ESPACES VECTORIELS FAMILLES DE VECTEURS A. ESPACES VECTORIELS 1) Défto O aelle esace vectorel sr o esace vectorel o esace vectorel réel tot esemble E m : 1) D e lo de comosto tere, aelée addto et otée +, c est-à-dre telle qe E v E v E Possédat les rorétés svates : a) L addto est assocatve das E : E v E w E ( v w) ( v) w As o orra écrre v w sas arethèse b) l addto est commtatve das E : E v E v v c) l addto admet das E élémet etre oté : E 0E 0E d) Por tot élémet de E, l exste sel élémet de E, aelé oosé de et oté (-), tel qe ' ' ) D e lo de comosto extere à oératers das, aelée mltlcato extere ar réel otée., c est à dre telle qe E. E Possédat les rorétés svates : a) E 1., v E.( v).. v b), E ( )... c), E.(. ) ( ). d) ) Remarqes : a) O dt ass qe,,. E o qe E a e strctre d esace vectorel sr. b) Les élémets de E sot aelés vecters (o et les oter avec o sas flèche) et les élémets de sot aelés scalares. 3) Coséqeces de la défto : a) E 0. b).0 0 E E c) Soet vecter et scalare ; s. alors 0 o =0E E 1. d) Le vecter 1. est l oosé d vecter c est à dre 1
4) Esaces vectorels sels (A CONNAITRE) : 1) Por tot eter atrel o l est - esace vectorel ) Por tos eters atrels o ls et, M, ( ) est esace vectorel réel. 3) Sot e arte D o vde de, l esemble des foctos défes sr D à valers D, o D est esace vectorel sr das oté E artcler,, oté ass, l esemble des stes réelles défes sr est esace vectorel réel. REMARQUE IMPORTANTE : Por motrer q esemble m d e addto et d e mltlcato ar réel est -esace vectorel, l y a 10 rorétés à vérfer! IL FAUT TROUVER MIEUX! 5) Sos esaces vectorels a) Défto Sot E,,. esace vectorel et F e arte o vde de E. F est sos- esace vectorel de E s F,,. est esace vectorel réel b) Caractérsatos Sot E,,. esace vectorel Caractérsato 1 Tote arte F o vde d esace vectorel de E est sos-esace vectorel de E S et selemet s, v F v F (stablté or l'addto) E. F (stablté or la mltlcato extere) Caractérsato Tote arte F o vde d esace vectorel de E est sos-esace vectorel de E S et selemet s, v F. v F (stablté ar combaso léare) Coclso : Por rover q esemble F est esace vectorel, o motre qe c est sos esace vectorel d esace vectorel co E F E C est-à-dre o dot motrer qe F, v F. v F
B. FAMILLE DE VECTEURS. Sot E esace vectorel réel. Sot eter atrel o l. Sot S =,..., 1 e famlle fe de vecters de E 1) Combasos léares a) Défto U vecter de E est e combaso léare des vecters de la famlle S s l exste réels,..., 1 tels qe 1 1.... b) Sos-esace egedré ar e famlle fe de vecters L esemble des combasos léares des vecters de S est sos-esace vectorel de E. Il est aelé sos-esace egedré ar S et est oté,..., 1,..., 1 Vect S Vect Vect. O a doc Vect S E /,..., tel qe... P 1 1 1 Exemle mortat : U sos-esace egedré ar vecter est otévect o. O a docvect v E / tel qe v. S alors Vect S alors Vect ) Famlles géératrces Sot S =,..., 1 e famlle fe de vecters de E a) Défto est la drote vectorelle dot est vecter drecter S est e famlle géératrce de E s tot vecter de E est combaso léare des vecters de S C est à dre E,,..., 1 tel qe 1 1... C est à dre Vect S E b) Théorème 1 Tote famlle fe de vecters de E q cotet e famlle géératrce de E est e famlle géératrce de E. 3
c) Théorème : Sot S =,..., 1 e famlle géératrce de E. Sot j Soù l eter j aartet à1,..., S j est e famlle géératrce de E s et selemet s j est combaso léare des atres vecters de S O a alors E Vect S Vect S j. Ce théorème s alqe ar exemle s l des vecters de S est le vecter l o s dex vecters de S sot égax. Remarqe très tle : Sot réel o l 1,..., 1,...,... 1,..., Vect Vect Vect 3) Famlles lbres o lées a) Défto S =,..., 1 est e famlle lbre s 1 1 E 1,..., 1 (... 0 ) (... 0). S S est e famlle lbre, les vecters de S sot dts léaremet déedats. So la famlle S est dte lée et les vecters de S sot dts léaremet déedats. Pls récsémet : S =,..., 1 est e famlle lée s 1,..., 0,...,0, tel qe 1 1... 0 E C est-à-dre S =,..., 1 est e famlle lée s Il exste réels,..., 1 o tos ls tel qe 1 1... 0 b) Prorétés La famlle est lbre La famlle est lée E Ue famlle est lée s et selemet s l a mos des vecters de cette famlle est combaso léare des atres vecters de cette famlle. Remarqe : Dex vecters de l esace vectorel E léaremet déedats sot dts coléares o roortoels 4
C est-à-dre, soet dex vecters et v dex vecters de E et v coléares tel qe v OU tel qe v O et ajoter : S, alors o a : et v coléares k tel qe v k Il est sovet «évdet de vor» s dex vecters sot coléares o o Coséqeces mortates : Tos les vecters cosdérés sot élémets d même esace vectorel S le vecter l aartet à e famlle de vecters alors cette famlle est lée ; doc s e famlle est lbre alors elle e cotet as le vecter l. S e famlle cotet dex vecters égax alors cette famlle est lée ; doc s e famlle est lbre alors tos les vecters de cette famlle sot écessaremet dstcts à. Tote famlle o vde clse das e famlle lbre (o dt «sos-famlle» d e famlle lbre) est elle-même lbre et tote famlle coteat e famlle lée (o dt «sr-famlle d e famlle lée) est elle-même lée. Cas artcler Ue famlle de olyômes o ls de degrés dstcts à (o dt ass de degrés écheloés) est lbre Sot avec Ue famlle P0, P1,..., P de X est dt écheloée e degré s 1,,0 deg P 1 deg P 5
BASES ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE 1) Défto d e base : Sot E esace vectorel réel Ue famlle de vecters de E est e base de E s elle est e famlle à la fos géératrce de E et lbre. Coséqece : Tote famlle o vde extrate d e base de E est lbre et tote famlle coteat e base est géératrce de E. Exemles sels: a) Por tot eter atrel o l, la famlle de vecters 1,..., e 0,..,1,.,0 de e e où 1, (sele la ème comosate est égale à 1, les atres lles) est e base.o l aelle base caoqe de b) Por tot eter atrel o l, la famlle de vecters E1,1 ; E1, ;...; E, 1 ; E, 1,..., 1,..., j, E j coloe est égal à1, les atres ls) est e base de, de M, 0 0 0 1 0(Sel le terme de la ème lge et jème 0 0 0 0 M.O l aelle base caoqe c) Por tot eter atrel, la famlle de vecters1,,..., O l aelle base caoqe de X d) Por tot eter atrel, la famlle de vecters est e base de ) Théorème : 0, P : x x x.o l aelle base caoqe de X X est e base de P0,..., P où x. où X. S esace vectorel admet e famlle géératrce de cardal ( eter atrel o l) alors tote famlle lbre de cet esace a a ls or cardal. O ce q est éqvalet : 6
S esace vectorel admet e famlle géératrce de cardal ( eter atrel o l) alors tote famlle de ls de vecters est lée. 3) Défto d esace vectorel de dmeso fe : O dt qe l esace vectorel E est de dmeso fe s l exste e famlle géératrce de E coteat ombre f de vecters. 4) Exstece de bases : Tot esace vectorel E et de dmeso fe admet a mos e base. 5) Théorème de la dmeso : Das esace vectorel E et de dmeso fe, totes les bases ot le même cardal. Le cardal d e base qelcoqe de E s aelle la dmeso de E. O le ote dm E (ar coveto : s E dm E=0). Exemles sels : A CONNAITRE dm, dm X 1, dm x 1, dm M doc dm M, 6) Théorèmes : or les esaces vectorels de dmeso fe Sot E - esace vectorel de dmeso ( eter atrel o l). S e famlle de vecters de E S S est géératrce de E alors Card S S S est lbre alors Card S De ls Les roostos svates sot éqvaletes : a) S est e base de E. b) S est e famlle géératrce de E et Card S =. c) S est e famlle lbre et Card S =. Sot E esace vectorel de dmeso fe. Tot sos esace F de E est de dmeso fe et dm F dm E. De ls s dm F dm E alors F=E. 7) Rag d e famlle de vecters Sot E - esace vectorel de dmeso ( eter atrel o l).,..., * F f1 f Sot e famlle de vecters de E Le rag de la famlle F f,..., 1 f est la dmeso de l esace vectorel Vect ( f1,..., f ) 7
Remarqe : rag d e matrce Le rag d e matrce est le rag de la famlle de ses vecters coloes Ces vecters coloes sot des vecters de M,1 O admet qe, or tote matrce t AM,, rg A rg A Sot e matrce AM, rg A A est versble 8) Caractérsato d e base Sot E - esace vectorel de dmeso ( eter atrel o l). Sot B e1,..., e e famlle de E. B est e base de E s et selemet s tot vecter de E s écrt de maère qe comme combaso léare des vecters de B. Coséqece : Sot B ( e1,..., e ) e base ragée de E. E!,..., tel qe e... e. O a 1 1 1 Les réels 1,..., sot les coordoées d vecter das la base B. 1 La matrce coloe à lgesu est la matrce des coordoées de das la base B ; o ote U M Remarqe : B Por tos vecters et v, M v M M v et or tot réel, M. M B B B Matrce d e famlle : Sot,..., 1 e famlle ragée de vecters. Soet,1 ;...;, les coordoées de La matrce de la famlle,..., 1 das la base B (or tot 1,..., das la base B est M B1,..., A la éme coloe sot lacés vertcalemet les coordoées de B ). das la base B 1,1 1,,1, B. 8
Proosto : Sot B ( e1,..., e ) e base ragée de E. Sot S =,..., 1 e famlle ragée de vecters. S est e base de E s et selemet s = et MBS est versble Das ces codtos MBS est aelée matrce de assage de la base B à la base S et otée PB S. Ue matrce de assage est doc versble Proosto : Soet B et B dex bases de E. Por tot vecter, o a B BB. ' B ' M P M 9