Université Clude Bernrd, Lyon I 43, boulevrd du 11 novembre 1918 696 Villeurbnne Cedex Licence Sciences & Technologies Spécilité Mthémtiques UE : Clcul Scientifique 009-010 Série n 6 : Interpoltion et méthodes des moindres crrés 1 Formules des différences divisées Soit f : [;b] R une fonction de clsse C N+1 On fixe x 0,,x N des points distincts de [;b] Le polynôme de Lgrnge est un polynôme de degré inférieur ou égl à N et tel que : P N (x i ) = f(x i ),i = 0,,N 1 Afin de construire le polynôme de Lgrnge u rng N, on utilise l formule de Newton On considère l suite des polynômes : ou encore : P n (x) = 0 + 1 (x x 0 ) + + n (x x 0 ) (x x n ), n P n (x) = P n (x) + n Il suffit donc de clculer n pour psser de P n à P n k=0 (x x k ) () Montrer que le polynôme interpolteur de Lgrnge de l fonction f ux points distincts (x i ) 0 i n est unique (b) Montrer que les n sont uniques (c) On définit les f[y 0,,y k ] de l mnière suivnte : f[y 0 ] = f(y 0 ) f[y 0,,y k ] = f[y1,,y k] f[y 0,,y k ] y k y 0 Montrer pr récurrence que n = f[x 0,,x n ] (d) Montrer que f[x 0,,x n ] est invrint pr permuttions Montrer qu il existe ξ [;b] tel que f[x 0,,x n ] = f(n) (ξ) n! 3 Montrer que : P N (x) f(x) f(n+1) (N + 1)! N (x x k ) 4 () Trouver le polynôme interpolteur de Lgrnge de l fonction f(x) = sin( π x) ux points x 0 = 0, x 1 = 1, x = (b) Étblir une estimtion d erreur k=0 1
Étude de convergence de l interpoltion de Lgrnge Soit α un réel dns ] ; [ ] + 1; + [ et f : [; +1] R l fonction définie pr : f(x) = 1 x α On ppelle L n le polynôme interpolteur de Lgrnge de l fonction f ux n + 1 points x 0,x n de l intervlle [; +1] Ces points sont équidistnts, c est-à-dire qu il existe un réel fixé h > 0 tel que x i+1 x i = h quelque soit i 1 () Clculer les dérivées successives de l fonction f (b) Montrer que si α > 3, lors : lim f L n n + = 0 Dns l prtique, on préfère utiliser des polynômes de degré peu élevé sur chque petit intervlle [x i ;x i+1 ] () Pour chque intervlle [x i ;x i+1 ], écrire l pproximtion de Lgrnge f n de f de degré 1 (b) Montrer qu il existe un réel positif C tel que f f n C n En déduire que f n converge uniformément vers f 3 Formule de qudrtures Soit f : [;b] R une fonction continue Il existe toute une fmille d lgorithmes permettnt d pprocher l vleur numérique de l intégrle : I = f(x)dx Toutes consistent à pprocher l intégrle pr une formule dite «de qudrture», du type : I p = p ω i f(x i ) Le choix de p, des poids ω i et des points x i dépend de l méthode employée Générlement, les fonctions sont remplcées pr des polynômes dont nous connissons fcilement l primitive 1 Méthode des rectngles Soit ξ l unique point d interpoltion Alors le polynôme d interpoltion est constnt P 0 (x) = f(ξ) L formule devient : I rect = () Montrer que pour tout x dns [;b], P 0 (x)dx = (b )f(ξ) f() (x ) f f(x) f() + (x ) f, et que f(b) (b x) f f(x) f(b) + (b x) f (b) Montrer que lorsque ξ = ou ξ = b, l erreur vut : I rect I (b ) f
Méthode des trpèzes Nous interpolons f pr un polynôme de degré 1, et nous vons besoin de deux points d interpoltion, à svoir et b L intégrle est lors pprochée pr l ire du polynôme d interpoltion, c est-à-dire l ire d un trpèze : I trp = P 1 (x)dx = (b ) () Écrire explicitement le polynôme d interpoltion P 1 (b) Montrer que pour tout x dns [;b], (c) Montrer que l erreur vut : (x )(b x) f(x) P 1 (x) I trp I f() + f(b) (b )3 1 (x )(b x) 3 Appliction u clcul d une intégrle Nous décomposons l intervlle [; b] en n sousintervlles On pose h = (b )/n et x i = + ih pour i = 0,,n () Écrire l formule des trpèzes pour chque intervlle [x i ;x i+1 ] En déduire une formule pour pprocher l intégrle : f(x)dx (b) Donner une estimtion de l erreur en fonction de (b ),, et n 4 Méthodes des moindres crrés discrètes vec poids Considérons un nuge de points (x 1,y 1 ),,(x n,y n ) et des réels strictement positifs α 1,,α n Soit m un entier compris entre 0 et n 1 On recherche le polynôme P de degré inférieur ou égl à m qui pproche u mieux le nuge de points (x i,y i ) 1 i n ssocié ux poids (α i ) 1 i n, c est-à-dire celui qui minimise : α i P(x i ) y i 1 Considérons l mtrice digonle D = dig(α 1,,α n ) M n,n (R) On dmet que l formule suivnte définit un produit sclire sur R n : (x,y) D = (Dx,y) = (x,dy) = et que R n est un espce de Hilbert pour s norme ssociée : x D = On introduit les fonctions définies sur R pr : (x,x) D α i x i y i, Φi (x) = 1 si i = 0 Φ i (x) = x i si i N 3
On note églement P m = V ect(φ 0,,Φ m ) le sous-espce de F(R, R) des polynômes de degré inférieur ou égl à m Ainsi, on pourr écrire tout polynôme P P m comme une somme : vec u 0,u m des réels () Montrer que l on : m P(x) = u i Φ i (x), i=0 α i P(x i ) y i = Bu y D, où y est le vecteur colonne (y 1,,y n ) T, et B et u sont respectivement une mtrice et un vecteur que l on préciser (b) Montrer qu on peut réécrire le problème sous l forme suivnte : trouver v F stisfisnt : v F, v y D v y D, où F est le sous-espce v R n v = Bu,u R m+1 } Pour résoudre le problème, nous utiliserons le théorème de projection dns un espce de Hilbert Theoreme 1 Soit H un espce de Hilbert (espce vectoriel normé complet muni d un produit sclire) sur R On note (x,y) H son produit sclire et x H = (x,x) H s norme ssociée Si E est un sous-espce vectoriel fermé de H et v un élément quelconque de H, lors il existe un unique v E tel que : x E, v v H x v H De plus, v est l projection orthogonle de v sur l espce E, c est-à-dire : x E,(v v,x) H = 0 () Montrer que si v F est l solution du problème précédent, lors il existe u R m+1 tel que v = Bu et qui vérifie l éqution B T DBu = B T Dy (b) Montrer que B est de rng m + 1 et en déduire que B T DB est définie positive (c) En déduire l existence et l unicité d une solution de B T DBu = B T Dy, donc d un polynôme P vérifint le problème de déprt 3 Trouver l droite qui se rpproche le plus des points (,1) (0,0) et (1,1) pour les poids 1, et 3, c est-à-dire le polynôme de degré u plus 1 qui minimise : P() 1 + P(0) + 3 P(1) 1 5 Polynômes de Legendre Les polynômes de Legendre sont définis pr l expression suivnte : P0 (x) = 1 P n (x) = n! (n)! Dn (x 1) n où D n représente l dérivée d ordre n : D n f(x) = f (n) (x) 4
1 Montrer que P n est un polynôme de degré n et déterminer son coefficient de degré n () En utilisnt des intégrtions pr prties, montrer que pour m n : (b) En déduire que : D n (x 1) n D m (x 1) m = () n D n+m (x 1) m (x 1) n vec : 3 () Montrer que : P n (x)p m (x)dx = I n = 0 si n m () n (n!) (n)! I n (x 1) n dx sinon I n = n n + 1 I n (b) Montrer qu il existe des réels α 0,,α n tels que : (c) Clculer en fonction de n et de I n : n xp n (x) = P n (x) + α i P i (x) i=0 xp n (x)p n (x)dx (d) En écrivnt P n+1 (x) = (x α n )P n (x) λ n P n (x), montrer pr récurrence sur n, que P n l même prité que n, et vérifie : P 0 (x) = 1 P 1 (x) = x P n+1 (x) = n xp n (x) (n+1)(n) P n(x) 4 Appliction Clculer l meilleure pproximtion u sens des moindres crrés de l fonction f(x) = x 4 dns l espce V ect(1,x,x ) muni de l norme usuelle de L (] 1;+1[) : g = g(x) dx 5