Javer 05 ( heures et 0 mutes) a) Sot IN 0 \ {} Défr : sous-esemble boré de IR sous-esemble covee de IR b) Soet les sous-esembles suvats de IR : A [-4,0] [0,] B {(,y) IR : + y 9} Représeter graphquemet, avec précso, l'esemble A B (l tersecto de A et B) ( pt) ( ) L esemble A B est-l covee? ( ) Doer, s l este, u pot adhéret à l'esemble A B qu e lu appartet pas Justfer sogeusemet les réposes du ( ) et du ( ) (5 pts) Sot f:d IR IR: (,y) f(,y) et a (a,a ), pot téreur de D a) Défr: dérvablté de f par rapport à y e a (05 pt) b) f(,y) s y y y s y y 6e s y Etuder l estece des dervées partelles de f(,y) e le pot (,) ( pts) a) Défr: focto de IR IR homogèe de degré α ( α IR ) (05 pt) b) S f: A IR IR : f() est dfféretable et homogèe sur A, que peut-o dre de ses dérvées partelles premères? Démotrer e détallat ( pt) c) Soet les foctos f : IR IR et g : IR IR : telles que: - f est dfféretable das IR et g est dérvable das IR ; - f est homogèe de degré das IR et g est homogèe de degré das IR ; Sot la focto F() f(g(), ) ) La focto F() est-elle homogèe das IR? S ou, quel est so degré d homogéété? Justfer sogeusemet les étapes du rasoemet ) Doer l'epresso complète de F (), la dérvée de la focto F() ) Compléter le tableau suvat par «o» s la focto est pas homogèe et par le degré d homogéété de la focto s elle l est Ne pas justfer focto degré d homogéété +F() NON F() g() (5 pts)
4 Eocer et démotrer (e détallat la démostrato) la formule de Taylor pour ue focto f de IR IR de classe C au vosage d u pot (5 pts) 5 Soet f : D IR IR et g : D IR IR et c IR a) Eocer le théorème de Lagrage relatf à l'optmsato de f(,y) sous l'uque cotrate g(,y) 0 Ne pas démotrer ( pt) b) Eplquer (e fraças!!) commet o terprète le multplcateur de Lagrage das le problème d'optmsato de f(,y) sous la cotrate g(,y) c (05 pt) c) Soet f(,y) e et g(,y) + e + Détermer, par la méthode de Lagrage, le(s) "caddat(s)" etremum de f(,y) sous la cotrate g(,y) 0 Classer ces caddats (mmum, mamum ou mamum, mmum) e éoçat le(s) théorème(s) utlsé(s) (5 pts) 6 Détermer (répose fale uquemet) a) ( ) l équato du pla taget à la surface d équato z l + l y e le pot (e,) z + y - e ( pt) ( ) l appromato de Taylor d ordre de f(,y) l + l y au vosage du pot (,) + y - 5 (05 pt) b) la soluto géérale de l équato dfféretelle y y' e s y e ( cos+ C) C IR ( pt)
Répose questo a) Sot IN 0 \ {} U sous esemble E de IR est boré ss l est etèremet clus à ue boule ouverte cetrée à l'orge U sous-esemble A IR est covee ss toute combaso léare covee de deu pots quelcoques de A appartet à A ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Répose questo b) O a A [-4,0] [0,] et B {(,y) IR : + y 9} L esemble A B est ( ) L esemble A B est pas covee pusque, par eemple, les pots P(-4,0) et Q(-,0) apparteet à A B et λ appartet à [0,], mas λ P + ( λ )Q ( 4,0) + ( )(,0) (,0) appartet pas à A B ( ) Le pot (-,0) appartet pas à A B, mas lu est adhéret pusque toute boule ouverte cetrée e ce pot cotet des pots (-+ ε,0) avec 0 ε doc qu apparteet à A B Répose questo a) Sot f : D IR IR : (,y) f(,y) et a (a,a ) pot téreur de D f est ue focto dérvable par rapport à y e a ss f( a,y) f( a,a) lm IR a y a
Répose questo b) O a f(,y) s y y y s y y 6e s y Dérvablté de f par rapport à e (,) f(,) f(,) Il faut calculer lm Etat doée la forme de la focto, l est écessare de calculer f(,) f(,) f(,) f(,) séparémet lm et lm f(,) f(,) ( ) ( ) ( 9) () lm lm lm lm( + ) 6 (lm fct C e ) f(,) f(,) 6e () (6e 6) () lm lm lm Or, lm(6 e 6) 0 (lm fct C e ) et lm ( ) 0 (lm polyôme C e ) ; le calcul de cette lmte aboutt à ue forme détermée de type 0 Comme les foctos au umérateur et au 0 déomateur sot dérvables au vosage (drot) de, o peut teter d applquer le théorème de de l Hosptal e évaluat (6e 6)' 6e lm lm ( ) ' et doc f(,) f(,) lm 6 (6e 6) 6 (lm fct C e ) qu IR lm 6 f(,) f(,) De () et (), lm este das IR et vaut 6, d où f est dérvable par rapport à e (,) et Dérvablté de f par rapport à y e (,) f (,) 6 f(,y) f(,) Il faut calculer lm Etat doée la forme de la focto, l est écessare de calculer y f(, y) f(,) séparémet lm et y f(,y) f(,) lm y () y y f(,y) f(,) 6e () 6e 6 lm lm lm y y y Or, y lm( 6 e 6) 0 y (lm fct C e y ) et lm(y ) 0 (lm polyôme C e y ) ; le calcul de y cette lmte aboutt à ue forme détermée de type 0 Comme les foctos au umérateur et au 0
déomateur sot dérvables au vosage (gauche) de, o peut teter d applquer le théorème de de l Hosptal e évaluat y y (6e 6)' 6e lm lm 6 (lm fct C e y ) qu IR y (y )' y f(,y) f(,) lm -6 y y y 6e 6 lm y -6 et doc f(,y) f(,) ( y) () ( y) () lm lm lm (lm fct C e ) y y y f(,y) f(,) f(,y) f(,) f(, y) f(,) Comme lm lm, o a que lm este pas das IR, doc y y y f est pas dérvable par rapport à y e (,) Répose questo a) Sot A, u sous-esemble de IR tel que t A pour tout t 0 et tout A ue focto f:ir IR est homogèe de degré α IR sur u tel sous-esemble A de IR ss f(t) α t f() pour tout A et tout t 0 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Répose questo b) Proposto: s f: A IR IR est homogèe de degré α sur A et dfféretable A, alors ses dérvées partelles premères sot homogèes de degré α - sur A Preuve: f état dfféretable e, elle y est dérvable et la règle de dérvato des foctos composées est applcable à la focto f(t) supposée focto des varables,, seulemet (et pas t) pusque la focto IR IR : t a toutes ses composates dfféretables Comme f(t) t α f() ou f(t,t,,t ) t α f(,,, ), o a, e dérvat chaque membre par rapport à, f (t ) f (t ) f (t ) f (t ) f (t) + (t) ++ (t) ++ (t) () t α 0 + 0+ + t f (t) + + 0 α f t () E smplfat par t, o a la thèse
Répose questo c) O a les foctos f : IR IR et g : IR IR avec les hypothèses dquées ) Comme f est homogèe de degré das IR, o a Comme g est homogèe de degré das IR, o a Sot la focto F() f(g(), ) O a u I R, t 0,F(t u) f(g(tu), (tu) ) f( g(tu), t u ) De là, F est homogèe de degré das IR f ) O a F() (,y) IR, t 0,f(t(,y)) t f(,y) u IR, t 0,g(tu) t g(u) f(t g(u), t u )(g homogèe de degré sur IR) f(t (g(u),u )) (prop mult scalare) (t ) f(g(u),u )(f homogèe de degré das IR ) t f(g(u),u ) (calcul das IR : (a p ) q a pq ) tf(u) f f(g(), ) De là, F () ( g(), ) + ( ) g '() g(), ) focto degré d homogéété +F() NON F() g() Répose questo 4 Preuve: S f:ir IR est de classe C sur ue boule ouverte B cetrée e, alors v( 0) IR tel que +v appartee ecore à cette boule, τ (0,) tel que f f f(+v) f() + v () + v v ( +τv) j j j Sot ϕ (t) f(+tv) Les dérvées partelles secodes sot cotues sur B, doc les dérvées partelles premères sot dfféretables sur B E partculer, elles y sot cotues, doc f y est dfféretable O pourra doc applquer la dérvato des foctos composées deu fos sur B (pour dérver deu fos la focto ϕ (t) ) Calculos ϕ '(t) et ϕ"( τ ) Comme ϕ (t) f(+tv) f( +tv, +tv,, +tv ), o a ϕ '(t) d dt [ f( +tv, +tv,, +tv ) ] f d( + tv ) f ( + tv) + dt f f ( + tv) v + f ( + tv)v d( + tv ) f ( + tv) + + dt f ( + tv) v + + ( + tv) v d( + tv ) ( + tv) dt
De là, d ϕ "(t) ( ϕ '(t)) dt d f ( + tv)v dt d f ( tv) v dt (dérvée d ue somme, v dépedat de t) + d f ( +tv, +tv,, +tv ) v dt f f f ( + tv) v + ( + tv) v + + ( + tv) v v f f ( + tv) v v ( + tv) v v j j j j j j S l o applque la formule de Mac Laur à la focto d ue varable ϕ (t), o a: t ϕ (t) ϕ (0) + t ϕ '(0) + ϕ"( τ ) pour u τ de (0,t), ce qu doe, pour t : ϕ () ϕ (0) +ϕ '(0) + ϕ"( τ ) pour u τ de (0,) E remplaçat ϕ(), ϕ(0), ϕ'(0) et ϕ"( τ ) e focto de ce qu précède, o obtet f f j j j pour u τ de (0,) f(+v) f() + v () + v v ( +τv) Répose questo 5 a) Théorème de Lagrage Soet f et g: D IR IR S f et g sot C au vosage de(,y), pot téreur de leurs domaes tel que g(, y) 0, s f admet u etremum local e (,y) sous la cotrate g(,y) 0, alors l este u réel λ tel que f(,y) λ g(,y) (autremet dt, alors l este u réel L(,y; λ ) f(,y) λ g(,y) ) λ tel que L L (, y; λ ) (, y; λ ) 0, avec ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Répose questo 5 b) Le multplcateur de Lagrage λ, das le problème d'optmsato de f(,y) sous la cotrate g(,y) c, s terprète comme la varato margale de l optmum de la focto f lorsque le «veau» (c) de la cotrate g(,y) c augmete d ue uté
Répose questo 5 c) O a f(,y) e et g(,y) + e + Il s agt d optmser f(,y) sous la cotrate g(,y) 0 Domaes de défto : dom f dom g IR² Classes : f et g sot C sur IR² (f est ue dfférece d ue focto polyôme et du produt d ue focto costate avec la composée d ue focto polyôme et de la focto e u et g est la somme d ue focto polyôme et de la composée d ue focto polyôme et de la focto e u ) Posos + L(, y; λ ) e λ( y + e ) O a la codto écessare (théorème de Lagrage vor répose questo 5 a)) Types de caddats : ) les évetuels pots o téreurs à dom f dom g : éat car dom f dom g IR qu est u esemble ouvert ) les évetuels pots au vosage desquels f ou g est pas C : éat car f et g sot C sur IR ) les évetuels pots où g 0 : g (,y) e + + g(,y) e qu est toujours dfféret de [0 0] g (,y) 4 ) les évetuelles solutos du système : L (,y, λ ) 0 + + e λ e 0 e λe [] L (,y, λ ) 0 λ 0 λ [] + + ( y e ) 0 y e 0 [] L + + (,y, λ ) 0 λ E remplaçat λ par das [], o obtet + e e + E remplaçat alors par - das [], o obtet y O a doc u seul caddat etremum sous cotrate : (-,) avec λ Classemet (par la codto suffsate «forte») : S f et g sot C au vosage du pot a, pot téreur de leurs domaes tel que g(a) 0 et s l este L L L : (a, ) (a, ) (a, L λ λ λ λ ) 0, alors s H est défe égatve (défe λ j ( a, λ ) postve), f présete u mamum (mmum) local e a sous la cotrate g(,y) 0 O a c
L (,y, ) e 4 e + λ λ + L L e 4λe 0 (,y, λ ) 0 H y j 0 0 (,y, λ) L L (,y, λ ) (,y, λ ) 0 y y -6 0 E (-,) avec λ o a H Cette matrce est sem-défe égatve (matrce dagoale dot les 0 0 valeurs propres se «lset» sur la dagoale et valet doc -6 et 0) La codto suffsate «forte» e permet doc pas de coclure Classemet (par la CS de la «Hessee bordée») : S f et g sot C au vosage de a, pot téreur de leurs domaes tel que g(a) 0, et s l este u réel L L L λ tel que (a, λ ) (a, λ ) (a, λ ) 0, alors, λ g g 0 g ²L ²L s dét 0 (resp 0) ² g ²L ²L y y y² (a, λ ) f présete e a u mamum (resp mmum) local sous la cotrate g(,y) 0 g g 0 y + 0 e g ²L ²L + + Ic, o a dét dét e e 4λe 0 ² 0 0 g ²L ²L ² ((,y), λ) 0 Pour (-,) avec λ, o a dét 6 0 et ce détermat vaut 6 Comme le détermat est postf, o 0 0 peut coclure que f présete u mamum local e (-,) sous la cotrate g(,y) 0