13 TH ARAB STRUCTURAL ENGINEERING CONFERENCE UNIVERSITY OF BLIDA 1 DECEMBER 13-15, 015 ALGERIA Applcaton du Règlement Parassmque Algéren RPOA-008 pour l Analyse d un Pont à Poutres sous Chaussée Abderrahmane Kbboua *, Nadb Hemad-Zourgu **, Fouad Kehla * et Youcef Mehan ** * Natonal Earthquake Engneerng Research Center (CGS) /01, rue Kaddour Rahm. BP5.H-Dey. Algers akbboua@cgs-dz.org fkehla@cgs-dz.org ** Natonal Earthquake Engneerng Research Center (CGS)/ 01, rue Kaddour Rahm. BP5.H-Dey. Algers nhemadzourgu@cgs-dz.org ymehan@cgs-dz.org Résumé: L exemple présenté dans ce paper, porte sur l analyse d un pont à poutres sostatques sous chaussée de 10.00 m de longueur, représentatf d une catégore de ponts fréquemment réalsés en Algére. Le tabler de 10.00 m de largeur est consttué de sx poutres préfabrquées en béton précontrant, de hauteur 1.50 m, espacées de 1.80 m et surmontées d une dalle en béton armé de 5.00 cm d épasseur. Ces poutres reposent sur les ples par le bas d apparels d appus en élastomère fretté. Les ples de type vole arrond, de hauteur 9.40 m, de largeur 7.0 m et d épasseur 1.0 m, sont construtes en béton armé et encastrées à la semelle. Le pont est classé dans la catégore d mportance moyenne (groupe 3), présente un bas géométrque de 71,0 grades, et est mplanté en zone de forte ssmcté (Zone III). Les composantes horzontales de l acton ssmque sur le pont sont représentées par un spectre de réponse élastque conformément aux RPOA-008. Dans le sens longtudnal, le tabler est consdéré rgde, mas dans le sens transversal, l est consdéré comme flexble. Les forces ssmques horzontales sont calculées suvant deux approches dstnctes, à savor la méthode monomodale et la méthode multmodales. Les résultats des deux méthodes sont comparés afn d estmer les forces ssmques de dmensonnement pour ce type de ponts. Mots clés: Ponts à poutres sostatques, tabler rgde, tabler flexble, méthodes d analyse, spectre de réponse élastque, RPOA-008. 1. INTRODUCTION L analyse d un pont se fat en général par la méthode spectrale monomodale (mode fondamental) ou par la méthode du spectre de réponse (analyse dynamque lnéare). L utlsaton d autres méthodes (spectre de pussance, analyse temporelle lnéare ou non lnéare) dot être ustfée (RPOA-008). La méthode dte monomodale peut s applquer dans le cas où le comportement dynamque de l ouvrage peut être représenté par un modèle à un seul degré de lberté. Dans ce cas, l y a leu de consdérer le mode fondamental sur lequel est reporté la totalté de la masse vbrante. Par contre, la méthode dynamque lnéare se base sur un calcul dynamque multmodal spectral dont la réponse globale est obtenue par des combnasons statstques des contrbutons modales males.. PRESENTATION DE L OUVRAGE L ouvrage étudé est un pont à poutres multples en béton précontrant à tros travées ndépendantes avec une largeur roulable de 10 m et présentant un angle de bas = 71.0 grade. Les tros travées ont une portée de 33.4 m
chacune. Cette successon de travées repose au nveau de chaque appu ntermédare sur deux lgnes d apparel d appu. Le pont est stué dans une zone de forte ssmcté (Zone III) d après la classfcaton du nouveau règlement parassmque applcable au domane des ouvrages d art RPOA-008. L ouvrage présente une symétre longtudnale et transversale ans qu une régularté approprée [1]. Les ples de type vole arrond, ont des hauteurs de 9.40 m. 3. CARACTERISTIQUES DYNAMIQUES DE L OUVRAGE Pour calculer les caractérstques dynamques du pont, l faut déalser la structure en créant par exemple un modèle mathématque qu permet par la sute de calculer ses caractérstques dynamques. 3.1 Modélsaton de l ouvrage La représentaton d une structure en un système équvalent à pluseurs DDL est une tâche délcate. La précson de la soluton va dépendre de la modélsaton mathématque []. Pour l étude de cet ouvrage, deux modèles dynamques ont été utlsés pour analyser cette structure dans les drectons longtudnale et transversale. 3.1.1 Drecton longtudnale Le tabler est consdéré comme un daphragme nfnment rgde. Il peut être donc représenté comme une masse concentrée et applquée au nveau de son centre de gravté avec la moté des masses des ples prse en consdératon [3]. Le système est représenté par cnq degrés de lberté régssant le mouvement de translaton longtudnal (Fgure 1). Fgure 1: Modèle mathématque du pont dans la drecton longtudnale 3.1. Drecton transversale Le tabler est segmenté en sx portons dentques, ce qu donne cnq degrés de lberté de translaton dans le sens transversal. Il content des blocages transversaux au nveau des ples et des culées. Les masses sont donc assgnées aux têtes des appus et à m-portée de chaque tabler. Elles sont de ce fat régt par la rgdté des ples et par la rgdté rotatonnelle due à l ensemble des apparels d appu (Fgure ). Fgure : Modèle mathématque du pont dans la drecton transversale 4. FORMULATION DU SYSTEME D EQUATION L énerge cnétque du système s écrt : E c = 5 =1 M x ² (1) L énerge potentelle du système s écrt : E p = 1 kx 1² + 1 k x x 1 + 1 k 1x ² + 1 k x 3 x + 1 k x 4 x 3 + 1 k x 4 ² + 1 k x 5 x 4 () - -
Le Lagrangen du système s écrt : L = E c E p (3) L équaton de Lagrange pour un système lbre non amort s écrt : d dt L x L x = 0 (4) En applquant l équaton de Lagrange pour chaque degré de lberté, on obtent alors le système d équatons suvant : M 1 x 1 + kx 1 k x x 1 = 0 M x + k 1 x + k x x 1 k x 3 x = 0 M 3 x 3 + k x 3 x k x 4 x 3 = 0 M 4 x 4 + k x 4 x 3 + k 1 x 4 k x 5 x 4 = 0 M 5 x 5 + k x 5 x 4 + kx 5 = 0 Les équatons du mouvement pour un système à pluseurs DDL non amort en vbratons lbres s écrvent smplement : (5) M x + K x = 0 (6) Où [M] et [K] sont respectvement les matrces de masse et de rgdté du système. 4.1 Résoluton du système d équaton La résoluton de l équaton caractérstque du système d équaton (6) va le langage de programmaton Matlab donne les pérodes de vbraton du système suvant : 4.1.1 Drecton longtudnale Table 1: Pérodes propres du système et partcpaton modale dans le sens longtudnal T 1 (s) T (s) T 3 (s) Pérodes propres 0.99 0.98 0.97 η 1 ( ) η ( ) η 3 ( ) Partcpaton modale 77.73 1.e-8 9.55 On remarque que les tros premers modes moblsent 87% de la masse totale de l ouvrage dans la drecton longtudnale. 4.1. Drecton transversale Table : Pérodes propres du système et partcpaton modale dans le sens transversal T 1 (s) T (s) T 3 (s) Pérodes propres 0.13 0.1 0.10 η 1 ( ) η ( ) η 3 ( ) Partcpaton modale 94.03 5.39e-30 5.90 On constate que les tros premers modes moblsent 99.93% de la masse totale de l ouvrage dans la drecton transversale. Vu la partcpaton modale de l ouvrage, l a été remarqué que le pont étudé moblse la totalté de la masse vbrante dans les tros premers modes et ce, dans les deux drectons. L ouvrage est souple longtudnalement, par contre, l est rgde transversalement. 5. ANALYSE DE LA STRUCTURE Les méthodes utlsées dans cette étude sont les méthodes spectrale monomodale dte «méthode monomodale» et - 3 -
multmodale. 5.1 Détermnaton des sollctatons ssmques longtudnales La détermnaton des sollctatons que subt l ouvrage sous l acton ssmque longtudnale se fat de la manère suvante. 5.1.1 Méthode monomodale (Tabler rgde) Elle stpule que les effets du mouvement d ensemble sont détermnés par un calcul structural monomodal, dans chaque drecton, en consdérant dans chacune le mode fondamental sur lequel est reporté la totalté de la masse vbrante. a. Détermnaton de la masse de la structure La masse à prendre en compte est la masse du tabler [4]: M = 1915 t b. Détermnaton de la radeur de la structure La radeur du système sans angle de bas est K = 67.30 MN/m, avec angle de bas elle vaut K = 77.0 MN/m. c. Détermnaton de la pérode propre de la structure La pérode fondamentale de l ouvrage est : T M K Avec T = 1.06 s (sans angle de bas) et T = 0.99 s (avec angle de bas). Par conséquent c est la pérode avec angle de bas qu est retenue car elle est plus représentatve. d. Détermnaton des forces statques équvalentes Le coeffcent d accélératon de zone est donné par le tableau 3.1 du RPOA-008 [5], sot A = 0.5. Le taux d amortssement crtque est prs égal à 5%, la pérode de l ouvrage est T = 0.99s, le coeffcent de ste correspondant au ste S vaut S = 1.1 (vor RPOA- 008), les pérodes caractérstques assocées à la catégore de ste S ont pour valeurs T1 = 0.15 s et T = 0.40 s. La pérode de l ouvrage se stue entre T et 3.00 s, alors : T ( T, ).5 AgS T S ae (8) L effort longtudnal total est : F MS (T) Long a (9) (7) Les efforts reprs par les éléments porteurs de l ouvrage seront dstrbués au prorata de leurs radeurs. F Long k F k Long Table 3: Force longtudnale et efforts longtudnaux reprs par les éléments porteurs du pont S ae ( T, ) Long F F Ples F Culées (10) (m/s ) (KN) (KN) (KN).73 57.95 1713.98 899.99 5.1. Méthode multmodale (analyse par le spectre de réponse) En utlsant les résultats de l analyse obtenus en 4, la réponse male de chaque degré de lberté () dans chaque mode () dans la drecton longtudnale est donnée par la formule 11. x A S (11) D - 4 -
E Ans, les forces ssmques équvalentes males pour chaque mode sont données par la formule 1. K (1) x D où, la valeur male probable E de l effet ssmque sur chaque degré de lberté dot être consdérée en général comme égale à la racne carrée de la somme des carrés des réponses modales E (règle SRSS). E (13) E Fnalement, la valeur de la force totale dans cette drecton longtudnale est obtenue par une sommaton algébrque de tous les effets : F tot = 5859.80 KN. Le tableau 4 donne une comparason entre les résultats trouvés par les deux méthodes. Force totale longtudnale Force totale longtudnale erreur (%) (Méthode monomodale) (Méthode multmodale) 57.95 5859.80 KN 1 % Les valeurs de la force ssmque résultante évaluée par les deux approches monomodale et multmodale sont comparables. La réponse de l ouvrage à travées ndépendantes peut être donc estmée par la réponse d un modèle à un seul degré de lberté, qu n est valable que pour estmer le nveau de la force totale transmse à l ouvrage. 5. Détermnaton des sollctatons ssmques transversales 5..1 Modèle à Tabler flexble Selon les caractérstques partculères du pont, deux approches dfférentes (RPOA- 008) peuvent être utlsées, à savor : le modèle à tabler rgde ou celu à tabler flexble. En effet, le modèle à tabler flexble est retenu car (L/B)>5 où L est la longueur totale du tabler contnu (L = 100,0m) et B la largeur du tabler (B = 10m). La pérode fondamentale de la structure peut être approxmée par le premer mode à partr de la déformée sous charges permanentes (méthode de Raylegh) par exemple. a. Détermnaton de la pérode propre de la structure La pérode fondamentale de l ouvrage est : T T m u (14) f u Avec : m : La masse concentrée au ème pont nodal ; u : Le déplacement dans la drecton étudée, lorsque la structure est soumse aux forces les ponts nodaux dans la même drecton. f m g agssant à tous Les masses m concentrées aux ponts nodaux sont détermnées après avor dscrétsé le tabler. Elles sont données en tonnes et ont pour valeur les résultats suvants : {M} = {478.530, 475.456, 319.00, 475.456, 478.530} (t) Les forces f agssent statquement sur l ouvrage à tous les ponts nodaux, donc le déplacement de chaque degré de lberté est donné par : U K 1 f (15) K étant la matrce de rgdté dans la drecton transversale, ans les déplacements nodaux auront pour valeurs : {U} = {0.00431, 0.0077, 0.0047, 0.0077, 0.00431} (m) - 5 -
D où, la pérode fondamentale de l ouvrage à tabler flexble est : T = 0.13 s. b. Détermnaton des forces statques équvalentes Les effets du sésme dovent être détermnés en applquant à tous les ponts nodaux des forces horzontales F, qu ont pour expresson : 4 F T Sa ( T) um g Le coeffcent d accélératon de zone est donné par le tableau 3.1 du RPOA-008, sot A = 0.5. Le taux d amortssement crtque est prs égal à 5%, la pérode de l ouvrage est T = 0.13 s, le coeffcent de ste correspondant au ste S vaut S = 1.1 (vor RPOA- 008), les pérodes caractérstques assocées à la catégore de ste S ont pour valeurs T1 = 0.15 s et T = 0.40 s. La pérode de l ouvrage se stue entre 0 et 0.15s, alors : 1 (T/T ) (,5-1) S ae ( T, ) AgS 1 (17) Les efforts ssmques en chaque nœud sont les suvants : {F} = {316.85, 055.73, 349.8, 055.73, 316.85} (KN) (16) 5.. Méthode multmodale (analyse par le spectre de réponse) En utlsant les résultats de l analyse obtenus en 4, la réponse male de chaque degré de lberté () dans chaque mode () dans la drecton transversale est donnée par la formule 18. y E A S D Ans, les forces ssmques équvalentes males pour chaque mode sont données par la formule 19. K y D où, la valeur male probable E de l effet ssmque sur chaque degré de lberté dot être consdérée en général comme égale à la racne carrée de la somme des carrés des réponses modales E (règle SRSS). (18) (19) E (0) E D où le nveau de la force ssmque aux degrés de lberté est : E= {3360.36, 049.14, 396.49, 049.14, 3360.36} (KN) 5..3 Comparason entre les résultats trouvés par les deux méthodes (tabler flexble et multmodale) Les efforts ssmques obtenus par la méthode à tabler flexble en chaque nœud sont : {F} = {316.85, 055.73, 349.8, 055.73, 316.85} (KN) Les efforts ssmques obtenus par la méthode multmodale en chaque nœud sont : {E} = {3360.36, 049.14, 396.49, 049.14, 3360.36} On remarque que les forces ssmques obtenues par les deux méthodes sont très comparables. Quand ben même, la méthode basée sur le modèle à tabler flexble est consdérée comme étant une approche qu donne de bons résultats, néanmons le calcul est long et fastdeux et elle demeure quas dffcle à mettre en œuvre. D où la nécessté de recourr à un logcel de calcul des structures dans le cas des ouvrages à pluseurs travées. (KN) - 6 -
5. CONCLUSION La procédure utlsée dans ce paper pour évaluer l effort ssmque applqué à l ouvrage a été décrte auss ben pour l approche basée sur l analyse monomodale que multmodale. Ben que celle-c sot apparue smple et facle à mettre en œuvre, on a eu recours à chaque fos à un calcul lent et fastdeux pour évaluer les matrces de rgdté ans que l acton male probable que peut sollcter l ouvrage. La complexté de ce calcul ne concerne pas unquement l évaluaton des matrces de rgdté des modèles, de l effort ssmque total, mas s étend auss à sa répartton (l effort ssmque total) sur les dfférents éléments porteurs de l ouvrage. Il convent de mentonner que dans le cas d un tabler reposant sur des apparels d appu en néoprène fretté, une autre problématque est apparue pusque le tabler de pont se comporte comme une structure solée. D où une étude fable est nécessare et dot fare appel aux technques de calcul des structures solées. REFERENCES [1] A. Kbboua, M. Nal, and D. Benouar, Analyse dynamque modale spectrale d un pont à poutres préfabrquées en béton précontrant, n Proc. AFPS, 011, 8 ème Colloque Natonal de Géne Parassmque, Ecole des Ponts, ParsTech, 6,7 et 8 septembre 011, France. [] Flatrault A., Eléments de géne parassmque et de calcul dynamque des structures, Edtons de l Ecole Polytechnque de Montréal, Canada, 1996. [3] Corfdr P., Ponts courants en zone ssmque, gude de concepton, SNCF/CETE/SETRA, France, Janver 000. [4] RCPR-008., Règles défnssant les charges à applquer pour le calcul et les épreuves des ponts routes, Document Technque Règlementare (DTR), Mnstère des Travaux Publcs, Algére, 008. [5] RPOA-008., Règles parassmques applcables au domane des ouvrages d art, Document Technque Règlementare (DTR), Mnstère des Travaux Publcs, Algére, 008. - 7 -