Clculs de primitives et d intégrles Dns ce chpitre, on borde exclusivement les clculs de primitives ou d intégrles comme le prévoit le progrmme officiel L théorie de l intégrtion est repoussée u deuxième semestre Pln du chpitre Primitives et intégrles : rppels de Terminle et compléments pge Primitives pge Formulires de primitives usuelles pge 3 Intégrles pge 6 4 Intégrle fonction de l borne supérieure pge 7 L formule d intégrtion pr prtiespge 9 3 Chngements de vrible pge 3 L formule de chngement de vribles pge 3 Quelques pplictions pge 3 4 Quelques situtions usuelles pge 4 4 Primitives de x, pge 4 +bx+c 4 Primitives de fonctions trnscendntes dont l dérivée est lgébrique ln, Arcsin, Arctn, pge 5 43 Produit d une exponentielle et d un polynôme pge 5 44 Produit d une exponentielle et d un sinus ou d un cosinus pge 6 45 Polynômes trigonométriques pge 6 46 Frctions rtionnelles en sinx, cosx et tnx pge 7 47 Frctions rtionnelles en e x, chx, shx et thx pge 8 c Jen-Louis Rouget, 6 Tous droits réservés http ://wwwmths-frncefr
Primitives et intégrles : rppels de Terminle et compléments Primitives Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I de R Une primitive de f sur I est une fonction F dérivble sur I telle que F f Pr exemple, les fonctions F : x x et F : x x + sont deux primitives de l fonction f : x x sur R On dmet pour l instnt le théorème suivnt : Théorème Soit f une fonction définie sur un intervlle I de R, à vleurs dns R resp C Si f est continue sur l intervlle I, lors f dmet u moins une primitive sur I Si F est une primitive de f sur I, les primitives de f sur I sont les fonctions de l forme x Fx+C où C R resp C 3 Pour tout x,y I R resp I C, il existe une primitive F de f sur I et une seule telle que Fx y Commentire Il ne fut ps considérer le comme une necdote Il existe des fonctions très simples qui n dmettent ps de primitive Considérons pr exemple, l fonction f : [,] R x Ex où Ex désigne l prtie entière du réel x { si x < Pour tout x de [,], on fx Supposons pr l bsurde que l fonction f dmette une primitive F sur [,] F si x est une fonction dérivble sur [,], de dérivée nulle sur [,[ Donc, F est constnte sur [,[ Mis F étnt dérivble sur [,], F est en prticulier continue sur [,] Puisque F est constnte sur [,[ et continue sur [,], F est constnte sur [,] Mis lors, puisque F est constnte sur [,], s dérivée F est nulle sur [,] ou encore f est nulle sur [,] ce qui n est ps L fonction f n dmet donc ps de primitive sur [,] Formulires de primitives usuelles On récupère les formules de dérivées des chpitres ntérieurs et on les inverse On obtient les formulires de primitives ci-dessous Le premier concerne les «fonctions puissnces» Fonction Une primitive Intervlle Commentire x n x n+ x x n n+ lnx R ], + [ n N n x n R + ou R n N\{,} x x ],+ [ x α x α+ α+ ],+ [ α R\{ } Le deuxième formulire concerne les «fonctions exponentielles» et pprentées c Jen-Louis Rouget, 6 Tous droits réservés http ://wwwmths-frncefr
Fonction Une primitive Intervlle Commentire e x e x R e zx z ezx R z C x x ln shx chx R chx shx R ch x th x thx R th x lnch x R Le troisième concerne l «trigonométrie circulire» R > et Fonction Une primitive Intervlle Commentire cosx sinx R sinx cosx R cos x +tn x tnx ] π +kπ, π [ +kπ k Z sin x cotn x cotnx ]kπ,k+π[ k Z tnx sinx cosx ln cosx x ln tn x ln tn + π 4 Les deux dernières formules méritent un commentire Nous décrirons plus loin différentes mnières de les étblir Pour l instnt, le plus simple est de les vérifier : x x ln tn +tn x x x tn tn / +tn sinx Cette formule est vlble sur tout intervlle sur lequel l fonction sinus ne s nnule ps Ensuite, x ln tn + π ln x+π/ 4 tn sin x+ π cosx Le qutrième formulire concerne les fonctions trigonométriques réciproques Fonction Une primitive Intervlle Commentire x x Arcsinx x Arcsin ],[ ],[ > +x Arctnx R x x + Arctn x+α +β β Arctn x+α β R R β c Jen-Louis Rouget, 6 Tous droits réservés 3 http ://wwwmths-frncefr
Vérifions les deuxième et qutrième formules Si >, De même, si, x Arcsin x Arctn x + x x x +x x + L dernière formule s en déduit pr trnsltion Cette formule ser utilisée dns les clculs de primitives de certines frctions rtionnelles Nous llons jouter encore deux formules de primitives à toutes celles qui viennent d être données Une primitive sur I ], [ ou I ],[ ou I ],+ [ de l fonction f : x est l fonction x x ln x +x lors qu une primitive de l fonction x sur R est l fonction x Arctnx +x En effet, pour tout x de I, x x+x x++x x+x x x+x + +x x+x +x + x +x x et donc une primitive de f sur I est l fonction F : x ln +x ln x ln x +x Une primitive sur R de l fonction f : x x+ est l fonction x ln x + lors qu une primitive +x de l fonction x x F x sur ],[ est l fonction x Arcsinx En effet, pour tout x de I, + x + x x + x+ x + x+ x + x + x+ x + Sinon, il y des formules plus générles : si F et G sont des primitives de f et g sur I intervlle donné de R, lors une primitive de f+g sur I est F+G et une primitive de λf λ C sur I est λf D utre prt, si f est dérivble sur I et g est dérivble sur fi, une primitive de f g f sur I est g f Cette dernière formule fournit le formulire non exhustif suivnt : Fonction Primitive Commentire f f α f α+ f f f f n f f α+ ln f n f n f α R\{ } n N\{,} f e f f sinf f cosf f shf f chf e f cosf sinf chf shf c Jen-Louis Rouget, 6 Tous droits réservés 4 http ://wwwmths-frncefr
f cos f f +tn f f ch f f th f f f tnf thf Arcsin f f +f Arctnf L deuxième formule une primitive de f f strictement positive, sur I est ln f mérite un commentire Si I est un intervlle sur lequel f est ln f ln f f f, et si I est un intervlle sur lequel f est strictement négtive, lors ln f ln f f f f f Donc, si I est un intervlle sur lequel f est de signe contnt et ne s nnule ps, une primitive de l fonction x f x fx est l fonction x ln fx Exercice Déterminer une primitive de chcune des fonctions suivntes sur l intervlle I considéré on dmettr que les fonctions considérées sont définies et continues sur I x f : x x 3, I R + f : x x x +, I R sin x 3 f 3 : x x sinx, I ],+ [ 4 f 4 : x x +x+, I R 5 f 5 : x x+ x +x+5, I R 6 f 6 : x +lnxx x, I ],+ [ 7 f 7 : x ex, I R +ex 8 f 8 : x, I ],[ x x 9 f 9 : x x, I ],[ Solution x Pour tout réel x, f x x + 3 x x + 3 vec x + x Donc, une primitive de l fonction f sur R est l fonction F : x x + 4x + Pour tout réel x, f x x x + x x + vec x + x Donc, une primitive de l fonction f sur R est l fonction F : x ln x + ln x + sin x 3 Pour tout réel x >, f 3 x x sinx cosx x sinx vec x sinx cosx Donc, une primitive de l fonction f 3 sur ],+ [ est l fonction F 3 : x lnx sinx cr pour tout x >, x sinx > c Jen-Louis Rouget, 6 Tous droits réservés 5 http ://wwwmths-frncefr
4 Pour tout réel x, f 4 x x +x+ +x+ vec x+ Donc, une primitive de l fonction f 4 sur R est l fonction F 4 : x Arctnx+ 5 Pour tout réel x, f 5 x x+ x +x+5 x + x +x+5 vec x +x+5 x+ Donc, une primitive de l fonction f 5 sur R est l fonction F 5 : x x +x+5 3 x 3 +x+5 x 3 +x+5 6 Pour tout réel x >, f 6 x +lnxx x +lnxe xlnx vec x lnx +lnx Donc, une primitive de l fonction f 6 sur ],+ [ est l fonction F 6 : x e x lnx x x 7 Pour tout réel x, f 7 x fonction F 7 : x Arctne x 8 Pour tout réel x ],[, f 8 x e x +e x e x sur ],[ est l fonction F 8 : x Arcsinx +e x vec ex e x Donc, une primitive de l fonction f 7 sur R est l x x x vec x Donc, une primitive de l fonction f 8 8 Une primitive de l fonction f 9 : x x sur ],[ est l fonction F 9 : x ln x ln x 3 Intégrles Nous redisons que l étude de l théorie de l intégrtion est repoussée u deuxième semestre En prticulier, l définition correcte de l intégrle ttendr Aujourd hui, nous nous contenterons d une définition «intuitive» On se donne f une fonction définie sur un segment [,b] de R à vleurs dns R On suppose de plus que f est continue sur [, b] Pour x [, b], «l ire lgébrique infinitésimle du trit» de mesure lgébrique fx c est-à-dire de longueur fx et ffecté du signe de fx et d épisseur infinitésimle dx pour «différence infinitésimle de vleurs x» est fx dx ire lgébrique fx dx dx dx ire lgébrique fx dx L intégrle de à b de f, notée qund x vrie de à b b fx dx est l lettre S, initile du mot somme, est l somme de ces ires lgébriques ire lgébrique b fxdx b Ensuite, si f est une fonction continue sur le segment [,b] à vleurs dns C, on dopte l définition suivnte : c Jen-Louis Rouget, 6 Tous droits réservés 6 http ://wwwmths-frncefr
Définition Soit f une fonction continue sur un segment [,b] de R à vleurs dns C On pose b fx dx b Refx dx+i b Imfx dx Une première conséquence de l «définition» de l intégrle d une fonction continue sur un segment à vleurs dns R ou C est λ C, b λ dx λb On démontrer u deuxième semestre : Théorème Soit f une fonction continue sur un segment [,b] de R à vleurs dns R ou C où F est une primitive quelconque de f sur [,b] b fx dx Fb F, Commentire Le résultt ne dépend ps du choix d une primitive puisque si G est une utre primitive de f sur [,b], il existe une constnte C telle que pour tout x de [,b], Gx Fx+C On lors Gb G Fb+C F+C Fb F L pluprt des clculs d intégrle se font en deux étpes : clculer une primitive F puis clculer Fb F Pour cette rison, on introduit l nottion Fb F [Fx] b Les propriétés usuelles de l intégrle qui seront étblies u second semestre sont les suivntes : Linérité Soient f deux fonctions continues sur un segment [,b] à vleurs dns R ou C et λ et µ deux nombres réels ou même complexes Alors b λfx+µgxdx λ b fx dx+µ b gx dx On note à ce sujet que l on donc ussi l «linérité du crochet» : [λfx+µgx] b λ[fx]b +µ[gx]b Positivité, croissnce Si f est une fonction continue sur [,b] et positive sur [,b] ou encore à vleurs dns R +, lors b fx dx Si f et g sont deux fonctions continues sur [,b] à vleurs dns R telles que pour tout x de [,b], fx gx ou encore telles que f g, lors b fx dx b gx dx Reltion de Chsles Pour tout réel c de ],b[, fx dx Pour toute fonction f continue sur [,b] à vleurs dns R ou C, 4 Intégrle fonction de l borne supérieure b c b fx dx+ fx dx b c b fx dx fx dx On se donne f une fonction continue sur un intervlle I de R à vleurs dns R ou C On générlise conventionnellement l reltion de Chsles : pour I, lors une reltion de Chsles plus générle : fx dx et pour,b I tel que b <,,b,c I 3, b fx dx Si mintennt est un réel fixé de I et x un réel vrible de I, on c fx dx+ x b c b fx dx fx dx ft dt Fx F ou encore b fx dx On obtient c Jen-Louis Rouget, 6 Tous droits réservés 7 http ://wwwmths-frncefr
On obtient lors : x I, Fx F+ x ft dt Théorème 3 Soit f une fonction continue sur un intervlle I de R à vleurs dns R ou C Pour tout de I, l fonction F : x x ft dt est une primitive de l fonction f sur I pour tout x de I et tout y de R ou C, il existe une primitive F et une seule de f sur I telle que Fx y à svoir : x I, Fx y + x x ft dt expression de l primitive de f sur I qui prend l vleur y en x En prticulier, pour tout x de I, l primitive de l fonction f sur I qui s nnule en x est l fonction x Pr exemple, pour tout réel x, Arctnx Commentire L nottion x x +t dt x x ft dt fx dx ne veut rien dire : comment x pourrit-il vrier de à x comment pourrit-il vrier de à? On besoin de deux lettres différentes Un réel x de I est donné dns I puis un réel t vrie de à x ou de x à Dns l nottion du genre t x x ft dt, l vrible t est muette ft dt ne veut rien dire x ft dt est une fonction de x mis ps de t Pour cette rison, une phrse Les primitives de f sur I sont les fonctions de l forme x λ+ ft dt où λ et sont quelconques On décide lors de noter ft dt l ensemble des primitives de f sur I Cette nottion permet d écrire de mnière brégée pr exemple x dx x +C, C R x Exercice Pour x R, on pose Fx à un repère orthonormé O, i, j Vérifier que F est définie sur R x dt On note C l courbe représenttive de F dns le pln rpporté +t 4 Vérifier que F est dérivble sur R et préciser s dérivée En déduire les vritions de F sur R 3 Déterminer une éqution de l tngente à C en son point d bscisse 4 En considérnt l fonction ϕ : x Fx+F x, montrer que l fonction F est impire 5 Montrer que pour tout x, Fx < b En déduire que F une limite réelle en + 6 Donner l llure du grphe de l fonction F Solution Pour x R, on pose fx x de sorte que pour tout réel x, Fx ft dt +x 4 Pour tout réel x, x 4 + > Donc, l fonction f est continue sur R On en déduit que l fonction F est définie sur R Puisque f est continue sur R, F est dérivble sur R et F f Puisque x R, F x +x 4 l fonction F est strictement positive sur R et donc l fonction F est strictement croissnte sur R 3 Une éqution de l tngente à C en son point d bscisseesty F+F x vecf etf Une éqution de l tngente à C en son point d bscisse est y x + 4 4 L fonction f est pire Pour x R, posons ϕx Fx+F x L fonction ϕ est dérivble sur R et pour tout réel x, c Jen-Louis Rouget, 6 Tous droits réservés 8 http ://wwwmths-frncefr
ϕ x F x F x fx f x L fonction ϕ est donc constnte sur R puis pour tout x R, ϕx ϕ F+F On en déduit que pour tout réel x, F x Fx et donc que l fonction F est impire 5 Soit x Fx + x dt+ +t 4 x dt+ + 4 x x < On montré que pour tout x >, Fx < +t 4 dt dt cr x +t 4 [ dt + ] x + x t t + b L fonction F est croissnte sur [,+ [ et est mjorée pr sur [,+ [ On en déduit que l fonction F une limite réelle en + 6 Allure du grphe de l fonction F Commentire L fonction f : x est continue sur R et à ce tire, dmet des primitives sur R L primitive +x 4 x de f sur R qui s nnule en est l fonction F : x dt On n ps d écriture plus simple de F cr F ne s exprime +t 4 ps à l ide des fonctions usuelles Ne cherchez ps de fonction obtenue en combinnt des polynômes, des rcines crrées, des exponentielles, des cosinus, des rcsinus, vous n en trouverez ps x C est ussi le cs de l fonction f : x e x L primitive de f sur R qui s nnule en est l fonction F : x e t dt Les primitives de f sur R ne s expriment ps à l ide des fonctions usuelles à l différence des primitives de l fonction x xe x qui sont les fonctions de l forme x e x +C, C R L formule d intégrtion pr prties Nous llons mintennt donner une formule qui permet de trnsformer le problème du clcul d une intégrle en le problème du clcul d une utre intégrle, plus simple Dns ce prgrphe, nous urons souvent besoin de fonctions dérivbles dont l dérivée est continue L définition suivnte permet d lléger le vocbulire c Jen-Louis Rouget, 6 Tous droits réservés 9 http ://wwwmths-frncefr
Définition 3 Soit f une fonction définie sur un intervlle I de R à vleurs dns R ou C On dit que f est de clsse C sur I si et seulement si f est dérivble sur I et s dérivée f est continue sur I Commentire Nous définirons plus trd l notion de fonctions de clsse C k, k N Les fonctions de clsse C seront les fonctions continues, les fonctions de clsse C sont les fonctions dérivbles dont l dérivée est continue, les fonctions de clsse C seront les fonctions deux fois dérivbles dont l dérivée seconde est continue On donne mintennt l formule d intégrtion pr prties : Théorème 4 Soient et b deux réels tels que < b Soient u et v deux fonctions définies sur [, b] à vleurs dns R ou C, de clsse C sur [,b] Alors, b u xvx dx [uxvx] b b uxv x dx Démonstrtion Pr hypothèse, les fonctions u et v sont dérivbles sur [,b] Il en est de même de l fonction uv : uv u v+uv Pr hypothèse, les fonctions u et v sont de clsse C sur le segment [,b] Donc, les fonctions u v et uv sont continues sur le segment [,b] On intègre les deux membres sur le segment [,b] et on obtient pr linérité de l intégrle : d où le résultt b u xvx dx+ b uxv x dx b uv x dx [uxvx] b, Exemple Clculons I xe x dx Pour cel, pour x [,], posons ux e x vx x u x e x v x Les deux fonctions u et v sont de clsse C sur le segment [,] On peut donc effectuer une intégrtion pr prties qui fournit : Donc, xe x dx u xvx dx [uxvx] uxv x dx [xe x ] e x dx e e [e x ] e e xe x dx Pendnt le clcul, on remplcé le problème du clcul de l intégrle sur [,] de l fonction x xe x dont on ne devinit ps une primitive en le problème du clcul de l intégrle sur [,] de l fonction x e x qui s chève isément L intégrtion pr prties eu pour effet de fire disprître x en le dérivnt e x dx Exemple En terminle, l espérnce de l loi exponentielle de prmètre λ λ > est Soit X > Clculons I X x λe λx dx Pour cel, pour x [,X], posons lim X + X x λe λx dx ux e λx vx x u x λe λx v x c Jen-Louis Rouget, 6 Tous droits réservés http ://wwwmths-frncefr
Les deux fonctions u et v sont de clsse C sur le segment [,X] On peut donc effectuer une intégrtion pr prties qui fournit : X e λx lim X + x λe λx dx [ x e λx] X e λx dx Xe λx + [ ] e Xe λx λx X + Xe λx e λx + λ λ λ λ Xe λx e λx λ Ensuite, cr λ > et d utre prt, lim λ X + Xe λx lim un théorème de croissnces comprées X + e λx dx λ λxe λx lim Y + λ YeY d près Pr suite, l espérnce de l loi exponentielle de prmètre λ est lim X + λ Xe λx e λx λ λ L formule d integrtion pr prties donnée dns le théorème 4 est bien sûr vlble dns le cs où > b vec u et v de clsse C sur [b,] cr on peut toujours intégrer de à b l églité uv u v+uv Cette formule est donc ussi vlble pour x u tvt dt où est un réel fixé d un intervlle I, x un réel vrible de I et u et v deux fonctions de clsse C sur I On obtenu Théorème 4 bis Soient u et v deux fonctions de clsse C sur un intervlle I de R à vleurs dns R ou C u v uv uv Exemple Clculons les primitives de l fonction x lnx sur ], + [ Les deux fonctions u : x x et v : x lnx sont de clsse C sur ],+ [ On peut donc effectuer une intégrtion pr prties qui fournit : lnx dx x lnx x x dx x lnx dx x lnx x+c Ainsi, une primitive de l fonction x lnx sur ],+ [ est l fonction x x lnx x On doit mémoriser cette formule 3 Chngements de vrible 3 L formule de chngement de vrible On v pprendre à chnger de vrible dns une intégrle L mentlité générle est l même que pour une intégrtion pr prties : trnsformer le problème du clcul d une intégrle en le problème du clcul d une utre intégrle plus simple Théorème 5 Soit ϕ une ppliction de clsse C sur un intervlle I à vleurs dns R ϕ «est» le chngement de vribles Soit f une fonction continue sur ϕi à vleurs dns R ou C Alors, pour tout,b I, ϕb ϕ fx dx b fϕtϕ t dt Commentire On posé x ϕt L élément différentiel dx été trnsformé en : dx ϕ t dt Démonstrtion Soit,b I Pour X I, posons FX X fϕtϕ t dt et GX ϕx ϕ fx dx L fonction ϕ est continue sur I et l fonction f est continue sur ϕi Donc, l fonction f ϕ est continue sur I D utre prt, l fonction ϕ est de clsse C sur I et en prticulier, l fonction ϕ est définie et continue sur I Finlement, l fonction f ϕ ϕ est continue sur I On en déduit que l fonction F est dérivble sur I et que, pour tout x de I, F X fϕx ϕ X c Jen-Louis Rouget, 6 Tous droits réservés http ://wwwmths-frncefr
Y L fonction ϕ est dérivble sur I à vleurs dns ϕi et l fonction H : Y fx dx est dérivble sur ϕi, puisque l ϕ fonction f est continue sur ϕi On en déduit que l fonction G H ϕ est dérivble sur I et que, pour tout X de I, G X ϕ X H ϕx fϕx ϕ X Ainsi, pour tout X de I, F X G X Donc, l fonction F G une dérivée nulle sur l intervlle I puis l fonction F G est constnte sur I Pr suite, pour tout X de I, FX GX F G, puis, pour tout X de I, FX GX En prticulier, Fb Gb ce qui fournit ϕb fx dx b ϕ fϕtϕ t dt Voici comment se psse un chngement de vribles dns l prtique : Exemple On sit que pour tout réel X, ArctnX Soit R Pour tout réel X, clculons X X x + dx x + dx X x + dx Soit X R Posons t x de sorte que x t et donc dx dt Qund x vrie de à X, t vrie de à X L formule de chngement de vribles fournit X x + dx X x dx X/ + t + dt Arctn X On insi étbli l une des formules donnée dns le prgrphe grâce à un chngement de vribles On peut ussi utiliser un chngement de vribles pour clculer des primitives : Exemple Déterminons les primitives sur R de l fonction x +chx On pose t e x de sorte que x lnt puis dx dt On obtient t +chx dx + e x + dx e x + t+ dt t t t +t+ dt t+ dt Les primitives de l fonction x +chx +t +C +e x +C sur R sont les fonctions de l forme x +C, C R +ex Commentire Dns les deux exemples précédents, nous vons effectué un chngement de vribles qui nous permis de conclure mis qui étit donné L section 4 de ce chpitre décrir un certin nombre de situtions usuelles à connître vec un chngement de vribles dpté à chque sitution c Jen-Louis Rouget, 6 Tous droits réservés http ://wwwmths-frncefr
3 Quelques pplictions Théorème 6 Soit f une fonction continue sur un intervlle I de R symétrique pr rpport à, à vleurs dns R ou C Si f est pire, lors I, Si f est impire, lors I, fx dx fx dx fx dx Démonstrtion Soit I En posnt x t, on obtient fx dx f t dt f t dt, et, puisque l vrible d intégrtion est muette, une fois le chngement de vrible effectué, on peut écrire Si f est pire, on fx dx Si f est impire, on fx dx+ fx dx f x dx+ fx dx fx dx+ fx dx fx dx fx dx f x dx fx dx fx dx+ fx dx f x dx+ fx dx fx dx+ fx dx Pr exemple, π π sinx dx et pour tout réel X, X Xe x dx X e x dx Théorème 7 Soit f une fonction continue R, périodique de période T Pour tout réel, +T fx dx T Démonstrtion fx dx ère démonstrtion Soit F une primitive de l fonction f sur R F existe puisque f est continue sur R Pour R, posons G +T fx dx F + T F G est dérivble sur R et pour tout réel, G F +T F f+t f Donc, l fonction G est constnte sur R On en déduit que pour tout réel, G G ou encore ème démonstrtion Pour tout réel, +T fx dx T fx dx +T T +T fx dx fx dx+ fx dx+ fx dx T Dns l dernière intégrle, on pose x t + T de sorte que t x T puis dx dt Puisque f est T-périodique, on obtient +T T fx dx et finlement, puisque l vrible d intégrtion est muette, ft T dt ft dt +T fx dx T fx dx+ fx dx+ fx dx T fx dx Le théorème signifie que qund on intègre une fonction T-périodique sur un intervlle de longueur une période, on peut choisir cet intervlle Pr exemple, 5π π sinx dx π π sinx dx c Jen-Louis Rouget, 6 Tous droits réservés 3 http ://wwwmths-frncefr
4 Quelques situtions usuelles 4 Primitives de x x +bx+c, On se donne trois réels, b et c tels que On cherche les primitives de l fonction f : x x Le trinôme +bx+c x x +bx+c s nnule en u plus deux réels distincts Si I est un intervlle sur lequel ce trinôme ne s nnule ps, l fonction f est continue sur I et dmet donc des primitives sur I er cs On suppose que le discriminnt b 4c est strictement négtif Pour tout réel x, on L fonction f est donc du type x l forme x λ β Arctn x+α β x +bx+c [ x+ b ] 4 [ x+ b ] + λ x+α +β vec α,β,λ R R R Les primitives de f sont les fonctions de +C, C R ème cs On suppose que le discriminnt b 4c est nul Dns ce cs, pour tout réel x R\ Sur I ] b [ ],+ ou I, b [ x +bx+c x+ b { } b,, les primitives de f sont les fonctions de l forme x x+ b +C, C R 3ème cs On suppose que le discriminnt b 4c est strictement positif Le trinôme x x +bx+c dmet deux rcines réelles distinctes x et x Pour tout réel x distinct de x et x, on x +bx+c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Sur tout intervlle ne contennt ps x et x, les primitives de f sont les fonctions de l forme x x x ln x x ln x x +C x x ln x x x x +C, C R Exercice 3 Déterminer les primitives de chcune des fonctions suivntes sur l intervlle I considéré : f : x x +x+, I R f : x ] 4x +4x+, [,+ 3 f 3 : x x 7x+, ],5[ Solution 3 Pour tout réel x, x +x+ sur R et de plus, f x dx x+ + x+ 4 + x+ + 3 4 x+ + dx Arctn 3 3/ x+ 3 +C 3 > Donc f est continue x+ Arctn 3 3 +C c Jen-Louis Rouget, 6 Tous droits réservés 4 http ://wwwmths-frncefr
Pour tout réel x de ] [,+, f x Pour tout réel x de ],5[, et donc, f 3 x x+ x+ Donc, f x dx x+ +C x x 5 3 x x 5 x x 5 3 x 5 x f 3 x dx 3 ln x 5 x +C 4 Primitives de fonctions trnscendntes dont l dérivée est lgébrique ln, Arcsin, Arctn, Une intégrtion pr prties où on dérive l fonction trnscendnte est souvent l solution u problème Exemple lnx dx lnx dx x lnx x x dx x lnx dx x lnx x+c Exemple Exemple 3 Exemple 4 Arctnx dx x Arctnx x Arcsinx dx x Arcsinx x Arctnx dx x Arctnx x Arctnx +x dx x Arctnx x x dx x Arcsinx+ x +C x x dx +x +x Arctnx dx x Arctnx x + Arctnx+C 43 Produit d une exponentielle et d un polynôme x +x dx x Arctnx ln +x +C x + +x dx x + Arctnx x +C On veut intégrer une fonction du type x e αx Px où α est un nombre complexe non nul et P est un polynôme non nul de degré n On effectue n intégrtions pr prties où à chque fois, on dérive le polynôme Au bout de ces n intégrtions pr prties, le polynôme «dispru» et seule persiste l exponentielle Exemple On veut clculer xe x dx Les deux fonctions u : x x et v : x e x sont de clsse C sur le segment [,] On peut donc effectuer une intégrtion pr prties qui fournit : Exemple On veut clculer x e x/ dx [x e x/] xe x dx [xe x ] e x dx e [e x ] e e x e x/ dx Une double intégrtion pr prties fournit : x [ e +4 / x e x/] e x/ dx e / +4 e x/ dx e / +8 [ e x/] e / 6 e / 6 6e / xe x/ dx e / 8e / +8 e x/ dx c Jen-Louis Rouget, 6 Tous droits réservés 5 http ://wwwmths-frncefr
44 Produit d une exponentielle et d un cosinus ou un sinus Deux méthodes sont à disposition : une double intégrtion pr prties ou l utilistion de cosx Re e ix et sinx Im e ix On illustre ces deux méthodes sur un exemple On veut clculer I ère méthode π e x cosx dx I π Re e x cosx dx [e +ix eπ +i ] π π e x Re e ix π π dx Re e x e ix dx Re e +ix e +i π π +ie i Re Re +i dx ème méthode Une double intégrtion pr prties fournit I π π e x cosx dx [e x cos] π +[e x sinx] π et donc I e π puis I eπ 45 Polynômes trigonométriques π π e x sinx dx + e x sinx dx e x cosx dx e π I L méthode de bse pour intégrer des monômes trigonométriques du type cos p x sin q x est l linéristion Pr exemple, pour tout réel x, et donc cos x sin 4 x e ix +e ix e ix e ix 4 i e ix ++e ix e 4ix 4e ix +6 4e ix +e 4ix 64 64 e 6ix e 4ix e ix +4 e ix e 4ix +e 6ix 3 cos6x cos4x+cosx+ cos x sin 4 x dx sin6x sin4x + sinx +x +C 3 6 9 sin6x 3sin4x+3sinx+ x 6 +C Nénmoins, si l un des exposnts est impir, on peut se psser de linériser Pr exemple, sin cos 3 x sin 4 x dx x sin 4 x cosx dx sin5 x 5 sin7 x 7 +C sin 4 x cosx dx sin 6 x cosx dx c Jen-Louis Rouget, 6 Tous droits réservés 6 http ://wwwmths-frncefr
46 Frctions rtionnelles en sinx, cosx et tnx On veut clculer des primitives ou des intégrles de fonctions du type x Rcosx, sinx, tnx où R est une frction x rtionnelle On dispose du chngement de vrible t tn On obtient dt x +tn dx ou encore dx dt t t t +t D utre prt, on rppelle que cosx +t, sinx et tnx +t t L effet du chngement de vribles est donc de rmener le clcul des primitives de l fonction x Rcosx, sinx, tnx à celui de l frction t t t rtionnelle t R +t, +t, t +t On sit déjà clculer des primitives de certins types de frctions rtionnelles comme pr exemple les primitives de fonctions du type x x Dns le chpitre «Frctions +bx+c rtionnelles», on complèter les connissnces sur le sujet x Exemple En posnt t tn, on obtient Pour clculer Rcos x, sin x, tn xdx, on peut poser x t tn, dx dt +t, cosx t t t +t, sinx +t, tnx t sinx dx t +t dt dt +t t x +C ln t +C ln tn On retrouve insi une formule de primitive exposée dns le prgrphe x Le chngement de vribles qui «mrche toujours» en théorie est t tn Dns certins cs, on dispose de chnge- ments de vrible qui peuvent s vérer plus efficce Si Rcos x, sin x, tn xdx est invrint pr l trnsformtion x x, essyer de poser t cos x Si Rcos x, sin x, tn xdx est invrint pr l trnsformtion x π x, essyer de poser t sin x Si Rcos x, sin x, tn xdx est invrint pr l trnsformtion x x + π, essyer de poser t tn x Ces «règles» sont connues sous le nom de règles de Bioche Pr exemple, d x sin x dx sinx dx et pour clculer sinx dx sinx sinx sin x dx dt dx, on peut essyer de posert cosx et doncdt sinx dx : sinx sinx cos x dx t dt t t+ ln t t+ +C cosx ln +cosx t t+ +C A prtir de l expression ci-dessus, on peut retrouver l expression obtenue plus hut : cosx ln +cosx ln sin x x cos ln tn x x ln tn x Sur ce premier exemple, le chngement de vrible générl t tn mieux fonctionné que le chngement de vrible t cosx suggéré pr les règles de Bioche L pluprt du temps, c est l inverse qui se produit Etudions un deuxième exemple c Jen-Louis Rouget, 6 Tous droits réservés 7 http ://wwwmths-frncefr dt
On veut clculer les primitives de l fonction x cos 4 x+sin 4 Préprons le terrin x puis cos 4 x+sin 4 x cos x+sin x cos x sin x sin x +cos x, sin x dx cos 4 x+sin 4 x dx +cos x du +cos en posnt u x u du +cos u du cos u + cos suggéré pr les règles de Bioche u +tn u dtnu dt en posnt t tnu tnx +t t Arctn +C tnx Arctn +C 47 Frctions rtionnelles en e x, chx, shx, thx Un chngement de vribles qui devrit mrcher est t e x et donc x lnt puis dx dt t A titre d exemple, déterminons les primitives de l fonction f : x chx sur R En posnt t ex, on obtient D utres idées peuvent venir : chx dx e x + dx e x dt t+ t +t dt t Arctnt+C Arctne x +C chx chx dx ch x dx chx +sh x dx dt en posnt t shx +t Arctnt+C Arctnshx+C Ainsi, les deux fonctions F : x Arctne x et F : x Arctnshx sont deux primitives sur R de l fonction f : x chx Les fonctions F et F n ont ucune rison d être égles De fit, F Arctn π et F Arctn Donc F F Pr contre, en tnt que primitives d une même fonction sur l intervlle R, les deux fonctions F et F diffèrent d une constnte On en déduit que pour tout réel x, ou encore F x F x F F π x R, Arctne x Arctnshx+ π c Jen-Louis Rouget, 6 Tous droits réservés 8 http ://wwwmths-frncefr