Ch7 : Clcul intégrl-ts CALCUL INTEGRAL I. ACTIVITES D INTRODUCTION Activité n : Trcer dns un repère orthonorml l représenttion grphique de l fonction f définie pr : f(x) = 5. Hchurer l'ire du domine pln déterminé pr l coure représenttive de f, l'xe des scisses et les droites d'éqution x = (on prendr = ) et x = (vec 0 < < ). Clculer cette ire. Trouver une fonction F(x) telle que s dérivée vut f(x) = 5. Clculer F() F(). Que remrque t on? Activité n 2 : Trcer dns un repère orthonormé l représenttion grphique de l fonction f définie pr : f(x) = x Hchurer l'ire du domine pln déterminé pr l coure représenttive de l fonction f, l'xe des scisses et les droites d'éqution x = (on prendr = 2) et x = (vec < < ). Clculer cette ire. Trouver une fonction F(x) telle que s dérivée vut f(x) = x. Clculer F() F(). Que remrque t on? Activité n 3 : Chute des corps - loi horire L cinémtique fournit une illustrtion de l notion de dérivée : l loi vitesse est l dérivée de l loi horire, et l'ccélértion l dérivée de l vitesse. Essyons d'étudier le prolème inverse : retrouver l loi horire, à prtir de l'ccélértion. Dns un repère terrestre (en négligent les forces de résistnce de l'ir), un corps de msse m ndonné en chute lire est soumis à l seule ction de son poids : mg ρ. Dns ce mouvement l'ccélértion est donc constnte et égle à l'intensité g de l pesnteur en ce lieu. (on prendr g = 0 m.s -2 ). Considérons le repère verticl (O, k ρ ). On g ρ = - 0 k ρ. On note, v et z l'ccélértion, l vitesse et l'scisse du point M dns le repère (O, k ρ ). Ces grndeurs sont des fonctions du temps t. ( = 0 dv On sit que ; (v'( est ussi noté ( ). ( = v'( dt I. ) Trouvez deux fonctions f et g telles que f '( = g'( = ( = 0 ) Montrez que l'on v( = - 0t + v o ; où v o est l vitesse de M à l'instnt t = 0. II. On sit que v ( = z'(. On suppose que v o = 3 ) Trouver deux fonctions h et k telles que h '( = k'( = 0t + 3 ) Montrer que l'on z( = -5t² + 3t + z o, où z o est l'scisse de M sur l'xe (O, k ρ ) à l'instnt t = 0. III. Appliction : A l'instnt t = 0 une ille est lncée verticlement vers le hut à prtir du point O, vec une vitesse de 25 m.s -. ) Ecrivez l loi horire z( du mouvement. ) Et à quel instnt l ille repsser-t-elle pr le point 0. - /0 -
II. PRIMITIVES Ch7 : Clcul intégrl-ts ) Définition Définition : Soit f une fonction dérivle sur un intervlle I. Une fonction F définie sur I est une primitive de f lorsque f est l dérivée de Fsur I. On note F' = f ou F (x) = f(x) Théorème : Toute fonction dérivle sur un intervlle I dmet une primitive sur I. Théorème 2 : Les primitives de f sur un intervlle diffèrent entre elles d'une constnte ; les primitives de f sont de l forme F + k (où k est une constnte). Démonstrtion : Soit F est une primitive de f, on peut vérifier que (F + k)' = F' + k' = F' + 0 = F' = f Soit G est une utre primitive de f. On définit H = G F ; on sns prolème H' = G' F' = f f = 0 H' est nulle sur I donc H est constnte, c est à dire G F = k, ou encore G = F + k. ) Recherche prtique d une primitive Intégrer (ou "primitiver"), c'est dériver à l'envers. Les primitives des fonctions de référence se déduisent donc des différentes formules de dérivtion en «lisnt» le tleu des dérivées à l envers. k 0 x x 2 2x x 3 3x 2 x n x n x n x 2 n x n x n+ x 2 x e x dérivée e x ln(x) x sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) tn(x) cos²(x) = + tn2 primitive - 2/0 -
Ch7 : Clcul intégrl-ts Remrque : Pour montrer qu'une fonction F est une primitive de l fonction f, il suffit simplement de démontrer que l dérivée F' est égle à f. Exercice n : Soit F(x) = 2x 3 x + π. Montrer que F est une primitive de l fonction f définie pr : f(x) = ( x) 2 Exercice n 2 : ) Déterminer une primitive sur IR de f(x) = x 3 2x + 3. 2) Déterminer les primitives sur IR de f(x) = x 3 2x + 3. 3) Déterminer l primitive sur IR de f(x) = x 3 2x + 3 telle que F(0) =. Remrque : L primitive d'une somme est l somme des primitives. L primitive d'un produit d'une constnte pr une fonction est le produit de cette constnte pr l primitive de l fonction. Exercice n 3 : ) Soit f(x) = 9x² 2x + 4 Trouver une primitive de f(x) sur IR 2x + Soit f(x) = x3 Trouver une primitive de f(x) sur IR 3 + Soit f(x) = x3 Trouver une primitive de f(x) sur IR* x 2 2) Déterminer l dérivée de u n+ et en déduire une primitive de u'u n (n Z) Soit f(x) = x( + x²) 3 Trouver une primitive de f(x) sur IR (commencer pr chercher l dérivée de ( + x²)). Soit f(x) = (2x )(x² x) 3 Trouver une primitive de f(x) sur IR Soit f(x) = (2x + ) 7 Trouver une primitive de f(x) sur IR 3) Déterminer l dérivée de u et en déduire une primitive de u u² Soit f(x) = Trouver une primitive de f(x) sur ]2 ; + [ 2 x 2 4) Déterminer l dérivée de 2 u et en déduire une primitive de u u Soit f(x) = 2 2x Soit f(x) = x 4 4 x Soit f(x) = x 3 x 4 + Trouver une primitive de f(x) sur ]/2 ; + [ Trouver une primitive de f(x) sur ]0 ; + [ Trouver une primitive de f(x) sur IR - 3/0 -
III. INTEGRALES Ch7 : Clcul intégrl-ts ) Définition Nous vons vu que les primitives de f sur un intervlle diffèrent entre elles d'une constnte. On lors, pour F et G primitives de f : (F G)() = (F G)() = 0, c'est à dire F() F() = G() G() Définition : Soit une fonction f dérivle sur un intervlle I, F une de ses primitives sur I et et deux nomres réels de I. On ppelle intégrle de f de à le nomre réel F() F() que l on note f( dt Cel ne dépend ps du choix de l primitive ; cel dépend uniquement des ornes et et de l fonction initile. Le «t» est l vrile pr rpport à lquelle on clcule l primitive. En mthémtiques, on l remplce souvent pr x.. On lit "intégrle de à de f( dt ; " et on écrit f( dt = [F(] = F() F(). Exercice n 4: 5 ) Clculer 3t dt 2) Clculer 4 2 6 2 x 5x + dx ATTENTION : primitive c'est une fonction intégrle c'est un nomre (positif, négtif ou nul) clculé à prtir d'une primitive ) Interpréttion géométrique Théorème : Soit une fonction f dérivle et positive sur un intervlle [ ; ] vec < et C s représenttion grphique dns un repère orthogonl. L'ire du domine limité pr l'xe des scisses, l coure C, les droites d'équtions x = et x = est mesurée en unité d'ire pr : A= f( dt Exercice n 5 : Trcer l représenttion grphique de f(x) = x² + 4x 3 puis clculer l ire du domine limité pr l'xe des scisses, l coure C et les droites d'équtions x = et x = 3. - 4/0 -
c) Propriétés de l intégrle Ch7 : Clcul intégrl-ts Reltion de Chsles (référence ux vecteurs) : Soit une fonction f dérivle sur un intervlle I ; pour tous nomres réels, et c de I, on : c f( dt = f( dt + f( dt c C'est ssez fcile à comprendre si on se rppelle que l'intégrle correspond à un clcul d'ire. c Preuve : f( dt = F() F() = [F() F(c)] + [F(c) F()] = f( dt + f( dt c Intégrle d'une somme de fonctions : Soit deux fonctions f et g dérivles sur un intervlle I ; pour tous nomres réels et de I, on : (f + g)( dt = f( dt + g( dt Preuve : (f + g)( dt = [(F + G)(] = (F+G)() (F+G)() = F() F() + G() G() = [(F)(] + [(G)(] = f( dt + g( dt Intégrle d'un produit d'une fonction pr un nomre réel : Soit une fonction f dérivle sur un intervlle I ; pour tous nomres réels et de I, on : αf( dt = α f( dt Preuve : αf( dt = [(αf)(] = α[(f)(] = α f( dt linérité de l intégrle : (αf + βg)( dt = α f( dt + β g( dt C est une conséquence des 2 propriétés précédentes. Positivité de l'intégrle : Soit une fonction f dérivle sur un intervlle I ; pour tous nomres réels et de I tels que, Si f 0 sur [ ; ], lors : f( dt 0 Preuve : L fonction f est positive donc F est croissnte (cr s dérivée f est positive) donc, entrîne F() F() soit F() F() 0. Conservtion de l'ordre : Soit 2 fonctions f et g dérivles sur un intervlle I ; pour tous nomres réels et de I tels que. Si f g sur I, lors : f( dt g( dt Conséquence de l propriété précédente. Exercice n 6 : ) Démontrer que pour tout x de [ 0 ; + [ on : x 2) En déduire un encdrement de I définie pr : I = 0 + x x + x² + t² dt. - 5/0 -
d) Vleur moyenne Ch7 : Clcul intégrl-ts Sur un intervlle [ ; ] vec <, l fonction est comprise entre m et M ; on m f( M. Si on intègre, on lors m dt f( dt M dt C'est à dire m( ) f( dt M( ) Ou encore : m f( dt M. Définition : On ppelle vleur moyenne d une intégrle le nomre µ = f( dt M µ m Exercice n 7 : Quelle est l vleur moyenne de l fonction x sin(x) entre 0 et π? Entre 0 et 2π? Donner une interpréttion géométrique du résultt otenu. e) Clcul de volumes Pour un volume V d un solide entre les plns z = et z = dont l section vec un pln à l huteur h pour ire S(h), on : V = S(h) dh h S(h) Exercice n 8 : On considère l espce muni d un repère orthonormé (O, i, j, k). ) Représenter dns le pln (yoz) l prole d éqution z = y 2 sur l intervlle [ 2 ; 2 ]. 2) En déduire l représenttion d un proloïde de huteur 4 otenue pr rottion de l figure précédente utour de l xe (Oz). 3) Clculer le volume du solide otenu. - 6/0 -
IV. INTEGRATION PAR PARTIES Ch7 : Clcul intégrl-ts On suppose que toutes les fonctions utilisées ont des primitives sur les intervlles considérés. Il rrive que l on n rrive ps à clculer «directement» une intégrle. (pr exemple pour f( = tsin() Il existe une méthode qui peut permettre de clculer tout de même ce type d intégrle : Théorème : soit u et v deux fonctions dérivles à dérivées continues sur un intervlle I et et deux réels de I, lors : u( v ( dt = [u( v(] u'( v( dt Démonstrtion : D près l formule : (uv) = u v + uv donc : uv = (uv) u v En intégrnt terme à terme : u( v ( dt = (u( v()' dt u'( v( dt. Exercice n 9 : Clculer 0 π t sin t V. LOIS DE PROBABILITE CONTINUES (ou à densité) Dns toutes les situtions étudiées jusqu'à présent en proilités, l vrile létoire X prend un nomre fini de vleurs x, x 2, x 3,.x n. On dit que X est discrète (tout comme en sttistique). Il existe cependnt des vriles létoires non discrètes, qui prennent toutes les vleurs d'un intervlle de (orné ou non). ) Définitions Définition : Une vrile létoire X est dite continue lorsqu elle peut prendre n importe quelle vleur d un intervlle I de. On s intéresse lors à des événements du type : «L vleur de X est comprise entre les réels et» Nous noterons ( X ) un tel événement. Exemples : le temps d'ttente à un rrêt de us ; l durée de vie d'un trnsistor ; l distnce du point d'impct u centre d'une cile Densité de proilité : On ppelle densité de proilité sur un intervlle I de toute fonction f définie sur I et vérifint les trois conditions suivntes : f est positive sur I I f (x) dx = (l ire sous l coure de f est égle à ). Remrque : Si I est un intervlle [ ; ], l nottion I Lorsque I = [ ; + [ pr exemple, I Exercice n 0 : f (x) dx est remplcée pr l nottion f( dt f (x) dx correspond à lim x + - 7/0 - x f( dt.
Les fonctions suivntes sont-elles des densités de proilité? ) 0 si t < 0 f( = t si 0 t 0 si t > 2) f( = 0 si t < 0 e t si t 0 Ch7 : Clcul intégrl-ts Loi de proilité à densité : On définit l loi de proilité P de densité f sur l intervlle I de en posnt pour tous réels et de I (vec ) : P( X ) = f(x) dx Autres nottions possiles : P( X ) est ussi noté P X ( [ ; ] ) ou simplement P( [ ; ] ) P( X ) est ussi noté P( [ ; + [ ) Exercice n : Pour chcune des fonctions définies dns l exercice n 0, clculer les proilités suivntes : ) P( X 2 ) 2) P( X 0,7 ) 3) P( X > 3 ) 4) P( 0,5 X 3 ) ) Loi uniforme sur [ 0 ; ] Définition : On ppelle loi uniforme sur [ 0 ; ] l loi de proilité dont l densité f est l fonction constnte égle à sur [ 0 ; ] Théorème : Si P est l loi uniforme sur [ 0 ; ], lors pour tous réels et de [ 0 ; ] vec : P( [ ; ] ) = dx = [x] = Remrque : Si X est une vrile létoire suivnt l loi uniforme sur [ 0 ; ] lors E(X) = et V(X) = 2 2. Exercice n 2 : Le us psse toutes les qurts d heure à un rrêt précis. Un usger se présente à cet rrêt entre 7 heures et 8 heures. L vrile létoire ser l'heure excte de son rrivée à cet rrêt, uniformément réprtie sur l'intervlle [ 0 ; ]. ) Quelle est l proilité que l'usger ttende moins de 5 minutes le prochin us? 2) Quelle est l proilité qu'il ttende plus de dix minutes? - 8/0 -
c) Loi exponentielle de prmètre λ Ch7 : Clcul intégrl-ts Définition : Soit λ un réel strictement positif. On ppelle loi exponentielle de prmètre λ l loi de proilité dont l densité f est l fonction définie sur [ 0 ; + [ pr f( = λ e λt Exemple : L durée de vie, exprimée en nnées, d un noyu rdioctif ou d un composnt électronique est modélisée pr une vrile létoire suivnt une loi exponentielle. Théorème : Si P est l loi exponentielle de prmètre λ lors, pour tous réels positifs et tels que, on : P( [ ; ] ) = λ e λx dx = [ e λt ] = e λ e λ Propriété : Soit P l loi exponentielle de prmètre λ, pour tout réel positif t, lors t P( X t ) = λ e λx dx = e λt et donc P( X > t ) = e λt 0 Si X est une vrile létoire suivnt l loi exponentielle de prmètre λ, lors E(X) = λ et V(X) = λ 2 Exercice n 3 : On suppose que l durée d'une converstion téléphonique, mesurée en minutes, est l vrile exponentielle de prmètre 0. On rrive à une cine téléphonique et juste à ce moment précis, une personne psse devnt vous. ) Quelle est l proilité que l on ttende plus de dix minutes? 2) Quelle est l proilité que l on ttende entre dix et vingt minutes? Remrque : On dit que l loi exponentielle est une loi de durée de vie sns vieillissement. Significtion : si pr exemple X désigne l durée de vie, exprimée en nnées, d un composnt électronique, l proilité qu il fonctionne encore t nnées schnt qu il déjà fonctionné pendnt s nnées est l même que l proilité qu il fonctionne pendnt u moins t nnées près s mise en service. - 9/0 -
VI. EQUATIONS DIFFERENTIELLES Ch7 : Clcul intégrl-ts Une éqution différentielle est une églité lint une fonction y et une voire plusieurs de ses dérivées. Sont pr exemple des équtions différentielles y' + cos(x)y = 0 et y' = cos(y)x. Précisons que y est une fonction de vrile x et que y' désigne l dérivée de l fonction y(x). Pour lléger l'écriture, on préfère écrire y et y' u lieu de y(x) et y'(x). Dns ces deux équtions, l'inconnue est l fonction y(x). Il existe une multitude de types d'équtions différentielles. Celles que nous llons étudier sont les équtions différentielles linéires du premier ordre à coefficients constnts, c est-à-dire les équtions différentielles de l forme : y' + y =. ) Résolution des équtions du type : y = y Théorème : Pour tous réels et k, il existe une unique fonction f dérivle sur IR telle que f = f et f(0) = k. C est l fonction f(x) = k e x. Démonstrtion : Soit f, l fonction définie sur pr f(x) = C e x. f vérifie l éqution différentielle cr f (x) = C e x = f(x) Réciproquement, soit g une fonction dérivle sur solution de l éqution y = y. Considérons l fonction h définie pr : h(x) = e x g(x) : h (x) = g (x)e x g(x)e x Or, g (x) = g(x) donc : h (x) = 0 et lors h est une fonction constnte sur. Il existe C tel que : h(x) = C, c est-à-dire e x g(x) = C donc : g(x) = C e x Si de plus f(0) = k, lors C = k soit f(x) = k e x Exemple n 4: Résoudre les équtions différentielles suivntes : ) y = 2y 2) y y = 0 et f(0) = 3 3) 3y + 4y = 0 ) Résolution des équtions du type : y = y + Théorème : Soient et deux réels vec non nul. Les fonctions solutions de l éqution différentielle y = y + sont définies sur IR pr : f(x) = C e x, où k est une constnte réelle. Soit (x 0 ; y 0 ) un couple de nomres réels. L éqution différentielle y = y + dmet une solution unique sur IR vérifint : y 0 = f(x 0 ). Exemple n 5: Déterminer les fonctions qui vérifient : ) y = 2y 2) y y = 5(y 2) 3) 2y + y + 2 = 0 et f(0) = 2 4) 3y y = et f(0) = 2-0/0 -