Mathématiques 205-206 Colle o 22 Combiatoire. Probabilités Lycée Charlemage PCSI Exercice. Exercice 5. O dispose de différets vêtemets : quatre slips, trois patalos, deux tee-shirts et ciq paires de chaussures. Das les questios suivates o suppose qu o e porte pas plusieurs vêtemets du même type ; par exemple, o e porte pas deux tee-shirts à la fois.. De combie de maières peut-o s habiller? 2. O est pas obligé de s habiller complètemet. O peut sortir, par exemple, sas tee-shirt ou avec ue seule chaussure. Ue seule restrictio : Pour des questios d ordre public le port du patalo est obligatoire si o e porte pas de slip! De combie de maières peut-o s habiller? (O suppose qu o e peut pas mettre ue chaussure gauche sur le pied droit et iversemet.) 3. Repredre la questio précédete sas l hypothèse sur les chaussures. Exercice 2. U digicode pour la porte d etrée d u immeuble est ue série de quatre caractères, ue lettre A ou B suivie de trois chiffres ; par exemple A334 ou B20. Combie existe-t-il de digicodes? Combie existe-t-il de digicodes où tous les caractères sot disticts? Combie existe-til de digicodes ayat pas deux caractères cosécutifs idetiques? Quatre joueurs jouet avec u jeu de32 cartes. O distribue à chaque joueur trois cartes au hasard. Détermier la probabilité de l évéemet A : «Chaque joueur a u as». Exercice 6. Das ue tombola, 000 billets dot 2 gagats sot mis e vete. Quel est le ombre miimal de billets qu il faut acheter pour que la probabilité d avoir au mois u billet gagat soit supérieure ou égale à50%? Exercice 7. E probabilités o dit qu u dé est pipé si les chaces de ses six faces e sot pas les mêmes. O dispose de 00 dés dot 30 sot pipés : pour ces deriers, la probabilité d obteir u 6 est égale à /2. O choisit u dé au hasard, o le lace et o obtiet u 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé? Exercice 8. O lace deux dés et o ote X la somme des deux ombres obteus.. Expliquer pourquoix e suit pas ue loi uiforme. 2. Peut-o piper les dés de sorte que X suive ue loi uiforme sur 2,2? Exercice 3. Combie d aagrammes peut-o faire du mot PAPAPA- PEETE? Exercice 4. Lors d ue soirée avec 20 persoes se formet des groupes de coversatio : deux groupes à deux persoes, quatre groupes à trois persoes et u groupe à quatre persoes. De combie de maières cela est-il possible? Exercice 9. Ue ure cotiet 5 boules blaches et 0 boules oires.. O tire au hasard 2 fois ue boule de l ure e remettat la boule après le tirage. Quelle est la probabilité d obteirboule blache etboule oire,.a. das cet ordre?.b. das u ordre quelcoque? 2. O tire simultaémet 5 boules de l ure. Quelle est la probabilité d obteir 2 boules blaches et 3 boules oires? Exercice 0. O distribue quatre dragées D,...,D 4 das sept boîtes B,...,B 7. Détermier le ombre des distributios possibles selo les hypothèses idiquées. Questio o. a. b. c. d. e. f. g. O peut mettre plus d ue dragée das chaque boîte Les boîtes sot discerables Les dragées sot discerables www.mathoma.com
Colle o 22 Combiatoire. Probabilités Lycée Charlemage PCSI 205-206 (O e tiedra pas compte des dragées à l itérieur d ue boîte. Le lecteur courageux pourra repredre l exercice das le cas où o empile les dragées das u certai ordre.) www.mathoma.com 2
Colle o 22 Combiatoire. Probabilités Lycée Charlemage PCSI 205-206. Solutios Solutio.. 4 3 2 5 20. 2. Comptos d abord les possibilités lorsqu o porte u slip. Il y e a 4 4 3 6 6 728. E effet, il y a 4 slips ; pour couvrir les jambes il y a trois patalos ou aucu, doc quatre choix ; pour couvrir le torse il y a trois choix ; pour le pied gauche il y a six possibilités et de même pour le pied droit. Par u raisoemet similaire, quad o e porte pas de slip le ombre de possibilités est 3 3 6 6 324. Au total il y a2052 possibilités. Remarque O peut aussi faire la distictio de cas selo le port d u patalo. Avec patalo : 5 3 3 6 6 620 possibilités. Sas patalo :4 3 6 6 432. Au total 2052 possibilités. 3. NotosS le port d u slip etgle port d ue chaussure sur le pied gauche. O trouve : S G 4 4 3 0 0, S G 3 3 0 0, S G 4 4 3, S G 3 3. E effet, si o agalors o choisit etre0 chaussures pour le pied gauche, puis etre 9 chaussures ou pied u pour le pied droit ; d où les facteurs0 0. Si o a G alors o choisit le pied gauche u, puis etre 0 chaussures ou u pour le pied droit ; d où les facteurs. Le ombre total de possibilités est6327. Remarque O obtiet le même résultat par distictio de cas selo le port d u patalo. Solutio 2. O a2choix pour le premier caractère, puis0 choix pour chacu des trois autres : 2 0 3 2000. O a2choix pour le premier caractère, puis0 choix pour le secod, puis9choix pour le troisième, puis8choix pour le quatrième : 2 0 9 8 440. O a a2choix pour le premier caractère, puis0 choix pour le secod, puis9choix pour le troisième (il doit être différet du secod), puis 9 choix pour le quatrième (il doit être différet du troisième) : 2 0 9 9 620. Solutio 3. La répose est doée par le coefficiet multiomial Ç å! 4, 3, 3, 4!3! 0 9 8 7 6 5 0 2 7 6 5 46200. 2 3 2 2 2 Solutio 4. Das u premier temps appelos les groupes A,A 2,B,B 2,B 3,B 4,C (das l ordre de l éocé). Le ombre de possibilités de les remplir est le coefficiet multiomial Ç 20 2,2,3,3,3,3,4 å 9554575040000. (Voir aussi l exemple?? ou l exercice??) Or les groupes de coversatio e chaget pas si o permute les oms A et A 2 etre eux, ou les oms B,B 2,B 3,B 4 etre eux. Il faut doc diviser le résultat précédet par 2!4!. O obtiet 407386980000. Solutio 5. Méthode : O distribue trois cartes à chacu des quatre joueurs et o garde les vigt cartes restates. Chaque jouer se distigue de l autre mais l ordre des cartes das la mai de chaque joueur a pas d importace. Doc le cardial de l uivers Ω est le coefficiet multiomial Ç å 32 Ω 3,3,3,3,20 32! 3! 4 20!. Maiteat cherchos le ombre de distributios où chaque joueur reçoit u as. Das ce cas les quatre as peuvet être distribués de 4! maières différetes. Les 28! 2! 4 20! ma- 28 cartes restates peuvet être distribuées de ières différetes. Aisi Doc A 28!4! 2! 4 20!. www.mathoma.com 3
Colle o 22 Combiatoire. Probabilités Lycée Charlemage PCSI 205-206 P(A) A Ω 28!4!3!4 32!2! 4 4!3 4 32 3 30 29 0.0023 Méthode 2 : O tiet compte de l ordre des cartes. Au total il y a 32! maières différetes de les ordoer, c est-à-dire Ω 32!. O coviet que les trois premières cartes appartieet au joueur, les quatrième à sixième cartes au joueur 2, etc. Maiteat cherchos le ombre de distributios où chaque joueur reçoit u as. L as de pique peut aller sur 2 emplacemets, l as de trèfle sur 9 emplacemets, l as de cœur sur 6 emplacemets et efi l as de carreau sur 3 emplacemets. Les 28! cartes restates peuvet être distribuées de 28! maières différetes sur les 28 emplacemets restats. Aisi A 2 9 6 3 28! et par coséquece P(A) 2 9 6 3 28! 32! (4 3) (3 3) (2 3) 3 32 3 30 29 4!3 4 32 3 30 29 0.0023 Solutio 6. Notos le ombre de billets achetés et p la probabilité d avoir au mois u billet gagat parmi eux. (E particulier p 0 0, p 999 p 000 et (p ) 0,000 est ue suite croissate.) Il est plus simple de calculer la probabilité q p de l évéemet cotraire, c est-à-dire «aucu billet est gagat parmi lesbillets achetés». Méthode : Il y a ( 000 sas billet gagat. E coséquece, Aisi q ( 998 ( 000 ) ) ) ( choix de billets dot 998 ) sot 998!!(000 )!!(998 )! 000! 998!(000 )! 000!(998 )! (000 )(999 ). 000 999 p 2 q 2 (000 )(999 ) 000 999 2 2 999 +499500 0. Le triôme ci-dessus est égatif etre ses deux racies, qu o obtiet par u calcul de discrimiat : l ue est proche de292.75 et l autre supérieure à000. Doc il faut acheter au mois 293 billets. Méthode 2 : O peut calculerq autremet : La probabilité que le premier billet soit perdat est 998, esuite pour le 000 suivat c est 997, etc. Doc 999 q 998 997 996 000 999 998 998 ( ) 000 ( ) (998 ( 2))(998 ( )) 000 999 (000 )(999 ). 000 999 Solutio 7. NotosAl évèemet : «Le dé choisi tombe sur6» etb : «Le dé choisi est pipé». Les hypothèses de l éocé se traduiset par P(B) 30 3, PB(A) et P (A) 00 0 2 B 6 (puisque pour u dé ormal, chaque face a la même probabilité d apparaître). 6 O applique alors la formule de Bayes : P(B)P B(A) P A(B) P(B)P B(A)+P(B)P B (A) 3 0 2 3 + 7 0 2 0 6 9 6. Solutio 8.. La sommex 2 est mois probable que X 3. La raiso pour cela est qu o retrouve la première seulemet avec le couple (,) (doc avec la probabilité/36) tadis qu o peut obteir la deuxième avec (,2) et(2,) (doc avec la probabilité/8). 2. No. Supposos par l absurde que de tels dés existet. Notos a k (resp.b k ) la probabilité du premier (resp. secod) dé d obteir le ombrek, oùk,6. O a P(X2) P(X2) ab a6b6. E particulier les ombresa, a 6, b etb 6 sot strictemet positifs. Si a 6 a alors o trouve la cotradictio P(X7) ab6 +a2b5 +a3b4 +a4b3 +a5b2 +a6b > a6b ab. Si a 6 a alors o déduit de a 6b 6 a b qu o ab 6 b. C est impossible comme das le cas précédet. www.mathoma.com 4
Colle o 22 Combiatoire. Probabilités Lycée Charlemage PCSI 205-206 Solutio 9. 2..a. 9. 4.b. 9. Solutio 0. 2. ( 5 )( 0 2( 3) 5 ) 0 20 0.4. 3003 5 a. 7 4 240. b. A 4 7 7 6 5 4 840. c. Il y a clairemet qu ue seule distributio possible : celle où trois boîtes sot vides et quatre boîtes cotieet ue dragée chacue. d. Il faut choisir les quatre boîtes coteat chacue ue dragée. Le ombre de possibilités est ( 7 4) 35. e. Il y a ciq possibilités : Ue boîte cotiet toutes les dragées. Ue boîte cotiet trois dragées et ue autre ue dragée. Ue boîte cotiet deux dragées, deux boîtes cotieet chacue ue dragée. Deux boîtes cotieet chacue deux dragées. Chaque dragée va das ue boîte différete. E fait, ces cas correspodet aux «décompositios» du ombre 4 : 4 3+ 2++ 2+2 +++. f. O repred les ciq possibilités de la questio précédete, e discerat les dragées. Pour ue descriptio plus rapide o utilise la correspodace avec les décompositios e somme : Décompositio 4 + 0. Ue seule possibilité. Décompositio 3 +. Quatre possibilités. Décompositio 2 + +. Il y a ( 4 2) 6 maières de le faire car il faut choisir les deux dragées qui «restet esemble». Décompositio 2 + 2. Il y a 6/2 3 maières de le faire. E effet, chaque choix de deux dragées qui restet esemble implique automatiquemet que les deux autres restet aussi esemble et puisqu o e distigue pas les boîtes, il faut diviser ( 4 2) par2. Décompositio +++. Il y a qu ue seule maière de le faire. Au total le ombre de possibilités est : +4+6+3+ 5. g. O repred les ciq possibilités de la questio 5., cette fois e discerat les boîtes. Décompositio 4 + 0. Pour choisir la boîte coteat toutes les dragées il y a7possibilités. Décompositio 3 +. Pour choisir la boîte coteat trois dragées, puis celle coteat ue dragée il y a7 6 2 possibilités. Décompositio2++. Il y a7 ( 6 2) 05 possibilités. Décompositio2+2. Il y a ( 7 2) 2 possibilités. Décompositio+++. Il y a ( 7 4) 35 possibilités. Au total le ombre de possibilités est : 7+2+05+2+35 89. www.mathoma.com 5