Probabltés A) Varable aléatore et lo de probablté Varable aléatore Défto : O cosdère l'esemble E des ssues d'ue expérece aléatore Défr ue varable aléatore X sur cet esemble, c est assocer u ombre à chaque ssue de l'expérece aléatore Cette varable aléatore est dscrète lorsqu'elle pred u ombre f de valeurs : x,, x,, x où x est la ème valeur possble L esemble des ssues auxquelles o assoce la même valeur x, de la varable aléatore X est l évéemet oté ( X = x ) Remarques : E gééral, les varables aléatores sot otées par des lettres majuscules L esemble des valeurs prses par ue varable aléatore est f quad l'esemble E est f S X est le om de la varable aléatore o otera {X = a} l'esemble des résultats de E qu P X = a la probablté d'u tel esemble ot pour mages a et ( ) Exemple : O lace u dé équlbré dot les faces sot umérotées de à 6 S o obtet u uméro etre et 4 o gage u ombre d'euros correspodat au uméro sort s o obtet les uméros 5 ou 6, o perd deux euros O déft as ue varable aléatore G qu à chaque résultat assoce le ga obteu Das ces codtos G peut predre les valeurs { 2,, 2, 3, 4} O obtet doc pour la varable aléatore G les résultats suvats : 2 P ( G = ) = P( G = 2) = P( G = 3) = P( G = 4) = et P ( G = 2) = = 6 6 3 Exemple 2 : O lace deux dés dot les faces sot umérotées de à 6 et o cosdère la varable aléatore S preat comme valeurs la somme des uméros obteus O ote E l'esemble des 36 couples ( a ; b) où a et b sot des ombres de à 6 La somme S des uméros peut predre les valeurs 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2, comme dqué das le tableau suvat : { } Lycée Fraças de DOHA
2 Lo de probablté Défto : Défr ue lo de probablté P d'ue varable aléatore X, c est assocer à chaque valeur x, de la varable aléatore u ombre postf p, tel que la somme des p, est égale à As : p = P X = x ) avec 0 p et p = p + + p = ( Détermer la lo de probablté de X, c est doer, sous forme d'u tableau, toutes les probabltés des valeurs x Exemple : Le lacer d'u dé équlbré codut à la lo de probablté doée par le tableau suvat : = = O a alors obteu la lo de probablté de G qu est récaptulée das le tableau suvat : Exemple 2 : S les dés sot équlbrés, la o de probablté de S est doée par le tableau suvat : Le dagramme bâtos correspodat est alors : Lycée Fraças de DOHA
B) Espérace d ue varable aléatore Défto : S X est ue varable aléatore réelle preat les valeurs x, x2,, x avec les probabltés, p2, p, o appelle espérace mathématque de la varable aléatore X le ombre oté (X ) E ( X ) = p x + p x + + p x 2 2 p, E déf par : Proprété : L espérace d'ue varable aléatore X est la moyee des valeurs x podérées par leurs probabltés Autremet dt, l espérace mathématque permet de calculer la moyee des résultats obteus lorsqu o reprodut u très grad ombre de fos l expérece Remarques : Cette proprété est ue coséquece drecte de la lo des grads ombres Cosdéros ue expérece aléatore caractérsée par u esemble de résultats E = { e, e, 2, e } et ue lo de probablté p, p, 2, p défe sur E S o réalse N fos cette expérece aléatore, o obtet les résultats e, e, 2, e avec des fréqueces d apparto f, f, 2, f La moyee des résultats sera : x = f e + f e + f e 2 2 Comme les fréqueces f, f, 2, f se rapproche des probabltés p, p, 2, p lorsque N devet grad, la moyee x se rapproche de l espérace mathématques Exemple 2 : O smule avec u tableur 00 lacers de 2 dés O obtet les résultats suvats : La somme de ces résultats est 694 et la moyee 6,94 O peut auss regrouper les résultats detques O obtet alors Ie tableau suvat : Das ces codtos la moyee des résultats obteus s'écrt : x = 0,0 2 + + 0,03 2 = 6, 94 Par alleurs, la lo de probablté est doée par ce tableau : L espérace mathématque de la lo de probablté est : 2 3 E ( S) = 2+ 3+ 4+ 2 = 7 36 36 36 36 O remarque que x E(S) Lycée Fraças de DOHA
Exercce : O chost au hasard u ombre etre et 25 et o déft la varable aléatore X qu lu assoce la somme de ses chffres ) Quelles sot les valeurs possbles de la varable aléatore X? 2) Détermer la lo de probablté de X 3) Calculer, à l ade votre calculatrce, so espérace Exercce 2 : U sac cotet 4 cartos umérotés, 2, 3 et 4 O tre au hasard smultaémet 2 cartos das le sac ) Motrer que le trage possède 6 ssues équprobables 2) Détermer la lo de probablté de la varable aléatore X qu assoce à chaque trage la somme des valeurs scrtes sur les deux cartos trés 3) Détermer P ( X 4) et terpréter ce ombre Exercce 3 : O lace deux dés symétrques dot les faces sot umérotées,,, 2,2 et 3 O appelle S la varable aléatore qu doe la somme des pots obteus ) Idquer les valeurs prses par la varable 2) Détermer la lo de probablté de S 3) Tracer le dagramme e bâtos correspodat 4) Calculer, à l ade votre calculatrce, E (S) Exercce 4 : Ue lotere est formée d'ue flèche et d'u dsque coteat 3 secteurs L agle du secteur bleu vaut 90, les agles des deux autres secteurs valet 35 O toure la roue O gage 0 euros s la flèche se trouve e face du secteur bleu, o perd 2 euros s la flèche se trouve e face du secteur vert et re s la flèche se trouve e face du secteur rouge ) Sachat que les probabltés d'arrver devat u secteur sot proportoelles à l'agle, doer la lo de probablté de la varable aléatore G qu doe le ga algébrque du joueur 2) Calculer l'espérace de G 3) Quelle dot être la mse pour que le jeu sot équtable? Exercce 5 : Ue ure cotet tros boules vertes, deux boules rouges et ue boule bleue O tre au hasard successvemet avec remse deux boules ) Calculer la probablté des évéemets suvats : A: «obter deux boules vertes» B : «obter ue boule bleue et ue boule verte» C : «obter au mos ue boule rouge» 2) O suppose mateat qu'o tre successvemet sas remse deux boules Calculer les probabltés des évéemets A, B et C Lycée Fraças de DOHA
Exercce 6 : U jeu propose d actoer la roue suvate composée de 20 secteurs detques : ) Détermer la lo de probablté de la varable aéatore X assocat à chaque trage le ga obteu 2) Quel ga peut-o espérer e jouat à de ce jeu? Exercce 7 : O lace deux dés symétrques à 6 faces umérotées de à 6 ) Doer, à l ade d u tableau, l esemble des ssues possbles de cette expérece O ote X la varable aléatore qu doe le plus grad des deux ombres obteus 2) Quelles sot les valeurs possbles de X? 3) Détermer la lo de X 4) Calculer E (X ) Exercce 8 : Ue ure cotet tros boules blaches et ue boule ore O tre au hasard des boules das l'ure, ue par ue, jusqu'à obter la boule ore ) Compléter l'arbre c-dessous et calculer la probablté d'avor la boule ore au premer, au secod, au trosème et au derer trage 2) Sot R la varable aléatore qu doe le rag de la sorte de la boule ore a) Idquer les valeurs prses par la varable b) Détermer la lo de R c) Calculer E (R) Lycée Fraças de DOHA
Exercce 9 : O lace u dé dodécaédrque be équlbré dot les faces sot umérotées de à 2 S la face obteue est pare, le joueur gage pot S la face obteue est u multple de 3, le joueur gage 3 pots S la face obteue est supéreure ou égale à 0, le joueur gage 4 pots So le joueur perd 5 pots Ces gas sot cumulables s la face obteue réalse pluseurs de ces codtos ) Détermer la lo de probablté de la varable aléatore X qu assoce à u lacer le ga algébrque obteu 2) Détermer E (X ) Ce jeu est-l équtable? 3) Quelle motat devrat-o réclamer au joueur lorsqu'l perd pour que le jeu sot équtable? Exercce 0 : O lace tros dés à 6 faces, be équlbrés O cosdère les trplets ordoés obteus ) Quelle est la probablté d'obter le trplet ( 6 ; 6 ; 6)? 2) Quelle est la probablté d'obter tros chffres detques? 3) Motrer que la probablté d'obter tros chffres dfféret est 9 5 4) U jeu est basé sur l'expérece précédete Pour ue mse d'u euro, o gage dx euros s les tros chffres sot detques, tros euros s deux chffres sot detques, so re O cosdère la varable aléatore X qu assoce au jeu le ga du joueur e comptat sa mse a) Détermer la lo de probablté de X b) Quel ga peut-o espérer e jouat à de ce jeu? Exercce : Toute ressemblace avec des persoes Lors des tros matches de poule d u touro de football quatre supporters décdet de suvre l avs d u poulpe pour prédre les résultats de leur équpe Amusé, l orgasateur du touro leur propose le jeu suvat : Il leur doe à chacu 3 chaque fos que leur prédcto est juste mas ls devrot lu doer e tout 8 à chaque fos qu elle e l est pas ) A l ade d u arbre, écrre des sommes possbles 2) La varable X assoce la somme algébrque de ces supporters à la f des matches a) Quelles sot les valeurs possbles de X? b) Détermer la lo de probablté de X c) Quelle est la probablté que ces supporters gaget e tout 36? d) Quelle est la probablté que ces supporters gaget au mos 2? e) Calculer so l espérace X Que peut-o e coclure? Exercce 2 : Ue ure cotet tros boules umérotées 2, 3 et 4 ) O tre au hasard ue boule de l ure Sot X la varable aléatore qu retoure le uméro de la boule trée Détermer la lo de probablté de X et calculer E (X ) 2) O tre successvemet avec remse deux boules de l'ure Sot Y la varable aléatore qu doe la somme des uméros obteus Détermer la lo de probablté de Y et calculer E (Y ) A-t-o E ( Y ) = 2E( X )? 3) O tre smultaémet deux boules de l ure Sot Z la varable aléatore qu doe la somme des uméros obteus Détermer la lo de probablté de Z et calculer E (Z) A-t-o E ( Z) = 2E( X )? Lycée Fraças de DOHA
Exercce 3 : Ue boîte cotet sx boules rouges et boules blaches U jeu cosste à trer successvemet, sas remse, deux boules de la boîte S les deux boules ot la même couleur, le joueur gage euro ; s elles sot de couleurs dfféretes, le joueur perd u euro a) Das cette questo, o suppose = 3 Calculez les probabltés des évèemets : a) A : «O a obteu deux boules de même couleur» b) B : «O a obteu deux boules de couleurs dfféretes» b) Das cette questo, l'eter est quelcoque mas supéreur ou égal à 2 X la varable aléatore qu à chaque trage de assoce le ga algébrque du joueur a) Quelles sot les valeurs possbles de X? b) Détermer, e focto de, la lo de probablté de X 2 3 + 30 c) Prouvez que l'espérace mathématque E(X) est telle que E(X) = d) Pour quelles valeurs de le jeu est-l équtable? e) Pour quelles valeurs de est-l défavorable au joueur? Exercce 4 : O fabrque u gros cube e agglomérat 27 petts cubes (vor fgure) O pet e rouge toutes les faces du gros cube, pus o sépare de ouveau les 27 petts qu ot doc certaes de leurs faces petes e rouge O tre au hasard u pett cube et o appelle X la varable aléatore égale au ombre de faces petes e rouge sur le pett cube tré ) Quelles sot les valeurs possbles de la varable aléatore X? 2) Détermer la lo de probablté de X 3) Calculer E (X ) 2 + + 30 Exercce 5 : Ue pette compage d'assurace fat u bla du coût de ses assurés par trache de 500 O ote C la varable aléatore doat le motat du coût des assurés e euro ( ) ) Combe y a t l d'assurés das cette compage? 2) Idquer les valeurs prses par la varable 3) Doer la lo de probablté de C 4) Calculer E (C) 5) À combe cette compage d'assurace dot-elle fxer sa cotsato pour équlbrer ses comptes? 6) À combe dot-elle fxer sa cotsato pour réalser u bééfce de 50 par assuré? Lycée Fraças de DOHA
Exercce 6 : U fora a costrut u apparel de jeu coteat tros boules blaches (B ; B 2 ; B 3 ) et deux boules rouges (R ; R 2 ) Lorsqu'o trodut u jeto das l'apparel, deux boules tombet das u paer Toutes les boules ot la même probablté de tomber das le paer S les deux boules obteues sot rouges, le joueur gage u lot de 30 euros S ue des boules obteues est rouge, le joueur gage u lot de 5 euros S les deux boules sot blaches, le joueur e gage re Le prx du jeto est fxé à 0 euros ) Doer toutes les ssues de cette expérece 2) La varable aléatore X désgat la valeur du lot gagé par le joueur, détermer la lo de probablté de X 3) Calculer l'espérace mathématque de X 4) L'apparel e s'avérat pas suffsammet retable, le fora evsage deux solutos : augmeter de euro le prx du jeto ajouter ue boute blache à l'téreur de l'apparel Quelle est la soluto la plus retable pour le fora? Exercce 7 : Ue assocato propose à ses adhérets ue sorte payate Les adhérets peuvet chosr d'apporter leur pque que ou de payer à l'assocato u supplémet pour le repas Le tableau c-dessous doe les dfférets tarfs suvat l'âge des adhérets : L'assocato a scrt 87 partcpats pour cette sorte, dot 58 adultes et 2 efats de mos de 0 as La moté des adultes, u quart des efats et 0 jeues ot apporté leur pque que O chost u partcpat au hasard et o s'téresse aux évéemets suvats : A : «Le partcpat fat parte de la catégore A» B : «Le partcpat fat parte de la catégore B» C : «Le partcpat fat parte de la catégore C» R : «Le partcpat chost e repas proposé par l'assocato» ) Représeter la stuato à l'ade d'u arbre podéré, qu sera complété au fur et à mesure 2) Calculer la probablté de l'évèemet B 3) Calculer la probablté de l'évèemet R A 5 4) Motrer que : P ( R) = 29 5) O ote X la varable aléatore doat le prx payé à l'assocato par partcpat a) Détermer les dfféretes valeurs que peut predre le prx X b) Etablr ta lo de probablté et calculer le prx moye par partcpat Lycée Fraças de DOHA
Exercce 8 : Le chevaler Méré et le jeu du «Passe 0» Le jeu du «Passe 0» est le suvat : O lace tros fos de sute u dé et o addtoe les résultats obteus S cette somme est supéreure à 0 o gage so o perd Le chevaler Méré estme qu o gage plus souvet avec que 2 Etudos cela ) Quelles sot les sommes gagates possbles? 2) Ecrre u programme qu demade le ombre de smulatos que l utlsateur désre et qu lu dque quelle est la fréquece d ue des sommes gagates (o s arragera pour que toutes les sommes gagates soet choses par la classe) 3) Peut-o avor ue dée de la probablté de gager lors de cette expérece? Exercce 9 : O lace tros fos de sute u dé à sx faces umérotées de à 6 af de détermer les valeurs 2 de a, b et c das l équato ax + bx + c = 0 ) Ecrre u programme qu demade combe de smulatos l utlsateur désre et qu lu dque quelle est la fréquece de l évèemet : «Cette équato admet deux solutos» 2) Peut-o avor ue dée de la probablté de cet évèemet? Pour écrre les deux programmes précédets, o pourra utlser les outls suvats : «It(x)» qu doe la parte etère du ombre x «Ra#» qu doe de faço aléatore u ombre comprs etre 0 et La boucle tératve : «For» La codto : «If» Lycée Fraças de DOHA