Propriétés des systèmes et Convolution

Chapire 3 Propriéés des sysèmes e Convoluion 3. Rappel héorique Nous uilisons principalemen la noaion des signaux coninus dans le rese de ce rappel ; il suffi de remplacer () par [n] pour obenir le correspondan discre. Propriéés des signaux e sysèmes Signaux périodiques : x() =x( + T ), période T x[n] =x[n + N] n, période N NB : N doi êre enier. Ainsi, dans le cas discre, sin(2π n Q ) es périodique ssi Q es un nombre raionnel p p q. La période es alors N = pgcd(p,q). pairs : x() =x( ) e impairs : x() = x( ) Décomposiion d un signal en parie paire e impaire : x() = 2 (x() x( )) + 2 }{{}} (x()+x( )) {{} impair pair Sysèmes coninus (u(),y()) ou discres (u[n],y[n]). NB : Les sysèmes hybrides mêlan le discre e le coninu seron raiés à par en an que converisseur A/D ou échanillonneur (u(),y[n]) ou converisseur D/A ou inerpolaeur (u[n],y()). univoque : à une enrée donnée u() ne correspond qu une seule sorie possible y(). Les sysèmes univoques peuven êre vus comme des opéraeurs ransforman le signal d enrée u() en un signal de sorie y(). saique (lorsque y( ) ne dépend que de la valeur de u en = ) ou dynamique. causal (lorsque y( ) ne dépend que de la valeur de u en ), ani-causal (lorsque y( ) ne dépend que de la valeur de u en ) ou non causal (aures). NB : Si la variable indépendane ou n désigne le emps, seul un sysème causal peu représener un phénomène physique, i.e. exisan en réalié. 9

CHAPITRE 3. PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES ET CONVOLUTION 20 addiif : si (u (),y ()) e (u 2 (),y 2 ()) son deux paires enrée-sorie valides pour le sysème, alors (u ()+u 2 (),y ()+y 2 ()) es égalemen une paire enrée-sorie valide. homogène : si (u (),y ()) es une paire enrée-sorie valide pour le sysème, alors (αu (),αy ()) es égalemen une paire enrée-sorie valide α R ou C. linéaire : addiif e homogène, i.e. si (u (),y ()) e (u 2 (),y 2 ()) son deux paires enrée-sorie valides pour le sysème, alors (αu () +βu 2 (),αy () +βy 2 ()) es égalemen une paire enréesorie valide α, β R ou C. invarian (dans le emps) : ne dépend pas expliciemen de la variable indépendane, i.e. si (u (),y ()) es une paire enrée-sorie valide pour le sysème, alors (u ( τ),y ( τ)) es égalemen une paire enrée-sorie valide τ R. Sysème LTI = Sysème linéaire e invarian. NB : Ces propriéés n on en général pas de sens pour le cas des auomaes finis. Touefois, on peu définir pour des auomaes finis les propriéés de sysème saique/dynamique, univoque (à condiion d inclure, en plus du signal d enrée, l éa iniial de la variable inerne du sysème ; on parle plus souven dans ce cadre de sysème déerminise) e varian/invarian (à condiion de décaler l éa iniial de la même manière que le signal d enrée). NB2 : Commenaire imporan sur la causalié. On dira par convenion que la dérivée d une foncion es une opéraion causale. Cela revien à définir du d () = lim u() u( τ) τ 0,τ>0 τ qui n es aure que la dérivée à gauche de u en ; de fai, si la dérivée de u exise en, elle sera égale à la dérivée à gauche. Par convenion égalemen, nous considérerons à ce sade qu une équaion différenielle décri, chaque fois que possible, un sysème causal. Ainsi par exemple, on supposera que le sysème ẏ() =u() correspond à y() =y 0 + u(τ)dτ 0 qui es bien causal ; cependan, rien n empêche d inégrer dans le sens des décroissans, donnan y() =y 0 y0 u(τ)dτ. Au sens sric, une équaion différenielle peu donc correspondre à plusieurs ypes de sysèmes (causal, ani-causal ou non causal). De même une équaion aux différences es considérée à ce sade comme causale chaque fois que possible. Cela revien par exemple à appliquer la loi y[n +] y[n] =u[n] de la manière y[n +]:=y[n]+u[n] alors que sricemen, on pourrai aussi parir des n élevés e écrire y[n] :=y[n +] u[n] qui serai ani-causale. L éude des différens ypes de sysèmes (causal, ani-causal, non causal) qui peuven êre associés à une équaion différenielle ou aux différences à coefficiens consans es déaillée plus loin dans le cours.

CHAPITRE 3. PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES ET CONVOLUTION 2 Convoluion Signaux échelon e impulsion, réponses impulsionnelle e indicielle En emps discre, I + [n] = Ces 2 signaux son liés par la relaion { 0, n < 0, n 0. e δ[n] = {, n =0 0, n 0.. δ[n] =I + [n] I + [n ] I + [n] = n k= { 0, < 0 En emps coninu, I + () =. L impulsion de Dirac δ() n es pas à propremen parler, 0. une foncion : elle vau 0 pour 0mais possède une aire uniaire de sore que + δ()f()d = f(0) pour oue foncion f(). On la représenera par une flèche en =0e de haueur uniaire comme sur la figure suivane. δ[k]. La foncion échelon es liée à l impulsion de Dirac par la relaion I + () = δ(τ)dτ Formellemen, l impulsion de Dirac es la dã c rivã c edei + () bien que I + () ne soi pas diffã c reniable en =0. La réponse impulsionnelle h d un sysème LTI es la réponse de ce sysème à l enrée u = δ. La réponse indicielle s d un sysème LTI es la réponse de ce sysème à l enrée u = I +. Réponse d un sysème LTI à une enrée arbiraire e convoluion En emps discre, un signal d enrée u[n] peu êre décomposé en une somme d impulsions pondérées par les valeurs d enrée : u[n] = + k= u[k]δ[n k].

CHAPITRE 3. PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES ET CONVOLUTION 22 La sorie du sysème LTI S pour l enrée u[n] es dès lors { + } y[n] = S{u[n]} = S u[k]δ[n k] = = + k= + k= k= u[k]h[n k] [invariance]. u[k]s{δ[n k]} [linéarié] Le produi de convoluion x 3 = x x 2 de deux signaux discres x [n] e x 2 [n] es défini par x 3 [n] = + k= x [k]x 2 [n k]. On a donc y[n] =u[n] h[n]. Ainsi, un sysème LTI discre univoque es enièremen déerminé par sa réponse impulsionnelle h[n]. En emps coninu, un signal d enrée u() peu êre décomposé en une inégrale d impulsions pondérées par les valeurs d enrée : u() =in + u(τ)δ( τ)dτ. La sorie du sysème LTI S pour l enrée u() es dès lors y() = S{u()} = S { in + u(τ)δ( τ)dτ } = in + u(τ)s{δ( τ)}dτ [linéarié] = in + u(τ)h( τ)dτ [invariance]. Le produi de convoluion x 3 = x x 2 de deux signaux coninus x () e x 2 () es défini par x 3 () =in + x (τ)x 2 ( τ)dτ. On a donc y() =u() h() e un sysème LTI coninu univoque es égalemen enièremen déerminé par sa réponse impulsionnelle h(). Propriéés du produi de convoluion Commuaivié : x () x 2 () =x 2 () x (). Associaivié : x () (x 2 () x 3 ()) = (x () x 2 ()) x 3 (). Applicaion : La réponse impulsionnelle de la mise en cascade de deux sysèmes LTI es la convoluion de leurs réponses impulsionnelles individuelles. De plus par commuaivié, la réponse d un sysème en cascade ne dépend pas de l ordre des sysèmes individuels dans la cascade. Linéarié : (αx ()+βx 2 ()) x 3 () =α(x () x 3 ()) + β(x 2 () x 3 ()) où α, β C. Décalage : si x () x 2 () =m(), alors x ( T ) x 2 ( T 2 )=m( T T 2 ). Éendue : l éendue emporelle d un signal résulan d une convoluion es comprise dans la somme des éendues des signaux convolués. f ( ) f 2 ( ) = T T2 f ) f ( ) ( 2 T + T 2

CHAPITRE 3. PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES ET CONVOLUTION 23 d Dérivaion : d (x x 2 )=( d d x ) x 2 = x ( d d x 2). Applicaion : d ds() =h() e y() =(Du()) s(). Méhodes graphiques pour le produi de convoluion Temps discre :. L axe emporel es gradué en k au lieu de n. La réponse impulsionnelle h[k] es renversée par rappor au emps, pour obenir h[ k], e ensuie décalée de n pour former h[ (k n)] = h[n k] qui es une foncion de k avec le paramère n. 2. Les valeurs u[k] e h[n k] son mulipliées pour oues les valeurs de k, avecn fixé à une ceraine valeur. 3. Les produis u[k]h[n k] son sommés sur ous k pour obenir la valeur de sorie y[n]. 4. Les éapesà3son répéées à mesure que n varie de à + pour produire la sorie complèe. Temps coninu :. L axe emporel es gradué en τ au lieu de. La réponse impulsionnelle h(τ) es renversée par rappor au emps, pour obenir h( τ), e ensuie décalée de pour former h( (τ )) = h( τ) qui es une foncion de τ avec le paramère. 2. Les valeurs u(τ) e h( τ) son mulipliées pour oues les valeurs de τ, avec fixé à une ceraine valeur. 3. Le produi u(τ)h( τ) es inégré sur τ (, + ) pour obenir une valeur de sorie y(). 4. Les éapesà3son répéées à mesure que varie de à + pour produire la sorie complèe. 3.2 Exercices 3-40. Propriéés des sysèmes Exercice 3 - Pour chaque relaion enrée-sorie donnée ci-après, déerminer si le sysème coninu correspondan es dynamique ou saique ; causal, ani-causal ou non causal ; linéaire ou non ; varian ou invarian. a) y() =u( 2) + u(2 ) b) y() = cos(3)u() c) y() = 2 { u(τ)dτ 0 <0 d) y() = u()+u( 2) 0 { 0 u() < 0 e) y() = u()+u( 2) u() 0 f) y() =u( 3 ) g) y() = d d u()

CHAPITRE 3. PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES ET CONVOLUTION 24 Exercice 4 - Pour chaque relaion enrée-sorie donnée ci-après, déerminer si le sysème coninu correspondan es dynamique ou saique ; causal, ani-causal ou non causal ; linéaire ou non ; varian ou invarian. a) y[n] =u[ n] b) y[n] =u[n 2] 2u[n 8] c) y[n] =nu[n] d) y[n] =PariePaire{u[n ]} u[n] n>0 e) y[n] = 0 n =0 u[n] n<0 f) y[n] = g) y[n] =u[4n +] u[n] u[n] > 0 0 u[n] =0 u[n] u[n] < 0 Exercice 5 - Monrer que l inerconnexion série de deux sysèmes LTI es elle-même LTI. Exercice 6 - Monrer que l inerconnexion série de deux sysèmes non linéaires n es pas nécessairemen un sysème non linéaire. Exercice 7 - Soi l inerconnexion schémaisée ci-dessous. u[n] SYSTÈME SYSTÈME 2 SYSTÈME 3 y[n] Les rois sysèmes son caracérisés par les relaions suivanes : [ u n ] Sysème : y[n] ={ 2 n pair 0 n impair Sysème 2 : y[n] =u[n]+ 2 u[n ] + 4u[n 2] Sysème 3 : y[n] =u[2n] Eablir la relaion enrée-sorie du sysème global e déerminer si ce dernier es LTI. Exercice 8 - Juin 2005 - Répondez par vrai ou faux e jusifiez brièvemen. a) Le sysème décri par l équaion différenielle ÿ()+5ẏ() = u()+ 5+sin() 7 u() es LTI. b) Le sysème décri par l équaion enrée-sorie y =4u 2 () es dynamique. Exercice 9 - Janvier 2004 - Répondez par vrai ou faux e jusifiez brièvemen. a) Le sysème y() =u(sin()) es saique. b) Le sysème y() =u(sin()) es linéaire.

CHAPITRE 3. PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES ET CONVOLUTION 25 Exercice 20 - Sepembre 2003 - Es-il vrai que la mise en cascade d un sysème non-causal e d un sysème causal es nécessairemen non-causale? Jusifiez. Exercice 2 - Sepembre 200 - Caracériser a) un phénomène physique suscepible de mere en défau l hypohèse de linéarié d un modèle de circui élecrique. b) un phénomène physique suscepible de mere en défau l hypohèse d invariance d un modèle de circui élecrique. Exercice 22 - Juin 200 (+ Ex 47) - Ciez un faceur physique qui merai en défau a) la linéarié b) l invariance du modèle décri dans l exercice 47. Proposez une expérience qui permerai de mere en évidence la non-linéarié du sysème. Exercice 23 - Novembre 998 - Soien les sysèmes discres a) y[n] =parie paire (u[n ]) b) y[n] =(n )u[n]. Pour chacun de ces sysèmes, déerminez s il es (i) saique, (ii) invarian, (iii) linéaire, (iv) causal. Exercice 24 - Janvier 998 - Pour chacune des quesions suivanes, sélecionnez la bonne réponse sur base d une coure jusificaion. a) Un seul des rois sysèmes suivans es linéaire e saique, lequel? (i) y () = 2 u() (ii) y 2 () =u( +) (iii) y 3 () = d d u() b) Le signal x[n] =e jωn (i) es périodique pour oue valeur de ω ; (ii) es périodique pour ceraines valeurs de ω ; (iii) n es périodique pour aucune valeur de ω. Exercice 25 - Novembre 997 - Soi le sysème décri par l équaion différenielle ẏ()+ay() =u()i + ( +2). Éudiez la linéarié e l invariance de cee équaion différenielle.

CHAPITRE 3. PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES ET CONVOLUTION 26 Exercice 26 - (+ Ex 44) - Soi le circui élecrique représené ci-dessous. + i() C v c () Eablir la relaion enrée-sorie (équaion différenielle) pour C consan lorsque l enrée es i() e la sorie v c (). Répondre ensuie aux quesions suivanes. a) Le sysème es-il dynamique ou saique? b) Le sysème es-il causal, ani-causal ou non causal? c) L équaion différenielle es-elle linéaire ou non? d) L équaion différenielle es-elle variane ou invariane? e) Le sysème es-il linéaire ou non? f) Le sysème es-il varian ou invarian? Exercice 27 - Janvier 200 - Eudier (i) la linéarié, (ii) l invariance, (iii) la causalié des rois sysèmes suivans. a) ẏ()+2y() =u( 2 ) b) y[n]+2y[n ] = u[n] c) ẏ()+ay() =u() avec a R consan Exercice 28 - (+ Ex ) - Considérez les signaux e sysèmes que vous avez imaginés dans l exercice pour décrire une image ; lorsque les signaux dépenden de plusieurs variables indépendanes, considérez une seule variable indépendane à la fois (i.e réduisan l image à une ligne). Examinez leur linéarié, leur saicié, leur invariance e leur causalié. Convoluion Exercice 29 - Soi un sysème LTI don la réponse indicielle es donnée par s() =( e )I + () a) Déerminer la consane de emps e le emps de monée caracérisique. b) Déerminer la réponse de ce sysème à l enrée présenée ci-dessous.

CHAPITRE 3. PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES ET CONVOLUTION 27 Exercice 30 - Eablir analyiquemen la convoluion y() =f() h() des foncions f() =e I + () e h() =e 2 I + (). Exercice 3 - Eablir analyiquemen la convoluion y() =f() h() des foncions f() =I + () e h() =2e I + () 2e 2 I + (). Exercice 32 - Eablir, analyiquemen e graphiquemen, la convoluion y() =f() g() des foncions f() e g() représenées ci-dessous. Exercice 33 - Soien les deux signaux coninus représenés ci-dessous. Déerminer y [n], l échanillonnage du signal y() =f() g(), lorsque la période d échanillonnage es T =0. s. Comparer avec le résula y 2 [n] de la convoluion discrèe enre f[n] e g[n], résulan de l échanillonnage de f() e g() respecivemen à la même fréquence. Exercice 34 - Soi un sysème LTI pour lequel l enrée e la sorie son liées par y() = e ( τ) u(τ 2)dτ. a) Quelle es la réponse impulsionnelle h() pour ce sysème? b) Quelle es la réponse du sysème lorsque son enrée u() es

CHAPITRE 3. PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES ET CONVOLUTION 28 Exercice 35 - Janvier 2002 - Un sysème LTI univoque de réponse impulsionnelle h o () adme une soluion (u o (),y o ()) avec y o () 0 Pour chacune des paires (u(),h()) suivanes, on demande de déerminer si l informaion fournie es suffisane pour calculer la sorie y() qui correspond à l enrée u() pour un sysème LTI de réponse h(). Dans l affirmaive, donner le graphe de y(). a) u() =2u o () e h() =h o () b) u() =u o () u o ( 2) e h() =h o () c) u() =u o ( 2) e h() =h o ( +) d) u() =u o ( ) e h() =h o () e) u() =u o ( ) e h() =h o ( ) f) u() = duo() d () e h() = dho() d () 2. Exercice 36 suivane : - Juin 2004 (+ Ex 04) - Soi un sysème LTI causal caracérisé par la paire enrée-sorie u() y() 3 2 a) Donner le graphe de la réponse indicielle du sysème (u() =I + ()). Jusifier. b) Donner le graphe de la réponse impulsionnelle du sysème (u() =δ()). Jusifier. Exercice 37 - Novembre 2003 - Soi x() =I + () I + ( ) e h() =x ( α), 0 <α. Calculer y = h x e déerminer α pour que ẏ n ai que rois poins de disconinuié. Exercice 38 - Novembre 2004 - Soi un sysème LTI de réponse impulsionnelle h(). Exprimer les quaniés suivanes en foncion de h(). a) La réponse indicielle s(). b) La réponse y() à l enrée u() représenée sur la figure ci-dessous.

CHAPITRE 3. PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES ET CONVOLUTION 29 Exercice 39 u() - Novembre 998 - Un sysème LTI possède la soluion suivane. y() A T T 2T En uilisan les propriéés d invariance e de linéarié, déerminer graphiquemen la sorie correspondan à l enrée suivane. u() 2 -T/2 T/2 T 3T/2 - Exercice 40 - Sepembre 999 - Le sysème H LTI causal es caracérisé par la paire enrée-sorie (u,y ). Pour chacune des enrées u 2 (), u 3 () e u 4 () =I + (), déduisez le graphe de la sorie correspondane du sysème H lorsque c es possible e jusifiez lorsque c es impossible. 2 y () u () H 0 2 2 2 u 2 () u 3 () 2 0

CHAPITRE 3. PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES ET CONVOLUTION 30 3.3 Applicaions MATLAB c Dans MATLAB c, la convoluion numérique de signaux s effecue à l aide de la commande conv. Cee foncion effecue la convoluion discrèe enre 2 veceurs de valeurs d enrée. Quelques remarques s imposen pour une uilisaion correce de cee foncion. Vu que l on sai uniquemen représener des signaux à domaine borné sur un ordinaeur, il es nécessaire de considérer des signaux à suppor borné afin d effecuer la convoluion numérique. Lorsque l on effecue une convoluion en emps discre, MATLAB c considère deux veceurs d indices [,n] e [,m] en enrée e rend en sorie un veceur d indices [,m+n ]. La rouine ne ien donc pas compe des posiions respecives de ces rois signaux (enrées e sorie) sur l axe emporel. A vous de déerminer la posiion du signal de sorie en examinan les signaux d enrée. Lorsque l on veu effecuer une convoluion en emps coninu, l uilisaion de veceurs, à indices eniers posiifs, non seulemen décale les signaux sur l axe emporel comme dans le cas discre, mais surou ne ien pas compe du pas de emps uilisé lors de l échanillonnage ; l inégrale de convoluion es donc approximée par une somme, comme oues les inégrales numériques. Cela recquier des précauions supplémenaires. Demandez-vous si le résula de conv a un sens pour n impore quelles valeurs des pas d échanillonnage des deux signaux d enrée. En pariculier, que se passe--il si l on choisi des pas de emps différens pour les deux signaux? Ecrivez la formule correce d approximaion d une inégrale par une somme e déduisez-en un faceur correcif sur le résula fourni par conv pour des signaux en emps coninu. Si vous éprouvez des difficulés à comprendre par simple raisonnemen commen inerpréer les résulas fournis par la foncion conv, nous vous suggérons d examiner à l aide de MATLAB c un exercice effecué manuellemen aux séances de répéiions. Applicaions. Soi le signal discre d une sinusoïde pure de phase quelconque x[n] = sin(0.5n 0.7). a) Décomposer le signal en sa parie paire e sa parie impaire e représener les paries de cee décomposiion sous MATLAB c. b) Remarquer que la parie paire de cee sinusoïde pure de phase quelconque es un cosinus de phase nulle, de même fréquence e d ampliude -0.64. c) Remarquer que la parie impaire es un sinus de phase nulle, de même fréquence e d ampliude 0.77. Les consaaions des poins b) e c) peuven s expliquer par le fai que C cos(ωn + φ) =A cos(ωn)+b sin(ωn) avec A = C cos φ e B = C sin φ. 2. Effecuez les convoluions suivanes en emps discre e représenez graphiquemen le signal résulan y[n]. Veiller au bon posiionnemen e à l uilisaion d une échelle correce selon les 2 axes. a) y[n] =u[n] h[n] avec u[n] = n(i + [n +2] I + [n 8]) + (4 n)(i + [n 8] I + [n 4]) h[n] = sin(3πn/2) (3πn/2) (I +[n + a] I + [n 0]) pour a =0d abord, a = 3 ensuie.

CHAPITRE 3. PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES ET CONVOLUTION 3 b) y[n] =u[n] h[n] pour n [ 3, 4], avec u[n] = sin(n)(i + [n + 0] I + [n 20]) h[n] = e n I + [n] Suggesion : Le domaine de h[n] s éend à l infini ; réduire sa représenaion dans MATLAB c au domaine nécessaire pour le calcul demandé. 3. Effecuez les convoluions suivanes en emps coninu e représenez graphiquemen le signal résulan y(). Veiller au bon posiionnemen e à l uilisaion d une échelle correce selon les 2 axes. a) y() =u() h() avec u() = sin() (I + ( +2π) I + ( 2π)) h() = (4 2 )e (I + () I + ( 4)) b) y() =u() h() avec u() = (sin(00))(i + ( + π) I + ( 2π)) h() = (4 2 )e (I + () I + ( 4)) Choisissez divers pas d échanillonnage [ 2, 5000 ] e remarquez commen le résula de la convoluion varie en foncion du pas d échanillonnage choisi lorsque celui-ci es rop grand. NB : La foncion sinc(x) perme de représener sin(πx) πx limie en x =0. avec la convenion de prendre sa valeur