CHAPITRE 5 GRAPHES PLANAIRES 31 Chpitr 5: Grphs plnirs Introution Commnçons pr énonr ux énigms lssiqus : Énigm 1: Dns un pys onné, on ésir réorgnisr ls vois ommunition fçon à rlir ntr lls ls 11 plus grns vills. Ells oivnt êtr rliés ux à ux soit pr un nl, soit pr un hmin fr. Or ls ingéniurs u pys, s ils svnt prfitmnt fir pssr un voi frré u-ssus un nl, n svnt ps fir pssr un voi frré u-ssus un utr, ni un nl u-ssus un utr! Put-on ls ir, t lur proposr un tré? (On pourr plr ls vills omm on l ésir) J vous liss y réfléhir, mis n'ssyz ps trop longtmps! Énigm 2: Sur un ôté un ru, trois misons sont lignés. Dvnt lls sont plés rsptivmnt s rrivés générls gz, éltriité, t u. Commnt fir pour limntr ls trois misons v s trois fluis sns qu ux onuits n s roisnt? Gz Eu Eltriité Si l on ssi plr ls ifférnts onuits, on s prçoit qu il st possil, sns trop iffiultés, plr ls 8 prmièrs. En rvnh, il sml solumnt impossil plr l rnièr sns roisr l un s préénts. Sur l figur i-ssus, mêm n ontournnt l lo, l rnièr onuit, rprésnté n pointillés, roisrit néssirmnt l un s préénts. L'ojtif hpitr st onnr un prmièr justifition tt impossiilité puis onnr un ritèr générl prmttnt étrminr si un grph onné put êtr rprésnté sns qu ls rêts n s roisnt.
CHAPITRE 5 GRAPHES PLANAIRES 32 5.1 Ls prmièrs éfinitions Dns tout hpitr, nous n onsiérrons qu s grphs simpls, st-à-ir s grphs sns oul, sns rêt multipl t non orintés. Définitions Un grph st plnir s'il put êtr tré ns un pln sns qu'uun ss rêts n rois un utr. Un tl tré st pplé un rprésnttion plnir u grph. Exmpl: L grph K 4 st-il un grph plnir? Solution: Oui, r on put l rprésntr sns intrstion omm l montr l figur suivnt: Définition Soit G un grph plnir. Un f F G st un région mximl u pln élimité pr un nsml rêts G, t qui n n ontint uun. L gré F, noté g (F ), st l nomr rêts G qui ornt F. 3 1 Exmpl: Dns l rprésnttion plnir préént u grph K 4, nous vons xtmnt 4 fs, numérotés 1 à 4. Touts sont orés pr 3 rêts u grph xtmnt, st-à-ir qu lls sont touts 2 gré 3. 4 Exri 51 Pouvz-vous rorr inq misons à ux résux utilitirs (gz t u) sns qu ls nlistions n s roisnt? Exri 52 On onsièr un grph plnir onnx à 6 sommts, hun gré 4. Détrminr l nomr fs s rprésnttion plnir.
CHAPITRE 5 GRAPHES PLANAIRES 33 Exri 53 Détrminr si ls grphs suivnts sont s grphs plnirs. Si oui, onnr lur rprésnttion plnir, étrminr l nomr fs t l gré hqu f insi qu l somm s grés touts ls fs. ) f ) f f ) ) Exri 54 Détrminr si ls grphs suivnts sont s grphs plnirs. Si oui, onnr lur rprésnttion plnir, étrminr l nomr fs t l gré hun. ) ) ) Exri 55 ) ) Prouvr l théorèm 1 qui suit. Théorèm 1: Soit G un grph plnir t l nomr 'rêts G. Alors Pruv n xri. g(f) = 2 fs F
CHAPITRE 5 GRAPHES PLANAIRES 34 5.2 Formul 'Eulr t ritèrs pour qu'un grph soit plnir Lmm Jorn: (n topologi) Un our frmé ns un pln ivis lui-i n 2 régions istints: l'intériur t l'xtériur. L pruv lmm n'st ps isé t épss lrgmnt l nivu ours. Aptons-n sulmnt l'ié. Théorèm 2: L grph K 3,3 n'st ps plnir. Pruv n xri i-ssous: C rnir théorèm justifi insi qu'il n'st ps possil rlir ls trois hittions v ls 3 srvis gz-u-éltriité (Énigm n 2 'introution). Théorèm 3: L grph K 5 n'st ps plnir. Pruv n xri i-ssous: Exri 56 Prouvr l théorèm 2 à l'i l'inition suivnt: Il s'git 'ppliqur l lmm Jorn u grph n montrnt qu'à un instnt onné, on st toujours mné à voir rlir un point situé à l'intériur 'un our frmé v un point situé à l'xtériur. Exri 57 Prouvr l théorèm 3. Théorèm 'Eulr: Soit G un grph plnir onnx. Soit s l nomr sommts, l nomr 'rêts t f l nomr fs. Alors s + f = 2 Pruv: Cf. fuill nnx ns l s un grph simpl.
CHAPITRE 5 GRAPHES PLANAIRES 35 Exmpl: On onsièr un grph plnir onnx omprnnt 20 sommts gré 3. Détrminr l nomr fs grph. Solution: s = 20 sommts = 20 3 = 30 rêts 2 Don f = 2 (s ) = 12 Exri 58 Contrôlr si hun s grphs suivnts vérifi l formul 'Eulr. s = 4 f = 4 = 6 s = f = = s = f = = s = f = = s = f = = s = f = = Exri 59 On onsièr un grph plnir onnx à 6 sommts, hun gré 4. Détrminr l nomr fs s rprésnttion plnir. (Rpris l'xri 52)! 1 r ritèr grphs plnirs: Soit G un grph simpl plnir onnx v s 3. Alors ls nomrs s sommts t 'rêts G vérifint l rltion: 3s 6 Pruv n xri:
CHAPITRE 5 GRAPHES PLANAIRES 36 2 èm ritèr grphs plnirs: Soit G un grph simpl plnir onnx sns tringl mis v s 4. Alors ls nomrs s sommts t 'rêts G vérifint l rltion: 2s 4 Pruv n xri: mêms iés qu préémmnt. Applition: L'énigm 1 'introution n ps solution. Soit n fft nos 11 vills numérotés 1 à 11. Si l on n fit ps l istintion ntr nux t vois frrés, l tré tous s moyns ommunition nous onn un grph à 11 sommts t 11 10 = 55 2 rêts. Touts s rêts puvnt êtr rngés ns ux tégoris : lls qui orrsponnt à s nux t lls qui orrsponnt à s vois frrés. Nous otnons on ux grphs ynt hun u mximum 11 sommts (put-êtr moins, un vill onné put n êtr ssrvi qu pr tu, ou sulmnt pr trin). D utr prt, l somm lurs nomrs rêts rsptivs onn 55. L un ntr ux on u moins 28 rêts. (Voyz-vous pourquoi?) Mis 28 > 3 11 6, on grph n stisfit ps l 1 r ritèr s grphs plnirs onnxs. En onlusion, qul qu soit l tré, il fur qu s roisnt ux nux, ou ux vois frrés. Exri 60 Prouvr l 1 r ritèr grphs plnirs à l'i l'inition suivnt: Il s'git 'étlir qu ns un tl grph g(f) 3 f fs F Exri 61 Prouvr l 2 èm ritèr grphs plnirs n utilisnt un métho smll qu ll utilisé lors l'xri préént. Exri 62 Un iruit imprimé oit omprnr 370 liisons rlint rtins pirs points (touts ifférnts) hoisis prmi 125 sommts. Puton ssinr iruit sur un sul plqu? (justifir) Exri 63 Utilisr l 1 r ritèr pour émontrr à nouvu qu K 5 n'st ps un grph plnir.
CHAPITRE 5 GRAPHES PLANAIRES 37 Exri 64 Utilisr l 2 èm ritèr pour émontrr à nouvu qu K 3,3 n'st ps un grph plnir. Exri 65 L grph suivnt mt-il un rprésnttion plnir? Exri 66 On s'intérss ux grphs omplts K n pour n 3. Pour qulls vlurs n 3, K n mt un rprésnttion plnir. Démontrr votr ffirmtion. 5.3 Théorèm Kurtowski Qustion Nous vons émontré à plusiurs rpriss qu K 5 t K 3,3 n sont ps plnirs, mis xist-t-il 'utrs grphs non plnirs? Élémnts réponss Il st évint qu'un grph qui mt K 5 ou K 3,3 omm sous-grph n put ps êtr un grph plnir, pr xmpl: L grph K 6 n'st ps plnir r il mt K 5 omm sous-grph f K 5 non plnir K 6 non plnir Il sml églmnt ptl qu si l'on prt 'un s 2 grphs, qu l'on ivis un ss rêts à l'i 'un sommt supplémntir, nouvu grph n sr ps plnir. On it lors qu nouvu grph otnu insi st homéomorph u préént. Pr xmpl:
CHAPITRE 5 GRAPHES PLANAIRES 38 L grph roit st homéomorph à K 5, il n'st ps plnir. f g h Mis xist-t-il nor 'utrs typs grphs non plnirs? Pnnt nomruss nnés, ls mthémtiins ont tnté rtérisr puis lssr ls grphs plnirs pr fmills. C prolèm été résolu n 1930 pr l mthémtiin polonis K. Kurtowski. L émonstrtion u théorèm portnt mintnnt son nom épss l nivu 'un ours gymns. Kzimirz Kurtowski Théorèm Kurtowski Un grph st non plnir si t sulmnt si il ontint un sousgrph homéomorph à K 3,3 t K 5.
CHAPITRE 5 GRAPHES PLANAIRES 39 Exri 67 Ls grphs suivnts sont-ils s grphs plnirs? j i h k f g j i f h g ) ) Inition: Dns l 2 èm grph, j vous suggèr vous onntrr sur ls sommts f,, j t, i, h. C 2 èm grph mt l nom grph Ptrsn, mthémtiin nois l présnt n 1891 t il st souvnt utilisé pour illustrr s propriétés ns l théori s grphs. Exri 68 L polyèr suivnt put-il êtr rprésnté pr un grph plnir? 5.4 Ls polyèrs régulirs (ou un pplition s grphs plnirs) Un s pplitions ls plus élégnts s grphs plnirs t l formul 'Eulr st l pruv 'un résultt onnu puis très longtmps, mis qui étit élit à justifir. Théorèm Il n'xist qu inq polyèrs régulirs onvxs pplés ussi polyèrs pltoniins. Pruv: Cf. fuill nnx. Exri 69 Détrminr ou rpplr ii quls sont s 5 polyèrs régulirs
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