Suites 1 Gééralités 11 Défiitio Défiitio : O appelle suite ue foctio sur N ou sur ue partie de N das R Exemples: Les foctios: u : +1 ; v : sot des suites Notatio : Soit u ue suite défiie sur D partie de N Soit u etier de d Alors o ote =u O dit que est le terme gééral de la suite et o ote la suite est appelé l'idice Soit m le plus petit élémet de D, alors u m est appelé le premier terme ou terme iitial de la suite Remarque : Si D=N, le premier terme de la suite est u 0 Exemples: La suite: u : +1 est aisi appelée la suite de terme gééral = 1 1 Commet géérer ue suite? O a essetiellemet trois moyes de géérer ue suite : i se doer ue liste fiie oo de ombres 1;3;5;7;8;11;13;15;17;19;1 est ue suite comportat 11 élémets Les décimales de costituet ue suite ii de maière explicite : das ce cas, = f = 1 5 3 pour N iii de maière implicite : das ce cas, o parle de formule de récurrece O a alors das le cas le plus simple ue expressio du type : = f, et il faut doc doer le terme iitial pour géérer la suite Exemples : = 5 pour N avec par exemple u 0 = 7 ou ecore : v 1 =3v pour N avec v 0 = 5 13 Représetatio graphique d'ue suite 131 Cas des suites défiies de maière explicite O suppose que la suite est de terme gééral : = f Das ce cas, à chaque valeur de e abscisse correspod u terme de la suite e ordoée O cosidère la suite de terme gééral = 1 1 Représeter graphiquemet les ciq premiers termes de cette suite Page 1 de 7 X Ouvrard Bruet 01
13 Cas des suites défiies de maière implicite O suppose que la suite est de terme gééral : = f, u 0 état doé Alors, o costruit les termes de proche e proche, e s'aidat de la droite d'équatio y= x Aisi est l'image de u 0 par f Doc sa valeur est lue sur l'axe des ordoées Puis o reporte sur l'axe des abscisses e s'aidat de la droite d'équatio y=x et aisi de suite O cosidère =, avec u 0 = 1 u u 0 u Page de 7 X Ouvrard Bruet 01
Ses de variatio d'ue suite Défiitio : Soit ue suite p O dit que est croissate lorsque, pour tout etier aturel supérieur ou égal à p, o a : O dit que est décroissate lorsque, pour tout etier aturel supérieur ou égal à p, o a : Remarque : Pour étudier les variatios d'ue suite, o peut aussi étudier : le sige de : si pour tout p il est positif la suite sera croissate, sio la suite sera décroissate si la suite est strictemet positive à partir d'u certai rag, de regarder le rapport : si ce rapport est supérieur strictemet à 1 pour tous les termes au delà d'u certai rag la suite est croissate (strictemet), sio si ce rapport est iférieur strictemet à 1 pour tous les termes au delà d'u certai rag elle est décroissate Pour ue suite défiie explicitemet, du type = f, le ses de variatio de f Pour ue suite défiie implicitemet, du type = f, u 0 état doé, avec f croissate, il suffit de comparer les deux premiers termes et par récurrece deux termes cosécutifs Exemples : 1 O cosidère la suite de terme gééral : = 3 7 Alors : = 1 3 1 7 3 7 = 1 3 3 7 3 7= Or, =4 8=1 et doc 1 = 3 0 et = 3 = 1 3 De plus, 0 1 Doc est positif pour 1, ce qui sigifie que est croissate à partir du rag 1 O cosidère la suite de terme gééral : = 1 Cette suite e s'aule pas = 3 1 = 3 1 = 4 3 4 4 1 et doc est décroissate 3 O cosidère la suite de terme gééral : v = O cosidère la foctio : f x =x x O a : f ' x =1 1 x = x 1 0 Doc f est croissate, et doc x v est croissate 4 O cosidère la suite défiie par : = 1, et u 0 =1 O cosidère la foctio : f x = x 1 f a les mêmes variatios que la foctio racie carrée, elle est doc croissate sur [ 1; [ u 0 = 1 0 Par suite, o a : u 0 Comme f est croissate, f f u 0, et doc u O suppose que 1, alors comme f est croissate, f f 1 et doc Doc pour tout etier, o a : et doc la suite est croissate Page 3 de 7 X Ouvrard Bruet 01
3 Suites arithmétiques Défiitio : O appelle suite arithmétique ue suite où l'o passe, e partat du terme iitial, d'u terme au suivat e ajoutat toujours la même quatité, appelée raiso de la suite E otat ue telle suite et a la raiso, o a : = a Ue usie fabrique des ramettes de papier, emballées das des cartos par 5, chaque carto pesat,5 kg qu'elle empile alors sur ue palette e bois de 0 kg O ote la suite correspodate à la masse totale du chargemet Alors =,5, avec u 0 =0 Propriété : Soit ue suite arithmétique, de raiso a et de premier terme u 0 Alors : =u 0 a Schématiquemet, o peut représeter cela comme suit : Avec la suite précédete : =0,5 Aisi, si o met 100 cartos sur la palette : 00 =0,5 100=70 kg Propriété : Soit ue suite arithmétique, de raiso a Soit p et q deux etiers Alors : u q =u p q p a u 0 u -1 = u 0 + x a La fabricatio d'u objet comporte u coût fixe et u coût proportioel aombre d'objets fabriqués O sais que pour 50 objets fabriqués, le coût est de 00 et qu'il est de 375 pour 100 objets fabriqués Détermier le coût proportioel Le coût fixe Ses de variatio d'ue suite arithmétique : Propriété : Soit ue suite arithmétique, de raiso a Si a 0, alors est croissate Si a=0, alors est costate + a + a + a + a + a Si a 0, alors est décroissate Somme de termes d'ue suite arithmétique : Propriété : Soit ue suite arithmétique, de raiso a Soit p et q deux etiers, avec m < Alors : u i =u m = m 1 u m, c'est à dire : i=m premier terme derier terme somme de termes cosécutifs d'ue suite arithmétique=ombre de termes Preuve : O ote S la somme : S=u m u m 1 Par suite : S =S S =u m u m 1 1 1 u m 1 u m (l'u e dessous de l'autre) doe : u 0 m a=u m et ceci m 1 fois D'où : S= m 1 u m et doc : S = m 1 u m Page 4 de 7 X Ouvrard Bruet 01
Cas particulier importat : Soit ue suite arithmétique, de raiso a, de premier terme u 0 Alors : u i =u 0 = 1 u u 0, c'est à dire : premier terme derier terme somme de termes cosécutifs d'ue suite arithmétique=ombre de termes Preuve directe : O ote S la somme : S =u 0 Par suite : S =S S=u 0 1 1 u 0 (l'u e dessous de l'autre) doe : u 0 a=u 0 et ceci 1 fois D'où : S= 1 u 0 et doc : S = 1 u 0 Calculer la somme des premiers etiers Pour géérer les premiers etiers o cosidère la suite arithmétique de raiso 1 et de premier terme 0 Alors, la somme des premiers etiers équivaut à la somme des +1 premiers termes 1 de cette suite et vaut : 4 Suites géométriques 41 Gééralités Défiitio : O appelle suite géométrique ue suite où l'o passe, e partat du terme iitial, d'u terme au suivat e multipliat toujours par la même quatité, appelée raiso E otat () ue telle suite et q la raiso, o a : +1 =q NB : E TES, o se limite à ue raiso positive Ue baque rémuère u compte sur livret à 3 % l'a O verse 100 O ote la suite correspodat à l'arget sur le livret au bout de aées Expliciter Alors = 1,03, avec u 0 =100 Propriété : Soit ue suite géométrique, de raiso q et de premier terme u 0 Alors : =u 0 q Schématiquemet, o peut représeter cela comme suit : u 0 u -1 = u 0 Avec la suite précédete : =100 1,03 Aisi, au bout de 10 as l'éparge sera de : 0 =100 1,03 10 134,4 Propriété : Soit ue suite géométrique, de raiso q Soit m et deux etiers Alors : =u m q m U épargat a placé de l'arget au taux de % Au bout de as, il a 156,06 sur so compte Quelle sera la somme qu'il aura au bout de 5 as? u 5 =u 1,0 5 =156,06 1,0 3 165,61 Page 5 de 7 X Ouvrard Bruet 01
4 Ses de variatio Propriété : Soit ue suite géométrique, de raiso q>0 Si u 0 >0 : Si q>1, alors () est croissate Si q=1, alors () est costate Si 0<q<1, alors () est décroissate Si u 0 <0 : Si q 1, alors est décroissate Si q=1, alors est costate Si 0 q 1, alors est croissate 43 Somme de termes cosécutifs Propriété : Soit ue suite géométrique, de raiso q positive, différete de 1 De terme iitial 1 Alors : q i =1+q++q = 1 q+1 1 q Propriété : Soit ue suite géométrique, de raiso q, avec q 1, de premier terme u 0 Alors : u i =u 0 =u 0 1 q 1 1 q, c'est à dire : Preuve directe : O ote S la somme : S=u 0 Comme pour tout k etre 0 et, q u k =u k 1, q S=q u 0 q q = u Par suite : q S S= u u 0 = u 0 D'où : q 1 S= u 0 u 0 q 1 =u 0 1 q 1 et doc, si q 1 : S=u 0 1 q 1 Calculer la somme des premières puissaces de v = : v est ue suite géométrique de raiso, de premier terme 1 i =v 0 v =1 1 1 1 = 1 1 44 Limite d'ue suite géométrique Exemples : Faire la représetatio graphique des suites géométriques de terme iitial 1, de raiso et de raiso ½ Qu'observe-t-o graphiquemet lorsque deviet grad Propriété : Soiet ue suite géométrique de raiso q, de premier terme (i) Si, alors : (ii) Si 0<q<1, alors : (iii) Si, alors la suite est costate et : 1 q 45 Recherche d'u seuil à l'aide d'u algorithme Détermier le rag à partir duquel la suite géométrique de raiso ¾ de terme iitial 1, deviet iférieur à 0,001 Page 6 de 7 X Ouvrard Bruet 01
Résolutio : u pred la valeur 1 pred la valeur 0 Tat que u>0,001 faire <-+1 u=u*3/4 Fi tat que Afficher Détermier le rag à partir duquel la suite géométrique de raiso de terme iitial 1, deviet supérieur à 10000 Résolutio : u pred la valeur 1 pred la valeur 0 Tat que u<10000 faire <-+1 u=u* Fi tat que Afficher 5 Suites arithmético-géométriques Pricipe de l'étude : 1 Si admet ue limite, alors Cela permet de calculer la limite évetuelle O itroduit la suite : O motre que cette suite est géométrique et o détermie sa raiso 3 O cherche l'expressio de e foctio de, puis celle de e foctio de 4 O coclut sur la limite évetuelle de la suite Sujet de bac, Métropole 005 A er javier 005, ue ville e pleie expasio avait ue populatio de 100 000 habitats U bureau d'étude fait l'hypothèse qu'à partir der javier 005 : le ombre d'habitats de la ville augmete chaque aée de 5% du fait des aissaces et des décès ; du fait des mouvemets migratoires, 4 000 persoes supplémetaires vieet s'istaller chaque aée das cette ville Partie A : Étude théorique Pour tout etier aturel, o ote le ombre d'habitats de cette ville a er javier de l'aée Aisi, 1) Calculer et ) Justifier que, pour tout etier aturel, 3) Pour tout etier aturel, o pose a) Calculer b) Motrer que est ue suite géométrique dot o précisera le premier terme et la raiso c) Exprimer e foctio de E déduire que d) Calculer la limite de la suite Partie B : Le but de cette partie est de prévoir l'évolutio de la populatio jusqu'e 00, e utilisat le modèle théorique étudié à la Partie A 1) Quel sera le ombre d'habitats de la ville a er javier 00? ) A partir de quelle aée la populatio de cette ville dépassera-t-elle 00 000 habitats? Page 7 de 7 X Ouvrard Bruet 01