TS QUADRATURE DE LA PARABOLE DM Le pla P est mui d'u repère orthogoal (O, i, j ). O cosidère la foctio ƒ, défiie, sur, par : ƒ(x) = x Le but du problème est de calculer l'aire A du domaie D suivat : D = {M(x, y) P tels que 0 x et 0 y ƒ(x)} Cocrètemet, D est la zoe située etre la courbe C ƒ de ƒ, l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'équatios respectives x = 0 et x =. (Voir figure ) y Pour calculer l'aire du domaie D, o l'ecadre avec des rectagles. U première série de rectagles (e grisés sur la figure ), situés sous la courbe, de sorte que la somme de leurs aires soit iférieure à A. D'autres, plus grads (e blac sur la figure ) de sorte que la somme de leurs aires soit supérieure à A. D C ƒ y O x Figure C ƒ Figure Découpe du segmet [0 ] e traches O 4 x Largeur des rectagles :. À l'aide d'u raisoemet géométrique élémetaire, expliquer pourquoi l'aire A du domaie D vérifie : TS DM : quadrature de la parabole Page
. À l'aide de la figure, démotrer que : A A. O se propose maiteat de découper le segmet [0 ] e traches d'égales logueurs puis d'étudier ce qui se passe lorsque ted vers + (c'est-à-dire lorsque la largeur des rectagles ted vers 0) Les traches sot doc : Ce que l'o peut oter ecore 0,,,., +, 0 (Voir figure ) a) À l'aide de la figure, compléter le tableau suivat : Trache 0 + Hauteur des rectagles hachurés e 0 Hauteur des rectagles hachurés e b) O ote, pour tout, s la somme des aires des rectagles hachurés e et S la somme des aires des rectagles hachurés e. Aisi, o a : Démotrer que pour tout * : s = s A S ( + + + + + ( ) ) Ce que l'o ote ecore : s = = Démotrer aussi que : S = s + = = c) Démotrer par récurrece que pour tout *, o a : = ( + )( + = ) d) E déduire la limite de la suite (S ) et celle de la suite (s ). Coclure. TS DM : quadrature de la parabole Page
y C ƒ Figure O + x Largeur des rectagles : TS DM : quadrature de la parabole Page
TS QUADRATURE DE LA PARABOLE : CORRIGÉ DM. Le domaie D est etièremet coteu das ue moitié de carré (coupé e deux suivat ue diagoale). Ce carré état de côté, o a doc : A. O calcule la somme des aires des quatre rectagles grisés (o la ote s pour avoir des otatios compatibles avec la questio ). Ces rectagles ot tous pour largeur. Leurs hauteurs respectives sot les images, par la foctio t t, des réels,, et 4, d'où : s = 4 + + + = O calcule, de même, la somme des aires des ciq grads rectagles blacs : S = 4 + + + + = Comme les rectagles grisés sot etièremet coteus das le domaie D qui, lui-même, est etièremet coteu das les grads rectagles blacs, o a bie : A. La hauteur de chaque rectagle est l'image, par la foctio t t, de la bore iférieure (pour bore supérieure (pour ). a) O a doc : ) ou la Trache 0 Hauteur des rectagles hachurés e 0 Hauteur des rectagles hachurés e + + b) Comme la largeur des rectagles est égale à, o a pour tout * : E factorisat par s = + + + + + das la grade parethèse, il viet : s = ( + + + + + ( ) ) C'est-à-dire : s = = De même, o a : D'ue part, o a : S = + + + + + + TS DM : quadrature de la parabole Page 4
S = + + + + + D'autre part, e factorisat par + = s + S = ( + + + + + ( ) + ) = = c) O cosidère la propriété, défiie pour tout *, par : () : = = ( + )( + ) O a () puisque =. La propriété est doc iitialisée au rag. Motros que, pour tout * : () ( + ) Soit *. Supposos () : = = ( + )( + ) + O a : = + ( + ) + = = = Et d'après () : = ( + )( + ) + ( + ) + = [ ] ( + ) ( ( + ) + ( + ) E factorisat par ( + ) : = Ce qui est ( + ) + = ( + )( + 7+ ) ( + )( + )( + ) = = O a doc bie motré que pour tout * : () ( + ) La propriété est doc héréditaire à partir du rag. D'après le pricipe de raisoemet par récurrece, o e déduit : C'est-à-dire, pour tout * : d) O déduit des questios b) et c) que : pour tout *, o a () = ( + )( + ) = ( + )(+ ) ( + )(+ ) S = = Calculos la limite de la suite (S ). Pour cela, o écrit : Or, o sait que : S = + + = + + lim + = lim + TS DM : quadrature de la parabole Page = 0
D'où, par somme : lim + + + = lim S + = Par ailleurs, o a vu que : s = S O obtiet doc, par somme : lim s + = Cocluos : o a vu que, pour tout * : s A S Comme lim s + = lim S + =, le théorème des gedarmes permet d'affirmer que : A = Coclusio : l'aire du domaie délimité par la parabole d'équatio y = x, l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'équatios respectives x = 0 et x = est égale à. TS DM : quadrature de la parabole Page