Terminle S. Lycée Desfontines Melle Chpitre 05 Les nomres complexes Première prtie Le pln est rpporté à un repère orthonorml direct ( O;ÄOI ;ÄOJ ), ppelé pln complexe. Dns tout ce chpitre, et désignent des réels. I. Forme lgérique d un nomre complexe. Forme lgérique d un nomre complexe. Affixe d un point du pln. Définitions : A tout point M de coordonnées (;), on convient d ssocier le nomre complexe unique noté M qui s écrit M =+i. Réciproquement, à tout nomre complexe =+i, on convient d ssocier dns le pln un point M et un seul de coordonnées (;). L ensemle de tous les nomres complexes est noté IC. L écriture =+i vec et réels est ppelée forme lgérique de. est l prtie réelle de et on note =Re() est l prtie imginire de et on note =Im() Cs prticuliers : Si Im()=0, lors =+i 0 cd =. Ainsi, tout nomre réel est un nomre complexe (IR IC) Si Re()=0, lors =i. On dit que est imginire pur. Remrques : Si M =+i et M = +i lors : M=M ñ M = M ñ = = On ne peut ps comprer deux nomres complexes. On dit que le point M de coordonnées (;) pour ffixe le nomre complexe M =+i. On dit que le point M est l imge de M. Si est un réel, son point imge se situe sur l xe des scisses (ou xe des réels). Si est un imginire pur, son point imge se situe sur l xe des ordonnées (ou xe des imginires purs). Affixe d un vecteur. Définition : A tout vecteur Åu de coordonnées, on convient d ssocier le nomre complexe unique noté Åu qui s écrit Åu =+i. Réciproquement, à tout nomre complexe =+i, on convient d ssocier dns le pln le vecteur Åu de coordonnées. On dit que Åu =+i est l ffixe du vecteur Åu de coordonnées Remrque : Åu = Åv ñ Åu= Åv. Åu = ÄOM = M /5
Définition : 3. Opposé d un nomre complexe. L opposé du nomre complexe =+i est le nomre complexe, noté égl à i Soit Åu d ffixe Åu =+i. Ainsi Åu pour coordonnées Soit M un point d ffixe =+i. L opposé de, noté est l ffixe du point Q(-;-), symétrique de M pr rpport à l origine O. donc Åu pour coordonnées - - et pour ffixe le complexe - Åu =- i. On retiendr - Åu =- Åu II. Règles de clculs dns IC Somme: + =(+i)+( +i )=(+ )+i(+ ) Remrque : = +(-) =( +i )+(- i)=( )+i( ) Soit Åu et Åv deux vecteurs d ffixes respectifs Åu = et Åv =. Alors Åu et Åv ont pour coordonnées respectives Donc le vecteur Åu+ Åv pour coordonnées + + et. donc pour ffixe Åu + Åv =+ +i(+ ). Ainsi Åu + Åv = Åu + Åv Soit M et N deux points d ffixes respectives M = et N =. Alors M(;) et N( ; ) donc ÄMN. Donc ÄMN pour ffixe ÄMN =( )+i( )= +i (+i). Ainsi ÄMN = N M Produit d un nomre complexe pr un réel k: k=k(+i)==k+ik Soit Åu d ffixe Åu = Alors Åu pour coordonnées donc k Åu k k pour ffixe k Åu =k+ik. Ainsi k Åu =k Åu. Soit M et P d ffixes respectives M = et P =k. Alors ÄOP = P =k=k M =k ÄOM = käom d où ÄOP =käom. D où P est l imge de M pr l homothétie de centre O et de rpport k. Produit de deux nomres complexes : Cs prticuliers : Produit d un réel pr i: L multipliction d un nomre réel pr i correspond à une rottion de centre O et d ngle π Soit P(;0) d ffixe P = Soit Q(0;) d ffixe Q =i=i P Alors OP=OQ et ( ÄOP;ÄOQ ) = π (π) Donc Q est l imge de P pr l rottion r de centre O et d ngle π /5
Produit d un imginire pur pr i On convient que l multipliction d un imginire pur pr i correspond ussi à une rottion r de centre O et d ngle π Générlistion : =(+i)( +i )= +i +i +i. Or i =- donc = +i( + ) Inverse d un nomre complexe : Tout nomre complexe non nul dmet un inverse, noté = +i Quotient de deux nomres complexes : Si est un nomre complexe non nul, on définit le quotient pr Soit J(0;) d ffixe J =i Alors K d ffixe K =i J =i est l imge de J pr l rottion r de centre O et d ngle π. Or ce point pour coordonnées (-;0) et donc d ffixe -. Ainsi on otient i =- Aucune interpréttion géométrique Aucune interpréttion géométrique Aucune interpréttion géométrique Conséquences : Soient A, B et C trois points du pln d ffixes respectives A, B et C. Le point I milieu de [AB] est tel que ÄOI = ( ) ÄOA +ÄOB donc pour ffixe I = A + B G rycentre de (A,α),(B,β),(C,γ) est tel que ÄOG= G = α A +β B +γ C α+β+γ ( ) α+β+γ α ÄOA +βäob +γäoc donc pour ffixe Méthode pour démontrer que trois points A, B et C d ffixes respectives A, B, C sont lignés : On considère les vecteurs Ä AC et Ä C A AB d ffixe C A et B A et en clculnt k=, on montre que k IR. B A On peut en déduire insi que C A=k( B A ) donc que Ä AC =k Ä AB Ainsi les vecteurs Ä AC et Ä AB sont colinéires et donc les points A, B et C sont lignés. Remrque : même méthode pour montrer le prllélisme de deux droites. III. Conjugué d un nomre complexe Définition : Le conjugué du nomre complexe =+i est le nomre complexe i noté Ò. Soit M d ffixe =+i. Son symétrique M pr rpport à l xe des scisses pour ffixe le conjugué de cd Ò = i. Remrques : = ñ Ò = Le conjugué de Ò est cd Ò = Les symétriques pr rpport à l xe des scisses de deux points confondus sont confondus. Si M est le symétrique de M pr rpport à l xe des scisses lors le symétrique de M est M. 3/5
Opértions sur les nomres conjugués : Soient =+i et = +i lors Ò = i.. Soit = +i donc son conjugué est = i. Ainsi, +Ò =Re(). Conséquence : est imginire pur ñre()=0ñ +Ò =0 ñ=-ò Ò =iim(). Conséquence : est réel Im()=0ñ -Ò =0 ñ=ò Ò =(+i)( i)= +. Remrque : Ò IR Le conjugué d une somme est l somme des conjugués : + =Ò + Le conjugué d un produit est le produit des conjugués : =Ò Le conjugué d un quotient est le quotient des conjugués : si ý0, = Ò Appliction du nomre conjugué : otenir l forme lgérique d un inverse ou d un quotient : Pour otenir l forme lgérique de (fin de rendre réel le dénominteur) ou, on multiplie le numérteur et le dénominteur pr le conjugué de IV. Equtions du second degré dns IC à coefficients réels Soit l éqution ++c=0 d inconnue complexe et où, et c sont des nomres réels vec non nul. Le discriminnt de cette éqution est le réel = 4c. Si >0 lors l éqution dmet deux solutions réelles distinctes : = - Si =0 lors l éqution dmet une solution réelle doule : 0 =-. et = -+. - i - Si <0 lors l éqution dmet deux solutions complexes conjuguées : = -+i - et = V. Exercices Pour tous ces exercices, lorsque c est nécessire, le pln est muni d un repère orthonorml direct (O;I;J) Exercice. Pr lecture grphique, déterminer l ffixe de chcun des points E, F, G, H et K.. Pour chque nomre complexe K suivnt, indiquer s prtie réelle, s prtie imginire puis plcer son point imge M K dns le repère orthonorml direct ci-contre : =3+i; =-3i; 3 =3i; 4 =0; 5 =- i Exercice A chque nomre complexe s écrivnt x+iy, où x et y sont des réels quelconques, on ssocie le nomre complexe Z=3x y+i Déterminer l ensemle des nomres complexes tels que Z soit imginire pur. En déduire l ensemle des points M d ffixe vérifint l condition précédente. 4/5
Exercice 3. Mettre sous forme lgérique chque nomre complexe suivnt puis identifier s prtie réelle et s prtie imginire : =+3i 4(3+5i) ; = 4i (3 i) ; 3=(5 i)(7+4i) ; 4 =(3 4i)(3+4i) ; 5 =(+3i). Donner l forme lgérique de i, i 3, i 4 et i 37. 3. Clculer (+i) 6 et (+i) 8 Exercice 4. On donne F(4;0), G(3;-) et H(-;). Déterminer les ffixes des vecteurs ÄOF, ÄOG et ÄOH.. On considère les points A, B, C et I de coordonnées respectives (;-3), (4;5), (-3;) et (0;0). () Quelles sont les ffixes des points A, B et C et des vecteurs ÄAB, ÄAC et ÄBC. () Soit D et E les points tels que ÄAD=ÄAB +ÄAC et 3ÄBE =ÄBC. Déterminer l ffixe de chcun des points D et E. (c) Démontrer que A, D et E sont lignés. (d) Démontrer que (AB) et (CI) sont prllèles. Exercice 5 Soient A, B, C, A, B, C d ffixes respectives A = i, B =+3i, C =3+i, A =-+3i, B =3 i et C =4+i.. Montrer que ÄAA +ÄBB +ÄCC = Å 0.. Montrer que les centres de grvité G et G des tringles ABC et A B C sont confondus. Exercice 6 Méthode : Pour résoudre une éqution vec un nomre complexe et son conjugué Ò, il fut écrire sous forme lgérique =x+iy (et donc Ò =x iy) et résoudre lors un système d éqution d inconnues x et y.. Résoudre dns IC l éqution : Ò +=0. Résoudre dns IC l éqution : i+( i)ò +=0 Exercice 7. Mettre sous forme lgérique les nomres complexes suivnts : = -5+i 3+i ; = 4 3i. Mettre sous forme lgérique le conjugué Ò du complexe dns chcun des cs suivnts : () =3 4i () = i (c) = 3 i +i Exercice 8 Soit f l fonction définie pour ý-3i pr f()= +i. On pose =x+iy où x et y sont réels. 3 i. Ecrire f() sous forme lgérique.. *Démontrer lors que l ensemle des points M d ffixe tels que f() soit réel est un cercle privé d un point dont on préciser le centre et le ryon. Exercice 9 Résoudre dns IC les équtions suivntes : ++6=0 ; 9 6+=0 Exercice 0. () Déterminer les réels, et c tels que 3 + =( )( ++c ). () Résoudre lors dns IC, 3 + =0.. Résoudre dns IC l éqution 4 +3 =0 (Aide : poser Z= ) 5/5