Opératios sur les variables aléatoires Lois limites A. Idépedace de deux variables aléatoires. Exemple 1. Pour améliorer le stockage d u produit u supermarché fait ue étude sur la vete de packs de 6 bouteilles d eau de marques A et B. O ote :, la variable aléatoire mesurat le ombre de packs d eau de marque A achetés ;, la variable aléatoire mesurat le ombre de packs d eau de marque B achetés ; La probabilité P( = x i et = y i ) est doée das le tableau suivat. 1 2 3 Totaux 1 0,1 0,2 0,2 2 0,1 0,3 0,1 Totaux Défiitio. Soit et deux variables aléatoires discrètes O pose : (Ω) = {x 1, x 2,..., x i,..., x } (Ω) = {y 1, y 2,..., y j,..., x m } et sot deux variables aléatoires idépedates si et seulemet si : P( = x i et = y j ) = P( = x i ) P( = y j ) Ce qui s écrit ecore : P(( = x i ) ( = y j )) = P( = x i ) P( = y j ) Exemple 2. Repreos l exemple 1. Les variables et sot-elles idépedates? Calculos par exemple P( = 1) P( = 2) et comparos avec P( = 1 et = 2) Coclusio : Les deux résultats sot, les variables aléatoires et
Exemple 3. O doe la loi de probabilité du couple de variables aléatoires et. 10 20 Totaux 10 0,08 0,12 20 0,20 0,30 30 0,12 0,18 Totaux 1 Compléter le tableau. 2 Pour tout i {1, 2, 3} et j {1, 2} comparer P( = x i et = y j ) P( = x i ) P( = y j ) 3 Coclusio : B. Opératios sur les variables aléatoires. B.1. Somme de deux variables aléatoires. Exemple 4. Repreos l exemple1. O s itéresse au ombre de packs d eau achetés par le cliet O obtiet ue ouvelle variable aléatoire S égale à la somme des variables et. Défiissos cette variable aléatoire S. Das le tableau iséros das chaque case la somme : 1 2 3 1 s = 2 0,1 s = 3 0,2 s = 4 0,2 2 s = 3 0,1 s = 4 0,3 s = 5 0,1 Les valeurs de S sot 2, 3, 4 et 5. O associe à chacue de ces valeurs la somme des probabilités qui lui correspodet. O défii aisi la loi de probabilité de S présetée das u tableau Valeurs de s i 2 3 4 5 P(S = s i )
B1.1. Défiitio. Soit et deux variables aléatoires. La somme + est ue variable aléatoire S : S = +. La loi de probabilité de S est obteue e associat à chaque valeur s de S, la somme des probabilités correspodats à tous les couples dot la somme des termes est égale à s. B.1.2. Espérace mathématique de la somme de deux variables aléatoires. Propriété. Soit et deux variables aléatoires. Exemple 5. L espérace mathématique de la somme + est égale à la somme des espéraces mathématiques de et de. E( + ) = E( ) + E() Repreos l exemple1 et calculos E(), E() et E( + ). E() = E() = E( + ) = Coclusio : Exercice 6. Repreos l exercice 3 ; 10 20 10 s = 0,08 s = 0,12 20 s = 0,20 s = 0,30 30 s = 0,12 s = 0,18 1 Défiir la loi de probabilité de S = +. 2 Calculer E(), E() et E( + ), et vérifier l égalité E( + ) = E( ) + E() 1 O précise d abord la loi de probabilité de la somme S = + par le tableau suivat : Valeurs de s i 20 30 40 50 P(S = s i ) 2 E() = E() = E( + ) = Coclusio :
B.1.3. Variace de la somme de deux variables aléatoires. Propriété. Si et sot deux variables aléatoires idépedates, alors la variace de la somme + est égale à la somme des variaces de et de. V( + ) = V( ) + V() {La réciproque est fausse!} Exercice 7. 1 Repreos l exemple1 et calculos V(), V() et V( + ). 2 L égalité V( + ) = V( ) + V() est- elle vérifiée. Que peut-o coclure? 1 V() = E(²) [E()] 2 = Σ p i x 2 i [E()] 2 = V() = E(²) [E()] 2 = Σ q i y i 2 [E()] 2 = V( + ) = Σ P(S = s i ) s 2 i [E( + )] 2 2 Exercice 8. Repreos l exemple 2. Calculer V( ), V() et V( + ) V() = E(²) [E()] 2 = Σ p i x 2 i [E()] 2 = V() = E(²) [E()] 2 = Σ q i y i 2 [E()] 2 = V( + ) = Σ P(S = s i ) s i 2 [E( + )] 2 = B.2. Différece de deux variables aléatoires. Défiitio. Soit et deux variables aléatoires. La différece est ue variable aléatoire D. La loi de probabilité de D est obteue e associat à chaque valeur d de D, la somme des probabilités correspodats à tous les couples dot la différece des termes est égale à d. Propriété. Soit et deux variables aléatoires. E( ) = E( ) E() Si et sot idépedates, alors V( ) = V( ) + V()
Exercice 9. La loi de probabilité du couple (, ) est doée par le tableau 2 1 0 Totaux 0 0,12 0,24 0,24 1 0,08 0,16 0,16 Totaux 1 Détermier la loi de probabilité de. 2 Calculer les ombres E( ), E() et E( ) et les comparer. 3 Calculer les ombres V( ), V() et V( ) et les comparer. Justifier Lerésultat.
C. Lois limites. C.1.Théorèmes admis.. Théorème de Beroulli (Loi faible des grads ombres). Soit ue variable aléatoire et variables 1, 2,....,, de même loi de probabilité que celle de. Si o pose : S = 1 + 2 +.... + et = S. alors pour tout ε > 0, lim P( E() < ε) = 1. + Sigificatio de ce théorème. Soit ue expériece aléatoire qui coduit à deux résultats : succès échec O lace u dé. Si o obtiet 6, c est gagé et o marque 1 poit, sio c est perdu, o marque 0 poits. O lui associe la variable aléatoire suivate : Ω [0 ; 1] ω 1 {succès} ω 0 {échec} E() = p ombre fixé e théorie O répète fois cette même expériece. (6) = 1 (1) = (2) = (3) = (4) = (5) = 0. O lace u dé 30 fois E() = 1 6 Les variables aléatoires 1, 2,....,, ot la même loi de probabilité. E( 1 ) = E( 2 ) =.... = E( ) = E() = p. Pour coaître le ombre de succès, o étudie la variable aléatoire : : «Fréquece des succès» = Nombre de succès Nombre d'éxpérieces aléatoires = Nombre de 6 Nombre de lacers = 1 + 2 +.... + E( ) = E( 1) + E( 2 ) +.... + E( ) Est-o éloigé du résultat théorique? = p p = p Pour le savoir, o étudie la différece p Soit ε u réel positif tel que p < ε Il y a peu de chace que l o trouve le résultat théorique 1 6. O lace le dé 1000 fois : 1000 = Nombre de 6 1000 Le théorème affirme que : lim + P( E() < ε) = 1 Le théorème dit que plus est grad, plus se rapproche de la valeur théorique p. Ituitivemet, ce résultat semble simple.
Théorème de la limite cetrée. Si 1, 2,....,, sot des variables aléatoires idépedates de même loi de probabilité, de même espérace mathématique m et de même variace σ 2, alors lorsque est «suffisammet grad» o admet : La loi de probabilité de la variable aléatoire S = 1 + 2 +.... +, qui mesure la somme des variables aléatoires suit approximativemet «la loi ormale de moyee m et d écart type σ, otée N( m, σ ) La loi de probabilité de la variable aléatoire = S qui mesure la moyee des variables aléatoires suit approximativemet «la loi ormale» N m, σ. C.2. Applicatio : lois d échatilloage. E statistique, il est e gééral impossible d étudier u caractère sur toute ue populatio de taille N élevée. Avat d aborder le problème de l estimatio de valeurs caractéristiques icoues das la populatio (ce problème sera traité das le chapitre qui suit : statistique iféretielle), il est idispesable de commecer par l étude de la théorie de l échatilloage. Das ce cas les paramètres du caractère étudié das la populatio sot cous et o e déduit les propriétés sur l esemble des échatillos prélevés das la populatio. Nous evisageros das cette partie que des échatillos aléatoires, c'est-à-dire que tout élémet de l échatillo est choisi au hasard, et de plus, les choix sot idépedats car supposés avec remise. L esemble des échatillos de taille est appelé échatilloage de taille. C.2.1. Loi d échatilloage des moyees. État doé ue populatio de taille N et ue variable aléatoire défiissat le caractère étudié telle que : E() = m et σ() = σ. Pour prélever les échatillos de taille, o a procédé à épreuves idépedates auxquelles correspodet variables aléatoires 1, 2,...., de même loi que. La variable aléatoire = 1 + 2 +.... + échatillo. associe à tout échatillo de taille la moyee de cette Populatio (N, m, σ) Echatillos x 1 x 2... x k σ 1 σ 2 σ k
Quad est suffisammet grad, la loi d échatilloage de la variable aléatoire = 1 + 2 +.... + qui mesure la moyee des échatillos de taille suit d après le théorème de la limite cetrée, approximativemet ue loi ormale. O retrouve les valeurs caractéristiques de cette loi e calculat E( ) et σ( ). E( ) = E 1 + 2 +.... + V( ) = V 1 + 2 +.... + = 1 E( 1 + 2 +.... + ) = 1 [ E( 1) + E( ] 2 ) +.... + E( ) = 1 E() E( ) = E() = m = 1 2 V( 1 + 2 +.... + ) = 1 [ ] 2 V( 1 ) + V( 2 ) +.... + V( ) V( ) = 1 2 V() = = 1 V() = 1 σ2 d où σ() = σ Théorème. La loi d échatilloage de taille de la moyee, quad deviet grad ( 30), peut être approchée par la loi ormale N m, σ C.2.2. Loi d échatilloage des fréqueces. O étudie sur ue populatio de taille N Soit u caractère à deux résultats : O cosidère la variable aléatoire associée : Ω [0 ; 1] ω 1 si ω possède le caractère {succès} ω 0 sio Das cette situatio : E() = p est la probabilité de succès et V() = p(1 p) Pour costituer chacu des échatillos de taille, o répète fois la même épreuve de maière idépedate. O obtiet variables aléatoires 1, 2,...., de même loi que. Cosidéros la variable aléatoire S = 1 + 2 +.... + qui mesure le ombre succès O a : E(S ) = E() = p et V(S ) = V() = p(1 p) Quad deviet suffisammet grad, la loi d échatilloage de f = S qui mesure la fréquece des succès das les échatillos de taille peut être approchée par ue loi ormale d après le théorème de la limite cetrée. O retrouve les valeurs caractéristiques de cette loi e calculat : E(f ) = E S = 1 E(S ) = 1 p = p V(f ) = V S = 1 2 V(S ) = 1 2 p(1 p) = p(1 p) = pq avec q = (1 p) et doc σ(f ) = pq Théorème. La loi d échatilloage de taille de la fréquece f, quad deviet grad ( 30), peut être approchée par la loi ormale N pq p,