Tratemet des certtudes de mesure I. PROBLEMATIQUE. Quad o veut détermer ue gradeur et que l'o effectue pluseurs mesures (smultaées avec des apparellages équvalets, ou répétées das des codtos semblables avec u seul apparellage), o costate que celles-c ot doé des valeurs dfféretes. Cela sgfe que la varété des crcostaces ous a four des valeurs déformées de la gradeur elle-même. Ces costatatos permettet d'éocer as le problème de la mesure : l s'agt de sasr ue estmato optmale d'ue gradeur à laquelle o suppose ue exstece objectve. Précso des mesures. Par défto, ue mesure est la comparaso d'ue gradeur physque à ue gradeur de même espèce prse pour étalo. Pour avor u ses, le ombre qu exprme ue mesure dot être complété par : - la précso (ou le degré d'certtude) avec lequel o l'a obteu - l'uté chose Ex.: vtesse de la lumère das le vde: c = (.997 9 ± 0.000 0) 0 8 m s - II. LES INCERTITUDES DE MESURE. Chaque mesure physque comporte doc ue "certtude", même s la mesure est fate sogeusemet et que tous les apparels foctoet et sot be réglés. Il exste deux types d'certtudes :. les certtudes systématques (à caractère costat et repérables). les certtudes aléatores ou statstques (o prévsbles) Les sources d'certtudes sot à chercher : a) das les étalos d'usage qu peuvet s'user, vore se déformer à la logue.
Err. Mes. b) das l'apparellage utlsé, qu peut être très varé selo la précso recherchée. Il possède tros caractérstques : - la sesblté, qu peut être défe par la plus pette fracto de la gradeur qu'l permet de déceler, - la précso, défe par la lmte supéreure de l'écart etre la valeur obteue au moye de l'apparel et la valeur "vrae". Cet écart peut revêtr deux atures: systématque (dcatos fausses, mas reproductbles) ou accdetelle (varat d'ue mesure à l'autre). Gééralemet les deux écarts coexstet. - la fablté, qu peut être défe par l'apttude de l'apparellage à lmter l'évoluto das le temps de ses caractérstques teres. c) das la méthode utlsée qu a oblgatoremet ue fluece détermate sur la précso des mesures. Elle peut trodure otammet des certtudes systématques que l'o peut compeser ou eutralser plus ou mos be. d) auss chez l'opérateur dot le rôle joué est complexe. L'mperfecto des ses de celu-c, vore so préjugé, sot auss ue source d'certtudes qu costtue ce que l'o appelle "l'équato persoelle" (par exemple le retard systématque des chroométreurs). Le chox de la méthode as que les progrès de l'automatsato permettet de rédure ces certtudes. Les certtudes systématques Les certtudes systématques, qu sot à caractère costat et doc repérables, dovet être corrgées. U exemple smple est la mse à zéro d'u voltmètre. S le voltmètre 'est pas ms exactemet à zéro avat so usage, toutes les valeurs dquées serot décalées das u ses. Cepedat, même s o met sogeusemet le voltmètre à zéro, l subsste toujours ue certtude. Les certtudes aléatores ou statstques Les certtudes aléatores peuvet prover des mprécsos lées à l'strumetato et/ou à la ature statstque des phéomèes observés. Das le premer cas, les "mperfectos" cosstet e des facteurs o cotrôlés au veau des strumets de mesure ou des codtos de la mesure. Par exemple, l peut y avor du jeu das les jots mécaques d'u mcromètre, des varatos das l'épasseur des trats d'ue règle ou l'échelle d'u voltmètre, etc. Ces facteurs vot varer aléatoremet d'ue mesure à l'autre et perturberot as le résultat. E coséquece, s o fat ue sére de mesures répétées, o trouvera ue dstrbuto de valeurs. S o procède à u ombre f de mesures, la moyee de cette dstrbuto correspodra à la vrae valeur de la quatté mesurée alors que la dsperso de la dstrbuto sera lée aux mperfectos de l'strumet (la précso). Il est évdet que plus o cotrôlera les dfférets facteurs de la mesure, plus la mesure devedra précse et plus la dstrbuto devedra étrote.
Err. Mes. 3 Das le deuxème cas, c'est le phéomèe physque lu-même qu vare. U exemple est la radoactvté: le ombre de déstégratos subes par ue source radoactve das ue pérode Δt vare aléatoremet selo les los probablstes de la mécaque quatque. C'est pourquo s l'o fat ue sére de mesures e comptat le ombre de coups d'ue source radoactve quelcoque pedat ue pérode de temps Δt avec u détecteur déal, o trouvera toujours ue dstrbuto de valeurs. Cotraremet aux certtudes systématques, les certtudes aléatores peuvet être tratées par la théore de la statstque. III. ENSEMBLES DE MESURES. Sot u esemble de mesures x débarrassées des certtudes systématques, effectuées u grad ombre de fos. Sur u dagramme, reportos x e abscsse, pus e ordoée le ombre N de fos que l'o a obteu des valeurs comprses etre x et x, x et x 3, etc. O obtet le dagramme des fréqueces absolues (ou relatves, c'est-à-dre rapportées au ombre total de mesures), Fg.. a) b) Fg. : Dagrammes de fréquece: a) pour u ombre f de mesures, b) pour u ombre f de mesures. S le ombre des mesures est très grad, o peut evsager ue varato pratquemet cotue de N, ce qu codut à l'troducto d'ue focto f(x) appelée desté de fréquece ou focto de dstrbuto qu représete la dstrbuto des mesures (Fg. b) As le ombre de mesures dot les valeurs serot comprses etre a et b sera doé par: N = a b f (x) dx Le dagramme des fréqueces est caractérsé par : () = M - la moyee m x f ( x ) = a ()
Err. Mes. 4 avec fa = fréquece absolue et M = ombre total de mesures = M - la varace s ( x m) f ( x ) = a (3) qu, pour u ombre f de mesures, devet = M > M = σ lm ( x μ) f ( x ) avec = lm [ m] a μ (4) M > s et σ sot des paramètres aptes à estmer la largeur de la zoe de fréquece maxmum. O désge par écart-type ou écart-stadard la quatté σ. Pour être complètemet fxé au sujet de la valeur des paramètres μ et σ, l faudrat pouvor dsposer d'ue sute fe de mesures. Comme cela 'est pas possble, o se cotete d'ue sute fe de mesures, qu foursset des estmatos m et s des paramètres μ et σ. E pratque, o compare les dstrbutos de fréqueces observées à des dstrbutos théorques défes à pror, das le but de décrre au meux ce que l'o observe. IV. DISTRIBUTIONS DE PROBABILITE. Les dstrbutos le plus courammet utlsées e physque expérmetale sot la dstrbuto de Gauss et la dstrbuto de Posso. Les dstrbutos sot souvet décrtes e termes de moyee et de varace. Sot f(x) la focto de dstrbuto d'ue varable aléatore x. La moyee est alors défe par: μ = - x f(x) dx où l'tégrato s'opère sur toutes les valeurs de x permses. La moyee représete d'ue certae faço "le cetre de gravté" de la dstrbuto. La codto - f(x) dx = exprme la certtude d'avor ue mesure comprse etre - et +. La varace est défe par: σ = x - μ f(x) dx - La race de la varace σ est appelée "écart-type". Ce paramètre doe doc ue mesure de la dsperso ou de la largeur de la dstrbuto. (5) (6)
Err. Mes. 5 a) Dstrbuto de Gauss La dstrbuto Gaussee (auss appelée dstrbuto "ormale") est la dstrbuto qu décrt pratquemet toutes les certtudes strumetales aléatores (Fg. ). S μ est la moyee et σ l'écart-type, alors la focto de fréquece vaut: f (x) = σ π exp - x - μ σ (7) Et, le chagemet de varable, σ codut à la courbe ormale dte rédute, cetrée autour de X = 0: X = x - μ et F (X)= σ f (x) F (X) = π exp - X (8) Fg. : Dstrbuto de Gauss Comme o le vot sur la fgure, σ est ue mesure de la largeur ou dsperso de la dstrbuto. Pour la Gaussee, l'écart-type correspod à la dem-largeur de la courbe à ue hauteur d'à peu près /3 du maxmum. Il est mportat de remarquer que la Gaussee est ue dstrbuto très "cocetrée". S o calcule l'are de la dstrbuto etre μ σ et μ + σ, o trouvera 68,3%. Etre μ σ et μ + σ, cette valeur s'élève à 95,5% alors qu'etre μ 3σ et μ + 3σ, la surface est de 99,7%. O déft ecore σ m tel que : μ - σm f (x) dx + f (x) dx = 0.5 (9) - μ + σm c'est-à-dre tel que 50% des valeurs sot stuées à l'extéreur de l'tervalle (μ σ m, μ+σ m). σ m déft l'écart méda, et l vaut : σ m = 0.6745 σ.
Err. Mes. 6 b) Dstrbuto de Posso Cotraremet à la dstrbuto de Gauss, la dstrbuto de Posso est ue dstrbuto dscrète, c.à.d. ue dstrbuto dot les valeurs x peuvet seulemet predre des valeurs etères. Elle est défe par la focto de dstrbuto suvate: f (x) = e - μ μx x! (0) où μ est la moyee de la dstrbuto. La dstrbuto de Posso a la proprété que sa varace σ est égale à la moyee μ. L'écart-type de la dstrbuto est doc σ = μ () Das le cas d'u évèemet aléatore E qu peut se produre u grad ombre de fos durat ue logue pérode d'observato t, mas qu apparaît raremet pour t pett, f (x) est la probablté pour que E at leu 0,,,...,x fos. La dstrbuto Posso est partculèremet utle das le domae de la physque ucléare et des partcules car elle décrt, par exemple, le ombre de déstégratos émses par ue source radoactve das ue pérode de temps doée ou ecore le ombre d'teractos produtes par u fasceau de partcules frappat ue cble. V. ANALYSE DES INCERTITUDES DE MESURES La vrae valeur d'ue quatté e peut être obteue qu'e procédat à ue sére fe de mesures répétées. La moyee de la dstrbuto obteue correspodrat à ce momet-là à la vrae valeur. Il est évdet que cec est mpossble et que ous devos ous coteter d'ue sére fe de mesures. Cette sére correspodra à u échatllo de la dstrbuto "fe" qu 'exste que d'ue maère abstrate. A partr de cet échatllo, ous pouvos calculer la moyee représetat ue estmato de la vrae valeur. Soet x, x,..., x les résultats de mesures répétées. La melleure estmato de la moyee "déale", est doée par la moyee arthmétque: x = x = () De même, o peut estmer la varace ou l'écart-type par: s = = ( x x) (3)
Err. Mes. 7 Remarquos qu'l est mportat de dfférecer la moyee μ et la varace σ de la dstrbuto "déale", c.à.d. celle obteue das la lmte d'u ombre f de mesures, de ses "estmateurs", c.à.d. la moyee x et la varace s calculées à partr de l'échatllo de mesures. Quelle est mateat l'certtude sur l'estmato de la vrae valeur μ? Pour calculer cette quatté, l est mportat de compredre que x est auss ue varable aléatore. S l'o fasat ue deuxème sére de mesures, o trouverat ue moyee x qu serat probablemet dfférete de la premère. Ue trosème sére doerat ecore u autre résultat, etc. O peut doc predre u ombre f d'échatllos de talle, calculer la moyee x de chacu d'eux et regarder la dstrbuto de x as formée. Sot ν échatllos de mesures, x la valeur moyee de l'échatllo. La moyee m des moyees vaut smplemet: avec m = (4) ν x ν = m > μ pour ν Sot e = x - μ, l'certtude de la ème mesure. L'certtude E sur la moyee x vaut: E = x μ = x μ = ( x μ) = e (5) = = = et E = e + j e e j (6) Calculos la moyee de E. O a : e = e et e e j j = 0 (car e et ej dépedats) doc E = e et comme E = σ m et e = σ L'certtude sur la moyee m des moyees vaut: σ σ m = (7) mas, de l éq. (3): s ( x x) = ( e E) = e E e + E = = = = = = e = E et, e preat la valeur moyee: σ s = e E = σ σ m = σ =
Err. Mes. 8 doc σ = - s (8) <s > 'est pas cou, o se cotete de s comme approxmato: σ = - s et σ m = - s (9) Nous remarquos que das la lmte ->, l'certtude sur la moyee ted vers zéro. Notos auss que das le cas d'ue seule mesure, =, l'certtude devet σ m = σ. Ce résultat ous permet d'terpréter σ. σ doe accès à la précso de l'strumet qu est trsèque à l'apparel, et qu est détermée par la largeur de la dstrbuto déale. La précso de la mesure est doée par l'certtude sur la moyee σ m qu déped de la précso de l'strumet et du ombre de mesures. C'est seulemet das le cas où le ombre de mesures vaut que la précso de la mesure égale la précso de l'strumet. L'certtude (μ - x ) = σ m dmue lorsque le ombre de mesures augmete. L'exame de la courbe μ - x = f() (Fg. 3) motre cepedat qu'l 'est guère écessare de porter le ombre des mesures au-delà d'ue valeur c = 0, vu le raletssemet de la décrossace de la courbe pour 0. Fg. 3: Varato de l'certtude sur ue moyee de mesures. VI. EXEMPLE U groupe d'étudats mesure l'épasseur d'ue feulle métallque à l'ade d'u mcromètre dot la précso est coue. Ils fot 0 mesures et obteet les résultats suvats 50 5 49 46 50 53 5 5 49 53 μm Doez ue valeur pour l'épasseur et so certtude. Quelle est la précso du mcromètre?
Err. Mes. 9 L'épasseur la plus probable est doée par la moyee: x - = 505 0 = 50.5 μm L'certtude est obteue par l'équato (II.9): σ m = 0.69 μm L'épasseur de la feulle est alors: x = 50.5 ± 0.7 μm Comme ous l'avos déjà vu, la précso du mcromètre correspod à l'écart-type, doc précso du mcromètre de l ordre de σ =. μm II. 7 REGLE ELEMENTAIRE DU CALCUL DES INCERTITUDES COMPOSEES O va cosdérer que les certtudes dvduelles sot e gééral pettes par rapport à la gradeur mesurée. Coveto: l'certtude sur ue mesure dvduelle x se ote sot e valeur absolue Δx (même uté que x) sot e valeur relatve Δx (e %). x Pour évaluer l'certtude ΔG sur ue gradeur G focto de pluseurs varables dépedates x, y, z,..., lorsqu o coaît les certtudes dvduelles Δx, Δy, Δz,..., o développe G e sére de TAYLOR, et o e retet que les termes du premer ordre. G G G Δ G = Δx + Δy + Δz (0) x y z Comme l faut coaître l'certtude maxmum qu etache u résultat, o pred les valeurs absolues: G G G Δ G = Δx + Δy + Δz () x y z Cette formule permet e partculer d'établr les règles élémetares qu régsset le calcul d'certtude das des cas smples. Par exemple: ΔG = Δx + Δy lorsque G = x + y ou G = x - y ΔG = Δx G x + Δy y lorsque G = x. y ou G = x/y VIII. LOI DE PROPAGATION DES INCERTITUDES Souvet, l est écessare d'utlser le résultat d'ue mesure pour e calculer u autre. Il est évdet que l'certtude sur la mesure va produre auss ue certtude
Err. Mes. 0 au veau de ce ouveau résultat. O dt que l'certtude a été propagée. Quelle est la valeur de cette certtude? Sot la focto u = f(x, y, z) où x, y, z sot des gradeurs mesurées comportat des certtudes σ x, σ y, σ z, respectvemet. Il s'agt doc de calculer la varace de u, σ u, e focto des varaces de x, y, z. Pour la mesure, o a : u = f(x, y, z) et o admettra que la valeur moyee est doée par : u = f(x, y,z ) La varace vaut : σ u = lm N N ( u u ) E développat au premer ordre autour de u = u,...x = x,...o obtet : σ u = mas lm N N ( ) + u u u u x x x y ( y y )+ u z z z ( ) et ( x x ) u + ( y x y ) u y +...+ ( x x )y ( y ) u u x y +... lm ( x N N x ) = σ x d où la formule : σ u = σ x u + σ x y u y + σ z u + z + σ xy u x u y + σ xz u x u + σ z yz u y u z () Les facteurs σxy, σxz, etc. sot appelés les "covaraces". Elles sot lées à la corrélato etre chaque pare de varables et l exste doc autat de covaraces que de pares de varables. Cepedat, s chaque varable est le résultat d'ue mesure dépedate, ce qu est ormalemet le cas das les mesures e physque, les covaraces sot ulles et la formule se rédut à ue somme de carrés, doc: σ u = σ x u + σ x y u y + σ z u z (*) Exemple: La pérode T d'u pedule est doée par: T = π L g où L est la logueur du pedule et g la costate de gravté. Calculer g et l'certtude sur g à partr des résultats de mesures suvates : L = 99.8 ± 0.3 cm et T =.03 ± 0.05 s, e supposat L et T o corrélés.
Err. Mes. Evdemmet : g = 4π L/T = 9.56 m/s L'certtude est obteue par l'éq. (*): σ g = σ g L L + σ g T T 4π σ g = σ L T 8π L + σ T T 3 = 0.3 m s 4 doc σ g = 0.47 m/s, et doc g = 9.56 + 0.47 m/s IX. CORRELATION DE DEUX VARIABLES ALEATOIRES DEPENDANTES ET COURBES DE REGRESSION. Jusqu c o a dscuté les problèmes relatfs aux varables aléatores dépedates. Cosdéros mateat les problèmes de deux varables aléatores o dépedates. La forme lmte de la dépedace de deux varables aléatores rejot la relato mathématque y = f (x) et l'o dt que la varable aléatore dépedate y est ue focto de la varable aléatore dépedate x. E gééral, o e coaît pas cette dépedace et pour la découvrr, l faut réur certaes doées qu cosstet e observables couplées x et y. Ces observables représetet u "uage" de pots das le pla xy (pla de mesure). O se pose le problème fodametal suvat: détermer la relato mathématque y = f(x) au moye du uage de pots x et y. L'mage de cette relato das le pla des mesures déft la courbe de régresso ou courbe d'ajustemet y = f(x) représetée sur la fgure 4. y x Fg. 4 : Nuage de pots x et y et courbe de régresso Ue fos coue, cette courbe permet de prédre la valeur probable de la varable dépedate y e focto de la varable dépedate x.
Err. Mes. E gééral, o recherche ue relato léare etre les varables x et y (échelles log, sem-log,.). Das le pla xy, la relato léare est représetée par ue drote. Deux méthodes s'offret prcpalemet à ous pour détermer cette derère. ) Méthode graphque Ayat à dsposto pluseurs pots de la dépedace etre x et y, o trace au jugé, das le pla des mesures xy, ue drote apte à satsfare le meux possble ue relato léare etre les deux varables. La drote as costrute est appelée "drote de régresso estmée". La méthode est smple, mas de ature subjectve. ) Méthode des modres carrés Ayat rassemblé des pots (x, y) de sgfcatos équvaletes quat aux codtos das lesquelles les mesures ot été effectuées et quat à la précso de ces derères, o cherche ue drote d'équato y = ax + b (3) redat mmum la somme S des segmets MM dqués sur la fgure 5. S = (y - ax - b) (4) = y M (x,y ) φ _ M(X,Y) M (x, ax + b) x Fg. 5: Drote de régresso Les pots statoares de S sot fours par les deux relatos S a = 0 S et = 0 b (5)
Err. Mes. 3 De la secode, o tre (y - ax - b) = 0 = sot e dvsat membre à membre par : y - a x - b = 0 (6) = = ȳ ax - qu sgfe que la drote de régresso passe par le cetre de gravté M(x,y) du uage. De l équato (6), o obtet: b = y - a x ( ) Das ces codtos, la somme S s'écrt (éq. (4)): S = y y a(x x ) (x x )(y y ) S Falemet de = 0, o tre : a= = (7) a (x x ) Ce qu achève la détermato de la drote d'équato (3). = = Icerttudes : Des calculs plus complets permettet de motrer que les certtudes sur la pete de la drote «a» et sur l ordoée à l orge «b» valet : ( Δa) = ( y ax b) = ( ) x x ( ) et ( Δb) + x x x = ( ) = ( y ax b) ( ) X. BIBLIOGRAPHIE. P.R. Bevgto, Data Reducto ad Error Aalyss for the Physcal Sceces (McGraw-Hll Book Co., New-York (969). W.R. Leo, Techques for Nuclear ad Partcle Physcs Expermets (Sprger- Verlag, Hedelberg 987) chap.4 3. S.L. Meyers, Data Aalyss for Scetsts (Joh Wley & Sos, New-York 976) 4. G. L. Squres, Practcal physcs. (Cambrdge Uversty Press, 3 rd edto, 985)