TRAITEMENT DU SIGNAL. Nicolas ERRIEN 2008/2009

TRAITEMENT DU SIGNAL Nicolas ERRIEN 2008/2009

Signaux

Inroducion I- Théorie du signal, généraliés Traiemen du signal: science qui analyse e inerprèe les informaions conenues dans un signal En physique signal=mesure d un phénomène physique Ne pas confondre le phénomène e sa mesure!!! Ordinaeur Déeceur Source Milieu de propagaion Converisseur A.N. Exemple: conrol non desrucif U.S.: - source : rain d onde - milieu de propagaion: pièce à conrôler - Déeceur : capeur U.S.

Inroducion I- Théorie du signal, généraliés Théorie du signal, qu es-ce qu un signal? La noion de signal es inimemen liée à celle d'informaion. Signal = représenaion physique d une informaion à ransmere Ou Signal = enié qui ser à véhiculer l informaion. Dans un conexe expérimenal, on peu enendre par informaion: - la mesure du emps de vol d une onde, - une pression acousique - présence de rupure dans une image on un signal - présence ou non d une fréquence pariculière dans un specre

Inroducion I- Théorie du signal, généraliés Objecifs du raiemen du signal Théorie du signal : Décrire de façon mahémaique ce qu es un signal ainsi que ses propriéés par : - Transformaion de Fourrier - Analyse foncionnelle - Analyse saisique - Méhode d esimaion Théorie de l informaion : concerne la façon de coder un signal ainsi que de le cryper

Inroducion I- Théorie du signal, généraliés Théorie du signal, qu es-ce qu un signal? Exemples. La Figure 1 monre différens signaux emporels. La dénominaion de ces différens signaux es précisé plus ard. Figure 1 Différens signaux emporels. (a) : signal pulsionnel (ou à suppor emporel fini), (b) : signal périodique, (c) : signal aléaoire, (d) : signal composie composé de la somme des signaux (a)+(b)+(c).

Modélisaion. Le signal peu se représener sous forme emporelle (noée x(), quand la variable d'évoluion varie coninûmen) ou sous forme fréquenielle (noée X(f ), quand la variable d'évoluion f varie coninûmen), le passage de l'une à l'aure de ces descripions s'effecuan au moyen de la ransformée de Fourier. S'il es possible de modéliser cerains signaux x(), sous la forme de foncions de base (sinus, exponenielle, polynômes,...) e d'opéraions de base (somme, produi, convoluion,...), la plupar des signaux fournis par l'expérience ne son disponibles que sous une forme x(), sans expression analyique associée. Noion de brui Ce qui disingue le signal du brui c'es que l'un ranspore une informaion qui nous inéresse, l'aure une informaion qui ne nous inéresse pas.

1 par leurs modes de représenaion : Classificaion des signaux -signaux déerminises ou signaux aléaoires. La forme emporelle d'un signal déerminise es oujours la même lorsque l'expérience es reproduie dans des condiions ideniques, ce qui n'es pas le cas d'un signal aléaoire. - signaux à emps coninu ou signaux a emps discre, la plupar des signaux renconrés dans la naure varien coninûmen avec le emps.

Classificaion des signaux - signaux analogiques ou signaux numériques. Les valeurs que le signal peu prendre peuven êre décries de manière coninue (cas d'un signal de parole mesuré par un microphone de pression) ou discre (codage ADN), liées à une opéraion de quanificaion. On parle alors de signal à valeurs coninues (ou signal analogique) ou discrèes (ou signal numérique). Conversion par converisseur Analogique Numérique Analogique numérique deux aciviés parallèles : l'échanillonnage e la quanificaion

2 par ceraines de leurs caracérisiques Classificaion des signaux -signaux saionnaires ou signaux non saionnaires (Le "conenu fréqueniel" d'un signal saionnaire n'évolue pas au cours du emps. ) Figure: signal saionnaire ergodique. Mesure à 3 emps différens décalé selon l axe y Ergodique: caracérisiques saisiques équivalenes à chaque réalisaion! Ergodique différen de saionnaire! Exemple: valeur consane différene à chaque réalisaion

Classificaion des signaux signaux à bande éroie ou signaux large bande (Un capeur ulra-sonore es un capeur à bande éroie ; le signal qu'il délivre l'es donc égalemen.), signaux basses fréquences (BF) ou signaux haues fréquences (HF), (Aenion de bien préciser ce que son des BF e des HF, gammes de fréquences qui ne son pas les mêmes suivan qu'on s'inéresse à des infra-sons ou à des ondes radio) Figure 2 signal sinusoidal BF (a) e HF(b)

Classificaion des signaux - signaux à suppor emporel fini, aussi appelés signaux ransioires ou signaux impulsionnels (donc à énergie finie), ou signaux à suppor emporel infini (à puissance finie). Il es imporan de noer que cee classificaion ne ser qu'à sélecionner la méhode la mieux adapée à un problème donné

Quelques descripeurs de signaux Pour les signaux déerminises, l informaion perinene peu se réduire à quelques descripeurs élémenaires du signal Valeur moyenne observée sur un emps T: Valeur efficace (ou valeur RMS) observée sur un emps T: Faceur de crêe : rappor enre la valeur crêe du signal emporel sur sa valeur RMS (descripeur perinan pour les signaux ransioires) Énergie : on appel énergie du signal sur un emps T la quanié:

Quelques descripeurs de signaux Puissance insananée : Puissance moyenne : on appel puissance moyenne du signal sur un emps T : Si T s éend de - à, signaux à énergie finie vérifien: Signaux à puissance moyenne finie - Si s() es à énergie finie nécessairemen à puissance moyenne finie - Signaux à énergie finie = signaux à carré sommable - Pour les signaux de période T, l inervalle de emps = période du signal

Quelques descripeurs de signaux Parié d un signal Un signal peu se décomposé en une somme d un signal paire e d un signal impaire Avec Donc e

Représenaion de quelques signaux déerminises Foncion de Heaviside (ou échelon unié) Foncion pore Ou rec T

Foncion riangle Représenaion de quelques signaux déerminises Foncion sinus cardinal Foncion imporane en raiemen du signal car correspond à la ransformée de fourrier d une pore

Foncion gaussienne Représenaion de quelques signaux déerminises Paramères imporans : - Son ampliude A - La demi-largeur à mi haueur reliée à σ par Signal gaussien pariculièremen uile pour les processus aléaoire car à la base des disribuions de probabiliés Gaussienne normalisée par son inensié inégrée

Représenaion de quelques signaux déerminises Foncion périodique à emps coninu Une foncion es périodique si s()=s(+t) La somme de deux foncions périodique es périodique si e seulemen si il exise des enier k1 e k2 els que k1t1=k2t2 Formule d Euler cos x = e ix + e 2 ix sin x = e ix e 2i ix

Dirac δ() Impulsion, emps cour Représenaion de quelques signaux déerminises Quelques propriéés de la foncion Dirac

MATHEMATIQUE DU SIGNAL

Analyse foncionnelle

Inroducion à l analyse foncionnelle Deux domaines pariculièremen uiles pour le raiemen du signal: - Analyse foncionnelle Signal déerminise - Théorie des probabiliés Signal aléaoire Analyse foncionnelle dans un espace vecoriel de Hilber (foncions carrés sommables). Il fau définir dans ce espace vecoriel: - La dimension de l espace - la base qui sous end l espace - une mérique e donc une norme Choix de la base arbiraire, guidé par l analyse souhaiée On développe le signal s() sur la base: Les coefficiens c n son les composanes du signal dans la base e consiuen une représenaion du signal s()

Représenaion fréquenielle des signaux Les séries de Fourier

La série de Fourier La série de Fourier perme de représener oues les fréquences conenues dans un signal périodique don la foncion x() es connue mahémaiquemen Signal Série de Fourier Transformée de Fourier Analyse Temporelle Fréquenielle Signal périodique Signal apériodique Réponse ransioire du sysème -Specre de puissance -Réponse en fréquence -Décomposiion fréquenielle du signal

Tou signaux périodiques es la somme de signaux harmoniques d ampliudes disinces e d une composane coninue si elle exise. Pour caracériser un signal, la série de Fourier nous fourni des paramères qui ne son pas visibles dans le domaine emporel.

Exemple de reconsrucion de signal: Reconsiuion du signal original à parir d une somme de signaux sinusoidaux + Plus nous avons de signaux e meilleure sera la recomposiion du signal original. - le signal reconsiué coniendra des disconinuiés proporionnelles au nombre de signaux combinés phénomène de Gibbs

ANALYSE DE FOURIER Analyse harmonique (ou fréquenielle) = insrumen majeur de la héorie des signaux e des sysèmes Le développemen en séries de Fourier (puis la ransformaion de Fourier) permeen d obenir une représenaion specrale des signaux déerminises, i.e. la répariion de 1. l ampliude 2. la phase 3. l énergie 4. la puissance des signaux considérés en foncion de la fréquence.

Deux représenaions pour 1 seul signal

SERIE DE FOURIER L élémen fondamenal de l analyse de Fourier es consiué par le fai qu un signal périodique peu êre décomposé en une somme d ondes sinusoïdales

SERIE DE FOURIER 6 6 x () 1+x () 1 1 4 4 2 2 0 0 2 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 6 6 x () 1+x ()+x () 2 1 2 4 4 2 2 0 0 2 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 6 6 x () 1+x ()+x ()+x () 3 1 2 3 4 4 2 2 0 0 2 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 Le signal résulan es la somme de rois sinusoïdes don la fréquence es chaque fois un muliple de la fondamenale f0

Définiion de la série de Fourier

Définiion de la série de Fourier en cosinus

Série de Fourier complexe

Relaion enre les 3 représenaions

Les différens specres

SERIE DE FOURIER Il es fréquen en raiemen du signal de ne parler que des specres d ampliudes e de délaisser quelque peu les specres de phases Cee aiude es due au fai que lors du filrage de signaux audio, on se conene de modifier le specre d ampliudes car l oreille es peu sensible aux disorsions de phase Cependan, lorsque l on désire conserver la forme d un signal, en pariculier dans le cas du filrage d images, il es rès imporan de ne pas négliger le specre de phases. La phase conien une par imporane de l informaion concernan la forme d un signal

SERIE DE FOURIER Imporance de la phase

Reconsiuons le signal selon cee relaion: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j j j j j j j j j e e e e e e x C e e C C e C e e C e C e C x π π π π π π π π π π π π π 6 4 2 2 4 6 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 0 0 2 1 1 2 2 2 2 3 3 3 1 2 1 4 1 1 4 1 2 1 3 1 ) ( ) ( + + + + + + = + + + + + + = En regroupan les ermes sous forme rigonomérique, nous obenons ) cos(2 2 1 ) cos(4 ) cos(6 3 2 1 ) ( x π π π + + + = Ce signal es donc composé d un erme consan (valeur moyenne coninue non nulle) e de rois aures signaux de fréquence e ampliudes disinces. Signal résulan de l addiion des 4 composanes x0,x1,x2 e x3 x0 x1 x2 x3

Phénomène de Gibbs Soi x( ) = 2k jπ n= 1 e n jnπ pour n impair Comme nous ne pouvons prendre en praique une somme infinie de ermes, alors x( ) = 2k jπ N n= N 1 e n jnπ pour n impair Cee somme éan mainenan limiée, on rerouve nécessairemen une erreur lors de la reconsiuion du signal. e ( ) = x( ) x ( ) n n Cee erreur doi endre vers zéro lorsque N end vers l infini. Lorsque le signal compore des disconinuiés (comme par exemple un signal à ondes carrées périodique) l approximaion x n () présene des ondulaions que l on nomme phénomènes de Gibbs e qui s aénue avec l augmenaion de N. Pour N faible, on remarque les oscillaions qui se produisen sur les bords de l onde carrée périodique.

Densié specrale de puissance Un signal périodique possède une énergie infinie e une puissance moyenne finie. Sa puissance moyenne sur une période es définie par P x 1 = T Si on développe cee équaion, nous avons T x( ) 2 d P P x x 1 = T = T * Ck k= * 1 x( ) x ( ) d = T T x( ) e jk 0 x( ) T d = k= k = C * k C C * k k e = jk 0 k = d C k 2 Cela signifie que la puissance d un signal à emps coninu périodique es égale à la somme des coefficiens de Fourier au carrés. C es ce que l on nomme le héorème de Parseval. Cela signifie que si nous avons un signal quelconque que nous pouvons décomposer en série de Fourier, nous pouvons connaîre la puissance de ce signal uniquemen à l aide des coefficiens specraux.

Les ransformées de Fourier Théorie e applicaions

Pourquoi la ransformée de Fourier La ransformée de Fourier es une généralisaion des séries de Fourier pour ou ypes de signaux. Pour développer la ransformée de Fourier, nous avons que l idée principale es de endre la période T d un signal périodique vers l infini. En inséran cee condiion dans la série de Fourier, on obien la relaion suivane concernan la ransformée de Fourier d un signal apériodique; TF X ( ) = x( ) e j d X() représene une foncion coninue en fréquence angulaire. La ransformée inverse de Fourier es de reconsruire le signal à parir de la foncion de fréquence angulaire X(). TFI 1 x( ) = X ( ) e 2π j d On peu égalemen uiliser la forme fréquenielle = 2πf où f es la fréquence en Herz. TF TFI X ( f x ( ) ) = = X x ( ( ) e f ) e j 2 π f j 2 π f d d

Relaion enre série e ransformée de Fourier

Propriéés de la ransformée de Fourier

Exemple d une impulsion recangulaire :

Specre d ampliude d une implulsion recangulaire

Relaion enre largeur specrale e éendue dans le emps

Exemple d un sinus amori

Exemple d une exponenielle décroissane

Aures exemples de ransformées de Fourier Impulsion δ() 1 TF ) ( 1 (0) ) ( ) ( que définiion la Selon ) ( ) ( )) ( ( Soi (0) = = = = = Donc e x d x d e d e TF j j j δ δ δ δ δ Impulsion fréquenielle δ() π δ δ δ δ π δ 2 1 TF ) ( 1 (0) ) ( ) ( que définiion la Selon ) ( ) ( 2 1 )) ( ( Soi (0) 1 = = = = = Donc e x d x d e d e TF j j j

Décalage dans le emps ( ) ( ) ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ X X d d d d d X 0 0 0 0 0 - j 0 - - j - j - - j j - - j - 0 0 0 0 - j - 0 0 j - 0 e TF ) - x( Donc e )e x( e )e x( )e - x( )) - TF(x( e d, - variable de un changemen En effecuan )e - x( )) - TF(x( : Preuve ) X( e ) - x( ) ( x() Si = = = = + = = = = + Décalage dans le domaine des fréquences ( ) ( ) ( ) ) X( TF e Donc e )e X( 2 1 e )e X( 2 1 )e X( 2 1 )) - TF(x( e d, variable de un changemen En effecuan )e X( 2 1 )) (X( TF : Preuve ) X( e x() ) ( x() Si 0 j - - j j j j - j 0 0 0 0 - j 0 0-1 0 j - 0 0 0 0 0 λ λ π λ λ π π λ λ λ π λ λ = = = = + = = = = + x x d d d d d X

Changemen d échelle dans le domaine emporel. Un signal peu égalemen subir une compression ou une exension dans le emps e il serai inéressan de savoir ce que cela implique dans le domaine fréqueniel. Si Preuve Donc : x() x(a ) En effecuan TF(x(a)) TF(x(a)) x(a) = = X ( ) 1 a - - TF X( ) a x(a)e un changemen x( λ)e - j - j λ a 1 a d de variable λ = a, dλ 1 = a a X a x( λ)e dλ = ad e - j a λ 1 dλ = a - - = λ a x( λ)e - jλ 1 dλ = a X a

Foncions de corrélaion emporelles, densiés specrales d énergie e de puissance, applicaions

Corrélaion Qu es ce que la corrélaion? Comparaison de deux signaux enre eux Cee foncion agi principalemen dans le domaine emporel On s inéresse à des signaux d énergie finie (suppor emporel fini) Ou aux signaux à puissance moyenne finie

Corrélaion de signaux a énergie finie

Corrélaion de signaux a énergie finie Auo corrélaion

Exemple : signal emporel bruié composé d un raje direc e de son écho (a) Foncion d auocorrélaion en b

Corrélaion de signaux a énergie finie Théorème de Wiener - Khinchine Défini la valeur de la T.F. de la foncion d inercorrélaion ou d auocorrélaion de 2 signaux Si les deux signaux son ideniques, on a alors On obien le module du specre au carré: densié specrale d energie Théorème de Wiener - Khinchine : La ransformée de Fourier de la foncion d auocorrélaion d un signal es égale à sa densié specrale d énergie

Corrélaion de signaux à puissance moyenne fine

Propriéés de l auocorrélaion

Propriéés de l inercorrélaion

Exemple

Ineracions des signaux avec les sysèmes linéaires : convoluion, réponse impulsionnelle, ransmiance fréquenielle ; filrage, déconvoluion, idenificaion

Sysème Définiion: Opéraeur qui agi sur un signal x() pour donner un aure signal y() Enrée x() Sysème agissan sur l enrée Sorie z() Ex: filres Différens sysèmes: - à mémoire : la sorie dépend des valeurs anérieur à celle de l insan (sysème physique non enreenu qui emmagasine de l énergie poenielle: ressor, RLC ) - sans mémoire: la sorie ne dépend que de la valeur du signal d enrée à l insan Les sysèmes physiques ne peuven êre influencé par le fuur. Ils ne peuven êre anicipaoire ou non casual

Sysème Linéaire Invariable par ranslaion dans le emps (SLI)

Produi de convoluion «Recee»: pour calculer un produi de convoluion, il fau conserver le premier signal, rouver le symérique du second par rappor à l axe des ordonnées, décalé ce signal du emps, muliplier les deux signaux obenus e finalemen inégrer le résula

Propriéés du produi de convoluion:

Aenion, la conservaion du signal n es qu a cas pariculier Exisence d aénuaion, dispersion : incompaibilié avec cee modélisaion

T.F. du produi de convoluion: Théorème de Plancherel Théorème de Plancherel: La ransformée de Fourier du produi de convoluion de deux signaux s() e r() es égale au produi des ransformées de fourier de ces deux signaux

T.F. du produi de deux signaux La ransformée de Fourier du produi de deux signaux s() e r() es égale au produi de convoluion des ransformées de Fourier de ces deux signaux

Fenêrage des signaux

Exemples d aure fenêres

A Fenêre de Hann B - Fenêre flap op T=0,128 s Sinus fenêré par une fenêre de Hann non cenrée en =0