n1. Le module de y devient (pour x n1 0 ): y 2 = y 2 ( x. y) 2 / (x n1 ) 2, soit, avec (x n1 ) 2 = x 2 K : 10
y 2 = puisque 1 x 2 K ( ( x 2 K ) y 2 ( x. y) ) 2 = 1 x 2 K x 2 2 ( y ( x. y) 2 K y ) 2 x et y sont définis dans un espace euclidien, nous pouvons appliquer l inégalité de Schwarz, et pourvu que K<0 alors y 2 0 quel que soit y. C est pour avoir un espace tangent euclidien que l on choisit K<0. Exercice 2 Il suffit de faire le produit : x 0 x 1 = ch( y ) sh( y ) 2 2 sh( y 2 ) ch( y 2 ) = ch( y + y ) sh( y + y ) 1 2 1 2 sh( y 1 + y 2 ) ch( y 1 + y 2 ) = ch( y ) sh( y ) ch( y 2 2 1 ) sh( y 1 ) sh( y 2 ) ch( y 2 ) sh( y 1 ) ch( y 1 ) 11