Optmsaton par Essam de Partcules : applcaton à la restauraton supervsée d mage Abda oum*, Abdelmalk aleb-ahmed**, Kher Benmahammed***, Nama Rechd * * Unversty Mohamed Khdher Bskra Algére ** LAMIH UMR CNRS UVHC 8530, Le Mont Houy 59313 Valencennes Cedex 9 ***Unversté Farhat Abbas Setf Algére abda_ba@yahoo.fr, taleb@unv-valencennes.fr, kherben@yahoo.fr, Rechdnama@yahoo.fr RÉSUMÉ. Dans le cadre de cette premère étude nous proposons l utlser de la technque d Optmsaton par Essam de Partcule (OEP) dans le domane de la restauraton supervsée d mage. A notre connassance, nous n avons pas trouvé encore de travaux concernant la restauraton d mage utlsant l OEP. Nous présentons donc dans ce paper l utlsaton de l OEP de deux façons : () l mage dégradée est prse comme essam enter et les pxels comme partcules ; () l mage dégradée est prse comme partcule et une populaton d mages est générée pour construre un essam de talle varable. Les premers résultats que nous donnons ont été valdés sur des mages réelles dégradées par un flou Gaussen seul, et dégradées par un flou plus un brut addtf Gaussens. Nous termnons par la comparason de nos résultats avec les méthodes de restauraton classques exstantes. MOS-CLÉS : Optmsaton par Essam de Partcules, restauraton supervsée d mage, déconvoluton, SNR, flou Gaussen, brut Gaussen. 1. Introducton La restauraton d mage consttue une étape très mportante dans le processus de tratement d mage. Les mages que nous analysons sont dans la plus part des cas dégradées par un brut addtf plus une dégradaton de type flou. Pluseurs technques ont été développées pour résoudre ce problème (Mallat 1999, Rafael et al. 00, Smth 003, Pratt 001). L objectf de ces technques est de reconstrure l mage orgnale à partr de celle dégradée en se basant sur des connassances a pror sur les condtons de 1
dégradaton. Ans le prncpe d une mage dégradée est le suvant : Où h: représente la détéroraton, dégradée, l mage orgnale et le brut addtf. ( x, y) h( x, y) f ( x, y) + n( x y) g =, [1] g, f et n représentent respectvement : L mage Dans le cadre de cet artcle, nous proposons pour la premère fos, à notre connassance, d applquer l OEP dans le cas de la restauraton supervsée d mage. Le plan de notre artcle est le suvant : dans la secton, nous rappelons l approche OEP, en secton 3, nous présentons notre contrbuton, en secton 4, les résultats que nous avons obtenus avec dscusson, et enfn nous termnons par une concluson et quelques perspectves concernant ce traval.. Optmsaton par essam de partcules L optmsaton par essam de partcules est une technque évolutonnare qu utlse une populaton de solutons conddates pour développer une soluton optmale au problème. Le degré d optmalté est mesuré par une foncton ftness (Clerc et al. 001, Kennedy et al. 1995 et 001). Il est nspré de comportement collectf et l ntellgence émergente qu exstent dans les socétés à populaton organsée. Les membres de la populaton, partcules, sont dspersées dans l espace du problème (Kennedy et al. 1995 et 001), ans que Le comportement de l essam peut être décrt en se plaçant du pont de vue d une partcule (Kennedy et al. 001, Omran 004, Van den Bergh 00, Venter et al. 00). Au départ de l algorthme, un essam est répart au hasard dans l espace de Recherche, chaque partcule ayant également une vtesse aléatore (fgure ). Poston actuelle Vers ma melleure performance Vers la melleure performance de mes nformatrces Vtesse actuelle Nouvelle poston Fgure. Schéma de prncpe du déplacement d une partcule. Algorthme OEP Ensute, à chaque pas de temps, chaque partcule est capable d'évaluer la qualté de sa poston et de garder en mémore sa melleure performance, c est à dre la melleure poston qu elle a attente jusqu c et sa qualté. Elle est capable d'nterroger un certan nombre de ses congénères et d'obtenr de chacune d'entre elles sa propre melleure performance. Elle chost la melleure des melleures performances dont elle a connassance, modfe sa vtesse en foncton de cette nformaton et de ses propres données et se déplace en conséquence. La procédure de recherche des algorthmes à
base de populaton comme l OEP est consttuée de deux phases, exploraton et explotaton. Le premer est responsable de la détecton des régons les plus prometteuses dans l espace de recherche, tands que l autre permet de promouvor la convergence des partcules vers la melleure soluton détectée (Vrahats et al. 007). 3. Applcaton Le problème de restauraton d mage est convert en un problème d optmsaton. Dans ce cas une foncton coût est présentée et qu dot être optmser. La soluton qu donne la valeur optmale consttue l mage désrée. La foncton coût de notre problème (Perry 1999) est la suvante : ( ˆ 1 ) ˆ f f ( H H + C C) 1 J f g H f g Dte foncton de coût avec contrante CLS (Constraned Least Square Error) Où : C : Matrce de brut mposée. λ: facteur de régularsaton, et fˆ : est l mage désrée ou estmée. ˆ = λ ˆ + [] M N assocée à l opérateur passe- haut qu représente la contrante Dans cette parte on présente l applcaton de l OEP dans la restauraton supervsée d mage où le brut et la dégradaton étant connues tous deux de type Gaussen. Pour ce fat nous avons procédé de deux façons : 1. Dans la premère, l mage est prse comme l essam enter, et les partcules sont les pxels, ans on effectue une restauraton locale. La procédure à suvre est la suvante : La dmenson de l espace de recherche est prse : D=1, notre varable est le pxel; L mage représentée par une matrce est converte en un vecteur lgne ; La talle d essam est le nombre total des pxels de l mage; La foncton coût est applquée à chaque pxel comme le montre l équaton suvante : J ( f ˆ 1 () ) fˆ () ( H H C C)(, j) fˆ 1 = + λ ( ) g () H (, j) fˆ () + g [3] Les équatons de mse à jours de la vtesse et de la poston de l OEP devennent : La vtesse : v La poston : ( t 1 ) = wv ( t) + r c ( y ( t) x ( t) ) + r c ( yˆ ( t) x ( t) ) + 1 1 x ( t + 1 ) = x ( t) + v ( t +1) Dans ce cas x (t) est le pxel courant, ŷ( t) [4] [5] est le melleur pxel global obtenu, et v (t) est la vtesse du pxel. Notre contrbuton dans ce cas, est l utlsaton du pxel comme une partcule qu peut se déplacé possédant ans une vtesse et une poston. 3
. Dans la deuxème, qu consttut notre contrbuton, un essam d mages est généré à partr de l mage flouée, dans ce cas c est une restauraton globale qu est effectuée. La procédure à suvre est la suvante : La dmenson de l espace de recherche est prse : D=la longueur de vecteur mage; De même, l mage représentée par une matrce est converte en un vecteur ; La talle d essam est varable, dans notre applcaton nous l avons prs 0; La foncton coût est applquée à chaque partcule qu est dans ce cas le vecteur mage comme sut : ( ˆ 1 ) ˆ f f ( H H + C C) 1 J Les équatons de mse à jours de la vtesse et de la poston de l OEP devennent : La vtesse : v ˆ = λ f g H fˆ + g [6] 1 + r c Yˆ ( t) X ( t) ( t ) = wv ( t) + r c ( Y ( t) X ( t) ) + 1 1 ( ) [7] La poston : ( t + 1 ) = x ( t) + v ( t +1) x [8] Dans ce cas, X (t) est l mage courante, Y(t) est la melleur performance personnelle de l mage, Yˆ ( t) est la melleure mage globale obtenue, et v (t) est la vtesse de l mage. Les paramètres des équatons de mse à jour de vtesses dans les deux cas sont prs selon (Clerc et al. 001). On a fat le chox d un vosnage global, car toutes les partcules sont attrées par la même melleure poston. Donc, cette varant d OEP est dstnguée par sa capacté d explotaton. Pour tester les deux méthodes on a utlsé l mage caméraman de talle 56X56. Nous lu avons fat subr une dégradaton de type flou Gaussen de varance σ f =5 et de moyenne μ f =0. En premer leu nous restaurons l mage flouée. En deuxème leu nous restaurons l mage flouée et entachée d un brut Gaussen de moyenne μ n =0, et varance σ n =0.00. Orgnal Image Blurred Blurred & Nosy Fgure 3. (a) mage orgnale, (b) mage dégradée par un flou gaussen, σ f =5 et SNR = 4.0994, (c) mage dégradée et brutée par un brut blanc de moyenne μ n =0 et varance σ n =0.00 et un SNR = 0.706., 4
3.1. Restauraton par pxel : Fgure 4. Image restaurée par l OEP (l mage est l essam), flouée SNR= 3.9761, flouée et brutée avec SNR =.9731, les autres leurs dfférences avec l orgnale. 3.. Restauraton globale : Restored Image by PSO 1st Restored Image by PSO Fgure 5. Image restaurée par l OEP(essam de 0 mages), flouée SNR=.003, flouée et brutée avec SNR = -0.8030,les en dessous leurs dfférences avec l orgnale. 5
4. Dscusson des résultats Pour montrer l effcacté de cet outl (l OEP) en restauraton d mage nous avons dégradé l mage orgnale fgure 3. a par un flou Gaussen, l mage résultante fgure 3. b fourne un SNR= 4.90994. Pour plus de valdté nous avons proposé d applquer cet outl non pas sur l mage flouée seulement mas auss brutée par un brut Gaussen fgure 3. d. Les algorthmes ont été mplémentés dans un calculateur Intel, Pentum 4, de processeur.80 GHz, et de RAM 51 M.octet. Les résultats de smulaton que nous avons obtenus montrent la possblté d utlser l OEP dans le domane de restauraton supervsée d mage. En plus, les mages obtenues fgure 4et fgure 5 montrent l effcacté de l applcaton de cet outl dans ce domane. En comparant les résultats obtenus de pont de vue rapport sgnal sur brut (SNR), nous remarquons que pour le cas où l mage est prse comme essam enter fgure 4. a, le SNR de l mage restaurée est de valeur SNR= 3.9761, tant dsque pour le cas où l mage est prse comme une partcule dans un essam de 0 mages fgure 5. a, le SNR de l mage restaurée est de valeur SNR=.003. Ans nous constatons que la restauraton par pxel, ou restauraton locale, donne un melleur résultat que la restauraton par mage, ou restauraton globale. De même pour les résultats obtenus dans le cas où l mage est flouée et brutée, les mages restaurées fgure 4. b et fgure 5. b fournes toutes les deux des SNR :.9731 et -0.8030 respectvement. Méthodes de restauraton flouée SNR flouée et brutée fltrage nverse 1.1860 1.1860 fltrage pseudo nverse 1.1860 1.1860 fltre CLS drecte 4.4986-5.9177 fltre CLS tératf 4.0994 0.7337 fltre de Wener -5.3706-1.8618 la méthode de khonov- Mler -17.3017-17.301 la méthode de Lucy- Rchardson 3.7169 -.988 le réseau neuronal de Hopfeld -3.160-3.8150 Champ Aléatore de Markov (MRF) -3.06-10.651 Ondelette (Daubeches) Lucy- Rchardson -16.4836-6.9108 fltre de Wener -5.3706 -.0004 Lucy -9.51 débrutage Wener -7.0339 PSO en restauraton locale 3.9761.9731 PSO en restauraton globale.003-0.8030 able 1. ableau récaptulatf des SNR de technques de restauraton d mage Mantenant en comparons les résultats de pont de vue temps d exécuton. Pour les 6
résultats des fgure 4. a et fgure 5. a le temps de calcule est estmé 10mn et 3mn respectvement. Pour les es résultats des fgure 4. b et fgure 5. b est estmé 13mn et 5mn respectvement. Nous remarquons que la restauraton locale a prs plus de temps que la restauraton globale dans les deux cas, sot pour l mage flouée seulement, sot pour l mage flouée et brutée. Ans, l avantage que donne l une est lu-même l nconvénent de l autre. Sot en temps sot en qualté, représentée par le SNR. Le chox de vosnage global pour les deux procédures de restauraton proposées permet d avor une bonne soluton, pusque l nformaton concernant la melleure soluton est drectement communquée au reste de l essam pour les prévenr d être pégé par les optmums locaux. Ans on peut dre que dans ce cas on peut les évter. Une comparason des résultats de smulaton de quelques technques classques de restauraton d mage avec les résultats obtenus en utlsant l OEP est présentée dans un tableau récaptulatf (ableau 1). Une hybrdaton des deux procédure est possble et cela en commençant le tratement par l une ou l autre, c'est-à-dre, ntalser une populaton globale, pus prendre chaque partcule et lu applquée un tratement local. Et vs versa. 5. Concluson Notre contrbuton, consstat en l applcaton de l OEP dans le domane de la restauraton d mage. Cet outl qu n a pas été encore applqué, à notre connassance, dans ce domane, a fourn des résultats qu peuvent être estmées comme bons en les comparons avec les technques classques de restauraton d mages (ableau 1). En plus des résultats que l OEP a fourns, nous avons constaté sa smplcté d mplémentaton sur calculateur au contrare des autres technques évolutonnares (comme les algorthme génétque par exemple). Fnalement, nous pouvons dre que l OEP est un outl d optmsaton très pussant. Et les résultats que nous avons obtenus après son utlsaton nous sont très satsfasants. Cet outl a donné sens à notre contrbuton. Ben que l OEP trouve de bonnes solutons dans un temps beaucoup plus court que d'autres algorthmes évolutonnares, l améloraton de la qualté des solutons ne peut être garante en augmentant le nombre d tératon. L OEP et d'autres algorthmes de recherche stochastques ont deux nconvénents prncpaux : le premer est que l'essam peut prématurément converger ; le deuxème est que les approches stochastques ont un problème de dépendance, tout changement d un de leurs paramètres peut avor un effet sur le fonctonnement de l algorthme tout comme sur la soluton obtenue. Pluseurs varantes de l OEP ont été développées pour reméder à ces nconvénents (Omran 004). Comme perspectves futures nous pouvons envsagé de concevor un outl supplémentare pour reméder au problème d optmum local. Cet outl peut être hybrdé avec l OEP pour avor un outl d optmsaton encore plus pussant et plus effcace. 7
6. Références Clerc M. and Kennedy J., he Partcle Swarm: Exploson, Stablty and Convergence n a Mult- Dmensonal complex Space, IEEE ransactons on Evolutonary Computaton, vol. 6, 001. Dréo J. & Sarry P., Métaheurstques pour l optmsaton dffcle, Edton Eyrolles, 003 Kennedy J. and Eberhart R. Partcle Swarm Optmzaton, In Proceedngs of IEEE Internatonal Conference on Neural Networks, Perth, Australa, vol. 4, 1995. Kennedy J. & Eberhart R.C., Swarm Intellgence, Morgan Kaufman Publshers, Academc Press, 001. Mallat S., A Wavelet our Of Sgnal Processng, Second Edton, Academc Press, Elsever (USA), 1999. Omran M.G.H., Partcle Swarm Optmzaton Methods for Pattern Recognton and Image Processng, PhD hess, Unversty of Pretora, November 004. Pratt W. K., Dgtal Image Processng: PIKS Insde, hrd Edton, John Wley & Sons, Inc., 001. Gonzalez R. C. & Woods R. E., Dgtal Image Processng, Second Edton, Prentce Hall, 00. Perry S. W., Adaptve Image Restoraton: Perceptron Based Neural Network Model and Algorthms, Ph.D. heses, School of Electrcal and Informaton Engneerng Unversty of Sdney, Australa, 1999. Smth S. K., Dgtal Sgnal Processng, A Practcal Gude for Engneers and Scentsts, Newnes, 003. Van den Bergh F., An Analyss of Partcle Swarm Optmzers, PhD hess, Department of Computer Scence, Unversty of Pretora, South Afrca, 00. Vrahats M.N., Parsopoulos K.E., Parameter selecton and adaptaton n Unfed Partcle Swarm Optmzaton, Mathematcal and Computer Modellng, vol. 46, 007. 8